Pienter 3 - XL 5u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 & 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 2 De reële getallen

Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen

Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies

Hoofdstuk 6 Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

Hoofdstuk 7 Gelijkvormigheid

Hoofdstuk 8 Eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 9 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 10 Vectoren

Hoofdstuk 11 Stelsels van vergelijkingen

Hoofdstuk 12 De cirkel

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren

1.1.1 Op onderzoek

Vul de tabel verder in.

Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?

1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek bestaat uit

• twee rechthoekszijden : en (vormen een rechte hoek)

Proefversie©VANIN

• een schuine zijde of hypothenusa :

1.1.3 De stelling van Pythagoras

Stelling

Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde

Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, a

die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je pythagorische drietallen. Het eenvoudigste pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.

De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.

Proefversie©VANIN

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

De 3-4-5-regel

Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.

• Bind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden.

• Vorm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft.

• Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.

Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.

In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.

De pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken.

De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.

De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan

1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen.

De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten.

Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid.

Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.

Oefeningen

REEKS A

1 Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. abc

Proefversie©VANIN

2 Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)

REEKS B

3 Onderzoek of de driehoek met gegeven zijden rechthoekig is.

zijden

4 Toon zonder geodriehoek aan dat a ' b.

5 Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.

a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm

rechthoekszijde: 80 cm = 4 20 cm

rechthoekigniet rechthoekig

c) rechthoekszijde: 12 dm =

rechthoekszijde: 16 dm =

schuine zijde: schuine zijde:

b) rechthoekszijde: 15 m =

rechthoekszijde: 20 m =

Proefversie©VANIN

d) rechthoekszijde: 90 mm =

rechthoekszijde: 120 mm =

schuine zijde: schuine zijde:

6 Toon aan zonder te meten.

a) Parallellogram PLAK is een rechthoek. b) Parallellogram KLAP is een ruit.

7 Los op.

a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?

Antwoord:

b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

REEKS C

8 Primitieve pythagorische drietallen zijn pythagorische drietallen die geen natuurlijke veelvouden zijn van andere pythagorische drietallen.

Voorbeeld: 9, 12 en 15 zijn een pythagorisch drietal, maar niet primitief.

Enkele van de kleinste primitieve pythagorische drietallen zijn:

34551213815177242594041123537

Om zelf primitieve pythagorische drietallen op te stellen, ga je als volgt te werk.

Kies twee natuurlijke getallen m en n, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0.

a = 2mnb = m 2 − n 2

c = m 2 + n 2

Proefversie©VANIN

Voorbeeld

Stel m = 5 en n = 3

a =

b =

c = Controle: Bewijs.

gegeven

m en n zijn natuurlijke getallen, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0

a = 2mn

b = m 2 − n 2

c = m 2 + n 2

te bewijzen

a 2 + b 2 = c 2

bewijs

9 Stel pythagorische drietallen (a, b, c) samen als je weet dat a = 2mn, b = m² - n² en c = m² + n² (met m, n ∈ n0 en m > n). abc

a)42 b)

9 c) 34

Proefversie©VANIN

10 Voor de grondplaat van een tuinhuis maakt Brent een houten bekisting. Daarbij is het erg belangrijk dat de hoeken recht zijn. Brent maakt daarvoor gebruik van een vouwmeter (maximale lengte 2 m) en een timmermanspotlood.

Hoe gaat Brent te werk om een rechte hoek uit te zetten? Maak een stappenplan en maak daarbij een schets.

rechthoek ABCD te bewijzen

Voor elk punt P binnen de rechthoek geldt: |AP | 2 + |PC | 2 = |BP | 2

Proefversie©VANIN

12 In een parallellogram is de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk aan de som van de kwadraten van de zijden. Bewijs.

tekening

gegeven te bewijzen

bewijs

Proefversie©VANIN

besluit

1.2.1 De stelling van Pythagoras

Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C

Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek.

Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.

Proefversie©VANIN

De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2

De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is

In symbolen:

1.2.2 De Pythagorasboom

1) Teken een willekeurig vierkant.

2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant.

3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek.

4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant.

5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.

Proefversie©VANIN

Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.

De boom van Pythagoras noem je een fractaal.

Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen:

• zelfgelijkvormigheid: binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug;

• oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.

Proefversie©VANIN

REEKS B

15 De oppervlakte van de halve cirkel op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de halve cirkels op de rechthoekszijden. Verklaar.

Proefversie©VANIN

REEKS C

16 De ‘maantjes van Hippocrates’ worden gevormd door een rechthoekige driehoek en drie halve cirkels met diameter a, b en c. Toon aan dat de som van de oppervlakten van de maantjes gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

tekening gegeven

• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c

• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.

een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c te bewijzen

Proefversie©VANIN

a 2 + b 2 = c 2

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen:

oppervlakte groot vierkant=oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken

⇓ definitie oppervlakte vierkant en driehoek

(a + b) 2 = c 2 + 4 ? ab 2

⇓ merkwaardig product en breuken vereenvoudigen

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab

⇓ eigenschappen gelijkheden

a 2 + b 2 = c 2

besluit

a 2 + b 2 = c 2

De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde.

Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen voor die stelling bekend.

Oefeningen

REEKS A

17 Bewijs de stelling van Pythagoras.

tekening gegeven

p Q RqP r te bewijzen bewijs

Proefversie©VANIN

REEKS B

18 Bewijs de stelling van Pythagoras.

tekening

gegeven b a a a c c

cA C B c b b ba te bewijzen

bewijs

Proefversie©VANIN

besluit

19 Vul het bewijs voor de stelling van Pythagoras aan. tekening gegeven ca ab b A CB c te bewijzen bewijs besluit

Proefversie©VANIN

REEKS C

20 Bewijs de stelling van Pythagoras.

tekening

AED BC ac b

bewijs

1) Constructie:

gegeven

vierkant ABCD punt E op een zijde van het vierkant driehoek ABE: |AB | = a, |AE | = b en |BE | = c

te bewijzen

Proefversie©VANIN

r(B, 90º) (ABE) = CBE vierhoek EBED diagonaal EE

AED BC ac b E’

2) Bewijs met oppervlakte:

1.4 Rekenen met Pythagoras

1.4.1 Inleiding

Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken.

Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn.

Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen.

80 cm

cm

150 cm

Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.

200 cm

300 cm

Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.

1.4.2 Algemeen

De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.

Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn.

1.4.3 Voorbeelden

In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang.

Hoe lang is de schuine zijde?

(op 0,1 nauwkeurig)

Proefversie©VANIN

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm.

Hoe lang is de andere rechthoekszijde?

(op 0,1 nauwkeurig)

Oefeningen

REEKS A

21 Bereken x op 0,01 nauwkeurig.

22 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken.

rechthoekszijderechthoekszijde bewerkingen schuine zijde

a) a = 4 cm b = 7 cm c = c ≈

b) a = 1,2 dm b = 0,8 dm c = c ≈

Proefversie©VANIN

23 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de tweede rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken.

rechthoekszijdeschuine zijde bewerkingen rechthoekszijde

a) b = 3 cm c = 4 cm a = a ≈

b) b = 1,5 dm c = 2,7 dm a = a ≈

24 Bereken x op 0,01 nauwkeurig. a)

25 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c

REEKS B

26 Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

27 Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.

Antwoord:

28 Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.

Antwoord:

29 Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep.

Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad.

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

30 Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen.

Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord: De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.

31 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.

Antwoord:

32 De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm.

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.

Antwoord:

33 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

34 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.

Antwoord:

35 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.

Antwoord:

36 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

37 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.

Antwoord:

38 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel door de hoekpunten van een vierkant met een zijde van 4 m. 4 m

Antwoord:

39 Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten).

Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

40 De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm.

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

41 Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw. Hoe hoog is dat gebouw?

Antwoord:

REEKS C

42 De grootte van een tv-scherm wordt meestal uitgedrukt in inches. De opgegeven maat is de lengte van de diagonaal. Een 16:9-scherm (de lengte en de breedte verhouden

zich als 16 en 9) heeft een diagonaal van 42 inches (105 cm).

Bereken de lengte en de breedte. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

Antwoord:

43 Bij kitesurfing word je voortgetrokken door een kleine parachute. De parachute bevindt zich op een horizontale afstand van 10 m van de surfer. Door een veranderende wind daalt de parachute 7 m en wordt de horizontale afstand tot de surfer 9 m groter.

Op welke hoogte bevond de parachute zich oorspronkelijk? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

44 Bereken de oppervlakte van de willekeurige  ABC zonder te meten.

Bepaal je antwoord op 0,01 cm² nauwkeurig. De drie zijden zijn gegeven.

Tip: stel |CD | = x, dan is |BD | =

Antwoord: Proefversie©VANIN

45 De oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken op de rechthoekszijden. Verklaar.

Proefversie©VANIN

1.5 Constructies

1.5.1 Constructie van een schuine zijde

Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm.

Stel 13 = 4+ 9 = 2+ 3 22 , dan is c = + 22ab met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm. a

Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm.

Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt.

Stap 3: Verbind de vrije grenspunten. Het gevonden lijnstuk c is 13 cm.

1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde

Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm.

Stel 12 = 16 –4 = 4– 2 22 , dan is a = –22cb met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.

Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt.

Stap 3: Verbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.

Het gevonden lijnstuk a is 12 cm.

Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.

1.5.3 Toepassing

• Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1.

• De schuine zijde is dan 1+ 1 22 = 2

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

• De schuine zijde van die driehoek is 2+ 1 2 2 () = 3

Proefversie©VANIN

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

•

Oefeningen

REEKS A

46 Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 20 cm.

b) een lijnstuk van 10 cm.

Proefversie©VANIN

47 Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 7 cm.

b) een lijnstuk van 5 cm.

REEKS B

48 Construeer

a) een lijnstuk van 11 cm.

b) een lijnstuk van 17 cm.

49 Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm.

a)via de schuine zijde

b)via een rechthoekszijde

50 Bereken de andere rechthoekszijde.

Proefversie©VANIN

Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren.

Construeer

a) een lijnstuk van 5 cm.

b) een lijnstuk van 8 cm.

1.6 Afstand tussen twee punten

1.6.1 De afstandsformule

Bereken de afstand tussen A (2, 4) en B (6, 2).

Bereken de afstand tussen A (xA , yA ) en B (xB , yB ). y

Formule

Proefversie©VANIN

Construeer het punt C als snijpunt van een horizontale rechte door B en een verticale rechte door A.

In driehoek ABC geldt:

|AB|² = |BC|² + |AC|² (stelling van Pythagoras)

afstand tussen C en B:

| CB | = | 6 – 2 |

afstand tussen A en C:

| AC | = | 2 – 4 |

| AB | 2 = =

| AB | = | CB | = | xB – xA | | AC | = | AB | 2 = = | AB | =

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt:

| AB | = (– )+ (– ) 22 xxyy BABA

Voorbeeld

Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5).

| AB | = =

1.6.2 Bijzondere gevallen

Afstand van een punt tot de oorsprong x y O

co(O) = (0, 0) co(A) = (xA , yA )

| OA | = xy(– 0) +( –0) 22

AA

= x A 2 + yA 2

A (xA , yA )

Algemeen Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = + 22xyAA .

Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat

Ox y

A (xA , yA )

B (xB , yB )

co(A) = (xA , yA ) co(B) = (xB , yB )

= (xA , yB ) (xB=xA )

| AB | = xxyy(– )+ (– ) 22 AABA

= yy 0+ (– )2 BA

= yy(– )2 BA

= –yyBA

Algemeen Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.

Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat x y

A (xA , yA )

B (xB , yB ) O

co(A) = (xA , yA ) co(B) = (xB , yB )

= (xB , yA ) (yB=yA )

| AB | = xxyy(– )+ (– ) 22 BAAA

= xx(– )+ 0 2 BA

= xx(– )2 BA

= –xx BA

Algemeen Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.

Voorbeelden

co(O) = (0, 0) en co(A) = (5, –2)

| OA | =

co(A) = (2, 1) en co(B) = (2, –2)

| AB | =

co(A) = (–2, 1) en co(B) = (3, 1)

| AB | =

Oefeningen

REEKS A

51 Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur.

52 Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.

a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2)

I AB I =

b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7)

I OC I =

c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)

I DE I = d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)

I FO I = e) [GH] met co(G) = (7, −3) en co(H) = (−7, 3)

I GH I = f) [OI] met co(O) = (0, 0) en co(I) = (0, −6)

I OI I = REEKS B

53 Teken de driehoek LAT en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. co(L) = (4, –2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)

54 De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn.

Alle trajecten zijn recht.

De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen:

co(A) = (1, 2)

co(B) = (6, 3)

Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?

co(C) = (4, 11)

Antwoord:

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

55 Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen:

co(X) = (5, 4)

co(Y) = (−6, 2)

Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?

co(Z) = (−4, −3)

Antwoord:

56 Een full hd monitor heeft een resolutie van 1 920 bij 1 080 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800).

Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.

Antwoord:

57 Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen:

co(D) = (1, 3)

co(E) = (2, −1)

Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.

co(F) = (−2, 1)

Antwoord:

Proefversie©VANIN

58 De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km.

Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? Rond af op 0,1 km.

Niels bevindt zich hier

Brugge

Roeselare

Antwoord:

Gent

Turnhout

Antwerpen

Mechelen

Aalst

Brussel

Hasselt Liège

Mons Charleroi

Arlon Namur

Marche-en-Famenne

REEKS C

59 Het punt P met co(P) = (x P , y P ) voldoet aan de volgende voorwaarde: ( x P – 5) 2 + (y P

a) Omschrijf de ligging van het punt P in het assenstelsel.

b) Geef twee verschillende punten P die aan de voorwaarde voldoen. co(P1 ) = ( , ) en co(P2) = ( , )

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

c) Hoeveel verschillende punten P voldoen aan die voorwaarde?

d) Bepaal met ICT alle punten die aan de gegeven voorwaarde voldoen. Stel die punten voor in het assenstelsel. Wat stel je vast?

1.6.3 De vergelijking van een cirkel

Definitie van een cirkel

Alle punten P die zich op eenzelfde afstand r van het punt M bevinden, liggen op een cirkel met middelpunt M en straal r

Notatie

c(M,r) of c(M,|PM|)

Definitie Een cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.

Vergelijking van een cirkel

Voorbeeld

Proefversie©VANIN

Een punt P(x,y) ligt op de cirkel c(M, 2) als en slechts als

|MP|=+ –3)2 (x–4)(y2 = 2

De voorwaarde voor het punt P om op de cirkel c(M,2) te liggen, kun je ook noteren als :

P(x,y) ∈ c(M,2) ⇔ (x–3)2+(y–4)2 = 4

Deze voorwaarde noem je de vergelijking van de cirkel c(M, 2)

Notatie

c(M,2) ↔ –+ 3)2 (x–4)(y2 = 4

↔ lees je als: heeft als vergelijking

A(5, 4) ligt op de cirkel want –+ 3)2 (5–4)(42 = 4

B(3,1) ligt niet op de cirkel want –+ 3)2 (3–4)(12 = 9 ≠ 4

Algemeen

Een vergelijking van de cirkel c(M,r) met co(M)=(xM,yM) noteer je als:

c(M,r) ↔ –+x)(Mx–y) (My=r 2

Elk punt P(x,y) dat aan deze voorwaarde voldoet, behoort tot de cirkel c(M,r)

Oefeningen

REEKS A

60 Stel de vergelijking op van de cirkel met gegeven middelpunt en straal.

middelpuntstraal

a)M(4 , 7)r = 8

b)M(-8 , 5)r = 2

c)M(0, 0)r = 7

d)M(-6, 0)r = 3

e) M 3 8 ,2 r = 5

REEKS B

vergelijking

Proefversie©VANIN

61 Bepaal de coördinaat van het middelpunt en de straal van de cirkel met gegeven vergelijking.

vergelijking middelpunt straal

a)(x – 7)2 + (y – 4)2 = 49

b)(x – 2)2 + y 2 = 4

c)x2 + y 2 = 36

d)(x – 1)2 + (y + 8)2 = 9

e)x2+ (y+0,8)2 = 7

62 Duid de punten aan die op de cirkel c(M, r) ↔ (x – 4)2 + (y + 2)2 = 25 liggen.

r A(1,3) r C(-1,-2)

r B(9,2)

r D(1,-6)

r E(1,2) r G(0,1)

r F(8,-5)

r H(9,0)

63 Bepaal de vergelijking van de gegeven cirkel.

64 Punt A behoort tot de cirkel c(M, r). Bepaal het ontbrekende coördinaatgetal van A.

a) c(M,r) ↔ x 2 +y 2 = 169

A(x, 12)

Proefversie©VANIN

b) c(M,r) ↔ (x– 3)2+(y– 2)2 = 4

A(3, y)

65 Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M die het punt P bevat.

a) middelpunt: M(3,7) punt van de cirkel: P(9,−1)

b) middelpunt: M(0,0) punt van de cirkel: P(8,15)

c) middelpunt: M(5,−12) punt van de cirkel: P(−2,−3)

Proefversie©VANIN

66 Gegeven: c (M, r) ↔ (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 20

a) Bepaal de vergelijking van de cirkel c(A,r) met dezelfde straal als c(M,r) waarbij co(A)=(−2,5).

b) Bepaal de afstand tussen de middelpunten van de cirkels c(M,r) en c(A,r). Rond af op 0,01.

67 Liggen de punten A (−6, 3), B(3, 6) en C (−1, 1) op eenzelfde cirkel met middelpunt M (−2, 6)? Controleer je antwoord met ICT.

1.7 Pythagoras in de ruimte

1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus

gegeven

een kubus met ribbe 4 cm

gevraagd

AD

Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing

antwoord

De diagonaal is

1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak

Elke ribbe is 4 cm.

gevraagd

Bereken de hoogte |EH| op 0,01 nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De hoogte is GeoGebra

Oefeningen

REEKS A

68 Bereken. H FG E D BC A h l b gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd

| DF | oplossing antwoord

| DF | =

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

69 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

F E

D BC A gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm

gevraagd

| AE | oplossing antwoord

| AE | ≈

REEKS B

70 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. FG

een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm

M is het midden van [AE ].

N is het midden van [FG ].

gevraagd

| MN |

oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

| MN | ≈

71 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. D

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm

gevraagd

de omtrek van CEG

oplossing

antwoord

De omtrek van CEG is

72 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

73 Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?

Antwoord:

74 Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?

Antwoord:

75 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig.

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm

gevraagd

de oppervlakte van BGE oplossing antwoord

De oppervlakte van BGE is

Proefversie©VANIN

76 Bewijs.

gegeven

een balk met ribben l, b en h te bewijzen

| DF | = lb++ 22 2h bewijs besluit

| DF | = lb++ 22 2h

In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l 2 + b 2

77 Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde a en opstaande ribbe b.

a) Stel een formule op om de hoogte h van de piramide te berekenen.

Proefversie©VANIN

b) Bereken het volume van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 4 cm en een opstaande ribbe van 7 cm. Bepaal je antwoord op 0,01 cm3 nauwkeurig.

78 Snijd je van een kubus een hoek af, dan verkrijg je een viervlak. Dat viervlak bestaat uit een willekeurige driehoek en drie rechthoekige driehoeken. Er bestaat een merkwaardig verband tussen de oppervlakten van die driehoeken. Bewijs dat verband. tekening

bewijs besluit

Proefversie©VANIN

STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + –

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

KUNNEN –  +

De stelling van Pythagoras formuleren en toepassen.

1.2 Meetkundige voorstellingen

KUNNEN –  + – 

Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.

Toepassingen op meetkundige voorstellingen van de stelling van Pythagoras verklaren.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

De stelling van Pythagoras bewijzen.

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  +

De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.

1.4 Rekenen met Pythagoras

KUNNEN –  +

Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen.

De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.

1.5 Constructies

KUNNEN –  +

Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.

