Pienter 3 - 4u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 & 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 2 De reële getallen

Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen

Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies

Hoofdstuk 6 Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

Hoofdstuk 7 Gelijkvormigheid

Hoofdstuk 8 Eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 9 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 10 Vectoren

Hoofdstuk 11 De cirkel

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren

1.1.1 Op onderzoek

Vul de tabel verder in.

Proefversie©VANIN

Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?

1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek bestaat uit

• twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek): en

• een schuine zijde of hypothenusa :

1.1.3 De stelling van Pythagoras

Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde

Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, a b c die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je pythagorische drietallen

Het eenvoudigste pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.

De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.

Stelling Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

De 3-4-5-regel

Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.

• Bind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden.

• Vorm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft.

• Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.

Proefversie©VANIN

Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.

In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.

De pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken.

De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.

De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan

1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen.

De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten.

Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid.

Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.

Oefeningen

REEKS A

1 Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is.

Proefversie©VANIN

2 Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras.

REEKS B

3 Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje.

a b c rechthoekigniet rechthoekig

Proefversie©VANIN

4 Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand.

knoopafstandlengte van de zijden

a)rechthoekszijde:3stukken van 2 cm

rechthoekszijde:4stukken van 2 cm

schuine zijde: stukken van 2 cm

b)rechthoekszijde:3stukken van 5 cm

rechthoekszijde: stukken van 5 cm

schuine zijde:5stukken van 5 cm

c)rechthoekszijde:3stukken van 15 mm

rechthoekszijde:4stukken van 15 mm

schuine zijde: stukken van 15 mm

d)rechthoekszijde: stukken van 7 cm

rechthoekszijde:4stukken van 7 cm

schuine zijde:5stukken van 7 cm

5 Toon aan zonder te meten.

a) Parallellogram PLAK is een rechthoek. b) Parallellogram KLAP is een ruit.

Proefversie©VANIN

6 Toon zonder geodriehoek aan dat a ' b.

7 Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.

a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm c) rechthoekszijde: 12 dm = rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm rechthoekszijde: 16 dm = schuine zijde: schuine zijde:

b) rechthoekszijde: 15 m = d) rechthoekszijde: 90 mm = rechthoekszijde: 20 m = rechthoekszijde: 120 mm = schuine zijde: schuine zijde:

8 Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje.

a b c rechthoekigniet rechthoekig

a) 2

mm2,1 mm2,9 mm r r

b)4 cm7,5 cm8,5 cm r r

c)0,12 m0,35 m0,37 m r r

d)2,1 cm2,8 cm3,4 cm r r

e) 1,4 cm4,8 cm5 cm r r

9 Onderzoek of nABC rechthoekig is. Zet een vinkje.

zijden rechthoekigniet rechthoekig

a) 16 m34 m30 m r r

b)4,5 cm7,5 cm6 cm r r

c)2,7 dm3,6 dm4,8 dm r r

d)18 cm32 cm24 cm r r

e) 78 m30 m72 m r r

10 Los op.

a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?

Antwoord:

Proefversie©VANIN

b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?

Antwoord:

1.2 Meetkundige voorstellingen

1.2.1 De stelling van Pythagoras

Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C

Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek.

Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.

Proefversie©VANIN

De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2

De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is

In symbolen:

1.2.2 De Pythagorasboom

1) Teken een willekeurig vierkant.

2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant.

3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek.

4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant.

5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.

Proefversie©VANIN

Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.

De boom van Pythagoras noem je een fractaal.

Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen:

• zelfgelijkvormigheid: binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug;

• oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

tekening gegeven

• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c.

• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.

Proefversie©VANIN

een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c te bewijzen

a 2 + b 2 = c 2

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen:

oppervlakte groot vierkant=oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken

⇓ definitie oppervlakte vierkant en driehoek

(a + b) 2 = c 2 + 4 ? a b 2

⇓ merkwaardig product en breuken vereenvoudigen

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab

⇓ eigenschappen gelijkheden

a 2 + b 2 = c 2

besluit

a 2 + b 2 = c 2

De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde.

Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen

voor die stelling bekend.

Oefeningen

REEKS B

13 Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening gegeven p Q R q P r te bewijzen bewijs

Proefversie©VANIN

tekening

gegeven

Proefversie©VANIN

c a b a b A CB c te bewijzen

a 2 + b 2 = c 2

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen.

oppervlakte trapezium=oppervlakte drie driehoeken

⇓ definitie oppervlakte trapezium en driehoek

(+ )( +) 2 abab = + 2

⇓ merkwaardige producten =

⇓ beide leden vermenigvuldigen met 2 en =

besluit

15 Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening gegeven b a a a c c cA C B c b b b a te bewijzen bewijs besluit

Proefversie©VANIN

1.4 Rekenen met Pythagoras

1.4.1 Inleiding

Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken.

Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn.

Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen.

Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.

Proefversie©VANIN

Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.

1.4.2 Algemeen

De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.

Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c = ab + 22

a 2 = c 2 – b 2 ⇒ a = cb –22

b 2 = ⇒ b =

1.4.3 Voorbeelden

In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang.

Hoe lang is de schuine zijde?

(op 0,1 nauwkeurig)

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm.

Hoe lang is de andere rechthoekszijde?

(op 0,1 nauwkeurig)

Oefeningen

REEKS A

16 Bereken x op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

17 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken.

rechthoekszijderechthoekszijde bewerkingen schuine zijde

a) a = 4 cm b = 7 cm c = c ≈

b) a = 1,2 dm b = 0,8 dm c = c ≈

18 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de tweede rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken.

rechthoekszijdeschuine zijde bewerkingen rechthoekszijde

a) b = 3 cm c = 4 cm a = a ≈

b) b = 1,5 dm c = 2,7 dm a = a ≈

19 Bereken x op 0,01 nauwkeurig. a) b)

Proefversie©VANIN

20 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c.

21 Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

22 Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.

Antwoord:

23 Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.

Antwoord:

24 Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep.

Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad.

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

25 Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen.

Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord: De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten.

Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur.

Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.

26 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.

Antwoord:

27 De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm.

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

28 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.

Antwoord:

29 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.

Antwoord:

30 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.

Antwoord:

31 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

32 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.

Antwoord:

33 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel door de hoekpunten van een vierkant met een zijde van 4 m. 4 m

Antwoord:

34 Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten).

Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

REEKS C

35 De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm.

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

36 Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw.

Hoe hoog is dat gebouw?

Antwoord: Rekenen met Pythagoras (vraagstukken)

1.5 Constructies

1.5.1 Constructie van een schuine zijde

Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm.

Stel 13 = 4+ 9 = 2+ 3 22 , dan is c = + 22ab met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm. a

Proefversie©VANIN

Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm.

Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt.

Stap 3: Verbind de vrije grenspunten. Het gevonden lijnstuk c is 13 cm.

1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde

Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm.

Stel 12 = 16 –4 = 4– 2 22 , dan is a = –22cb met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.

Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt.

Stap 3: Verbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.

Het gevonden lijnstuk a is 12 cm.

Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.

1.5.3 Toepassing

• Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1.

• De schuine zijde is dan 1+ 1 22 = 2

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

• De schuine zijde van die driehoek is 2+ 1 2 2 () = 3

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

•

Oefeningen

REEKS A

37 Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 20 cm.

b) een lijnstuk van 10 cm.

Proefversie©VANIN

38 Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 7 cm.

b) een lijnstuk van 5 cm.

REEKS B

39 Construeer

a) een lijnstuk van 11 cm.

b) een lijnstuk van 17 cm.

40 Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm.

a)via de schuine zijde

REEKS B

41 Bereken de andere rechthoekszijde.

b)via een rechthoekszijde

Proefversie©VANIN

Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren.

Construeer

a) een lijnstuk van 5 cm.

b) een lijnstuk van 8 cm.

1.6 Afstand tussen twee punten

1.6.1 Afstand van een punt tot de oorsprong

Het punt A is aangeduid op de tekening.

co(A) = ( , )

Meet de afstand van A tot de oorsprong O

| OA | =

co(B) = (−5, 4)

Stel B voor in het assenstelsel.

Meet de afstand van B tot de oorsprong O

| OB | =

Proefversie©VANIN

Werkwijze

Je kunt | OA | ook berekenen.

Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as.

Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek.

| OS | = | de x-coördinaat van A | =

| AS | = | de y-coördinaat van A | =

| OA |2 = | OS |2 + | AS |2

| OA |2 = +

| OA |2 =

| OA | =

Bereken | OB |.

De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door

• de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en

• de vierkantswortel van die som te bepalen.

co(A) = (xA , yA) ⇒ | OA | = + 22 xyAA

1.6.2 Afstand tussen twee punten

Voorbeeld

In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:

A met co(A) = ( , ) en B met co(B) = ( , )

• Je kunt de afstand tussen die twee punten meten: | AB | = cm. y

Proefversie©VANIN

• Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen.