1.6 Afstand tussen twee punten

KENNEN –  + – 

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = xxyy(– )+ (– ) 22 BABA

Afstand van een punt tot de oorsprong.

Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = + 22xyAA

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.

Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM,yM) en straal r: c(M,r) ↔ (x-xM)²+(y-yM)²=r²

KUNNEN –  + – 

De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.

De vergelijking van een cirkel met gegeven middelpunt en straal opstellen.

1.7 Pythagoras in de ruimte

KUNNEN –  +

De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.

Proefversie©VANIN

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen

2.1.1 Inleiding

= euro = euro = euro = euro = euro = euro = euro = euro

De waarde (in euro) is een rationaal getal.

Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven:

• Voorbeelden:

• Voorbeelden:

2.1.2 Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze

Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer.

2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen

decimaal getal decimale vorm

zuiver repeterend gemengd repeterend 29

20 =

Een decimaal getal is een begrensd kommagetal. 5 11 =

Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.

Afspraken

Proefversie©VANIN

Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.

• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die herhaald wordt.

Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76

• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode.

Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845

• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes.

• Begin de periode zo vroeg mogelijk.

• Houd de periode zo kort mogelijk.

2.1.4 Een decimale schrijfwijze omzetten naar een breuk

Decimale getallen

voorbeeld werkwijze

1,65 = 165 100

= 33 20

Stap 1: Noteer het getal als een breuk:

• de teller is het getal zonder komma;

• de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma

voorbeeld werkwijze

0,454 5... = 45 99 = 5 11

Proefversie©VANIN

Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk:

• de teller is de periode;

• de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma

voorbeeld werkwijze

2,33...

= 2 + 0,33...

= 2 + 3 9

= 2 + 1 3

= 6 3 + 1 3

= 7 3

Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.

Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk:

• de teller is de periode;

• de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Stap 4: Maak het geheel getal en de breuk gelijknamig.

Stap 5: Bepaal de som van de breuken.

Gemengd repeterende decimale vormen

voorbeeld

2,161 212...

= 216,121 2... 1 100

= (216 + 0,121 2...) ? 1 100

= 216 + 12 99 1 100

werkwijze

Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.

Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.

Proefversie©VANIN

= 7132 3300

= 1783 825

Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Een repeterende decimale vorm omzetten naar een breuk: alternatieve methode

Om een decimale vorm om te zetten naar een breuk moet je minstens 8 keer de periode ingeven.

Oefeningen

REEKS A

1 Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan.

decimaal getal zuiver repeterende decimale vorm gemengd repeterende decimale vorm

a)0,845 ❒ ❒ ❒

b)0,88... ❒ ❒ ❒

c)1,141 4 ❒ ❒ ❒

d)3,243 624 36... ❒ ❒ ❒

e)8,254 4... ❒ ❒ ❒

f)16,232 322... ❒ ❒ ❒

g)8,07 ❒ ❒ ❒

h)781,787 8... ❒ ❒ ❒

i)0,478 925 925... ❒ ❒ ❒

j)18,145 656 ❒ ❒ ❒

2 Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze.

a)0,29 = e)0,325 =

b)0,4 =

f)1,18 =

c)2,7 = g)0,036 =

d)1,25 = h)4,064 =

Proefversie©VANIN

a)0,77... =

b)0,151 5... =

c)0,090 9... =

d)0,117 117... =

e)0,030 030... =

f)1,55... =

g)2,181 8... =

h)4,531 531... =

a)0,144...

b)1,257 878...

c)18,733...

REEKS B

7 Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. a)2,131

Proefversie©VANIN

8 Bepaal de periode van de zuiver repeterende decimale vormen.

9 Toon aan dat 0,99... = 1.

Proefversie©VANIN

10 Bepaal de som 2,366... + 5,633... zonder rekenmachine.

REEKS C

11 Bepaal het gevraagde cijfer.

a) het 100e cijfer na de komma in 5,123 123...

b) het 500e cijfer na de komma in de decimale vorm van 10 41

c) het 2 000e cijfer na de komma in de decimale vorm van 4 15

d) het 850e cijfer na de komma in 178,347 979 879 8...

2.2 Vierkantswortels

2.2.1 Inleiding

2.2.2 Definitie

Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2

Bereken de lengte van een zijde van een tegel.

Definitie Vierkantswortel van een positief getal

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

In symbolen

b is een vierkantswortel van a ⇔ b 2 = a(meta ∈ q+enb ∈ q)

Opmerking

Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?

2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal

positieve vierkantswortel

• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

( )2 = 81

• Besluit: noem je de positieve vierkantswortel van 81.

• Notatie:

81 =

Besluit

Proefversie©VANIN

negatieve vierkantswortel

• Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

( )2 = 81

• Besluit: noem je de negatieve vierkantswortel van 81.

• Notatie:

– 81 =

• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn: – de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a

– de negatieve vierkantswortel van a is − a

• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf.

• Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels.

Oefeningen

REEKS A

12 Bereken zonder rekenmachine.

a) 25 = f) 144 =

b) ––100 = g) 0,25 =

c) 169 = h) ––6 400 =

d) ––1 = i) 0,81 =

e) ––625 = j) 0,04 =

Proefversie©VANIN

13 Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

a) 5 ≈ f) 98741 ≈

b) ––3 ≈ g) ––158 ≈

c) 490 ≈ h) ––965 ≈

d) ––2 ≈ i) 147,2 ≈

e) 1 258 ≈ j) ––954,26 ≈

14 Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.

ligt tussen de gehele getallen ... verklaring

a) 32 en b) 250 en

c) ––12 en d) ––184 en

REEKS B

15 Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig.

a)de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt

c)de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2

b)de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2

d)de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2

Proefversie©VANIN

16 Los de vergelijkingen op.

a) x 2 – 25 = 0

x 2 = 25

x = –25 of x = 25

x = –5 of x = 5

De oplossingen –5 en 5 noteer je in de oplossingsverzameling V = {–5, 5}.

d)5x 2 = 180

b) x 2 + 7 = 71 e)3x 2 – 63 = 300

c) x 7 2 = 28

f) x 3 2 +14 = 62

De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874).

Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut.

De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal = 2 BMIm l

Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25.

Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar.

Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.

Proefversie©VANIN

17 Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m.

a) BMI = 24 m = 78 kg

b) BMI = 20 m = 60 kg

c) BMI = 28 m = 94 kg

d) BMI = 18 m = 50 kg

Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’

Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel.

Stel: r is de straal van de cirkel.

x is de zijde van het vierkant.

Dan: x 2 =  ? r 2

18 Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.

REEKS C

19 Inthe en Ruben zijn op zoek naar een geschikt stuk bouwgrond. Tijdens een wandeling zien ze op een stuk grond een bordje met de onderstaande gegevens. Bij navraag in de buurt komen ze enkel te weten dat de aanpalende stukken vierkant zijn. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond dat te koop is, op 0,01 m2 nauwkeurig.

657m 2

Lot1

TE

KOOP

Lot2

985m 2

Lot3

Proefversie©VANIN

l m

Een ‘wiskundige slinger’ bestaat uit een massa m die aan een staaf of kabel hangt met lengte l en waarvan de massa verwaarloosbaar is. Als de massa uit haar evenwichtstoestand wordt gebracht en daarna losgelaten, zal die heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht.

De periode van de slinger is de tijd die de massa nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen.

Er geldt: T = 2 l g .

T is de periode in seconden, l is de lengte van de slinger in meter en g is de valversnelling in m/s 2 (de toename van de snelheid van een vallend voorwerp, per seconde, onder invloed van de zwaartekracht).

20 Van een wiskundige slinger met lengte 4 m wordt de periode gemeten. Die bedraagt 4,014 s. Bepaal daaruit een benaderde waarde, op 0,01 nauwkeurig, voor de valversnelling.

21 De valversnelling op de maan is zes keer kleiner dan de valversnelling op de aarde. Wat zal de invloed daarvan zijn op de periode van een slinger op de maan ten opzichte van eenzelfde slinger (massa en lengte zijn gelijk) op aarde?

2.3 De reële getallen

2.3.1 Getallen die je al kent

Definitie

Natuurlijk getal

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

5 is een natuurlijk getal.

Notatie: 5 ∈ n

Lees: 5 is element van n

2.3.2 Uitbreiding getallen

Irrationale lengten

Geheel getal

Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.

−3 is een geheel getal.

Notatie: −3 ∈ z

Rationaal getal

Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.

Lees: −3 is element van z 3 4 is een rationaal getal.

Notatie: 3 4 ∈ q

Lees: 3 4 is element van q

Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.

Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.

❒ natuurlijk getal ❒ geheel getal ❒ rationaal getal

De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?).

Irrationale getallen

Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode

Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen.

Je noemt ze irrationale getallen

Definitie Irrationaal getal

Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode.

Voorbeelden:

Proefversie©VANIN

456

2.3.3 Bewijs: 2 is irrationaal

Vermoeden

Bij het berekenen van 2 ontdek je geen periode. Dat laat vermoeden dat 2 een irrationaal getal is. Je stelt een bewijs op, waarbij je aantoont dat 2 een irrationaal getal is.

Bewijs uit het ongerijmde

Ofwel is 2 rationaal, ofwel is 2 irrationaal. Andere mogelijkheden zijn er niet.

Veronderstel dat 2 rationaal is. Als je kunt aantonen dat dat onmogelijk is, dan is 2 irrationaal. Zo’n bewijsvorm noem je een bewijs uit het ongerijmde

bewijs

Stel: 2 is een rationaal getal.

⇓ definitie rationaal getal

2 = a b onvereenvoudigbare breuk (a, b ∈ n, b ≠ 0)

⇓ rekenen in q

2 = a b 2

⇓ rekenen in q

2 = a 2 b 2

⇓ rekenen in q

2b 2 = a 2 (1)

Uit (1): 2b 2 = a 2

⇓ definitie even

a 2 is even grondtal van een even kwadraat is even

⇓

a is even (2)

⇓

Aangezien a even is, kun je a schrijven als 2n

⇓

a = 2n (n ∈ n) (3)

Proefversie©VANIN

besluit

a b

→ even (uit (2)) is vereenvoudigbaar

→ even (uit (4))

2b 2 = (2n) 2 (uit (1) en (3))

⇓ rekenen in q

2b 2 = 4n 2

⇓ rekenen in q

b 2 = 4 2

2 n

⇓ rekenen in q

b 2 = 2n 2

⇓ definitie even

b 2 is even grondtal van een even kwadraat is even

⇓

b is even (4)

⇓ a b is een onvereenvoudigbare breuk

De veronderstelling is foutief.

2 is een irrationaal getal.

2.3.4 Rationale en irrationale vierkantswortels

rationale vierkantswortels

• 121 =

• 1 4 =

• 6,25 =

Besluit

irrationale vierkantswortels

• 32 =

• 5 4 =

• 10,02 =

Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel

• een rationaal getal als uitkomst.

Voorbeelden:

• een irrationaal getal als uitkomst.

Voorbeelden:

2.3.5 Reële getallen

De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen

Definitie Reëel getal

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De verzameling van de reële getallen noteer je als r

2 is een reëel getal. Notatie: 2 ∈ r Lees: 2 is element van r

Plaats de getallen in het venndiagram.

7,2537

–2,42,345…

–7 0,22…

–6

Proefversie©VANIN

Enkele bijzondere deelverzamelingen van r:

r0 : de reële getallen zonder 0

r+ : de positieve reële getallen

r – : de negatieve reële getallen

De irrationale getallen bevinden zich in r, maar niet in q:

2.3.6 Absolute waarde van een reëel getal

Definitie Absolute waarde

De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min).

Voorbeelden: –3 = 0, 12345 = – =

2.3.7 Tegengestelde van een reëel getal

Definitie Tegengestelde

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

Voorbeelden: –(–2 ) = –(+) = –(–1,246...) =

2.3.8 Omgekeerde van een reëel getal

Definitie Omgekeerde

Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).

Voorbeelden: 1 2 –1 = ()–1 = (–17 )–1 =

Proefversie©VANIN

Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van  te onthouden: de piphilologie.

Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992):

'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!'

In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal  : 3,141 592 653 589 79.

Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal  onthouden:

'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'

In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal  gelijkgesteld moest worden aan 3,2.

Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet.

Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij.

Door de ‘uitvinding’ van  = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen.

De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid

van een wiskundige: deze wees op de fouten die Goodwin gemaakt had om tot  = 3,2 te komen.

Oefeningen

REEKS A

22 Plaats de getallen in het venndiagram.

a)–12c)1,5e)0,33...g) –1 3 i)154k) 12

b)0 d) 3 4 f) –5 h)–1,232 3...j)5,024 6...l)–5 n z q r

23 Noteer de passendste getallenverzameling. Kies uit n, z, q of r

a)−5 ∈ f)1,232 3... ∈ k)  ∈

b)0,23 ∈ g)−1,5 ∈ l)0,047 47... ∈

c)4 585 ∈ h) –3 7 ∈ m)−8,113 ∈

d)0,135 79... ∈ i) 6 ∈ n) –2 ∈

e) 1 6 ∈ j)99 ∈ o) 1 3 ∈

24 Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal?

rationaalirrationaal

rationaalirrationaal

a)1,233... ❒❒ g) –7 ❒❒

b)1,234 5... ❒❒ h) 1 5

c) 

❒❒ i) 2

❒❒

❒❒

d) 100 ❒❒ j)–473 ❒❒

e)7 890

❒❒ k) 625

f)–8,5 ❒❒ l) –2 3

❒❒

REEKS B

25 Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort.

0,440,44...

❒❒❒❒❒❒❒❒❒❒ n

❒❒❒❒❒❒❒❒❒❒ z ❒❒❒❒❒❒❒❒❒❒ q

❒❒❒❒❒❒❒❒❒❒ r

Proefversie©VANIN

26 Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje.

A (m2) zijde rationaal zijde irrationaal A (m2) zijde rationaal zijde irrationaal

a)81

❒❒ f)3 487 ❒❒

b)348 ❒❒ g)144 ❒❒

c)8 792 ❒❒ h)99 ❒❒

d)3 136 ❒❒ i)11 025 ❒❒

e)484 ❒❒ j)14 972 ❒❒

27 Schrijf zonder absolutewaardeteken.

a) –7 = d) – –3 7 = g) 1– 2 =

b) 0,85 = e) 1– ,233 = h) –5 +1 2 =

c) –3 = f) = i) –3– 7 4 =

28 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

a)–(–8) = d) –() –11 =

b) –( 2 ) = e)–(+1,455...) =

c) –() = f) 5 2 =

29 Bepaal het omgekeerde van de reële getallen.

Schrijf je antwoord als een decimaal getal. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig.

a) 4 7 –1 = d) –1 4 –1 = g) (5 3 )–1 =

b)(–2)–1 = e)1,33...–1 = h) (–0,35)–1 =

c) ( 2 )–1 = f)12–1 = i) 7 6 –1 =

REEKS C

30 Vul de getallenverzameling in.

a) r  q = d) z \ n =

b) n  z = e) r +  q =

c) z+  z –= f) r \ r + =

Proefversie©VANIN

31 Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig. AB P

32 Een vierkantswortel uit een natuurlijk getal n (≠ 0) is altijd een natuurlijk getal of een irrationaal getal. Vul het bewijs uit het ongerijmde verder in. bewijs

Stel: n is een rationaal getal

⇓

n = a b (onvereenvoudigbare breuk) (a ∈ n, b ∈ n0)

⇓ kwadrateren

n = (onvereenvoudigbare breuk)

⇓

n ∈ n en is onvereenvoudigbaar dus b 2 =

⇓

b =

⇓

a b is een getal.

⇓

n is een getal.

⇓

Als n een rationaal getal is, dan is het een getal. besluit

33 Vul het best passende symbool in: ⇒ of ⇐ of ⇔. Maak zo de uitspraak waar. Geef een verklaring. verklaring

a) x = 5 x ∈ r

b) x ∈ r x ∈ q

c) –x ∈ r + x ∈ r –

d) x 2 ∈ r + x ∈ r–

Proefversie©VANIN

e) 1 x ∈ r + 0 x ∈ r + 0 Manuele berekening van een vierkantswortel

2.4 Irrationale getallen benaderen

2.4.1 Inleiding

Bereken 5

Rond af op het gegeven aantal decimalen.

• 0,01 :

• 0,001 :

• 0,000 1 :

Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel.

• 0,000 01 : ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 = = = =

Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm.

De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.

2.4.2 Afronden

Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing.

Voorbeeld

60 cm

60 cm x cm

2.4.3 Wortelvormen

Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.

Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren.

Definitie Wortelvorm

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Opmerking

• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan.

• Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten.

Voorbeelden

3

2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen

Interval

Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14h en 14h30 uur uit op een bank in het park.

De tijd tussen 14h en 14h30 uur noem je een tijdsinterval

Interval in r

Definitie Interval in r

Een interval in r is een ononderbroken verzameling van reële getallen.

Proefversie©VANIN

Soorten intervallen

soort interval omschrijving interval gesloten interval

{x ∈ r | −1 ⩽ x ⩽ 6} [−1, 6] open interval

{x ∈ r | −1 < x ⩽ 6}

{x ∈ r | −1 < x < 6} ]−1, 6[ halfopen interval

Irrationale getallen benaderen

Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort.

Opmerkingen

• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval.

• Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen.

Voorbeeld

35 ≈ 5,916 079 783 intervalbreedte

Oefeningen

REEKS B

34 Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm.

a) 32 = f) –33(–14) =

b) 17 0,5 = g) (– 4) 2,7 3 =

c) –2 8 = h) –0,12 (–12,8 ) =

d) 1 7 (– 4) = i) 1 8 –5 7 =

e) –3 4 7 = j) –12 15 –3 8 –1 =

35 Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

2,6 cm

3,2 cm

Proefversie©VANIN

afronding voor de controlemeting: meettoestel afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

36 Vul de tabel in.

omschrijving interval soort interval

a) {x ∈ r | 3 ⩽ x ⩽ 11}

b) {x ∈ r | –4 < x < 8}

c) {x ∈ r | –1,5 ⩽ x < –0,75}

d)

e)

]4, 16[

[1,7; 8,5]

f) –3 ,

37 In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen?

getal

Proefversie©VANIN

REEKS C

39 Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.

2.5 Reële getallen ordenen 2.5.1 Inleiding

2.5.2 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas

Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren.

Voorbeelden

Proefversie©VANIN

63

Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n

Stap 2: Splits dat tweede getal als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal.

Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.

Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.

Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas.

2.5.3 Abscis van een punt op de getallenas

Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas.

Definitie Abscis van een punt

De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

Notatie: ab(A) = 0,5 0 1 0,5 A r

Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk.

Besluit Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.

2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas

Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen:

• De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.

• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:

Proefversie©VANIN

• Bijzondere intervallen:

Opmerking

Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.

Oefeningen

REEKS A

40 Vul in met <, > of =.

41 n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n.

REEKS B

42 Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken.

Proefversie©VANIN

43 Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken.

38 = 38 =

44 Rangschik de irrationale getallen van klein naar groot. Met de bijbehorende letters op de ballonnen verkrijg je een woord.

Proefversie©VANIN

Je vindt het woord:

45 Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis.

ab(A) = 2 ab(C) = –3 ab(E) = 2,8 ab(G) = 7 ab(I) = 9

ab(B) = −1,5 ab(D) = 3 4 ab(F) = –7 3 ab(H) = –9 5 ab(J) = 25

0 1 r

46 Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.

a)

01 ABECD r

ab(A) = ab(B) = ab(C) = ab(D) = ab(E) = b)

01 GJFIH r

ab(F) = ab(G) = ab(H) = ab(I) = ab(J) =

47 Stel de intervallen voor op de getallenas.

STUDIEWIJZER De reële getallen

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen voor de leerling voor de leerkracht

KUNNEN –  + –

Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden.

De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden.

Decimale schrijfwijze omzetten naar breuk.