Je construeert het punt S, dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B

| AS | = want (verschil van de x-coördinaten)

| BS | = want (verschil van de y-coördinaten)

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS

| AB |2 = | AS |2 + | BS |2

| AB | = || +| | 22 AS BS

| AB | = 4+ 6 22

| AB | = ≈

Algemeen

In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:

A met co(A) = (xA , yA) en

B met co(B) = (xB , yB).

| CB | = | yB − yA | en

| AC | = | xB − xA |

Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn.

| AB |2 = | AC |2 + | CB |2

| AB | = || +| | 22 AC CB

| AB | = xx yy BA BA (– )+ (– ) 22

Proefversie©VANIN

|

| =

Voorbeeld 1

Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5).

| AB | = =

Voorbeeld 2

Bereken | CD | op 0,01 nauwkeurig.

co(C) = co(D) =

| CD | = =

Bijzondere gevallen

Afstand van een punt tot de oorsprong

1 y O A –1 –2

1234 5 x

co(O) = (0, 0)

co(A) = (5, −2)

| OA | = (5 –0)+ (–2– 0) 22

= 5+ (–2) 22

= 25 +4

= 29 = 5,39

Proefversie©VANIN

Algemeen Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = + 22 xyAA

Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat

y O B A –1 –2

1

12 34 5 x

co(A)= (2, 1)

co(B)= (2, −2)

| AB | = (2 –2)+ (–2– 1) 22

= 0+ (–2– 1) 22

= (–2– 1)2

= |–2 – 1| = |–3| = 3

Algemeen Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.

Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat

co(A) = (−2, 1) co(B) = (3, 1)

| AB | = (3– (–2)) + (1– 1) 22

= (3– (–2)) +0 22

= (3– (–2))2

12

= |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5

Algemeen Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.

Oefeningen

REEKS A

42 Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur.

Proefversie©VANIN

43 Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.

a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2)

I AB I =

b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7)

I OC I =

Proefversie©VANIN

c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)

I DE I =

d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)

I FO I =

e) [GH] met co(G) = (7, −3) en co(H) = (−7, 3)

I GH I =

f) [OI] met co(O) = (0, 0) en co(I) = (0, −6)

I OI I = REEKS B

44 Teken de driehoek LAT en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. co(L) = (4, –2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)

45 De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn.

Alle trajecten zijn recht.

De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen:

co(A) = (1, 2)

co(B) = (6, 3)

Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?

co(C) = (4, 11)

Proefversie©VANIN

Antwoord:

46 Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen:

co(X) = (5, 4)

co(Y) = (−6, 2)

Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?

co(Z) = (−4, −3)

Antwoord:

47 Een full hd-monitor heeft een resolutie van 1 920 bij 1 080 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800).

Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.

Antwoord:

REEKS C

48 Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen:

co(D) = (1, 3)

co(E) = (2, −1)

Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.

co(F) = (−2, 1)

Proefversie©VANIN

Antwoord:

49 De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km.

Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? Rond af op 0,1 km. x y

Niels bevindt zich hier

Brugge Gent

Roeselare

Turnhout

Antwerpen

Aalst Mechelen

Brussel

Marche-en-Famenne Hasselt Liège

Mons Charleroi Arlon Namur

Antwoord:

1.6.3 De vergelijking van een cirkel

Definitie van een cirkel

Alle punten P die zich op eenzelfde afstand r van het punt M bevinden, liggen op een cirkel met middelpunt M en straal r

Notatie

c (M, r) of c (M, |PM|)

Proefversie©VANIN

Definitie Een cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.

V ergelijking cirkel

Vergelijking van een cirkel

Voorbeeld

V oorbeeld

A (5, 4) P (x, y)

|MP| = + – 3) 2 (x– 4) 2 (y = 2

De voorwaarde voor het punt P om op de cirkel c (M, 2) te liggen, kun je ook noteren als:

P (x, y) ∈ c (M, 2) ⇔ (x – 3)

2 +(y – 4) 2 = 4

Deze voorwaarde noem je de vergelijking van de cirkel c (M, 2)

Notatie

c (M, 2) ↔ + – 3) 2 (x– 4) 2 (y = 4 ↔ lees je als: heeft als vergelijking

A (5, 4) ligt op de cirkel want + – 3) 2 (5– 4) 2 (4 = 4

B (3,1) ligt niet op de cirkel want + – 3) 2 (3– 4) 2 (1 = 9 ≠ 4

Algemeen

M (xM, yM) r P (x, y)

Een vergelijking van de cirkel c (M, r) met co(M) = (xM, yM) noteer je als:

c (M, r) ↔ + – x M) 2 (x – yM) 2 (y = r 2

Elk punt P (x, y) dat aan deze voorwaarde voldoet, behoort tot de cirkel c (M, r).

Besluit Vergelijking van een cirkel

De vergelijking van een cirkel met middelpunt M (xM, yM) en straal r is

Oefeningen

REEKS A

50 Stel de vergelijking op van de cirkel met gegeven middelpunt en straal.

middelpuntstraal vergelijking

Proefversie©VANIN

a) M (4, 7) r = 8

b) M (-8, 5) r = 2

c) M (0, 0) r = 7

d) M (-6, 0) r = 3

e) M 3 8 , 2 r = 5

REEKS B

51 Bepaal de coördinaat van het middelpunt en de straal van de cirkel met gegeven vergelijking.

vergelijking middelpunt straal

a)(x – 7) 2 + (y – 4) 2 = 49

b)(x – 2) 2 + y 2 = 4

c) x 2 + y 2 = 36

d)(x – 1) 2 + (y + 8) 2 = 9

e) x 2 + (y + 0,8) 2 = 7

52 Duid de punten aan die op de cirkel c (M, r) ↔ (x – 4) 2 + (y + 2) 2 = 25 liggen.

r A (1, 3)

r B (9, 2)

r C (-1, -2)

r D (1, -6)

r E (1, 2)

r F (8, -5)

r G (0, 1)

r H (9, 0)

53 Bepaal de vergelijking van de gegeven cirkel.

Proefversie©VANIN

54 Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M die het punt P bevat.

a) middelpunt: M (3, 7) punt van de cirkel: P (9, −1)

b) middelpunt: M (0, 0) punt van de cirkel: P (8, 15)

c) middelpunt: M (5, −12) punt van de cirkel: P ( 2, −3)

1.7 Pythagoras in de ruimte

1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus

gegeven

een kubus met ribbe 4 cm

gevraagd

Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De diagonaal is

1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak

Elke ribbe is 4 cm.

gevraagd

Bereken de hoogte |EH| op 0,01 nauwkeurig. oplossing

antwoord

De hoogte is

REEKS A

55 Bereken.

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd

| DF | oplossing antwoord

| DF | =

Proefversie©VANIN

56 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. F E

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm

gevraagd

| AE | oplossing

antwoord

| AE | ≈

REEKS B

57 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm

M is het midden van [AE ].

N is het midden van [FG ].

gevraagd

| MN |

oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

| MN | ≈

58 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

een kubus met ribbe 3 cm

gevraagd

de omtrek van nCEG

oplossing

antwoord

De omtrek van nCEG is

59 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

60 Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?

Antwoord:

61 Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?

Antwoord:

REEKS C

62 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig.

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm gevraagd

de oppervlakte van nBGE oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De oppervlakte van nBGE is 63 Bewijs.

gegeven

een balk met ribben l, b en h te bewijzen

| DF | = lb++ 22 2h

bewijs besluit

| DF | = lb++ 22 2h

In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l 2 + b

h

STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + – 

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

KUNNEN –  + – 

De stelling van Pythagoras formuleren en toepassen.

1.2 Meetkundige voorstellingen

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + – 

Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.

Toepassingen op meetkundige voorstellingen van de stelling van Pythagoras verklaren.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

De stelling van Pythagoras bewijzen.

KUNNEN –  + –

De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.

1.4 Rekenen met Pythagoras

KUNNEN –  + – 

Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen als twee zijden gegeven zijn.

De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.

1.5 Constructies

KUNNEN –  + –

Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.

1.6 Afstand tussen twee punten

KENNEN –  + – 

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = yy xx(– )+ (– ) 22 BA BA

Afstand van een punt tot de oorsprong.

Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = + 22 xyAA

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.

Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r:

c(M, r) ↔ (x - xM)² + (y - yM)² = r²

KUNNEN –  + – 

De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.

De vergelijking van een cirkel met gegeven middelpunt en straal opstellen.

1.7 Pythagoras in de ruimte

KUNNEN –  + –  +

De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.

Pienter problemen oplossen

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

Proefversie©VANIN

❑ logisch nadenken

❑

1. Plaats natuurlijke getallen in de piramide, zodat de som van de getallen in elke twee naast elkaar staande vakjes gelijk is aan het getal in het gemeenschappelijke vakje erboven.

2. Plaats natuurlijke getallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee naast elkaar staande vakjes gelijk is aan het getal in het gemeenschappelijke vakje erboven. 36 000

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Proefversie©VANIN

3.1

Goniometrische getallen van een scherpe hoek

3.1.1 Hellingen

Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft.

Deel telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing.

Proefversie©VANIN

n ABC n ADE n AFG

horizontale verplaatsing | AC | = 50 mm | AE | = 70 mm | AG | = 100 mm

hoogteverschil | BC | = 10 mm | DE | = 14 mm | FG | = 20 mm

hoogteverschil horizontale verplaatsing BC AC = DE AE = FG AG =

Wat stel je vast?

De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal

In het voorbeeld is het hellingsgetal

Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage

In het voorbeeld is het hellingspercentage

Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek.

Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.

In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten.

In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken het hellingsgetal.

hoogteverschil horizontale verplaatsing hellingsgetal

2 Bereken het hellingspercentage. hoogteverschil horizontale verplaatsing hellingspercentage

REEKS B

3 Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m

bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km.

Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.

Antwoord:

4 Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m.

Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Algemeen

Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde.

Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een specifiekere naam geven.

• De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.

• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ] aanliggende rechthoekszijde van a : overstaande rechthoekszijde van a : [BC ] overstaande rechthoekszijde van a : aanliggende rechthoekszijde van b : aanliggende rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b :

Opmerking

a b c C

A B α β

In driehoek ABC noem je

| AB | = c de lengte van de schuine zijde (sz) of hypothenusa;

| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van b;

| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van b;

| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van a;

| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van a.

In wat volgt gebruik je ook de termen schuine zijde, aanliggende rechthoekszijde en overstaande rechthoekszijde als je de lengte van die zijde bedoelt.

schuine zijde

Proefversie©VANIN

aanliggende rechthoekszijde van a

overstaande rechthoekszijde van a

aanliggende rechthoekszijde van b

overstaande rechthoekszijde van b

6 Juist of fout? α β BD

Proefversie©VANIN

uitspraak juist fout

a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ABC r r

b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in n BCD. r r

c) [BC] is de schuine zijde in n BCD r r

d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in n ABC r r

e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in n BCD r r

f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ABC r r

g) [AC] is de schuine zijde in n ABC r r

h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ACD. r r

i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in n ABC r r

j) [AB] is de schuine zijde in n ABC r r

uitspraak geldt in driehoek

a) [HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H3

b) [AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2

c) [CL] is de schuine zijde.

d) [LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2

e) [LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C.

f) [CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3

g) [NL] is de schuine zijde.

h) [AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2

i) [NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N

Proefversie©VANIN

j) [HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N

3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken

Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen.

Proefversie©VANIN

Vul de tabel verder in. Rond af op 0,1.

sz (mm) arz van a (mm) orz van a (mm) a orzvan sz a arzvan sz a a orzvan ar zvan

Wat stel je vast?

3.1.4 Definities

De verhoudingen van de lengten van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

Definitie Sinus Cosinus Tangens

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding

Proefversie©VANIN

overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

B α β c a

A C

sin a = BC AB = a c

sin b = AC AB = b c

Voorbeelden

A

3 cm

B C α β 5 cm 4 cm

b

cos a = AC AB = b c

cos b = BC AB = a c

tan a = BC AC = a b

tan b = AC BC = b a

sin a = BC AB = 4 5 = 0,8

sin b =

cos a = AC AB = cos b =

tan a =

tan b =

sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek te onthouden.

in = verstaande chuine s o s

os = anliggende chuine c a s an= verstaande anliggende t o a

Opmerkingen

• In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is, en dus de noemer altijd groter is dan de teller.

• α α α

Proefversie©VANIN

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus. α α α

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens

• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).

sin a = BC AB = cos b

sin b = AC AB = cos a

Het woord sinus is Latijn en betekent ‘gebogen, kromme lijn’. De oudste bekende bron waarin men het heeft over de sinus van een hoek, is een Indisch boek uit de 5e eeuw.

Oorspronkelijk werd de sinus gebruikt als de lengte van een koorde in een cirkel.

Leonard Euler (18e eeuw) gebruikte voor het eerst de sinus als verhouding.

De cosinus kwam er om de sinus van de complementaire hoek te berekenen. Edmund Gunter bedacht het woord ‘co-sinus’, dat al vlug vereenvoudigd werd tot ‘cosinus’ door John Newton rond 1660.

Tegen 1675 had Jonas Moore het al afgekort tot ‘cos’.

‘Tangens’ komt van het Latijnse tangere, dat ‘raken’ betekent. Het woord is een idee van de Deense wiskundige Thomas Fincke en werd door hem voor het eerst gebruikt rond 1583.

Andere goniometrische getallen zijn: seca

Leonard Euler (1707-1783)

3.1.5 Goniometrische getallen van een scherpe hoek berekenen

Zestigdelige graad: onderverdelingen

Hoeken worden uitgedrukt in zestigdelige graden.

Voor nauwkeurigere bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten () en seconden (). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel:

1º =  1 = 

Voor de oorsprong van de zestigdelige onderverdeling moet je terug naar de Babylonische tijd, rond 2000 voor Christus.

De Babyloniërs kozen het grondtal zestig omdat het een groot aantal natuurlijke delers heeft, namelijk 12. Hierdoor kunnen getallen in het zestigtallig stelsel gemakkelijk worden gedeeld in kleinere, gelijkwaardige delen.

Zo kan een graad gemakkelijk worden gedeeld in delen van 30 minuten, 15 minuten, 12 minuten, 10 minuten …

Voor de Babyloniërs bestond een jaar uit 360 dagen.

Dankzij de Bruggeling Simon Stevin en zijn werk ‘De Thiende’, in 1585 uitgegeven, gebruiken wij nu het tientallig of decimaal talstelsel.