Breuk omzetten naar decimale schrijfwijze.

2.2 Vierkantswortels

KENNEN –  + –  +

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

KUNNEN –  + –  +

De vierkantswortels van een positief getal berekenen.

2.3 De reële getallen

Proefversie©VANIN

KENNEN – 

Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode.

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken.

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.

Getallen voorstellen in een venndiagram.

KUNNEN – 

De absolute waarde van een reëel getal bepalen.

Het tegengestelde van een reëel getal bepalen.

Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.

2.4 Irrationale getallen benaderen

KENNEN –  +

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Een interval in r is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.

Werken met intervallen.

KUNNEN – 

Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties.

Irrationale getallen benaderen met intervallen.

KENNEN

Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

Reële getallen ordenen.

KUNNEN –

Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.

Reële getallen voorstellen op een getallenas.

De invoering van de verzameling van de reële getallen uitleggen als een vervollediging van de getallenas.

De abscis van een punt op de getallenas bepalen. Intervallen voorstellen op een getallenas.

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 3 I

DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Proefversie©VANIN

3.1

Goniometrische getallen van een scherpe hoek

3.1.1 Hellingen

Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft.

Deel telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing. horizontale verplaatsing| AC | =50 mm| AE | = 70 mm| AG | = 100 mm

hoogteverschil | BC | = 10 mm| DE | = 14 mm| FG | = 20 mm

hoogteverschil horizontale verplaatsing BC AC = DE AE = FG AG =

Wat stel je vast?

Proefversie©VANIN

De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal

In het voorbeeld is het hellingsgetal

Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage

In het voorbeeld is het hellingspercentage

Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek.

Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.

Proefversie©VANIN

In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten.

In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.

Oefeningen

REEKS A

1 Vul de tabel in.

hoogteverschilhorizontale verplaatsinghellingsgetalhellingspercentage

a)2 m

b)10 m

c)150 m

d)270 m

m

m

km

km

Proefversie©VANIN

REEKS B

2 Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km.

Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.

Antwoord:

3 Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m. Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.

Antwoord:

4 Tijdens een fietstocht merkt Jana het volgende verkeersbord op. Hoeveel hoogteverschil zal Jana via die helling overwonnen hebben na een horizontale verplaatsing van 650 m?

Antwoord:

3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Algemeen

Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde.

Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een meer specifieke naam geven.

• De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.

• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.

Voorbeelden

Proefversie©VANIN

aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ] aanliggende rechthoekszijde van a : overstaande rechthoekszijde van a : [BC ] overstaande rechthoekszijde van a : aanliggende rechthoekszijde van b : aanliggende rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b :

Opmerking

a bc C A B α β

In driehoek ABC noem je

| AB | = c de lengte van de schuine zijde (sz) of hypothenusa;

| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van b;

| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van b;

| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van a;

| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van a

5 Juist of fout?

Proefversie©VANIN

a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ABC

b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in  BCD

c) [BC] is de schuine zijde in  BCD

d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in  ABC

e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in  BCD

f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ABC

g) [AC] is de schuine zijde in  ABC

h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ACD

i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in  ABC

j) [AB] is de schuine zijde in  ABC.

REEKS B

6 In welke driehoek geldt de uitspraak?

a)[HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H3

b)[AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2

c)[CL] is de schuine zijde.

d)[LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2

e)[LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C

f)[CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3

g)[NL] is de schuine zijde.

Proefversie©VANIN

h)[AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2

i)[NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N

j)[HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N

3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken

Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen. FD

Proefversie©VANIN

Vul de tabel verder in. Rond af op 0,1.

sz (mm) arz van a (mm) orz van a (mm) a orzvan sz a arzvan sz a a orzvan ar zvan

Wat stel je vast?

3.1.4 Definities

De verhoudingen van de lengten van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

Definitie Sinus Cosinus Tangens

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde .

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde . B α β c a

AbC

sin a = BC AB = a c

sin b = AC AB = b c

Voorbeelden

Proefversie©VANIN

3 cm

A CB α β 5 cm

4 cm

cos a = AC AB = b c

tan a = BC AC = a b

cos b = BC AB = a c tan b = AC BC = b a

sin a = BC AB = 4 5 = 0,8

cos a = AC

sin b =

AB = cos b =

tan a = tan b =

sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek te onthouden.

in = verstaande chuine s o s

os = anliggende chuine c a s an=

verstaande anliggende t o a

Opmerkingen

• In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is, en dus de noemer altijd groter is dan de teller.

• α α α

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus. α α α

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens.

• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).

sin a = BC AB = cos b

sin b = AC AB = cos a

Proefversie©VANIN

Het woord sinus is Latijn en betekent ‘gebogen, kromme lijn’. De oudste bekende bron waarin men het heeft over de sinus van een hoek, is een Indisch boek uit de 5e eeuw. Oorspronkelijk werd de sinus gebruikt als de lengte van een koorde in een cirkel. Leonard Euler (18e eeuw) gebruikte voor het eerst de sinus als verhouding.

De cosinus kwam er om de sinus van de complementaire hoek te berekenen. Het was Edmund Gunter die het woord ‘co-sinus’ bedacht, dat al vlug vereenvoudigd werd tot ‘cosinus’ door John Newton rond 1660.

Tegen 1675 had Jonas Moore het al afgekort tot ‘cos’.

‘Tangens’ komt van het Latijnse tangere, dat ‘raken’ betekent.

Het woord is een idee van de Deense wiskundige Thomas Fincke en werd door hem voor het eerst gebruikt rond 1583.

Andere goniometrische getallen zijn: a a 1 cos

LeonardEuler(1707-1783)

3.1.5 Goniometrische getallen van een scherpe hoek berekenen

Zestigdelige graad: onderverdelingen

Hoeken worden uitgedrukt in zestigdelige graden.

Voor nauwkeurigere bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten () en seconden (). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel:

Voor de oorsprong van de zestigdelige onderverdeling moet je terug naar de Babylonische tijd, rond 2 000 voor Christus.

De Babyloniërs kozen het grondtal zestig omdat het een groot aantal natuurlijke delers heeft, namelijk 12. Hierdoor kunnen getallen in het zestigtallig stelsel gemakkelijk worden gedeeld in kleinere, gelijkwaardige delen.

Zo kan een graad gemakkelijk worden gedeeld in delen van 30 minuten, 15 minuten, 12 minuten, 10 minuten …

Voor de Babyloniërs bestond een jaar uit 360 dagen.

Dankzij de Bruggeling Simon Stevin en zijn werk ‘De Thiende’, in 1585 uitgegeven, gebruiken wij nu het tientallig of decimaal talstelsel.

Het zestigtallig talstelsel wordt enkel nog gebruikt voor tijdmeting en hoekmeting.

Goniometrische getallen berekenen met ICT

Met een wetenschappelijke rekenmachine kan je de sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek berekenen.

Voorbeelden

Bereken de goniometrische getallen. Rond af op 0,001.

• sin 82° ≈

• cos 38°4729 ≈

• tan 29°46 ≈

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

Oefeningen

REEKS A

7 Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen?

Proefversie©VANIN

9 Bereken op 0,001 nauwkeurig.

a)sin 20º ≈ h) cos 14º 58 36

b)cos 38º ≈ i) tan 59º 47 ≈

c) tan 29º 52 38 ≈ j) sin 4 ≈

d) sin 6º 8 51 ≈ k) sin 89º 57 12 ≈

e) cos 28º 54 22 ≈ l) tan 58º 38 ≈

f) cos 75º 9 ≈ m) cos 84º 58 29 ≈

g) tan 5º 32 55 ≈ n) sin 79º 52 37 ≈

REEKS B

10 Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

REEKS C

13 Aan welke voorwaarden moeten de zijden van de rechthoekige driehoeken voldoen?

Wat stel je vast over de hoeken?

a) tan a > 1 zijden: hoeken:

b) cos a = cos b zijden: hoeken:

c) sin a < cos a zijden: hoeken:

d) tan b = 1 zijden: hoeken:

14 Bewijs.

tekening gegeven a B AC c b

bewijs

Proefversie©VANIN

rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c te bewijzen

sin a ? tan a = c b b c –

uitspraakjuistfout verklaring

a) sin b = BU LU rr

b) BU CU = LU CL rr

c) cos a > sin a rr

d) tan a = LU CU rr

e) BC CU = BU LU rr

f) tan b = CU LU rr

g) BU CB = BU BL rr

h) cos a = BC BU rr

i) tan a > tan b rr

Proefversie©VANIN

j) BU BC = UL CU rr

3.1.6

Basiseigenschappen

Verband tussen tangens, sinus en cosinus

Bereken op 0,001 nauwkeurig.

sin 43º ≈ sin43º cos43º ≈ en tan 43º ≈

cos 43º ≈

Wat stel je vast?

Eigenschap = a a a tan sin cos

Proefversie©VANIN

tekening gegeven

A B C α β c a b

bewijs

sin a = a c en cos a = b c

⇓ delen van sin a door cos a

sin a cos a = a c b

c

⇓ rekenen met reële getallen

sin a cos a = a c ? c b

sin a

⇓ vereenvoudigen

cos a = a b

⇓ definitie tangens

sin a cos a = tan a

besluit

tan a = sin cos a a

rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º te bewijzen

tan a = sin cos a a

Eigenschap

De grondformule

Bereken zonder tussendoor af te ronden.

(sin 43º)2 + (cos 43º)2 =

Opmerking

(sin a)2 noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a)2 en (tan a)2

sin2 25º 47 38 + cos2 25º 47 38 =

Wat stel je vast?

sin2 a + cos2 a = 1

Proefversie©VANIN

Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.

tekening gegeven

α A CB a b c

bewijs

rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º

te bewijzen

sin2 a + cos2 a = 1

sin a = a c en cos a = b c

⇓

sin2 a + cos2 a = a c 2 + b c 2

⇓ rekenen met reële getallen

sin2 a + cos2 a = a 2 + b 2 c 2

⇓ stelling van Pythagoras

sin2 a + cos2 a = 2 2 c c = 1

besluit

sin2 a + cos2 a = 1

Oefeningen

REEKS A

16 Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. sin a cos a tan a

Proefversie©VANIN

REEKS B

18 Waarom zijn de beweringen fout?

a) sin a = tan cos a a

b) sin a = 3 4 ⇒ cos a = 1 4

c) 1 + sin2 a = cos2 a

19 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

a) cos2 a (1 + tan2 a) b) sincos tan 22 2

Proefversie©VANIN

20 Bewijs de gelijkheden.

a) 1 + tan2 a = 1 cos2

REEKS C

21 Bewijs dat 1 1– sin + 1 1+ sin = 2 cos 2 .

b) (sin a + cos a) (sin a – cos a) = 1 – 2 cos2 a

3.1.7 Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken

Hoek van 45º

Als een rechthoekige driehoek een scherpe hoek van 45º bevat, dan is de andere scherpe hoek ook 45º.

Een rechthoekige driehoek met een hoek van 45º is dus een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

Beide rechthoekszijden zijn even lang.

Je stelt die lengte gelijk aan x.

sin 45º = x c en cos 45º = x c dus sin 45º = cos 45º

sin2 45º + cos2 45º = 1 sin2 45º = 1 2

sin2 45º + sin2 45º = 1 sin 45º = 1 2

2 ? sin2 45º = 1 sin 45º = 1 2 = 2 2

Besluit

sin 45º = 1 2 = 2 2

Hoeken van 30º en 60º

 ABC is gelijkzijdig.

De hoogtelijn AD verdeelt [BC] in twee even lange lijnstukken en verdeelt de hoek A ^ in twee gelijke hoeken.

Dus: in rechthoekige  BAD geldt

• ^ A = 30º en ^ B = 60º

• Stel: |AB | = x ⇒ |BD | = x 2

sin 30º = cos 60º = x x 2 = x x 2 1 = 1 2

Besluit

45°

45° cx x

Proefversie©VANIN

30°

60° A

BC D x x 2

sin 30º = cos 60º = 1 2

Aan de hand van de basiseigenschappen kun je de andere goniometrische getallen van 30º, 45º en 60º berekenen. Dat komt in de oefeningen aan bod.

Oefeningen

REEKS A

22 Bepaal cos 45º en tan 45º aan de hand van sin 45º.

a)cos 45º b)tan 45º

Proefversie©VANIN

REEKS B

23 Bepaal, zonder ICT, de goniometrische getallen van 30º en 60º. sin a cos a tan a

a = 30º

a = 60º

REEKS C

24 Bereken, zonder ICT, sin 30º sin 60º + tan 60º.

3.1.8 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal

Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal.

Bij de omgekeerde (inverse) bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte.

5 3 4 sin a = 4 5 ⇒ a = ? cos a = 3 5 ⇒ a = ? tan a = 4 3 ⇒ a = ?

Proefversie©VANIN

Om een hoek te berekenen uit een goniometrisch getal gebruik je ICT. Deze bewerkingen worden op een wetenschappelijke rekenmachine aangeduid met sin-1, cos-1 en tan-1

Voorbeelden

• sin a = 0,75 ⇒ a =

• cos a = 0,3 ⇒ a =

• tan a = 2,64 ⇒ a = GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS A

25 Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen?

Proefversie©VANIN

26 Bereken, indien mogelijk, op 1  nauwkeurig.

a) sin a = 0,2 a = e) cos a = 15 26 a =

b) tan a = 5 a = f) sin a = 5 14 a =

c) sin a = 1,37 a = g) tan a = 999 a =

d) tan a = 3 4 a = h) cos a = 29 34 a =

27 Bij een moleculaire structuur is een bindingshoek een hoek die gevormd wordt tussen twee bindingen op eenzelfde atoom.

Bij een pentagonale planaire structuur is de sinus van de bindingshoek gelijk aan 0,951 056 5.

Bepaal de grootte van de bindingshoek op 1  nauwkeurig.

Bindingshoek =

REEKS B

Proefversie©VANIN

REEKS C

30 Teken de hoek a zonder de hoek te meten.

Tip: Gebruik de formules voor sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek.

a) a = 30º

b) a = 60º

Proefversie©VANIN

c) a = 45º

Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft.

Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af.

Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen.

De stralen gaan in een andere richting verder.

De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof.

Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.

Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt

sin sin ^ i ^ r = n n B A

waarbij:

^

i = de invalshoek

^

r = de brekingshoek

nA = de brekingsindex van stof A

nB = de brekingsindex van stof B

Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.

Enkele voorbeelden

stof vacuümluchtwaterglasdiamant

31 Vul de tabel aan.

Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1.

^ i overgang van ... berekeningen ^ r

a)10ºlucht naar water

Proefversie©VANIN

b)15ºlucht naar glas

c)20ºglas naar diamant

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

3.2.1 Inleiding

In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens:

• de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is),

• de lengte van de drie zijden.

Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven.

Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen.

In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan.

gegeven

mogelijkniet mogelijk

a)de rechte hoek en een scherpe hoek r r

b)de rechte hoek en de schuine zijde r r

c)de rechte hoek en een rechthoekszijde r r

d)de rechte hoek en de twee scherpe hoeken r r

e)de rechte hoek en de beide rechthoekszijden r r

f)de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde r r

g)de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde r r

h)de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde r r

Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig?

Eigenschap Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: A CB

In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen. Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je:

de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek

de stelling van Pythagoras

Proefversie©VANIN

de definities van goniometrische getallen

sin a = cos a = tan a =

3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules.

A CB c b a α β som van de scherpe hoeken a + b = 90º stelling van Pythagoras a 2 + b 2 = c 2

sin a = a c cos a = b c tan a = a b

Proefversie©VANIN

sin b = b c cos b = a c tan b = b a

Opmerking

Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.

g = 90º

a = 35º

A b CaB 5 35°

c = 5 b ab a + b = 90º

sin a = a c

b = 90º – a

b = 90º – 35º

Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing β

gevraagd b a b

b = 55º

a = c sin a

a = 5 ? sin 35º

a ≈ 2,9

cos a = b c

b = c cos a

b = 5 ? cos 35º

b ≈ 4,1

Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing

A 4 35°

a CB c

β

g = 90º

a = 35º

b = 4 b ac

a + b = 90º

gevraagd

b a c

b = 90º – a

b = 90º – 35º

b = 55º

tan a = a b

a = b ? tan a

a = 4 tan 35º

a ≈ 2,8 cos a = b c

c = cos a b

c = 4 cos 35°

c ≈ 4,9

Proefversie©VANIN

Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing

A

α

b 3 CB 5

β

g = 90º

a = 3

c = 5 a b b

sin a = a

c

gevraagd a b b

sin a = 3 5

a = 36º 52 12

cos b = a

c

cos b = 3 5

b = 53º 7 48

a 2 + b 2 = c 2

b 2 = c 2 – a 2

b = –22ca

b = 5– 3 22

b = 4

Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven figuur gegeven oplossing

g = 90º

a = 2,5

b = 4 a b c

tan a = a b

c

A 4 2,5

α CB

β

gevraagd a

b c

tan a = 2,5 4

a = 32º 0 19

tan b = b a

tan b = 4 2,5

b = 57 º 59 41

c 2 = a 2 + b 2

c = + 22ab

c = 2,5+ 4 22

c ≈ 4,7

Oefeningen

REEKS A

32 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1. a)

Proefversie©VANIN

33 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1.

Proefversie©VANIN

REEKS B

34 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01.

c) a = | AB | ≈

b = 34º 8 13 | BC | = 20,08 | AC |≈

A CB β α

Proefversie©VANIN

a) a = | AB | ≈

b = | BC | = 3,40 | AC |= 6,50

d) a = | AB | = 265,92

b = | BC | = 159,40 | AC |≈

b) a = 54º 23 | AB | = 8,90

b = | BC | ≈ | AC |≈

e) a = | AB | ≈

b = 21º 35 40 | BC | ≈ | AC |= 41,23

35 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01 cm.

a) O ^ = 90º

Q ^ = 23º 45 29 | PQ | = 46,00

c) Q ^ = 90º | OP | = 8,45 | PQ | = 5,10

b) P ^ = 90º

O ^ = 61º 52 14 | OQ | = 4,00

d) O ^ = 90º | OQ | = 6,50 | OP | = 7,25

36 Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1  nauwkeurig.

a)Een boom heeft een schaduw van 12 m.

De zon schijnt onder een hoek van 43º.

Hoe hoog is de boom?

Antwoord:

43°

12 m

b)Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven.

Bereken de hellingshoek van die ramp.

4,6 m

6,1 m

c)Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?

12,6 m

25 m

Proefversie©VANIN

Antwoord:

Antwoord:

d)Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º.

Bereken de lengte van de ladder.

Antwoord:

4,3 m

70°

Maak telkens eerst een schets.

a)De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot.

Hoe lang is de schaduw van die man?

Antwoord:

b)Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m.

Hoe lang is die kabelbaan?

Antwoord:

c)Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?

Antwoord:

d)Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

38 Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig. 10

Proefversie©VANIN

Antwoord:

39 Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

40 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets.

a)Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.

Antwoord:

b)Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 115º.

c)Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.

Antwoord:

d)Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

Antwoord:

41 Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

42 Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm.

a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is.

b) Bereken de hellingshoek, op 1  nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn.

a)

b) Antwoord:

REEKS C

43 Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?

Antwoord:

Proefversie©VANIN

44 Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.

Antwoord:

45 Om de hoogte van een toren te bepalen, heeft een landmeter de volgende metingen gedaan.

Bereken de hoogte van de toren op 1 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

46 Op een mast van 16 m staat een antenne. Om de hoogte van de antenne te bepalen, werden de volgende metingen gedaan.

Bereken de hoogte van de antenne op 1 cm nauwkeurig.