Het zestigtallig talstelsel wordt enkel nog gebruikt voor tijdmeting en hoekmeting.

Goniometrische getallen berekenen met ICT

Met een wetenschappelijke rekenmachine kan je de sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek berekenen.

Voorbeelden

Bereken de goniometrische getallen. Rond af op 0,001.

• sin 82º ≈

• cos 38º4729 ≈

• tan 29º46 ≈ GEOGEBRA

dus 1º = 

Proefversie©VANIN

Oefeningen

REEKS A

8 Vul in. a) B A C α β b) F D E α β

sin a = BC AB sin b = sin a = sin b = cos a = cos b = cos a = cos b = tan a = tan b = tan a = tan b =

Proefversie©VANIN

9 Vul in. a) K L M α β b) X Y Z α β a = MK ML b =

10 Bereken op 0,001 nauwkeurig.

a) sin 20º ≈ d) cos 15º ≈ g) tan 10º ≈

b) sin 45º ≈ e) cos 38º ≈ h) tan 26º ≈

c) sin 89º ≈ f) cos 88º ≈ i) tan 48º ≈

Proefversie©VANIN

11 Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen?

a) A C B 13 21° x c) M L K 37° 59 x

b) R S T 8 52° x d) U W V 24 68° x

REEKS B

12 Bereken op 0,001 nauwkeurig.

a) sin 6º 8 51 ≈ h) cos 14º 58 36 ≈

b) cos 28º 54 22 ≈ i) tan 59º 47 ≈

c) tan 29º 52 38 ≈ j) sin 4 ≈

d) sin 27º 29 ≈ k) sin 89º 57 12 ≈

e) tan 46º 48 ≈ l) tan 58º 38 ≈

f) cos 75º 9 ≈ m) cos 84º 58 29 ≈

g) tan 5º 32 55 ≈ n) sin 79º 52 37 ≈

13 Meet op 1 mm nauwkeurig, vul in en bereken op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

REEKS C

15 Teken de hoek a.

a) sin a = 3 4 c) cos a = 2 5

Proefversie©VANIN

b) tan a = 5 15 d) tan a = 3 2

16 Aan welke voorwaarden moeten de zijden van de rechthoekige driehoeken voldoen?

Wat stel je vast over de hoeken?

a) tan a > 1

b) cos a = cos b

c) sin a < cos a

d) tan b = 1

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

uitspraak juist fout verklaring

a) sin b = BU LU r r

b) BU CU = LU CL r r

c) cos a > sin a r r

d) tan a = LU CU r r

e) BC CU = BU LU r r

f) tan b = CU LU r r

g) BU CB = BU BL r r

Proefversie©VANIN

h) cos a = BC BU r r

i) tan a > tan b r r

j) BU BC = UL CU r r

3.1.6

Basiseigenschappen

Verband tussen tangens, sinus en cosinus

Bereken op 0,001 nauwkeurig.

sin 43º ≈ sin43º cos43º ≈ en tan 43º ≈

cos 43º ≈

Proefversie©VANIN

Wat stel je vast?

Eigenschap = a a a tan sin cos

tekening gegeven

A B C α

bewijs

tan a = sin cos a a

β c a b rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º te bewijzen

sin a = a c en cos a = b c

⇓ delen van sin a door cos a

sin a cos a = a c b

c

⇓ rekenen met reële getallen

sin a cos a = a c ? c b

⇓ vereenvoudigen

sin a cos a = a b

⇓ definitie tangens

sin a cos a = tan a

besluit

tan a = sin cos a a

Eigenschap

De grondformule

Bereken zonder tussendoor af te ronden: (sin 43º)2 + (cos 43º)2 =

Opmerking

(sin a)2 noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a)2 en (tan a)2

sin2 25º 47 38 + cos2 25º 47 38 =

Wat stel je vast?

Proefversie©VANIN

sin2 a + cos2 a = 1

Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.

tekening gegeven

α A C B a b c

bewijs

rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º

te bewijzen

sin2 a + cos2 a = 1

sin a = a c en cos a = b c

⇓

sin2 a + cos2 a = a c 2 + b c 2

⇓ rekenen met reële getallen

sin2 a + cos2 a = a 2 + b 2 c 2

⇓ stelling van Pythagoras

sin2 a + cos2 a = 2 2 c c = 1

besluit

sin2 a + cos2 a = 1

Opmerking

• sin2 a = 1 - cos2 a ⇒ sin a = 1 - cos2 a

• cos2 a = 1 - sin2 a ⇒ cos a = 1 - sin2 a

Oefeningen

REEKS A

18 Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. sin a cos a tan a

Proefversie©VANIN

19 Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. sin a cos a tan a

REEKS C

20 Vul in zonder rekenmachine.

sin a cos a tan a

Proefversie©VANIN

21 Waarom zijn de beweringen fout?

a) sin a = tan cos a a

b) sin a = 3 4 ⇒ cos a = 1 4

c) 1 + sin2 a = cos2 a

Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken

3.1.7 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal

Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal.