Antwoord:

3.2.3 Toepassingen in de ruimte

Modeloefening 1

gegeven

een kubus met ribbe 4 cm

gevraagd

Bereken a op 1  nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De hoek a is

Modeloefening 2

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm

gevraagd

Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig. oplossing

antwoord

De hellingshoek a is

Oefeningen

47 REEKS A

Bereken de omtrek van BGE op 0,01 cm nauwkeurig.

gegeven

een

gevraagd

de omtrek van BGE

oplossing

Proefversie©VANIN

48 Bereken de hoek b op 1  nauwkeurig.

antwoord

De omtrek van BGE is

gevraagd de hoek b

oplossing

antwoord

De hoek b is

REEKS B

49 Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

de hellingshoek a oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De hellingshoek a is

50 Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.

Antwoord:

51 Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1  nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

52 Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

Antwoord:

REEKS C

53 Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm.

Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het?

Bepaal de hoek op 1  nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

54 Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 6 cm

gevraagd de hoek a oplossing

antwoord

De hoek a is

55 Bepaal de hoeken van  ABC. Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

56 Een balkvormige vaas met een lengte van 15 cm, een breedte van 15 cm en een hoogte van 40 cm is volledig gevuld met water. De vaas wordt gekanteld over een hoek van 30º, waardoor een deel van het water uit de vaas stroomt.

Hoeveel liter water, op 0,01 l nauwkeurig, zit er na de kanteling nog in de vaas?

STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek

3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN – 

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde

schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde

aanliggenderechthoekszijde

tan a = sin cos a a

sin2 a + cos2 a = 1

Proefversie©VANIN

sin a cos

KUNNEN –  + – 

De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met ICT.

De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen.

De formules gebruiken om goniometrische identiteiten te bewijzen.

De goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken (30º, 45º, 60º) afleiden.

Met ICT een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

KENNEN –  + –

Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door:

• twee zijden en de rechte hoek,

• één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.

KUNNEN – 

Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom.

In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

Problemen uit JWO

1.Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b

Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur).

De verhouding a b is gelijk aan …

A) r 1,2 B) r 1,5 C) r 1,8 D) r 2 E) r 2,4

JWO,editie2010,eersteronde

Proefversie©VANIN

2.Onze leerkracht LO daagde onze klas uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, op voorwaarde dat er, naast het startpunt, dat ook het eindpunt is, nog vier stopplaatsen zouden zijn onderweg. De leerkracht maakte daarop een plan met verschillende routes die we zouden kunnen volgen. Hiernaast zie je een vereenvoudigde voorstelling van het plan

(startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km).

We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was.

Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?

A) r Van S naar A over 27 km. D) r Van C naar D over 27 km.

B) r Van A naar B over 23 km. E) r Van D naar S over 28 km.

C) r Van B naar C over 26 km.

JWO,editie2011,eersteronde

3.Als p + q = 12, dan is p 2 + q 2 + 2p + 2q + 2pq gelijk aan …

A) r 144B) r 168C) r 192D) r 240E) r

JWO,editie2012,eersteronde

4.1 Bewerkingen met reële getallen

4.1.1 Bewerkingen met breuken

•

Proefversie©VANIN

Om breuken op te tellen, maak je de breuken gelijknamig. Daarna tel je de tellers op en behoud je de noemer.

Om breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.

Om een breuk te delen door een andere breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken zonder rekenmachine. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

Proefversie©VANIN

REEKS B

2 Bereken zonder rekenmachine. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

Proefversie©VANIN

4 Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Alle letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

Proefversie©VANIN

REEKS C

5 Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Alle letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) –3 = p q q p f) –2 : 1 = ab a k) c d : 7d c + 2

Proefversie©VANIN

b) 2+ 4 2 = ab a g) a b + b a l) 2a (–3b) + 4 ab

c) : 2 = 2 x y xy h) p + q p q m) x – y y : 3y

d) += a b p q i) a 2b 3 : a b n) –2a 6b 3b 2 8a 2

e) 5(–6 ) 2 3 = mn mn j) a + b 2 –b a o) a 2 –3 b + c 4

4.1.2

Eigenschappen van bewerkingen met reële getallen

De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen blijven gelden bij de reële getallen.

optellen vermenigvuldigen

Het optellen en het vermenigvuldigen zijn commutatief.

∀a, b ∈ r : a + b = b + a ∀a, b ∈ r : ab = ba

5,3 + 3,2 = 3,2 + 5,3 35 =5 3

Het optellen en het vermenigvuldigen zijn associatief.

∀a, b, c ∈ r : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c ∀a, b, c ∈ r : (ab) c = a (bc) = abc () () 2+ 3+ 5= 2+ 3+ 5 (2

Het optellen en het vermenigvuldigen hebben een neutraal element.

Als je bij een reëel getal 0 optelt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.

0 heeft geen invloed op het optellen.

0 is het neutraal element voor het optellen.

∀a ∈ r : a + 0 = a = 0 + a

0 + 6,8 = 6,8 = 6,8 + 0

Als je een reëel getal met 1 vermenigvuldigt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.

1 heeft geen invloed op het vermenigvuldigen.

1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen.

∀a ∈ r : a 1 = a = 1 a

15 =5=5 1

Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen en het vermenigvuldigen.

Als je een getal en zijn tegengestelde bij elkaar optelt, is het resultaat altijd 0 (neutraal element voor het optellen).

Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen, namelijk zijn tegengestelde.

∀a ∈ r : –a ∈ r en a + (–a) = 0 = (–a) + a

Proefversie©VANIN

Als je een getal en zijn omgekeerde met elkaar vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1 (neutraal element voor het vermenigvuldigen).

Elk reëel getal, verschillend van 0, heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen, namelijk zijn omgekeerde.

∀a ∈ r0 : 1 a ∈ r0 en a 1 a = 1 = 1 a a

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen.

Oefeningen

REEKS A

6 Vul het ontbrekende getal in.

a) 3 + = 0 d)

Proefversie©VANIN

7 Vul het ontbrekende getal in.

8 Vul het symmetrisch element in.

symmetrisch element voor de optelling

a) 8

b) −2

c) 10 3

d) 2,5

e) −0,65

f) 7

g) 5 3

h) –11 3

symmetrisch element voor de vermenigvuldiging

REEKS B

9 Vul de gebruikte eigenschappen in.

a) 5+ 2+ 7

() =5 +2 +7

() =5 +7 +2

=(5+ 7) +2

=12+ 2

b) 25 (–0,5)

=2()5(–0,5)

=5()2(–0,5)

() =5 2(–0,5)

=5 (–1) = – 5

c) 214+ 514

=(2+ 5) 14

=7 14

d) 5+ 7– 5

=5() +7 –5

=7() +5 –5

() =7 +5 –5

=7 +0

=7

Proefversie©VANIN

10 Bereken door gebruik te maken van de distributieve eigenschap.

a) 17 ? 99 =

b) 23 102 =

c) 40 ? 8,5 =

11 Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen.

a) 9,32 − 2,17 − 9,32 f) 73 7

Proefversie©VANIN

b) 5 7 6 1 5 g) –8 23 3 4

c) –3 +7 +8 h) 319+ 7– 219

d) –0,25114 i) 53 52 3

e) 3– 5,63 –3 j) 6 (2– 6 )

4.2 Rekenen met machten van reële getallen

4.2.1 Machten met gehele exponenten

Machten met positieve exponenten

Een macht is een kortere schrijfwijze voor een product van gelijke factoren.

5 3 = = 3 4 = =

Definitie Macht met een natuurlijke exponent

∀a ∈ r, ∀n ∈ n \ {0, 1} : aaaa...a n n = factoren

∀a ∈ r0 : a 0 = 1

Opmerking

00 is niet gedefinieerd.

Benamingen

2 5 = 32

∀a ∈ r : a 1 = a

2 noem je 5 noem je 32 noem je

Machten met negatieve exponenten

Definitie Macht met een negatieve exponent

∀a ∈ r0, ∀n ∈ n : a–n = 1 a n

Gevolgen

• ∀a ∈ r0 : a–1 = 1 a

Voorbeelden

Tekentabel voor de machtsverheffing

• ∀a, b ∈ r0, ∀n ∈ n : a b –n = bn a n

Oefeningen

REEKS A

12 Bereken zonder rekenmachine.

a) 24 = c) (–3)3 = e) –2 3 3 = g) 3-3 =

b) 140 = d) –61 = f) –2 5 –1 = h) –8 5 –2 =

Proefversie©VANIN

13 Bereken met de rekenmachine.

a) () 127 2 = c) () 2 6 = e) () –2 4 =

b) () –3 4 = d) () –5 4 = f) () 7 4 =

14 Bereken met de rekenmachine. Rond indien nodig af op 0,001.

a) () 2 3 ≈ c) () 6 –5 ≈ e) () –37 4 ≈

b) p 2 ≈ d) –1() 1 4 ≈ f) () –101 –4 ≈

15 Bereken zonder rekenmachine.

a) –24 = c) –2–4 = e) –2–3 =

b) (–2)4 = d) (–2)–4 = f) (–2)–3 =

16 Bereken zonder rekenmachine.

a) () 53 2 = c) –3() 4 2 = e) () 16 2 =

b) () –19 2 = d) () 7 2 = f) –2() 8 2 =

REEKS B

17 Bereken zonder rekenmachine. Schrijf het resultaat als een onvereenvoudigbare breuk.

a) 49 56 2 = c) 24 32 –3 =

b) 0,53 = d) 0,012 =

Proefversie©VANIN

18 Schrijf als een macht. Het grondtal is 2 of 10.

a) 100 000 000 = d) 1 256 =

b) 0,1 = e) 0,000 000 1 =

c) 0,125 = f) 1 024 =

19 Vul de ontbrekende getallen in.

a)

c) 3 = –8 f) –0,125 = 3 i) 5 6 = 1,2

20 Schrijf zonder haakjes en met een positieve exponent. De letters stellen positieve getallen verschillend van 0 voor.

a) (–a)4 = d) –(–b)–5 = g) –(–b)2 =

b) –(–b)7 = e) –a b –3 = h) –a b –3 =

c) (–a)–2 = f) ––a b 4 = i) –(–a 3) =

4.2.2 Rekenregels voor machten met gehele exponenten

Rekenregel

Rekenregel

Product van machten met hetzelfde grondtal

∀a ∈ r0, ∀m,n ∈ z : am ? an = am+n

Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen.

Voorbeelden: a 4 a 3 a –2 = ( ( 3)5 3)-4 =

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal

∀a ∈ r0, ∀m,n ∈ z : am an = am – n

Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken.

Voorbeelden: a 14 a 9 = 7 4 =

Macht van een macht

Rekenregel

Proefversie©VANIN

Rekenregel

∀a ∈ r0, ∀m,n ∈ z : (am)n =amn

Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen.

Voorbeelden: (a 4)3 = (23)2 =

Macht van een product

∀a,b ∈ r0, ∀m ∈ z : (a ? b)m =am ? bm

Om een product tot een macht te verheffen, moet je elke factor tot die macht verheffen.

Voorbeelden: (2ab)3 = (4p)3 =

Macht van een quotiënt

Rekenregel

∀a, b ∈ r0, ∀m ∈ z : a b m = a m bm

Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je de teller en de noemer tot die macht verheffen.

Voorbeelden: 2a 3b 2 =

Oefeningen

REEKS A

21 Schrijf de producten als één macht en zonder negatieve exponent.

De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) a 4 ? a −2 = c) (−a) 7 ? (−a) −2 ? (−a) −10 =

Proefversie©VANIN

b) a 5 ? a 7 ? a −4 ? a 2 = d) a 3 ? a −7 ? a 8 ? a −6 =

22 Schrijf de quotiënten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) a 54 a 27 = c) (–a)8 (–a)6 =

b) a 3 a 6 = d) a 8 a –2 =

23 Schrijf als één macht en zonder negatieve exponent.

De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) (a 2) 7 = c) (a –3) –1 =

b) (a –6) 3 = d) (–a)–4 –5 [] = REEKS B

24 Pas de rekenregels voor machten toe en bereken.

a) 2 3 2 5 2 −4 2 2 = d) (–3)2 (–3)–1 =

b) (−3) 7 ? (−3) −1 ? (−3) −8 = e) 3–1 –4 [] =

c) 6–5 6–3 = f) (–2)2 –3 [] =

25 Werk de haakjes weg en schrijf zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. a) (p 2)–6 = f)

p =

(3a) 3 = g) -4 k

Proefversie©VANIN

26 Werk de haakjes weg en schrijf zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. a) (10x)n = c) (6g 4) x =

Bereken zonder rekenmachine.

a) –2 225 –15 = d) –4 –51 17 =

b) –2 5 7 –– = e) –124 (–6)4 =

c) –3 –10 25 = f) (–2)5 –3–2 =

28 Geef telkens drie mogelijkheden.

a) Schrijf 24 16 op drie manieren als een product van twee machten met hetzelfde grondtal 24.

b) Schrijf 24 16 op drie manieren als een macht van een macht met grondtal 24.

Proefversie©VANIN

c) Schrijf 24 16 op drie manieren als een product van machten met een verschillend grondtal, maar met dezelfde exponent.

29 Bereken zonder rekenmachine door gebruik te maken van de rekenregels voor machten.

a)

c) 282 :

30 Werk de haakjes weg en schrijf zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) 2b ? (2b)-4 = c) (5t)–2 5t =

b) (7ab)7 (7ab)9 = d) (6a 2b)4 (–3ab3)4 =

31 Werk de haakjes weg en schrijf zonder negatieve exponent.

De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) (3abc)–2 = d) (–3a 3 c5)–2 =

Proefversie©VANIN

b) y –1 x 2 –2 = e) –5a 2 b –2 –2 =

c) 3a 3b 2 6a 2b –6 –2 = f) (–a)3 –a 0 2 (–a)5 –a 7 –1 =

REEKS C

32 Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. Werk de haakjes weg en schrijf zonder negatieve exponent.

De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) bm–1 ? bn–3 = d) ak + 3 a –6k + 5 =

b) (ak+3)m = e) (2am+1 b 5)2 =

c) b 5m b 5m +1 = f) (am+2 ? am–4)3 =

33 Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade.

Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

a) Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 45 513?

Proefversie©VANIN

b) Welk van de volgende getallen is geen deler van 322 017 + 322 018?

c)

4.2.3 Wetenschappelijke schrijfwijze

Inleiding

a) Als je 11−27 berekent met de rekenmachine, verkrijg je

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel seconden gaan er in 1 000 jaar, als je geen rekening houdt met schrikkeljaren?

Zeer grote en zeer kleine getallen worden zelden voluit geschreven.

Definitie Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal

De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.

Van decimale schrijfwijze naar wetenschappelijke schrijfwijze

zeer grote getallen

Het aantal rangen dat je de komma naar links moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, is de exponent van 10.

73 200 000 = 7,32 ? 10 000 000 = 7,32 107

5 600 000 000 =

zeer kleine getallen

Het aantal rangen dat je de komma naar rechts moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, voorzien van een minteken, is de exponent van 10.

0,000 005 2 = 5,2 ? 0,000 001 = 5,2 10–6

0,000 087 =

Van wetenschappelijke schrijfwijze naar decimale schrijfwijze

positieve exponenten

Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar rechts te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.

2,56 ? 106 = 2,56 ? 1 000 000

= 2 560 000

3,874 ? 108

negatieve exponenten

Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar links te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.

7,2 ? 10 –5

= 7,2 ? 0,000 01

= 0,000 072

5,78 ? 10 –9

Bewerkingen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze

Je kunt rekenen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze, zonder ze om te zetten in de decimale schrijfwijze. Daarbij maak je gebruik van de rekenregels voor machten.

Voorbeelden:

3,5 ? 10−6 ? 2 ? 1011 = (3,5 ? 2) ? (10−6 ? 1011) = 7 ? 10−6+11 = 7 ? 105

310 1210 5 –4

(2 ? 105)3 = 23 ? (105)3 = 8 ? 105 3 = 8 ? 1015

4 108 3 10−17 = 810 210 –9 –7 =

(2 ? 10−4)7 = Bij zeer grote en zeer kleine getallen kun je in de war raken wat het aantal nullen betreft. Daarom schrijf je die getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Proefversie©VANIN

Enkel voor de kleine onderverdelingen en veelvouden van de eenheid worden alle gehele getallen als exponent gebruikt. Vanaf de exponenten 3 en −3 zijn de exponenten telkens drievouden. Op die manier kan het aantal namen beperkt blijven.

Om het verschil te laten zien tussen een onvoorstelbaar groot getal en oneindig, voerde Edward Kasner in 1938 de term ‘1 googol’ in. Dat is een getal met waarde 10100

Van die term is ook het woord ‘Google’ afgeleid.

decimale schrijfwijze

a) 237 580 000

wetenschappelijke schrijfwijze

37 Geef de decimale schrijfwijze.

wetenschappelijke schrijfwijze

a) 1,48 ? 108

b) 3 ? 10−7

c) 8,12 ? 10−9

d) 5,034 1012

decimale schrijfwijze

REEKS B

38 Tijdens haar vakantiejob stelt Sofie haar baas de volgende deal voor. Ze is bereid om de eerste werkdag van de maand te werken voor één cent per dag, de tweede werkdag voor drie cent, de derde dag voor negen cent ... Haar loon wordt dus elke werkdag verdrievoudigd.

a) Hoeveel zou Sofie verdienen gedurende de eerste werkweek (5 werkdagen)?

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel zou Sofie verdienen op de twintigste werkdag?

39 Geef de wetenschappelijke schrijfwijze van de producten.

product wetenschappelijke schrijfwijze

a) 57 108 =

b) 93 10−5 =

c) 8 955 10−4 =

d) 344,124 ? 106 =

40 Bereken zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

a) 8 : 2 000 000 =

b) 2 500 ? 8 000 000 =

c) 39 000 : 3 000 000 000 =

d) 5 0002 =

e) 3 000 0003

f) 123 000 ? 20 000

41 Bereken zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

a) 1,64 104 + 2,3 104 =

b) 210 910 8 –5 =

Proefversie©VANIN

42

c) (4 ? 105)3 =

d) (2,3 ? 10−8) ? (3 ? 103)2 =

e) 4,5 10−8 + 8 10−8 =

f) (2 108)−3 =

g) 6,410 1,610 –7 4 =

h) [(1,5 ? 107) ? (2 ? 10−8)]4 =

a) De gemiddelde straal van de aarde bedraagt 6 370 000 m.

b) De snelheid van het licht bedraagt 300 000 km per seconde.

c) De diameter van een uraniumatoom bedraagt 0,000 000 000 25 m.

d) De massa van Jupiter bedraagt 1 898 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.

e) De dikte van een rode bloedcel bedraagt 0,000 002 m.

wetenschappelijke schrijfwijze

43 In een composthoop van 4 000 liter zitten bacteriën die zich om de zes uur verdubbelen.

Bij een onderzoek vindt men in één liter compost 100 000 bacteriën.

Hoeveel bacteriën zitten er in de composthoop op dat moment?

Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

44 De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,5 108 km.

De afstand van Neptunus tot de zon bedraagt 4,5 ? 109 km.

Hoeveel keer staat Neptunus verder van de zon dan de aarde?

Antwoord:

45 De massa van de aarde is ongeveer 5,98 1024 kg.

De massa van de zon is 330 000 keer groter. Bereken de massa van de zon.

Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

46 De massa van een elektron bedraagt 9,11 ? 10−25 g. Hoeveel elektronen gaan er in 1 ton?

Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

47 Het licht heeft een snelheid van 300 000 km/s. De afstand van de zon tot de aarde bedraagt

1,496 ? 108 km. Hoelang heeft het zonlicht nodig om de aarde te bereiken?

Geef je resultaat in minuten en seconden, op 1 seconde nauwkeurig.

Antwoord:

REEKS C

48 Rode bloedcellen nemen meer dan 50 % van het bloedvolume in beslag. Per milliliter zijn het er ongeveer 5,4 miljard. Rode bloedcellen zijn schijfvormige cellen met een doorsnede van ongeveer 7 micrometer en een dikte van 2 micrometer. Hoeveel rode bloedcellen heeft een gemiddelde persoon (5,5 liter bloed)?

Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

49 De straal van de aarde is 6 378 km. De straal van de zon is 6,96 105 km.

Bereken hoeveel keer het volume van de aarde in het volume van de zon kan.

Het volume van een bol met straal r bereken je met de formule r 4 3 3 .

Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze. Rond het decimale gedeelte af op 0,01.

Antwoord:

4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen

4.3.1 Som en verschil van vierkantswortels

Gelijksoortige vierkantswortels

525+ 725 = en 12 25 =

79 –2 9 = en 59 =

Je past de distributiviteit toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen en het aftrekken in r

Rekenregel

∀a,b ∈ r, ∀x ∈ r + : axbxabx += (+ ) en axbxabx –= (– )

713+ 913 = 25 17 –8417 =

29 +8 29 = 2,87 –9,147 =

Niet-gelijksoortige vierkantswortels

9+ 16 = en 9+ 16 =

169– 144 = en 169– 144 =

Besluit:

abab +≠ + en abab –≠ – (a,b ∈ r + 0,a >b)

De driehoeksongelijkheid zegt dat de ‘kortste afstand’ tussen twee punten een rechte lijn is. Er geldt:

• | AD | + | DB | = | AB | omdat A, D en B collineaire punten zijn.

Proefversie©VANIN

DBA

• | AC | + | CB | > | AB | want A, C en B zijn niet collineair en vormen dus een driehoek. Die eigenschap is gekend als de ongelijkheid van Minkowski.

In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b a ba2 + b2 is de lengte van de schuine zijde ab + 22 (stelling van Pythagoras). Volgens de driehoeksongelijkheid is in elke driehoek één zijde altijd korter dan de som van de twee andere zijden.

De schuine zijde is dus korter dan de som van de twee rechthoekszijden.

In symbolen:

ab + 22 < a + b of ab + 22 < ab + 22

Oefeningen

REEKS A

50 Werk uit indien mogelijk.

a) 26 +6 = e) 35 –8 35 =

Proefversie©VANIN

b) 17 21 – 521 = f) 53 +5 =

c) 97 +8 97 = g) –7 3– 83 =

d) 513– 213 = h) () 26 11 +–311 =

51 Werk uit indien mogelijk.

a) 7,37 +8 7 = e) –5 3 +2 =

b) 1 2 5– 25 = f) 5,35,1 –1 2 5,1 =

c) 8,52 –7 3 = g) –2 5 5––5 2 5 =

d) 2,22 –5 2 = h) 1 3 2,4+ –8 9 2,4 =

REEKS B

52 Werk uit indien mogelijk. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) aa2+ 3 = e) ab 2– 2 =

b) xx8– 11 = f) abab + =

c) uu7,2–8 5 = g) abba + =

d) bb –4 5 + 3 2 = h) ba – ba =

4.3.2 Product van vierkantswortels

Inleiding

49 = = en 49 = =

() 1110 2 = = en () 1110 2 = =

Proefversie©VANIN

Rekenregel

Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die twee getallen.

In symbolen: ∀a, b ∈ r + : abab =

Bewijs gegeven a, b ∈ r + te bewijzen

abab =

bewijs

Beide leden van de formule zijn positieve getallen.

Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn.

• ab ()2 = ab ()() 22 = ab macht van een product definitie vierkantswortel

• ab ()2 = a ? b definitie vierkantswortel

besluit

abab =

Voorbeelden

28 = 312 = 67 =

Vereenvoudigen

Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen.

In de volgende voorbeelden stellen de letters positieve getallen voor.

18 = 92 = 92 = 32

80 = = =

a 2b = a2b = a2b = ab

a3 2 = = =

Door wortelvormen te vereenvoudigen, kun je niet-gelijksoortige vormen soms gelijksoortig maken. 2+

Oefeningen

REEKS A

53 Bereken.

a) 22 = g) 32 2 =

Proefversie©VANIN

b) 312 = h) 348 =

c) 327 = i) 45 5 =

d) 82 = j) 520 =

e) 218 = k) 624 =

f) 375 = l) 728 =

54 Vereenvoudig.

a) 32 = g) 72 =

b) 104 = h) 45 =

c) 98 = i) 175 =

d) 18 = j) 63 =

e) 90 = k) 153 =

f) 80 = l) 363 =

55 Werk de vermenigvuldigingen uit.

a) 22 32 d) 56 612

= 23 22

Proefversie©VANIN

b) 22 33 e) 38 254

c) 32 18 f) 28 418

56 Tel de wortelvormen op.

a) 6+ 24 d) 22 +3 18 –9 8

b) 5+ 320 e) 412– 23 +48

c) 23 +5 12 f) 5+ 3180 –4 45

57 Tel de wortelvormen op. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) 22 –8 –9 2 aaa =

b) 33 +2 27 –6 48 aaa =

c) 5+ 245– 3180 aaa =

Proefversie©VANIN

58 Werk de vermenigvuldigingen uit.

a) 53() –2 5 c) () 23 +5 515

b) 36() +2 3 d) () –6 73 14 +21– 27

59 Werk de vermenigvuldigingen uit. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) () 2–aa =

b) () 3+babb =

c) () –2 –5 xx =

4.3.3 Quotiënt van vierkantswortels

Inleiding

Proefversie©VANIN

Rekenregel

Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen

waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van die getallen.

In symbolen: ∀a ∈ r + , ∀b ∈ r + 0 : a b = a b

Bewijs gegeven

a ∈ r + en b ∈ r + 0

te bewijzen

a b = a b

bewijs

Beide leden van de formule zijn positieve getallen.

Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn.

• a b 2 = ( a )2 ( b )2 = a b macht van een quotiënt definitie vierkantswortel

• a b 2 = a b definitie vierkantswortel

besluit

a b = a b

Opmerking

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuk met worteltekens.

Werkwijze

De noemer wortelvrij maken

Een wortelvorm kun je soms vereenvoudigen door de noemer wortelvrij (rationaal) te maken.

Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer.

In symbolen: ∀a ∈ r, ∀b ∈ r0 + : a b = ab bb = ab ( b ) 2 = ab b

Vereenvoudig eerst de wortelvormen in de noemer, indien mogelijk.

= 35 5 definitie vierkantswortel

() = 35 7 2

rekenregel product van vierkantswortels en definitie macht

= 35 7 definitie vierkantswortel 5

() =

=

=

=

rekenen met reële getallen

=

3 ( 2 )2

=

=

de noemer

eerst de wortelvorm in de noemer vereenvoudigen

rekenregel product van vierkantswortels

teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer

definitie macht

Proefversie©VANIN

definitie vierkantswortel

rekenen met reële getallen

Proefversie©VANIN

62 Vereenvoudig, schat het resultaat en bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

vereenvoudigen schatten berekenen a)

63 Maak de noemer wortelvrij.

a)

=

Proefversie©VANIN

REEKS C

64 Vul de tabel met goniometrische getallen aan. Maak de noemers wortelvrij.

65 Maak de noemer wortelvrij.

a) 1 3 27

72 =

b) 3– 23 3 =

c)

621– 3+ 5 27 =

Toegevoegde tweetermen

(a + b) (a − b) = a 2 − b 2

( + )( – ) =–ababab

kun je gebruiken om noemers wortelvrij te maken.

Voorbeeld:

Proefversie©VANIN

66 Maak de noemer wortelvrij. a)

67 Uit de Junior Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

4.3.4 Macht van een vierkantswortel

Inleiding

() 9 2 = en 92 =

() 4 3 = en 43 =

() 36 –1 = en 36–1 =

Proefversie©VANIN

Rekenregel

De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal.

In symbolen: ∀a ∈ r + 0, ∀z ∈ z : ( a ) z = az

Bewijs gegeven

a ∈ r + 0 en z ∈ z te bewijzen

( a )z = az bewijs

Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn.

• ( a )z 2 = ( a )z 2 = ( a )2 z = a z macht van een macht macht van een macht definitie vierkantswortel

• ( a z )2 = a z definitie vierkantswortel

besluit

( a )z = az

Voorbeelden

( 2 )6 = ( 3 )–4 =

Opmerking

Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen. In de volgende voorbeelden stellen de letters telkens positieve getallen voor.

2 4 = (22 )2 = 22 = 4

a 6 = (a 3 )2 = a 3

Om de vierkantswortel van een macht met een even exponent te nemen, laat je het wortelteken weg en deel je de exponent door twee.

35 = 34 31 = 33 2 = 93

b 11 = b 10

b 1 = bb 5

Om de vierkantswortel van een macht met een oneven exponent te nemen, ontbind je de macht in het grondtal en een even macht ervan en pas je de rekenregels toe.

Oefeningen

REEKS A

68 Bereken zonder rekenmachine.

a) () 2 4 = c) () 11 4 =

Proefversie©VANIN

b) () 5 6 = d) () 2 10 =

69 Vereenvoudig.

a) 54 = f) 93 =

b) 7 3 = g) 108 =

c) 83 = h) 45 =

d) 65 = i) 36 =

e) 2 11 = j) 115 =

REEKS B

70 Bereken zonder rekenmachine.

a) () 3 –2 = e) 1 3 –4 =

b) () –5 –4 = f) () 6 –2 =

c) () 10 –6 = g) 1 2 –8 =

d) () –3 6 = h) () –7 –4 =

71 Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) 100 a = d) 53 b =

b) –43 a = e) 88 b =

Proefversie©VANIN

c) –78 a = f) –81 a =

72 Vereenvoudig en bereken daarna met de rekenmachine.

vereenvoudigen berekenen

a) 4 (–33 ) = =

b) 1 13 3 –2 = =

c) –4 –(–7–3 ) = =

d) 1 4 3 3 = =

REEKS C

73 Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor. Noteer je resultaat met een positieve exponent.

a) a () 3 4 = d) 1 a 6 =

b) 8 –(– b 5 ) = e) –3 ( a 10 ) =

c) a b 5 8 = f) –a b 4 –3 =

4.3.5 Bewerkingen met wortelvormen

Meestal zullen er meerdere bewerkingen in een oefening voorkomen. Hier heb je ze nog eens op een rijtje.

Rekenregel

Optellen en aftrekken

Proefversie©VANIN

Rekenregel

∀a,b ∈ r, ∀x ∈ r + : += axbx(a+b)x en –= axbx(a-b)x

Voorbeelden: 37 +7 7 = 16 –5 aa =

Opmerking +≠ +b aba en –≠ –b aba (a, b ∈ r + 0, a>b)

Vermenigvuldigen

∀a,b ∈ r + : = abb a

Voorbeelden: 218 = 515 = Delen Rekenregel

∀a ∈ r + , ∀b ∈ r + 0 : = a b a b Voorbeelden:

∀a ∈ r + 0, ∀z ∈ z : () = a z a z

Voorbeelden: () 3 4 = () 7 6 =

Afronden

Het heeft meestal geen zin om het resultaat van een bewerking te geven met tien cijfers na de komma. Daarom rond je af.

Voorbeelden

• Bereken op 0,1 nauwkeurig: 10 + 17 ≈

• Bereken op 0,01 nauwkeurig: 5 − 0,2 ≈

• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 53 ≈

Proefversie©VANIN

Opmerking

Rond enkel het eindresultaat af. Elke afronding is immers een afwijking van het exacte resultaat.

Door te rekenen met afgeronde waarden, kan de afwijking vergroten.

Dus niet: 26 10 ≈ 26 ? 3,162 = 82,212

Maar wel: 26 10 ≈ 82,219

Schatten

Schat de resultaten van de bewerkingen.

Oefeningen

REEKS A

74 Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

a) 2+ 22 ≈ f) –14,3– 101 ≈

Proefversie©VANIN

b) 5: (–0,3) ≈ g) – 51 : 29 ≈

c) –6 14 ≈ h) – 85 + 0,6 ≈

d) 31 –6,8 ≈ i) – (– 10 ) ≈

e) –5 (– 23 ) ≈ j) – 11 8 ≈

REEKS B

75 Schat het resultaat.

a) 65 –8 ≈ f) 3,25 –101 ≈

b) –5 +6,3 ≈ g) –17 2 ≈

c) 50 :(–7) ≈ h) 5+ 10 ≈

d) ()–10– 26 ≈ i) () 82 :– 8 ≈

e) –5 48 ≈ j) () 15 ≈

76 Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) 4a 9 =

b) 72a 2 =

c) 98a 3b4 =

d) 75a 5b7 =

Proefversie©VANIN

e) 32a 9b16 =

77 Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.

a) 5a 4 4a =

b) 32a 2b5 72a =

c) 63ab3 28a 3b =

d) 8a 5 9b6 a 1 2 =

78 Vereenvoudig en werk uit. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) 18a+ 98a 50 a– =

b) 27a 3 48 +aa =

c) 90ab2 40ab2 3 160 –a –b

79 Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) aab 2 =

b) abab 9 32 3 =

c) abba 254 33 =

Proefversie©VANIN

d) abab 45 9359 34 =

80 Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) aa 33() +7 =

b) aaba () – –6 3 =

c) ababab() –5 32 =

d) a 2b3 12a 3 ab +5 2a ) ( =

81 Werk uit. De letter a stelt een positief reëel getal verschillend van 0 voor. Maak de noemer wortelvrij.

a) a a 3 3 =

b) a a 88 2 =

c) a a 16 50 2 5 2 =

d) a a 22 6 11 48 3 =

e) a a –9 32 427 3 7 =

82 Werk uit.

a) 53 ()2 = e) –215 ()4 =

b) –3 7 ()2 = f) 23 ()3 =

c) 232 ()2 = g) –412 ()–2 =

d) –6 ()4 = h) –2 5 ()5 =

83 Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) aa ()2 =

b) aa () 3 3 2 =

c) aa () –825 2 =

d) aa () 33 4 =

e) aa () 8 23 4 =

f) –2ab ()3 =

g) a 2b ()5 =

h) a 5ab 3 34 () =

Proefversie©VANIN

84 Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor.

a) 4cab + ()2 =

b) 9 acb + ()4 3 =

c) 20aabb + () 76 3 =

85 Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig

a) de inhoud van een kubus met ribben van 5 cm.

c) de inhoud van een cilinder met een straal van 23 cm en een hoogte van 48 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord: Antwoord:

b) de oppervlakte van een ruit met een grote diagonaal van 263 cm en een kleine diagonaal van 28 cm.

d) de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 27 cm en 33 cm lang.

Antwoord: Antwoord:

REEKS C

86 Maak de noemer wortelvrij. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.

a) a – 2 2b b = b) 7a –2 a 3 = c) 8b + a 3 27a = d) ab – ba 2 54b = e) + 8ab 2 3b 3 ab 5 =

Proefversie©VANIN

87 Werk uit. Maak de noemer wortelvrij.

a) 21 ? 14 57 3 2

b) 20 +2 5– 42 45 129

c) 3+ 2 23 6 ()2

88 Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig

a) de omtrek van een vierkant waarvan de diagonalen 3 cm meten.

c) de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 5 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

b) de oppervlakte van een rechthoek met diagonalen van 7 cm die elkaar snijden onder een hoek van 70º.

Antwoord:

d) de oppervlakte van een ruit waarvan de zijden 11 cm meten en waarvan de grote diagonaal dubbel zo lang is als de kleine diagonaal.

Antwoord:

Antwoord:

89 Bepaal de omtrek en de oppervlakte

a) van de cirkel. a omtrek: oppervlakte:

Proefversie©VANIN

b) van de gekleurde figuur.

omtrek: oppervlakte:

90 Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

a) Het hart op de figuur bestaat uit twee rakende halve cirkels met straal 1 en

twee cirkelbogen met middelpunten A en B Hoe groot is de zijde [BC ] van de rechthoek ABCD?

Proefversie©VANIN

b) De totale oppervlakte van een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan alle ribben even lang zijn, is gelijk aan 16 (1+ 3 ) ?

De inhoud van die piramide is dan gelijk aan …

4.3.6 Volgorde van de bewerkingen

Wanneer je meerdere bewerkingen uitvoert in een oefening, moet je rekening houden met de volgorde van de bewerkingen.

1) Bewerkingen tussen haakjes ( ) , [ ]

2) Machten en vierkantswortels an , a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts , :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts + , −

Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.

Voorbeelden

Bereken zonder rekenmachine. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.

a) 18 + 24 : 6 + 3 d) a ab b

Proefversie©VANIN

c)

Oefeningen

REEKS B

91 Bereken zonder rekenmachine.

Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.

Proefversie©VANIN

STUDIEWIJZER Rekenen met reële getallen

4.1 Bewerkingen met reële getallen

Berekeningen uitvoeren met getallen

• in breukvorm

• in decimale vorm

voor de leerling voor de leerkracht

KUNNEN –  + –  +

en indien nodig de rekenmachine gebruiken.

De eigenschappen van bewerkingen met reële getallen gebruiken om bewerkingen uit te voeren en te vereenvoudigen.

4.2 Rekenen met machten van reële getallen

Proefversie©VANIN

KENNEN –  + – 

∀a ∈ r, ∀n ∈ n \ {0, 1} : a n = aaaa

n factoren

∀a ∈ r0 : a 0 = 1 ∀a ∈ r : a 1 = a

∀a ∈ r0, ∀n ∈ n : a–n = 1 a n

∀a ∈ r0 : a–1 = 1 a ∀a, b ∈ r0, ∀n ∈ n : a b –n = bn a n

∀a ∈ r0, ∀m, n ∈ z : aman = am+n

Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen.

∀a ∈ r0, ∀m, n ∈ z : a m a n = a m – n

Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken.

∀a ∈ r0, ∀m, n ∈ z : (am)n = amn

Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen.

∀a,b ∈ r0, ∀m ∈ z : (a ? b)m = am ? bm

Om een product tot een macht te verheffen, moet je elke factor tot die macht verheffen.

∀a,b ∈ r0, ∀m ∈ z : a b m = a m bm

Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je de teller en de noemer tot die macht verheffen.

De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.

KUNNEN

De rekenregels voor het rekenen met machten toepassen bij het rekenen met getallen en letters.

Omzetten van decimale naar wetenschappelijke schrijfwijze en omgekeerd.

Berekeningen uitvoeren met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.

4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen

KENNEN

∀a, b ∈ r, ∀x ∈ r+ : axbxabx += (+ ) en axbxabx –= (– )

Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die getallen.

∀a, b ∈ r+ : abab =

Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van de grondtallen.

Proefversie©VANIN

∀a ∈ r+ , ∀b ∈ r+ 0 : a b a b =

Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer.

∀a ∈ r, ∀b ∈ r+ 0 : a b ab bb ab b ab b == () = 2

De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal.

∀a ∈ r+ 0, ∀z ∈ z : aa z z ) ( = KUNNEN

De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in woorden en symbolen.

Die rekenregels toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen. Bewerkingen met wortelvormen benaderend uitvoeren met behulp van een rekenmachine.

De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels bewijzen.

Oefeningen oplossen, rekening houdend met de volgorde van de bewerkingen.

Problemen uit JWO

1. Hoeveel drietallen van opeenvolgende natuurlijke getallen bestaan er zodat een van de getallen een volkomen kwadraat is en de andere twee priemgetallen zijn?

A) r 1 B) r 2 C) r 3 D) r 4 E) r oneindig veel

JWO,editie2020,tweederonde

2. Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken, neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn?

Proefversie©VANIN

A) r 322 B) r 326 C) r 335 D) r 337 E) r 339

JWO,editie2019,tweederonde

3. De volgende staafdiagrammen geven de resultaten van vijf toetsen weer. Welk van de diagrammen stelt gegevens voor waarvan de mediaan groter is dan het gemiddelde?

A)

JWO,editie2018,tweederonde

4. De cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 worden in die volgorde vervangen door opeenvolgende letters van het alfabet. Als je weet dat uspmru het kwadraat van een natuurlijk getal is, wat is dan dat natuurlijk getal?

A) r pmr B) r uts C) r qop D) r upm E) r rrn

JWO,editie2017,tweederonde

Proefversie©VANIN

5.1 Verbanden tussen grootheden

5.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke r

De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p ? r 2

De straal van een cirkel is 9 cm.

Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Vul de tabel aan. Rond de oppervlakte af op 0,01 cm2

r (cm)123456input

A (cm2) output

Algemeen

De formule A = p ? r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (de straal) en A (de oppervlakte).

De waarde van A hangt af van de gekozen waarde van r

In de formule is r de onafhankelijke veranderlijke (de input) en A de afhankelijke veranderlijke (de output).

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je

• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken (de input);

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke (de output).

In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.

Voorbeelden

Bepaal telkens de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke(n).

• Je koopt een aantal broodjes bij de bakker. Het verband tussen het aantal gekochte broodjes n en de totale prijs p (in euro) is p = 0,75 n .

De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is

Proefversie©VANIN

• De oppervlakte A van een driehoek met basis b (in cm) en hoogte h (in cm) wordt berekend met de formule A = b ? h 2

De onafhankelijke veranderlijken zijn

De afhankelijke veranderlijke is EXCEL

5.1.2 Grafische voorstelling van een verband

Om de grootte van een volwassen mens te schatten, gebruiken antropologen de formule

y = 2,881 1x + 70,923.

Daarbij is x de lengte van het bovenarmbeen en y de totale lengte, beide in cm.

In werkelijkheid zijn er fysische beperkingen aan die gegevens.

a) Teken een grafische voorstelling van dat verband, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen voor x en y. In de tabel zijn waarden voor x gekozen. Bereken y op 1 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

b) Bij opgravingen vinden wetenschappers een bovenarmbeen van een volwassen man uit de prehistorie. Het been heeft een lengte van 29,2 cm. Bereken de grootte van die man.

c) De grootste mens ooit is Robert Wadlow (1918-1940). Hij stierf op 22-jarige leeftijd en was toen 272 cm groot. Bepaal op 1 cm nauwkeurig hoe lang zijn bovenarmbeen was.

Vanuit de grafiek:

Uit de vergelijking:

Oefeningen

REEKS A

1 Onderzoek bij zoogdieren heeft uitgewezen dat er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht en de hersenmassa. Met uitzondering van de apen (zij hebben meer hersenen dan de andere dieren)

wordt het verband gegeven door de formule y = 1,021x + 77,41. Daarbij is x het lichaamsgewicht (in kg) en y de hersenmassa (in g).

a) Vul de tabel aan. Bepaal op 1 g nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

zoogdier x (kg) y (g) zoogdier x (kg) y (g)

koe 465 giraf539

wolf36,33 kangoeroe35

geit27,66 schaap55,5

ezel187,1 panter100

paard521

varken192

b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. gebruik de tabel, waarin de waarden voor x gegeven zijn.

c) Hoe groot is de hersenmassa van een zoogdier met een lichaamsgewicht van 225 kg?

• grafische bepaling:

• algebraïsche bepaling:

De celsiusschaal: Die schaal is ontworpen door de Zweed Anders celsius (1701-1774).

In zijn schaal is 0 graden gelijk aan de temperatuur waarop water bevriest, en 100 graden gelijk aan de temperatuur waarop water kookt.

De fahrenheitschaal: De Duitser gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de gemiddelde menselijke lichaamstemperatuur.

De kelvinschaal: De Engelse natuurkundige William Thomson Kelvin (1824-1907) ontwikkelde

een schaal waarbij de waarde 0 wordt toegekend aan het absolute nulpunt op aarde (−273,15 ºc).

De onderverdeling gebeurt zoals bij de graden celsius, zodat bijvoorbeeld 0 ºc gelijk is aan 273,15 K.

Die schaal wordt in de natuurkunde als basiseenheid (SI-eenheid) gebruikt om temperaturen te meten.

Proefversie©VANIN

2 Je kunt de volgende formule gebruiken om graden Fahrenheit om te zetten naar graden Celsius: c = 5 9 (f − 32). Daarbij is f het aantal graden Fahrenheit (ºF) en c het aantal graden Celsius (ºC).

a) Vul de tabel aan.

(ºF)

c (ºc)

b) Vorm de formule om zodat je ºc kunt omzetten naar ºF.

c) In Brugge is het op een gegeven moment 24 ºc.

Een Amerikaan vraagt zich af hoeveel ºF dat is. Help hem even.

3 Een fabrikant van conservenblikjes krijgt de opdracht een cilindervormig blik te ontwerpen met een diameter van 10 cm en een volume van 1 l. Bereken de hoogte op 0,01 cm nauwkeurig.

REEKS B

4 Als een afstand s in een tijd t wordt afgelegd, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan v = s t .

a) Je legt een afstand van 20 km af. Bepaal de formule waarbij t de onafhankelijke veranderlijke en v de afhankelijke veranderlijke is.

De formule wordt:

b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Bereken in stappen van 20 minuten.

Proefversie©VANIN

c) Bepaal grafisch en algebraïsch wat de gemiddelde snelheid is van iemand die de afstand in 20 minuten aflegt.

• grafisch:

• algebraïsch:

d) Bepaal grafisch en algebraïsch hoelang je maximaal over 20 km mag doen om een gemiddelde snelheid van meer dan 40 km/h te halen.

• grafisch:

• algebraïsch:

e) Vul aan.

Hoe groter de tijd, hoe de snelheid.

Hoe hoger de snelheid, hoe de tijd.

REEKS C

5 Neem het verband gegeven door de formule xy 9 + 4 = 1 22 .

a) Vorm de formule om naar y

Proefversie©VANIN

b) Teken de grafische voorstelling van het verband.

c) Hoe noem je de getekende figuur?

d) Verklaar de symmetrie in de grafiek.

5.2 Reële functies

5.2.1 Definitie

Je leert in de natuurkunde dat water kookt bij 100 ºc bij een normale luchtdruk.

Hoe hoger je komt, hoe lager de luchtdruk.

Daardoor zal het kookpunt van water lager zijn dan 100 ºc.

Per kilometer hoogte vermindert het kookpunt ongeveer met 3 ºc.

geef het verband tussen het kookpunt y, in ºc, en de hoogte x, in km.

Proefversie©VANIN

Vul de tabel aan en teken de grafiek van het verband.

Wat is in dit voorbeeld de onafhankelijke veranderlijke?

Een waarde van de onafhankelijke veranderlijke noem je een argument

Voorbeelden:

Wat is in dit voorbeeld de afhankelijke veranderlijke?

Een waarde van de afhankelijke veranderlijke noem je een beeld

Voorbeelden:

Voor een bepaalde hoogte kan er maar één temperatuur zijn. Een dergelijk verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft, noem je een functie

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

5.2.2 Benamingen en notaties

Een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie

Een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h

Je kunt een functie op twee manieren noteren.

functievoorschrift

f (x) = 2x − 1

f (x) = x 2

f (x) =

functievergelijking

f: y = 2x − 1

f: y =

f: y = x 3 + x 2 + x − 1

Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde

Vervang je in het functievoorschrift x door −2, dan bereken je de functiewaarde in −2.

Notatie

f (−2)

Voorbeeld

f (x) = 2x + 1

Proefversie©VANIN

f (−1) = 2 ? (−1) + 1 = −1 f (2) =

g (x) = x 3 − 2xg (−2) = g (0) =

5.2.3 Grafiek van een functie

Je kunt een functie voorstellen door een grafiek

Voorbeeld

f (x) = x2

Je bepaalt een aantal functiewaarden, die je in een tabel noteert.

xf (x) −2

Om de grafiek van de functie te tekenen, ga je als volgt te werk:

• Je berekent de functiewaarden van een aantal argumenten.

• Je tekent de roosterpunten (x, f (x)).

• Je verbindt de roosterpunten met een vloeiende lijn. y

5.2.4 Functie of geen functie

grafiek functievergelijking

Met de verticale lijntest kun je controleren of de grafiek een functie voorstelt.

Elke verticale rechte die je tekent, heeft hoogstens één snijpunt met de grafiek.

Elk argument heeft namelijk hoogstens één functiewaarde.

Voorbeeld

Uit de vergelijking en de tabel kun je afleiden of een verband tussen y en x een functie is.

Proefversie©VANIN

Elk argument x mag hoogstens één beeld y hebben.

het verband met vergelijking y = +2 x

Tegenvoorbeeld

het verband met vergelijking x 2 +

Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.

Voorbeeld:

Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.

Voorbeeld:

René Descartes (1596-1650) was een Franse wiskundige die voor het eerst gebruikmaakte van het rechthoekige assenstelsel. Daardoor kon hij meetkundige elementen beschrijven met getallen en vergelijkingen. Descartes was ook de eerste die de term ‘functie’ gebruikte.

Leonard Euler (1707-1783), een Zwitserse wiskundige, noteerde voor het eerst een functie onder de vorm f (x).

Oefeningen

REEKS A

6 Stellen de grafieken functies voor?

a) e) i)

b) f) j)

d) h) l)

7 Zijn de verbanden functies?

onafhankelijke veranderlijke (x) afhankelijke veranderlijke (y) functie

a) het verband tussen de zijde van een vierkant en de oppervlakte de zijde de oppervlakte r ja r nee

Verklaring:

Proefversie©VANIN

b) het verband tussen een getal en zijn vierkantswortels r ja r nee

Verklaring:

c) het verband tussen de ribbe van een kubus en het volume r ja r nee

Verklaring:

8 f (x) = x 2 − 1

Vervolledig de tabel van de functiewaarden. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. x

9 In een warenhuis kost een flesje douchegel 3 euro.

a) Vul de tabel in voor een aankoop tussen 0 en 6 flesjes. Teken de punten in het assenstelsel. x is

b) Mag je hier de punten verbinden?

Waarom (niet)?

REEKS B

10 Zijn de verbanden met onafhankelijke veranderlijke x en afhankelijke veranderlijke y functies? Verklaar.

functie

a) y = x 2 r ja r nee

b) y 2 = x r ja r nee

c) x 2 + y 2 = 16 r ja r nee

11 Stellen de grafieken functies voor?

a)

verklaring

12 Om de remweg van een auto te berekenen, kun je de formule r = 16 v 2 gebruiken.

Daarbij is r de remweg in m, en v de snelheid van de auto in m/s.

a) Vul de tabel aan. Benader r op 0,1 m. Teken de grafiek.

Proefversie©VANIN

b) Bereken de remweg op 0,1 m nauwkeurig, als je 70 km/h rijdt.

c) De politie meet een remweg van 45 m. Hoe snel (in km/h) reed de auto minimaal?

13 Bereken k zodat het punt P tot de grafiek van de functie behoort.

a) f (x) = x 2 + 2x – 1 co (P) = (1, k)c) f (x) = 0,3x – 0,25 co (P) = (k, 0)

b) f (x) = 3 (– 1)(+ 1) xx

co (P) = (–2, k)d)

f (x) = x 2 – 3

co (P) = (k, 3)

5.2.5 Domein van een functie

Voorbeeld

Het omgekeerde van een getal: f (x) = 1 x Bereken enkele functiewaarden.

Proefversie©VANIN

Heeft elk reëel getal een omgekeerde?

Je zegt dat alle reële getallen behalve tot het domein van f behoren.

Notatie: dom f =

Definitie Domein

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

In symbolen

dom f = {x ∈ r | f(x) ∈ r}

Het domein herkennen op de grafiek

Je projecteert de grafiek op de x-as.

dom f = dom f = dom f =

Praktisch domein

De batterij van de elektrische auto van Elon heeft een maximumcapaciteit van 75 kWh.

Je kunt 500 km rijden met de auto tot de batterij volledig leeg is.

Hoeveel kWh verbruikt de auto gemiddeld per km?

Het verband tussen de capaciteit f (x) en het aantal kilometer x druk je uit met een functie.

f (x) =

Die functie heeft als wiskundig domein r

Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk argumenten kiezen die kleiner zijn

dan of groter dan

Het praktisch domein van pdomf f is

5.2.6 Bereik van een functie

Voorbeeld

De positieve vierkantswortel van een getal: f (x) = x

Bereken enkele functiewaarden.

Proefversie©VANIN

dom f =

Merk op dat f (x) altijd een positief reëel getal is.

Je zegt dat het bereik van f gelijk is aan r+

Notatie: ber f =

Definitie Bereik

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

In symbolen ber f = {f(x) � x ∈ dom f }

Het bereik herkennen op de grafiek

Je projecteert de grafiek op de y-as.

ber f = ber f = ber f =

Praktisch bereik

Het verband tussen de capaciteit f (x) van Elons auto en het aantal kilometer x druk je uit met de functie f (x) = .

Die functie heeft als wiskundig bereik r

Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk functiewaarden bereiken

die kleiner zijn dan of groter dan

Het praktisch bereik van pberf f is

Oefeningen

REEKS A

14 Bepaal het domein en het bereik van de functies.

a) d) g)

c) f) i)

15 Bepaal het domein en het bereik van de functies.

dom f ber f

a) f (x) = 2x f) f (x) = 3x – 1

b) f (x) = x 2 g) f (x) = x 2 – 1

c) f (x) = 2 x h) f (x) = x + 2

d) f (x) = x + 2 i) f (x) = 1 +2 x

e) f (x) = 2x j) f (x) = –1 2 x

16 Bepaal het praktisch domein en het praktisch bereik van de functies.

a) Een wagen verbruikt gemiddeld 6 l benzine per 100 km.

De inhoud van de tank is 60 l.

x is f (x) is

f (x) = pdom f = pber f =

b) Onze buurman weegt 120 kg.

dom f ber f

Proefversie©VANIN

De diëtist zet hem op een dieet dat 3 kg gewichtsverlies per maand moet opleveren.

Hij stopt met het dieet wanneer hij 75 kg weegt.

x is f (x) is

f (x) = pdom f = pber f =

c) clarissa staat op de rommelmarkt en verkoopt haar oude strips tegen 1,50 euro per stuk.

Ze heeft een voorraad van 150 strips.

x is f (x) is

f (x) = pdom f = pber f =

REEKS B

17 Bepaal het domein en het bereik van de functies. a) d) g)

Proefversie©VANIN

b) e) h)

dom f = dom f = dom f =

ber f = ber f = ber f =

18 Bepaal het domein en het bereik van de functies. Verklaar je antwoord.

a) f (x) = 1 2 x d) f (x) = –2x 2 + 3

Proefversie©VANIN

b) f (x) = 2 –1 x e) f (x) = 4 +3 –1 x

c) f (x) = +5 x f) f (x) = –3 +5 x

REEKS C

19 Bepaal het praktisch domein en bereik van de functies.

a) Je verdeelt een liter water onder maximaal 6 personen.

x is f (x) is

f (x) = pdom f = pber f =

b) De hoogte h (in m) van een vallende bal x seconden nadat je hem van een toren hebt laten vallen, is h (x ) = 40 – 5x 2

pdom f = pber f =

5.2.7 Nulwaarden van een functie

Uit de tabel

Vul de tabel in. x −10123 f (x)

Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?

Proefversie©VANIN

Uit de grafiek

Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?

Uit de vergelijking

Uit de tabel of de grafiek lees je af waar het beeld of de functiewaarde f (x) gelijk is aan 0. Je lost dus de vergelijking f (x) = 0 op.

f (x) = 0

f (x) = 0

x 2 − 1 = 0

x 2 = 1

x = –1 of x = 1

f (x) = 0

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is.

In symbolen

a is een nulwaarde van f ⇔ f (a) = 0

Wat is het verband tussen de nulwaarde van een functie en het gemeenschappelijk punt van de grafiek van de functie met de x-as?

( , 0) is de coördinaat van het met de x-as. ( , 0) en ( , 0) zijn de coördinaten van de met de x-as.

( , 0) is de coördinaat van het met de x-as.

Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as.

5.2.8 Tekenschema van een functie

In een tekenschema noteer je voor welke argumenten het beeld positief, negatief of nul wordt. Bekijk de tabel met de volgende functiewaarden.

f (x)15076329,20−1,601,720,902,2123580155270

• Wat zijn de nulwaarden?

• Voor argumenten kleiner dan −2 zijn de functiewaarden positief.

• Voor argumenten tussen −2 en −1 zijn de functiewaarden negatief.

• Voor argumenten tussen −1 en 1 zijn de functiewaarden

• Voor argumenten groter dan 1 zijn de functiewaarden

Dat kun je schematisch voorstellen in een tekenschema

Proefversie©VANIN

• Als de grafiek onder de x-as ligt, is f (x)

• Als de grafiek boven de x-as ligt, is f (x)

• Als de grafiek de x-as snijdt of raakt, is f (x)

• Als er bij een nulwaarde een tekenverandering in het beeld voorkomt, dan snijdt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde.

• Als er bij een nulwaarde geen tekenverandering in het beeld voorkomt, dan raakt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde.

5.2.9 Verloop van een functie

De tabel en de grafiek tonen waarnemingen van de temperatuur in Ukkel op een dag in de lente.

• In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur toe?

De functiewaarden nemen toe als het argument toeneemt. Je noemt de functie stijgend

• In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur af?

De functiewaarden nemen af als het argument toeneemt. Je noemt de functie dalend

Definitie Relatief minimum en relatief maximum

Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen.

Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

• Op welk tijdstip bereikt de temperatuur een relatief minimale waarde?

Wat is die minimale waarde?

Proefversie©VANIN

• Op welk tijdstip bereikt de temperatuur een relatief maximale waarde?

Wat is die maximale waarde?

Het verloop van de temperatuur kan je samenvatten in een tabel.

Algemeen Tekenschema en verloop van een functie

Oefeningen

REEKS A

20 Lees de nulwaarde(n) af op de grafiek.

Proefversie©VANIN

21 Bereken de nulwaarden van de functies.

a) f (x) = 2x + 1 d) f (x) = –x 2 – 5

b) f (x) = –5x – 10 e) f (x) = 1 – 4x 2

c) f (x) = 2x 2 f) f (x) = (x + 2) (3x – 1)

22 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

Proefversie©VANIN

REEKS B

23 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

•

Proefversie©VANIN

24 Mia heeft een bedrijf waar je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek geeft de dagelijkse winst w (x) (in euro) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte ruikers x.

Proefversie©VANIN

a) Bepaal het tekenschema van w (x). x w (x)

b) Hoeveel ruikers moet Mia verkopen om winst te maken?

c) Bij welke verkoop maakt Mia verlies?

d) Bepaal het verloop van de functie w x w

e) Mia heeft een voorraad van 65 ruikers. Hoeveel moet ze er verkopen om een maximale winst te hebben?

Wat is de maximale winst?

f) geef de betekenis van het relatieve minimum.

STUDIEWIJZER Inleiding tot reële functies

5.1 Verbanden tussen grootheden

voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN

In een formule die het verband tussen verschillende grootheden weergeeft, noem je

• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken of inputveranderlijken;

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke of outputveranderlijke.

KUNNEN –

In een gegeven formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke onderscheiden.

In een formule de waarde van de afhankelijke veranderlijke berekenen bij een gegeven waarde van de onafhankelijke veranderlijke.

Het verband tussen twee grootheden weergeven door middel van een formule, een tabel en een grafiek.

5.2 Reële functies

Proefversie©VANIN

KENNEN –  +

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

dom f = {x ∈ r � f (x) ∈ r}

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

ber f = {f (x) � x ∈ dom f }

Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is. a is een nulwaarde van f ⇔ f (a) = 0

Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as.

KUNNEN

In een tabel, een grafiek of een formule een functie herkennen.

De grafische voorstelling maken van eenvoudige functies.