Bij de omgekeerde (inverse) bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte.

Proefversie©VANIN

5 3 4 sin a = 4 5 ⇒ a = ? cos a = 3 5 ⇒ a = ? tan a = 4 3 ⇒ a = ?

Om een hoek te berekenen uit een goniometrisch getal gebruik je ICT. Deze bewerkingen worden op een wetenschappelijke rekenmachine aangeduid met sin-1, cos-1 en tan-1

Voorbeelden

• sin a = 0,75 ⇒ a =

• cos a = 0,3 ⇒ a =

• tan a = 2,64 ⇒ a =

Oefeningen

REEKS A

22 Bereken de hoek a op 1º nauwkeurig.

a) sin a = 1 2 a = c) cos a = 0,3 a = e) tan a = 5 9 a =

b) sin a = 0,4 a = d) cos a = 7 11 a = f) tan a = 0,2 a =

Proefversie©VANIN

23 Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen?

24 Bereken, indien mogelijk, op 1  nauwkeurig.

a) sin a = 0,2 a = e) cos a = 15 26 a =

b) tan a = 5 a = f) sin a = 5 14 a =

c) sin a = 1,37 a = g) tan a = 999 a =

d) tan a = 3 4 a = h) cos a = 29 34 a =

REEKS B

25 Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

REEKS C

26 Teken de hoek a zonder de hoek te meten.

Tip: gebruik de formules voor sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek.

a) a = 30º

Proefversie©VANIN

b) a = 60º

c) a = 45º

Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft.

Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af.

Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen.

De stralen gaan in een andere richting verder.

De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof.

Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.

Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt

sin sin ^ i ^ r = n n B A

Proefversie©VANIN

waarbij:

^

i = de invalshoek

^

r = de brekingshoek

nA = de brekingsindex van stof A

nB = de brekingsindex van stof B

Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.

Enkele voorbeelden stof vacuüm lucht water glas diamant

27 Vul de tabel aan.

Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1.

^ i overgang van ... berekeningen ^ r

a) 10º lucht naar water

b) 15º lucht naar glas

c) 20º glas naar diamant

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

3.2.1 Inleiding

In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens:

• de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is),

• de lengte van de drie zijden.

Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven.

Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen.

In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan.

gegeven mogelijk niet mogelijk

a) de rechte hoek en een scherpe hoek r r

b) de rechte hoek en de schuine zijde r r

c) de rechte hoek en een rechthoekszijde r r

d) de rechte hoek en de twee scherpe hoeken r r

e) de rechte hoek en de beide rechthoekszijden r r

f) de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde r r

g) de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde r r

h) de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde r r

Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig? Eigenschap Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: A

Proefversie©VANIN

In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen. Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je:

de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek

de stelling van Pythagoras

de definities van goniometrische getallen

sin a = cos a = tan a =

3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules.

A B C c b a α β som van de scherpe hoeken a + b = 90º stelling van Pythagoras a 2 + b 2 = c 2

Proefversie©VANIN

sin a = a c cos a = b c tan a = a b

sin b = b c cos b = a c tan b = b a

Opmerking

Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.

A b a C B 5 35°

g = 90º a = 35º

c = 5 b a b

a + b = 90º

b = 90º – a

b = 90º – 35º

sin a = a c

a = c sin a

Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing β

gevraagd b a b

b = 55º

a = 5 ? sin 35º

a ≈ 2,9

cos a = b c

b = c cos a

b = 5 ? cos 35º

b ≈ 4,1

Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing

A 4 35° a CB c

β

g = 90º

a = 35º

b = 4 b a c

a + b = 90º

gevraagd

b a c

b = 90º – a

b = 90º – 35º

a = b tan a

a = 4 ? tan 35º

b = 55º tan a = a b

a ≈ 2,8 cos a = b c

c = cos a b

c = 4 cos 35°

c ≈ 4,9

Proefversie©VANIN

Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing

A

α

b 3 CB 5

β

g = 90º

a = 3

c = 5 a b b

sin a = a

c

gevraagd a b b

sin a = 3 5

a = 36º 52 12

cos b = a

c

cos b = 3 5

b = 53º 7 48

a 2 + b 2 = c 2

b 2 = c 2 – a 2

b = –22ca

b = 5– 3 22

b = 4

Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven figuur gegeven oplossing

g = 90º

a = 2,5

b = 4 a b c

tan a = a b

c

A 4 2,5

α CB

β

gevraagd a

b c

tan a = 2,5

4

a = 32º 0 19

tan b = b a

tan b = 4 2,5

b = 57 º 59 41

c 2 = a 2 + b 2

c = + 22ab

c = 2,5+ 4 22

c ≈ 4,7

Oefeningen

REEKS A

28 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC

Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1.