Een functiewaarde aflezen op een grafiek of berekenen uit een voorschrift.

Het domein van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift.

Het praktisch domein afleiden uit de context.

Het bereik van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift.

Het praktisch bereik afleiden uit de context.

De nulwaarde van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek.

Het tekenschema van een functie bepalen uit de grafiek.

Pienter problemen oplossen

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

1. Bart en Dirk vertrekken elk met hun auto vanop dezelfde plaats en leggen exact hetzelfde traject af. Bart vertrekt 10 minuten vroeger dan Dirk.

Als Bart gemiddeld 72 km/h rijdt en Dirk gemiddeld 90 km/h, op hoeveel km van het beginpunt zullen ze dan naast elkaar rijden?

3. Een trein rijdt met een snelheid van 90 km/h en nadert een tunnel van 2,5 km lang.

De trein is 250 meter lang. Bereken de tijd (in minuten en seconden) vanaf het moment dat de voorkant van de trein de tunnel in gaat, tot het moment dat de achterkant van de trein de tunnel verlaat.

❑ logisch nadenken

❑

2. Lasse fietst met een gemiddelde snelheid van 8 km/h een helling op. Met welke gemiddelde snelheid moet hij diezelfde helling afdalen om een totale gemiddelde snelheid van 12 km/h te halen?

4. Nele en Annemie starten gelijktijdig vanop dezelfde plaats en fietsen hetzelfde traject.

Proefversie©VANIN

Nele rijdt met een gemiddelde snelheid van 25 km/h en Annemie fietst aan 20 km/h.

Als Nele na 45 km stopt, hoelang zal het dan duren vooraleer Annemie weer bij Nele is?

HOOFDSTUK 6 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Proefversie©VANIN

6.1.1 Gelijkheden

7

Al die uitspraken noem je gelijkheden.

Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

Benamingen

Een gelijkheid bestaat uit twee delen.

5 + 7 ⏟ eerste lid linkerlid = 15 – 3 ⏟ tweede lid rechterlid

Eigenschap 1

5 + 7 = 15 – 3 en (5 + 7) + 8 = (15 – 3) + 8

5 + 7 Proefversie©VANIN

15 – 3

Eigenschap Gelijkheid met termen

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

6 – 1 = 3 + 2 en

(6 – 1)  2 = (3 + 2)  2

17 – 9 = 8 en

17 – 9 4 = 8 4 ∀

Eigenschap Gelijkheid met factoren

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Opmerking

Vaststelling

5 + 7 = 15 – 3

en

15 – 3 = 5 + 7

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.

∀ a,b ∈ r: a = b ⇔ b = a

18 3 = 3 + 3

en

3 + 3 = 18 3

6.1.2 Vergelijkingen

Definitie Vergelijking

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend reëel getal.

Meestal gebruik je de letter x om het onbekende getal voor te stellen.

Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt.

De vergelijking x – 9 = –16 heeft als oplossing x = –7, omdat –7 – 9 = –16.

De oplossing(en) van een vergelijking noteer je als een verzameling. Meestal kies je V

Bij vraagstukken met vergelijkingen formuleer je altijd een antwoord.

6.1.3 Even herhalen

Vergelijkingen van de vorm x + a = b (met a, b ∈ r)

Overbrengen van termen

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

x + a = b wordt x = b – a

x – a = b wordt x = b + a

Voorbeelden

Na een korting van 15 euro kost je nieuwe T-shirt nog 38 euro. Hoeveel kostte het T-shirt eerst?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

Vergelijkingen van de vorm a x = b (met a ∈ r0, b ∈ r)

Overbrengen van factoren

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

x  a = b wordt x = b a

x a = b wordt x = b  a

Op een fuif krijgt Nabil voor 15 euro zes drankjes. Hoeveel kost één drankje?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

• controle:

• antwoord:

• controle:

• antwoord:

6.1.4 Eerstegraadsvergelijkingen

Definitie

Eerstegraadsvergelijking in één onbekende

Een eerstegraadsvergelijking in één onbekende x is een vergelijking met als standaardvorm ax + b = 0 (met a ∈ r0 en b ∈ r).

Voorbeeld 1

Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende.

Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee, als de hele stoet 31 m lang is?

• keuze van de onbekende:

x is het aantal olifanten.

• opstellen van de vergelijking:

3 x + 7 = 31

• oplossen van de vergelijking:

3x + 7 = 31

3x = 31 – 7

3x = 24

x = 24

3

x = 8

• controle:

3 8 + 7 = 24 + 7 = 31

• antwoord:

Er lopen 8 olifanten mee in de stoet.

Voorbeeld 2

–5

Werkwijze

a) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid.

b) Reken dat lid uit.

c) Breng de bekende factor naar het andere lid.

d) Bereken de onbekende.

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

controle:

controle:

6.1.5 Vergelijkingen oplossen

Een tuinman krijgt de opdracht een rechthoekig grasperk aan te leggen.

De omtrek moet 160 m zijn.

De lengte moet 30 m groter zijn dan de breedte.

Bereken de lengte en de breedte van dat grasperk.

• keuze van de onbekende:

x is de breedte van het grasperk; dan is de lengte van het grasperk x + 30.

• opstellen van de vergelijking:

2  [(x + 30) + x] = 160 of 2  (2x + 30) = 160

• oplossen van de vergelijking:

2  (2x + 30) = 160

Proefversie©VANIN

Werkwijze

• antwoord: De breedte van het grasperk is m en de lengte is m.

• controle:

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Werk de noemers weg door elke term gelijknamig te maken.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Voorbeelden

Oefeningen

REEKS A

1 Los de vergelijkingen op.

a) 2x + 7 = 19 f) –1 2 + x = 3 4

Proefversie©VANIN

b) –x + 8 = –15 g) x –2 3 = 3

c) 3 x = –21 h) 4 x – 2 = 6

d) 5x = 11 i) –6x + 5 = –7

e) 8x – 3 = 17 j) 3 4 x = –21

REEKS B

2 Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig.

a) 3x + 5 = 7 f) 2 + x = 3

Proefversie©VANIN

b) 3,3x – 2,4 = 4,2 g) 0,2x + 1 2 = 3 4

c) p – 2p x = 3p h) 3x – 4 3 = 1

d) 2x – 2 = 1 i) px + 0,31 = 0

e) –2 5 x + 1 3 = 1 2 j) 5 x + 1 = 5

3 Los de vergelijkingen op.

a) 3x + 15 = 22 − 10x

e) 5x + 9 = 2  (x + 3)

Proefversie©VANIN

b) −2x − 8 = 3x + 7 f) 5x − (2x − 8) = 4x + 23

c) 3x − 9 + 6x = 2x + 12 g) 9  (2x + 7) = 8 − (x + 2)

d) –3 8 x + 1 4 = 4 3 –6 x h) 6 5 x –16 5 = –2 3 x

Proefversie©VANIN

REEKS C

5 Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig.

a) 5 + x 2 = –x + 3 10

c) 3 4 (x – 2 ) –x 6 + 8 = –3 2

Proefversie©VANIN

b) 1 3 (5 + 2x ) = 25 12 + 1 4 (5x + 3)

d) 1 2 x + 3 + 1 4 1 3 x – 3 = 23

6.1.6 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen

Werkwijze

• Lees aandachtig het vraagstuk en bepaal de hoofdonbekende. Noteer die als x

• Druk de eventuele nevenonbekenden uit in functie van x.

• Lees opnieuw het vraagstuk en zet de gegevens om in een vergelijking.

• Los de vergelijking op.

• Controleer en formuleer een antwoord.

Voorbeeld 1

Thomas betaalt 5 euro per maand voor een gsm-abonnement. Als dat bedrag verbruikt is, betaalt hij 0,20 euro per minuut die hij extra belt. In de maand december betaalt hij 7,40 euro. Hoeveel minuten heeft Thomas in december extra gebeld?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

Voorbeeld 2

Om zijn tuin verder af te werken, plaatst Enrico 15 m omheining rond de cirkelvormige waterput en de trapeziumvormige vijver.

Bepaal de straal r van de cirkelvormige waterput op 0,01 m nauwkeurig.

• keuze van de onbekende:

Proefversie©VANIN

• antwoord:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

6

Oefeningen

REEKS A

Los op.

a) Als je het dubbel van een getal aftrekt van 163, krijg je 67. Welk getal is dat?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

b) Een plank van 3,20 m zaag je in zes gelijke stukken. Je houdt nog 2 cm van de plank over. Hoe lang is elk stuk?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

c) In een gelijkbenige driehoek is de tophoek 56º. Hoe groot is elke basishoek?

• keuze van de onbekende:

Proefversie©VANIN

• controle:

• antwoord:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

d) Een arbeider krijgt per week een vast loon van 190 euro. Daarbovenop krijgt hij 0,85 euro per afgewerkt product. In één week heeft hij 453,50 euro verdiend. Hoeveel artikelen heeft hij die week afgewerkt?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

7 Los op.

a) De som van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 559. Bepaal die twee getallen.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

b) Als je een getal verdubbelt en daarna met 5 vermeerdert, dan is het resultaat gelijk aan het zevenvoud van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

c) Als je een getal vermeerdert met 6 en dan die som vermenigvuldigt met 4, vind je −112. Bereken dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

• controle:

• antwoord:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

d) Het dubbel van een getal, vermeerderd met 16, is gelijk aan twee derde van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

REEKS B

8 Van twee flatgebouwen is het hoogste 34 m minder hoog dan het dubbel van het laagste flatgebouw.

De gezamenlijke hoogte van de twee gebouwen is 80 m.

Bereken de hoogte van het laagste gebouw.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

9 Voor een filmvoorstelling betalen volwassenen 6 euro en kinderen 3,50 euro.

Er zitten 192 mensen in de zaal. In de kassa zit 909,50 euro aan inkomsten.

Hoeveel kinderen zitten er in de zaal?

Antwoord:

10 Een elektricien knipt een 28 m lange draad in twee stukken, zodat het ene stuk 3 m langer is dan het andere. Bereken hoe lang elk stuk draad is.

Antwoord:

11 De tophoek van een gelijkbenige driehoek is driemaal zo groot als een basishoek.

Bereken de grootte van een basishoek.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

12 De lengte van een rechthoek is 2 cm meer dan het drievoud van de breedte. De omtrek is 80 cm.

Bereken de breedte van die rechthoek.

Antwoord:

13 De ene scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is 9º kleiner dan het dubbele van de andere scherpe hoek. Bereken beide hoeken.

Antwoord:

14 Katja koopt een rokje in de soldenperiode. Ze krijgt 25 % korting en betaalt 52,50 euro.

Hoeveel zou het rokje gekost hebben zonder korting?

Antwoord:

15 Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud.

Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder.

Hoe oud zijn ze nu?

Antwoord:

16 Boer André heeft enkel kippen en koeien op zijn bedrijf.

In totaal heeft hij 136 dieren.

Als hij het aantal poten telt, vindt hij er 436.

Hoeveel kippen en hoeveel koeien heeft hij?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

17 Een handelsreiziger heeft een vaste maandwedde van 1 100 euro. Daarboven krijgt hij 6 % van de verkoopprijs van de door hem verkochte producten. In oktober verdiende hij 2 709,20 euro. Voor welk bedrag heeft hij verkocht?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

18 Een plank van 6,50 m moet in twee stukken worden gezaagd, zodat het kortste stuk 60 % van het langste stuk is. Bereken de lengte van beide stukken.

Antwoord:

19 De omtrek van een rechthoek, waarvan de lengte 2,5 keer de breedte is, is gelijk aan de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 5 cm en 7 cm. Bereken de afmetingen van die rechthoek. Rond af op 0,01 cm.

Antwoord:

20 Benzine kost op een gegeven moment 1,822 euro per liter. Hassan tankt voor 50 euro benzine.

Hoeveel kilometer zal hij kunnen rijden, als het gemiddelde verbruik van zijn auto geraamd wordt op 6 l per 100 km? Rond af op 1 km.

Antwoord:

Proefversie©VANIN

21 Een belegd broodje is 18 cm lang. Xavier, Dennis en Lana willen het broodje in drie stukken verdelen, zodat Xavier de helft krijgt van Lana en Dennis drie vierde van Lana.

Hoe lang moet elk stuk zijn?

Antwoord:

22 Van drie getallen is gegeven dat het tweede getal 6 minder is dan drie keer het eerste getal.

Het derde getal is 2 meer dan twee derde van het tweede. De som van de drie getallen is 172. Bereken die drie getallen.

Antwoord:

REEKS C

23 Een constructiebedrijf krijgt van een grote wijnhandelaar de opdracht een koperen vat te maken, zoals op de figuur is afgebeeld. De straal van het grondvlak moet 0,65 m zijn en de hoogte van het cilindervormige gedeelte moet anderhalve keer de hoogte van het kegelvormige gedeelte zijn.

Het vat moet in totaal 2 500 l wijn kunnen bevatten.

Bereken de hoogte van de volledige constructie (op 0,01 m nauwkeurig).

Proefversie©VANIN

24 Een wijnhandelaar mengt 25 liter wijn van 4,60 euro per liter met 35 liter duurdere wijn.

Het mengsel kost 4,95 euro per liter.

Wat is de kostprijs per liter van de duurdere wijn?

25 Een wagen heeft een brandstoftank van 65 l. De wagen verbruikt 7,2 l benzine per 100 km in vlot verkeer en 8,6 l per 100 km in stadsverkeer.

De chauffeur rijdt gemiddeld 2 7 van zijn kilometers in stadsverkeer.

Hoeveel kilometer kan hij afleggen met een volle brandstoftank? Rond af op 1 km.

Proefversie©VANIN

26 Caroline verdiende vorige maand 20,30 euro meer dan Karel. Deze maand kregen ze allebei opslag. Caroline kreeg 2,5 % opslag en Karel verdient nu 3 % meer dan vorige maand. Hun gezamenlijke maandelijkse inkomen bedraagt nu 3 983,12 euro.

Hoeveel verdienden ze vorige maand elk?

27 Een cilindervormige ton heeft een straal van 0,5 m.

Op een bepaald moment is de ton volledig gevuld met water.

Jan haalt 1 4 van het water eruit. Daarna haalt Yannick 2 3 van wat overbleef uit het vat.

Nu is er nog 25 l in het vat. Bereken de hoogte van de ton. Rond af op 0,01 dm.

Proefversie©VANIN

28 Een mountainbiker beklimt een helling met een gemiddelde snelheid van 11 km/h.

Hij daalt dezelfde helling af met een gemiddelde snelheid van 43 km/h.

Voor de afdaling heeft hij 8 minuten minder nodig dan voor de beklimming.

Bereken de lengte van de helling.

29 In een wetenschappelijke bibliotheek staan 400 boeken. Het aantal chemieboeken bedraagt 46 % van het aantal fysicaboeken, het aantal fysicaboeken bedraagt 65 % van het aantal wiskundeboeken en het aantal biologieboeken bedraagt 17 % van het aantal chemieboeken.

Hoeveel boeken van elke soort staan er in de bibliotheek?

Rond telkens af op een geheel aantal boeken.

Proefversie©VANIN

30 Als je alle leerlingen van een bepaalde richting in groepjes van 3 leerlingen verdeelt, dan blijft er 1 leerling over. Als je dezelfde leerlingen in groepjes van 7 leerlingen verdeelt, dan blijven er 4 leerlingen over. Het aantal groepjes van 3 leerlingen is 2 meer dan het dubbel van het aantal groepjes van 7 leerlingen.

Hoeveel leerlingen zitten er in de richting?

6.1.7 Vergelijkingen bespreken

Bijzondere vergelijkingen

De vergelijkingen die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot de standaardvorm ax + b = 0, met a ≠ 0.

Als, na herleiding van de vergelijking, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden.

• Identieke vergelijkingen

3  (2x − 1) + x = 7x − 3 −2  (px + 3) + p = p  (1 − 2x) − 6

6x − 3 + x = 7x − 3

6x + x − 7x = −3 + 3

0  x = 0

Waarom is elk reëel getal oplossing van die vergelijkingen?

Proefversie©VANIN

V = r

• Valse vergelijkingen

−5  (3 − 4x) + 9 = 2  (10x − 7) 2

−15 + 20x + 9 = 20x − 14

20x − 20x = −14 + 15 − 9

0  x = −8

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan die vergelijkingen?

V = [

Vergelijkingen in spijkerschrift (Babylon, ongeveer 1800 voor Christus)

Vergelijkingen met een parameter bespreken

De vergelijking 2x + 16 = 0 heeft juist één oplossing, namelijk −8.

Als je in die vergelijking de coëfficiënt 2 vervangt door een letter m, dan verkrijg je de vergelijking mx + 16 = 0.

Elke waarde van m levert je een andere vergelijking van de eerste graad op.

Op dezelfde manier kun je ook de coëfficiënt 16 vervangen door een letter.

Een parameter is een letter die een vrij te kiezen reëel getal voorstelt. Als in een vergelijking een parameter voorkomt, noem je die vergelijking een parametervergelijking. Om een parametervergelijking te bespreken, moet je rekening houden met alle mogelijkheden die zich kunnen voordoen, afhankelijk van de waarde van de parameter.

Voorbeeld 1

mx + 16 = 0 ⇔ mx = −16

m ≠ 0

x = –16 m

De vergelijking heeft juist één oplossing.

Proefversie©VANIN

m = 0

0 x = –16

Deze vergelijking heeft geen oplossingen en is dus een valse vergelijking.

V =

–16 m

Voorbeeld 2

x = 0

m – 3

De vergelijking heeft juist één oplossing, namelijk 0.

V = {0}

Elk reëel getal is oplossing van deze identieke vergelijking.

V

Oefeningen

REEKS B

31 Los de vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn vals en welke zijn identiek?

a) 5  (x + 2) + 2x = 5 + 7x d) 3  (2x − 7) − 5 = 2  (3x − 13)

Proefversie©VANIN

b) 3 ( 80 x + 210 ) = 25 (6x + 32 ) e) 3x − ( 27 − 2x) = 5 ( 12 + x)

c) –2 5 x − 3x = –2 5  (7x + 1) f) 3 2  (x − 6) + 4 5 = 4  (6x − 41)

32 Los de vergelijkingen op en bespreek.

a) mx = 5

e) 5x + 7 = 2mx − 3

Proefversie©VANIN

b) 3x = mx − 5 f) 7x + 18 = 3 (6 − mx)

c) mx + 4 = 1 − x g) m  (x − 4) = 4  (x − m)

d) 6mx − 6 = 3x + 3 h) m (x − 4) = −3 (x + 2)

6.2.1 Definitie

• Zijn de ongelijkheden waar of vals? Vink het goede antwoord aan.

Proefversie©VANIN

• Zet de zinnen om in symbolen.

a) Een getal is kleiner dan of gelijk aan 5.

b) Het dubbel van een getal is groter dan dat getal verminderd met 7.

c) Een derde van een getal is kleiner dan de helft van dat getal vermeerderd met 2

• De waarheidswaarde van de volgende ongelijkheden is afhankelijk van de waarde van x Geef voor elke ongelijkheid één waarde voor x die aan de gegeven voorwaarde voldoet, en één waarde voor x die niet aan de voorwaarde voldoet.

x + 3 > 2 x = voldoet x = voldoet niet

3 x < 5 x = voldoet x = voldoet niet

px ⩾ −4 + xx = voldoet x = voldoet niet

Als een bepaalde waarde van x voldoet aan een ongelijkheid, dan noem je dat getal een oplossing van de ongelijkheid.

Hoeveel oplossingen zijn er voor elk van die ongelijkheden?

Definitie Eerstegraadsongelijkheid in één onbekende

Een eerstegraadsongelijkheid in één onbekende x is een ongelijkheid met als standaardvorm

ax + b > 0;

ax + b ⩾ 0;

ax + b < 0 of

ax + b ⩽ 0 (met a ∈ r0 en b ∈ r).

Voorbeeld 1

Een voetbalvereniging huurt een kopieermachine bij een leasingbedrijf.

Maandelijks moeten ze daarvoor 125 euro betalen en daarbovenop 1,5 eurocent per kopie.

Ze willen niet dat hun jaarlijkse budget voor kopies meer dan 1 600 euro bedraagt.

Hoeveel kopies mogen ze hoogstens per jaar nemen?

Stel: x is het jaarlijkse aantal kopies.

• vaste kosten per jaar:

• variabele kosten per jaar:

• totale jaarlijkse kosten:

• op te lossen ongelijkheid:

Voorbeeld 2

Proefversie©VANIN

4 4 x 2 xx

4

Voor welke waarden van x is de omtrek van het trapezium groter dan de omtrek van de driehoek?

• omtrek driehoek:

• omtrek trapezium:

• op te lossen ongelijkheid:

Als je in die ongelijkheid x vervangt door 3, dan verkrijg je , wat juist is.

Het reëel getal 3 is een oplossing van de ongelijkheid.

Als je in die ongelijkheid x vervangt door 1, dan verkrijg je , wat fout is.

Het reëel getal 1 is geen oplossing van de ongelijkheid.

Zijn er nog andere oplossingen van die ongelijkheid?

Om ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende op te lossen, maak je gebruik van de eigenschappen van ongelijkheden.

6.2.2 Eigenschappen van ongelijkheden

Je neemt de ongelijkheid 12 > 11.

Je telt bij beide leden 6 op. Je verkrijgt:

Je trekt van beide leden 13 af. Je verkrijgt:

Eigenschap Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden.

∀ a,b,c ∈ r: a ⩽ b ⇔ a + c ⩽ b + c

Je neemt de ongelijkheid 11 ⩽ 12.

Je vermenigvuldigt beide leden met 2. Je verkrijgt:

Je deelt beide leden door 2. Je verkrijgt:

Eigenschap Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde positieve getal, verschillend van nul, dan blijft de ongelijkheid gelden.

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r+ 0: a ⩽ b ⇔ ac ⩽ bc en a ⩽ b ⇔ a c ⩽ b c

Je neemt de ongelijkheid 11 ⩽ 12.

Je vermenigvuldigt beide leden met −5. Je verkrijgt:

Je deelt beide leden door −2. Je verkrijgt:

Eigenschap Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde negatieve getal, verschillend van nul, dan keert het ongelijkheidsteken om.

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r0: a ⩽ b ⇔ a  c ⩾ b  c en a ⩽ b ⇔ a c ⩾

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

6.2.3 Ongelijkheden oplossen

Voorbeeld 1

Los op: 2x + 3 > 7 2x

Proefversie©VANIN

Alle reële getallen groter dan 2 zijn oplossingen van de ongelijkheid.

De oplossingsverzameling V van de ongelijkheid is ]2, +∞[ .

Die verzameling bevat oneindig veel getallen.

Je kunt die verzameling op de getallenas voorstellen door een open halfrechte.

12 –10 r

Voorbeeld 2

Los op: −3

Oplossingsverzameling: V =

Voorstelling op de getallenas: r Werkwijze

• Werk de haakjes uit.

• Werk de noemers weg door elke term gelijknamig te maken.

• Plaats alle termen die de onbekende bevatten, in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is. Vergeet het ongelijkheidsteken niet om te keren als de coëfficiënt negatief is.

Oefeningen

REEKS A

33 Los de ongelijkheden op.

Proefversie©VANIN

REEKS B

34 Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

REEKS C

35 Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig.

a) 1 4 (5x + 3) > –1 2 (x – 5)

Proefversie©VANIN

b) 8 x + 72 ⩽ 18 x – 50

V

c) x + 2

4 –4x – 3

8 < x – 1

V

6.2.4 Vraagstukken

Voorbeeld 1

Een koppel is op reis en wil een auto huren.

Verhuurfirma Carrent vraagt 55 euro per dag

voor een onbeperkt aantal kilometers.

Verhuurfirma Rentcar vraagt 38 euro per dag plus 0,20 euro per kilometer.

Vanaf hoeveel kilometer is firma Carrent goedkoper?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

Voorbeeld 2

In een squashclub betaal je 75 euro lidgeld per jaar en 3 euro per uur dat je speelt.

Ook niet-leden mogen spelen, maar zij betalen 9 euro per uur.

Vanaf hoeveel uur spelen komt het voordeliger uit om lid te worden van de club?

• keuze van de onbekende:

Proefversie©VANIN

• antwoord:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

• antwoord:

Oefeningen

REEKS A

36 Los op.

a) Bepaal alle reële getallen waarvan het drievoud, verminderd met 8, groter is dan of gelijk is aan het dubbel van dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

b) Bepaal alle gehele getallen die je van 17 5 mag aftrekken, opdat het resultaat kleiner is dan 1 8

• keuze van de onbekende:

Proefversie©VANIN

• antwoord:

REEKS B

37 Los op.

a) Bepaal alle reële getallen waarvan de som van het getal met 15, kleiner is dan het viervoud van het getal.

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

• antwoord:

b) Annemie heeft voor haar drie toetsen wiskunde respectievelijk 91 %, 86 % en 89 % behaald. Ze krijgt morgen een vierde toets. Hoeveel moet ze voor die vierde toets scoren om een gemiddelde van minstens 90 % te behalen?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

• antwoord:

• antwoord:

38 Foto’s afdrukken kost 0,20 euro per foto bij een fotograaf.

Een firma die reclame maakt op het internet, ontwikkelt foto’s voor 0,10 euro per foto, maar je moet 2,95 euro betalen voor de verzending.

Tot hoeveel foto’s is de fotograaf goedkoper?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

39 Twee handelsvertegenwoordigers worden door hun werkgever als volgt betaald:

• An verdient 1 500 euro per maand + 4 % op het verkoopbedrag.

• Anosh verdient 1 300 euro per maand + 6 % op het verkoopbedrag.

Vanaf welk verkoopbedrag (in euro) heeft Anosh een hoger maandinkomen dan An?

Antwoord:

40 Jeroen haalt geld af in het buitenland. Als hij zijn Maestrokaart gebruikt, wordt 3 euro aangerekend plus 0,3 % van het afgehaalde bedrag. Gebruikt hij zijn Visakaart, dan wordt altijd 3,5 % aangerekend. Jeroen wil weten vanaf welk bedrag de Maestrokaart voordeliger is.

Antwoord:

REEKS C

41 Sarah koopt met haar zakgeld een boek voor 14,50 euro.

Eén derde van wat overblijft, spendeert ze aan kleine cadeautjes.

Eén vijfde van wat daarna overblijft, is voldoende om nog een koffie van 2,30 euro te gaan drinken.

Hoeveel had Sarah minstens bij zich?

Proefversie©VANIN

42 Peter vertrekt voor een fietstocht en rijdt gemiddeld 20 km/h.

Joeri vertrekt 10 minuten later, maar rijdt gemiddeld aan 25 km/h.

Hoelang blijft Peter voorop?

6.2.5 Ongelijkheden bespreken

Bijzondere ongelijkheden

De ongelijkheden die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot een van de standaardvormen ax + b > 0, ax + b ⩾ 0, ax + b < 0 of ax + b ⩽ 0 (met a ∈ r0 en b ∈ r).

Als, na herleiding van de ongelijkheid, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden.

• Eerste mogelijkheid

Proefversie©VANIN

4  (3x + 2) − 6 < 3  (4x + 1)

3 (1 + 25 x) ⩾ 2 (35 x − 2) + 7

Waarom is elk reëel getal oplossing van die ongelijkheden?

V = r

• Tweede mogelijkheid

2  x 2 – 5 > 3  (x + 4) − 2x

2p  (x − 2) + px ⩽ 3  (px − 25)

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan die ongelijkheden?

V = [

Ongelijkheden met een parameter bespreken

Voorbeeld 1

mx − 3 ⩾ 5

In die ongelijkheid komt een parameter m voor. De gegeven ongelijkheid bespreken, betekent dat je rekening moet houden met alle mogelijke reële waarden die m kan aannemen.

mx − 3  ⩾  5

mx  ⩾  8

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

• Het gelijkheidsteken (=) werd voor het eerst gebruikt door de Engelse arts Robert Recorde, in 1557. Hij beoefende wiskunde als hobby. Via zijn vele geschriften introduceerde hij de algebra in Engeland.

• De tekens voor ongelijkheden (<, > ...) werden ingevoerd door de Engelse astronoom Thomas Harriot (1560-1621).

REEKS B

43 Los de ongelijkheden op en bespreek.

a) mx − 2 < 5

Proefversie©VANIN

b) mx + 4 ⩽ 2

c) 5mx − 7 ⩽ 7

d) 8 > 4 – 2mx

44 Los de ongelijkheden op en bespreek.

a) mx − 2 < x

b) 2x – 3 ⩾ mx + 1

Proefversie©VANIN

c) 7mx + 5 ⩽ 2x – 6

d) –9mx + 4 > x – 3

6.3 Formules omvormen

6.3.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke

r

De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p  r 2

In deze formule is r de onafhankelijke veranderlijke (de input) en A de afhankelijke veranderlijke (de output).

Proefversie©VANIN

• Uit een gegeven straal kan je de oppervlakte berekenen.

In welke mate verandert de waarde van A als r in waarde verdubbelt?

Verklaar:

• Uit een gegeven oppervlakte kun je de straal berekenen.

A is dan de onafhankelijke veranderlijke en r de afhankelijke veranderlijke.

Als je de formule A = p  r 2 omvormt naar r, dan verkrijg je: r 2 = A

Daaruit volgt: r =

Vul de tabel aan.

Voorbeeld 1

De oppervlakte van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule A = l  b

Bereken de oppervlakte van de rechthoek hierboven.

Voorbeeld 2

De omtrek van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule P = 2  (l + b).

Bereken de omtrek van de rechthoek hierboven.

Wat zijn in die formules de onafhankelijke veranderlijken?

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de lengte te berekenen.

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de breedte te berekenen.

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de lengte te berekenen.

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de breedte te berekenen.

Proefversie©VANIN

• Een rechthoek heeft een oppervlakte van 315 cm2 en een lengte van 45 cm. Bereken de breedte van die rechthoek.

• Een rechthoek heeft een omtrek van 58 cm en een breedte van 12 cm.

Bereken de lengte van die rechthoek.

Oefeningen

REEKS A

45 Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke.

a) F = m  aa = d) V = l  b  hh =

b) U = R  IR = e) s = v  tv =

c) P = W t W = f) p = F A A =

46 De massadichtheid r van een stof is de massa m per volume V

Er geldt: r = m V (r is de Griekse letter ‘rho’).

a) Vorm de formule om naar de gegeven afhankelijke veranderlijke

m = V =

b) Vul de tabel aan. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

c) De stoffen met een dichtheid kleiner dan 1 blijven drijven op water.

Welke stoffen uit de tabel drijven op water?

REEKS B

47 Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke.

a) A = Dd 2 e) Ah = B + b 2

b) r 2 p V = h 3 f) ppAh + 2 r 2 r = 2

Proefversie©VANIN

c) + b )( PI = 2 b g) (1 + in) K = k

d) 4 P p I = r 2 h) 1 = f 1 + b 1 v

48 De gemiddelde snelheid v van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule v = s t , waarbij s de afgelegde weg is en t de tijd.

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken?

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

b) Vorm de formule om, zodat t de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) De afstand tussen Oostende en Dinant bedraagt 205 km.

Jaak rijdt de afstand met een gemiddelde snelheid van 90 km/h. Rozanne rijdt 10 km/h sneller. Hoeveel minuten zal ze eerder in Dinant zijn? Rond af op 0,1 min.

49 De oppervlakte A van een driehoek wordt berekend met de formule A = bh 2 , waarbij b de basis voorstelt en h de hoogte.

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken?

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

b) Hoe verandert de oppervlakte, als je de basis verdubbelt en de hoogte gelijk blijft?

c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de hoogte verdrievoudigt en de basis gelijk blijft?

d) Hoe verandert de hoogte, als je de basis verdubbelt en de oppervlakte gelijk moet blijven?

50 De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde.

Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is.

a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r

b) In welke mate neemt de oppervlakte van een kubus toe, als je de ribbe verdubbelt?

Proefversie©VANIN

c) Bereken het verschil in oppervlakte van een kubus met ribbe 10 cm en een kubus met ribbe 11 cm.

d) Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van 150 cm2.

e) Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen opdat de oppervlakte zou verdubbelen?

51 Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest. Dat wil zeggen dat voor elke periode de intrest opnieuw op het originele beginkapitaal wordt berekend. Er wordt dus geen rekening gehouden met al verworven intresten. De rentevoet is p % per jaar.

Na t jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k p 100 t

a) Bereken het eindkapitaal als je 150 euro gedurende 1 jaar en 6 maanden uitzet tegen 0,5 % per jaar.

K =

Proefversie©VANIN

b) Vorm de formule om, zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Welk kapitaal moet je beleggen om na 2 jaar een eindkapitaal van 1 000 euro te verkrijgen, als de rentevoet 0,75 % per jaar is?

k =

d) Je belegt 3 000 euro tegen 1,25 % per jaar. Na hoeveel tijd, in jaren en maanden, zal het kapitaal aangegroeid zijn tot 3 150 euro?

52 Twee weerstanden R1 en R2 die parallel geschakeld zijn, hebben een vervangingsweerstand R die gegeven wordt door de formule RR R 1 = 1 + 1 12 . R1 R2

a) Bepaal de formule waarbij R 2 de afhankelijke veranderlijke is.

b) Stel: R 1 = 0,5  en R = 1 6  (ohm: de eenheid van weerstand). Bereken R 2

REEKS C

53 Om te berekenen welke dosis medicijnen aan kinderen toegediend moet worden, wordt de formule van Young gebruikt. Als l de leeftijd is van het kind en d de dosis voor een volwassene, dan geldt m = I d I + 12 , waarbij m de dosis is voor het kind.

a) De meest voorkomende dosis voor een volwassene is 250 mg. Vul de tabel aan voor de gelijkwaardige dosissen voor kinderen. Rond telkens af op 0,001 mg.

leeftijd (jaren) 2 5 9 12 dosis (mg)

b) Vorm de formule om, zodat d de afhankelijke veranderlijke wordt.

Proefversie©VANIN

c) Vorm de formule om, zodat l de afhankelijke veranderlijke wordt.

d) Rick en zijn pa hebben allebei kiespijn. Pa krijgt pijnstillers voorgeschreven van 600 mg. De dokter zegt dat Rick dezelfde pijnstillers mag nemen, maar in dosissen die hoogstens 220 mg bedragen. Hoe oud is Rick?

54 In de aerodynamica is het belangrijk om te weten welke massa een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen. Als W de massa is in kg, A de vleugeloppervlakte in m 2 , v de kruissnelheid in m/s en d de luchtdichtheid in kg/m 3 , dan geldt de formule W = 0,03  d  v 2  A.

a) Een merel van 90 gram heeft een vleugeloppervlak van 200 cm 2 De vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij d = 1,25 kg/m 3. Bereken zijn kruissnelheid (in km/h).

b) In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip ‘vleugelbelasting’; dat is de massa per vierkante meter vleugeloppervlak, dus W A (in kg/m 2). Bereken de vleugelbelasting van een Boeing 747, met een vleugeloppervlak van 511 m 2 en een kruissnelheid van 900 km/h, als hij op een hoogte vliegt waar de luchtdichtheid 0,312 5 kg/m 3 is.

55 Het aantal calorieën K dat een actieve man dagelijks nodig heeft, wordt gegeven door de formule

K = 19,18 m + 7 h − 9,52 l + 92,4.

Daarbij is m de massa in kg, h de lengte van de man in cm en l de leeftijd in jaren.

a) Jos is 53 jaar, meet 178 cm en weegt 83 kg. Hoeveel calorieën heeft hij dagelijks nodig? Rond af op een eenheid.

Proefversie©VANIN

b) Vul de tabel aan. Rond af op een eenheid.

Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

6.1 Eerstegraadsvergelijkingen

KENNEN

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

∀ a,b,c ∈ r: a = b ⇔ a + c = b + c

∀ a,b,c ∈ r: a = b ⇔ a–c = b – c

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r0: a = b ⇔ ac = bc

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r0: a = b ⇔ a c = b c

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal.

∀ a,b ∈ r: a = b ⇔ b = a

Een eerstegraadsvergelijking in een onbekende x is een vergelijking met als standaardvorm ax + b = 0 (met a ∈ r0 en b ∈ r).

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

x + a = b wordt x = b – a

x – a = b wordt x = b + a

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

xa = b wordt x = b a

x a = b wordt x = b  a

KUNNEN –  +

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen.

Vraagstukken oplossen die leiden tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende.

Vergelijkingen met een parameter bespreken.

6.2 Eerstegraadsongelijkheden

Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende x is een ongelijkheid met als standaardvorm

ax + b > 0, ax + b ⩾ 0, ax + b < 0 of ax + b ⩽ 0 (met a ∈ r0 en b ∈ r)

Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden.

∀ a,b,c ∈ r: a ⩽ b ⇔ a + c ⩽ b + c

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde positieve getal, verschillend van nul, dan blijft de ongelijkheid gelden.

Proefversie©VANIN

KENNEN –  + –  +

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r+ 0: a ⩽ b ⇔ a  c ⩽ b  c en a ⩽ b ⇔ a c ⩽ b c

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde negatieve getal, verschillend van nul, dan keert het ongelijkheidsteken om.

∀ a,b ∈ r, ∀ c ∈ r0: a ⩽ b ⇔ a  c ⩾ b  c en a ⩽ b ⇔ a c ⩾ b c

Vraagstukken oplossen en daarbij

• in de opgave herkennen welke grootheden aan de orde zijn;

• het probleem vertalen in een wiskundige vorm met algebraïsche bewerkingen;

• verantwoord kiezen tussen schattend of benaderend rekenen en de rekenmachine;

• de oplossing zinvol afronden en interpreteren.

Vraagstukken oplossen die leiden tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende, en de oplossing grafisch voorstellen en symbolisch noteren.

Ongelijkheden met een parameter bespreken.

6.3 Formules omvormen

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je

• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken;

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + –  +

Een formule omvormen naar een andere veranderlijke.

Vraagstukken oplossen door een gekende of gegeven formule om te vormen naar een andere veranderlijke.

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + –  +

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Maak met de cijfers 1 tot en met 9 twee getallen. Het product van die twee getallen moet zo groot mogelijk zijn. Alle cijfers moeten precies één keer voorkomen.

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

Proefversie©VANIN

2. Plaats de getallen 1 tot en met 16 in een rij achter elkaar. Zorg ervoor dat de som van elke twee opeenvolgende getallen een kwadraat is.

3. Op een schoolfeest staat een glazen bokaal met knikkers. Wie kan raden hoeveel knikkers er precies in de bokaal zitten, wint een prachtige prijs. Ahmed gokt dat er 90 knikkers in de bokaal zitten, Bette denkt dat het er 97 zijn. Cas is ervan overtuigd dat het er 99 zijn, en Dora gokt dat het er 101 zijn. Alle vier winnen ze niks. Later blijkt dat een van hen er 7 naast zat, iemand 4 en iemand 3. Van de vierde persoon weten we het niet. Hoeveel knikkers zaten er in die bokaal?

4. Matthijs is groter dan Maya. Lasse is kleiner dan Matthijs. Van slechts een van de onderstaande beweringen weet je met zekerheid dat ze juist is. Welke?

A) Maya is groter dan Lasse.

B) Lasse is groter dan Maya.

C) Je kunt niet weten of Maya of Lasse groter is.