Proefversie©VANIN

29 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1.

Proefversie©VANIN

REEKS B

30 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01.

c) a = | AB | ≈

b = 34º 8 13 | BC | = 20,08 | AC | ≈

A CB β α

a) a = | AB | ≈

b = | BC | = 3,40 | AC | = 6,50

d) a = | AB | = 265,92

b = | BC | = 159,40 | AC | ≈

b) a = 54º 23 | AB | = 8,90

b = | BC | ≈ | AC | ≈

e) a = | AB | ≈

b = 21º 35 40 | BC | ≈ | AC | = 41,23

Proefversie©VANIN

31 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01 cm.

a) O ^ = 90º

Q ^ = 23º 45 29 | PQ | = 46,00

c) Q ^ = 90º

| OP | = 8,45 | PQ | = 5,10

b) P ^ = 90º

O ^ = 61º 52 14 | OQ | = 4,00

d) O ^ = 90º | OQ | = 6,50 |

32 Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1  nauwkeurig.

a) Een boom heeft een schaduw van 12 m.

De zon schijnt onder een hoek van 43º.

Hoe hoog is de boom?

Antwoord:

43°

12 m

c) Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?

12,6 m

Proefversie©VANIN

25 m

b) Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven.

Bereken de hellingshoek van die ramp.

4,6 m

6,1 m

Antwoord:

d) Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º.

Bereken de lengte van de ladder.

Antwoord:

Antwoord:

4,3 m

70°

Maak telkens eerst een schets.

a) De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot.

Hoe lang is de schaduw van die man?

Antwoord:

b) Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m. Hoe lang is die kabelbaan?

c) Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

d) Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?

Antwoord:

Antwoord:

34 Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig. 10

Proefversie©VANIN

Antwoord:

35 Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

36 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets.

a) Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.

Antwoord:

b) Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 115º.

c) Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

d) Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.

Antwoord:

Antwoord:

37 Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

38 Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm.

a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is.

b) Bereken de hellingshoek, op 1  nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn.

a)

b) Antwoord:

REEKS C

39 Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

40 Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.

Antwoord:

3.2.3 Toepassingen in de ruimte

Modeloefening 1

een kubus met ribbe 4 cm gevraagd

Bereken a op 1  nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De hoek a is

Modeloefening 2

een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm gevraagd

Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig. oplossing

antwoord

De hellingshoek a is

Oefeningen

REEKS A

41 Bereken de omtrek van n BGE op 0,01 cm nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 5 cm, b =

gevraagd de omtrek van n BGE

oplossing

Proefversie©VANIN

42 Bereken de hoek b op 1  nauwkeurig.

antwoord

De omtrek van n BGE is

cm en h = 7 cm

een balk met l = 3

gevraagd de hoek b

oplossing

antwoord

De hoek b is

REEKS B

43 Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

de hellingshoek a oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De hellingshoek a is

44 Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.

Antwoord:

45 Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1  nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.

Antwoord:

46 Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

REEKS C

47 Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm.

Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het?

Bepaal de hoek op 1  nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

48 Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 6 cm

gevraagd de hoek a

oplossing

antwoord

De hoek a is

STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek

3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek

voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + –  +

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde

schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde

aanliggenderechthoekszijde

tan a = sin cos a a

sin2 a + cos2 a = 1

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + –

De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met ICT. De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen.

Met ICT een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

KENNEN –  + – 

Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door:

• twee zijden en de rechte hoek,

• één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.

KUNNEN –  + – 

Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom.

In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

Problemen uit JWO

1. Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b

Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur).

De verhouding a b is gelijk aan …

Proefversie©VANIN

A) r 1,2 B) r 1,5 C) r 1,8 D) r 2 E) r 2,4

JWO, editie 2010, eerste ronde

2. Onze leerkracht LO daagde onze klas uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, op voorwaarde dat er, naast het startpunt, dat ook het eindpunt is, nog vier stopplaatsen zouden zijn onderweg. De leerkracht maakte daarop een plan met verschillende routes die we zouden kunnen volgen. Hiernaast zie je een vereenvoudigde voorstelling van het plan

(startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km).

We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was. Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?

A) r Van S naar A over 27 km. D) r Van C naar D over 27 km.

B) r Van A naar B over 23 km. E) r Van D naar S over 28 km.

C) r Van B naar C over 26 km.

JWO, editie 2011, eerste ronde

3. Als p + q = 12, dan is p 2 + q 2 + 2p + 2q + 2pq gelijk aan …

A)

JWO, editie 2012, eerste ronde

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN