Pienter 4 - XL 5u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 en 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 Waarheidstabellen

Hoofdstuk 2 Tweedegraadsvergelijkingen

Hoofdstuk 3 Functies ����(����) = ���� ����

Hoofdstuk 4 Deelbaarheid bij veeltermen

Hoofdstuk 5 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 7 Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 8 Telproblemen

Hoofdstuk 9 Analytische meetkunde

Hoofdstuk 10 Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 11 Grafen

Hoofdstuk 12 Transformaties van elementaire functies op voor

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

1.1 Inleiding

Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje.

Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is.

Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?

Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken.

Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces

Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren.

Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.

In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.

Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.

Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende:

Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse)

Socrates is een mens. (tweede premisse)

Socrates is sterfelijk. (conclusie)

De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.

Voorbeelden

Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.

a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet.

De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.

b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is.

Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.

c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas.

Ik kan dus in mijn boekentas.

waaronwaar

1.2.1 Proposities

Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.

Voorbeelden van proposities

• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)

• De aarde is een planeet. (waar)

• 12 – 8 = 5 (onwaar)

• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)

Definitie Propositie

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De volgende zinnen zijn geen proposities.

• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.

• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.

• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.

• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.

Voorbeelden

Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

propositie geen propositie verklaring wo

a)1 + 1 = 2 rrr

b)Het is warm vandaag. rrr

c)De hoofdstad van Frankrijk is Parijs. rrr

d)3 is kleiner dan 2. rrr

e)Is 0 het kleinste natuurlijk getal? rrr

f)19 is een priemgetal. rrr

g)Anderlecht is beter dan Club Brugge. rrr

h)Ga naar je kamer! rrr

Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.

Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.

Stel, je belooft aan een kind het volgende:

Alsjebraafbent,dankrijgjeeenzuurtjeofeenstukchocoladecake.

Wat kan het kind precies verwachten?

Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?

Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?

Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?

Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.

Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r

Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.

Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.

Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.

Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief.

benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie ˄ en de disjunctie ˅ of de implicatie ⇒ als … dan de equivalentie ⇔ als en slechts als

Voorbeelden

p: Je bent braaf.

q: Je krijgt een zuurtje.

r: Je krijgt een stuk chocoladecake.

Formuleer in woorden.

¬p

q ˄ r

q ˅ r

p ⇒ q

p ⇔ q

Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).

Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.

Oefeningen

REEKS A

1 Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring wo

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

a)2 is het kleinste priemgetal. rrr

b)Je ziet er goed uit vandaag. rrr

c)Had dan gezwegen! rrr

d)Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school. rrr

e)3 2 + 4 2 = 5 2 rrr

f)Een schildpad is een amfibie. rrr

g)Is Einstein geboren in de 20e eeuw? rrr

h)Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld. rrr

i)De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw. rrr

j)Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld. rrr

k)Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden. rrr

l)Houd je mond! rrr

m)Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief. rrr

n)Hoe oud is jouw broer? rrr

o)Ik vind cola het lekkerst. rrr

p)De zon is groter dan de maan. rrr

q)Elke mens is sterfelijk. rrr

r)9 is een deler van 378. rrr

s) n is een even getal. rrr

t)(–7)–1 = 7 rrr

1.2.2 Negatie van een propositie

p: Pieter speelt voetbal.

q: Pieter speelt geen voetbal.

Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn.

Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar.

Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.

Je zegt dat q de negatie is van p

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

Het teken ¬ noem je het negatieteken.

Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p

De negatie is eigenlijk een speciaal connectief. Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.

De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Negatie

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Voorbeelden

Formuleer de volgende proposities in woorden.

p: 9 is een oneven getal. ¬p:

Proefversie©VANIN

q: De deur staat open. ¬q:

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:

s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:

1.2.3 Conjunctie van twee proposities

p: Jules eet graag frietjes.

q: Marie eet graag stoofvlees.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees.

Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.

Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q

De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie

Proefversie©VANIN

Conjunctie

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan.

Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis.

Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica.

1.2.4 Disjunctie van twee proposities

p: Wassim gaat met de fiets naar school.

q: Nikolay gaat met de bus naar school.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.

Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.

De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Disjunctie

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke waarheidswaarden: 1 of 0.

Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden. Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.

Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.

Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.

Proefversie©VANIN

Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n

Besluit

Inclusieve disjunctie

• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep.

Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?

• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling. Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?

‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Je noemt die ‘of’ de inclusieve of

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

In de logica gebruik je de inclusieve of

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Exclusieve disjunctie

In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.

Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:

De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.

Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.

‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Je noemt die ‘of’ de exclusieve of.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Voorbeelden

Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.

a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.

b)Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.

c)Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.

d)Wil je melk of suiker bij jouw koffie?

1.2.5 Implicatie van twee proposities

p: Het regent.

q: De straten worden nat.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.

• ‘Het regent’ noem je het antecedens

• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens

Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.

De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden.

De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.

Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel: pqp

Definitie Implicatie

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Opmerking

Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen.

De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.

Voorbeeld

p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.

a) Formuleer de propositie in woorden.

Proefversie©VANIN

p ⇒ q:

b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit.

1.2.6 Equivalentie van twee proposities

p: Een driehoek is gelijkzijdig.

q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft.

Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.

De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft.

De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Equivalentie

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.

De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).

Je kunt dus stellen dat p ⇔ q.

1.2.7 Overzicht

Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.

Proefversie©VANIN

1.2.8 Volgorde van de connectieven

Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔

Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.

Algemeen Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔

Voorbeeld

Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.

a) Noteer de uitspraak in symbolen.

enkelvoudige proposities

samengestelde propositie

p: q: In symbolen:

r:

Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.

In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is de uitspraak waar?

Oefeningen

REEKS A

2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Het regent. r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.

q: De zon schijnt.

a) p ˄ q

b) q ˅ r

c) p ⇒ r

d) ¬p ⇒ q

REEKS B

3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Dieter is ziek. r: Dieter gaat naar school.

q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.

a) ¬p ⇒ r

b) r ⇔ s

c) ¬q ⇒ ¬r

d) ¬p ˄ q ⇒ r

e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p

Proefversie©VANIN

4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.

q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidrechter fluit af.

r: Thibaut trapt de bal uit.

a) s ˄ p ⇒ q

b) r ⇒ t

c) ¬p ⇒ ¬q

d) ¬t ˄ r ⇒ q

e) s ˅ r ⇒ ¬t

5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.

a) Katleen of Mario komt naar het feest.

p: In symbolen:

q:

Proefversie©VANIN

b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.

p: In symbolen:

q:

c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.

p: In symbolen:

q:

r:

d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.

p: In symbolen:

q:

e) Gianni kent Engels noch Duits.

p: In symbolen:

q:

f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.

p:

q:

In symbolen:

g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.

p: In symbolen:

q:

6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.

q: Je maakt elke oefening in de cursus.

r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving.

a)Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.

b)Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.

c)Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

d)Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.

7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Jef speelt piano.

q: Myra speelt harp.

r: Hanneke speelt dwarsfluit.

s: Layla speelt klarinet.

in symbolen

Proefversie©VANIN

a)Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.

b)Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.

c)Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.

d)Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.

e)Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.

in symbolen

8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.

p:

q: pq

b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.

p:

q: pq

c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.

p:

q: p

d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.

p:

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

Proefversie©VANIN

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.

p:

q: pq

f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.

p:

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

p: 7 > 18 r: 11 0 = 1

q: 18 is een even getal.

a) p ⇒ q

De uitspraak is

b) ¬r ˄ q

De uitspraak is

c) s ⇔ p

De uitspraak is

d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)

De uitspraak is

e) (p ⇔ q) ˄ ¬r

De uitspraak is

f) (p ˄ ¬q) ˅ r

s: 3 ∈ q

Proefversie©VANIN

De uitspraak is

10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬p ˄ q d) p ⇒ ¬q

Proefversie©VANIN

b) p ˅ ¬q e) ¬(p ⇒ q)

c) ¬(p ˅ q) f) ¬p ⇔ q

11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬(p ˄ ¬q) b) (p ⇒ q) ˅ ¬q

12 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak:

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’

Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone.

Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?

p: In symbolen:

q:

Proefversie©VANIN

13 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak:

‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’

Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?

p: In symbolen:

q:

14 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen:

‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde.

Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?

p: In symbolen:

q:

Proefversie©VANIN

REEKS C

15 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol.

Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol.

Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?

A)Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.

B)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.

C)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.

D)Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.

E)Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig. JWO,editie2015,tweederonde

16 Als het niet waar is dat KV Oostende de beker of de competitie wint, dan wint KV Oostende de Europa League.

a) Vul aan.

p: q: r: In symbolen:

b) Vul de waarheidstabel aan. pqr 111 110 101 100 011 010

c) Wanneer is die uitspraak waar?

17 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.

a) Vul aan.

p:

q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

c) Wanneer is die uitspraak waar?

18 Als het niet waar is dat Eliane een hond of Wesley een cavia heeft, dan heeft Hendrik geen kat.

a) Vul aan.

p:

q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan. pqr

111 110 101 100 011 010 001 000

c) Wanneer is die uitspraak waar?

19 Het is niet waar dat het niet waar is dat het vierkant rood of de driehoek groen is, als en slechts als het niet waar is dat de cirkel blauw of het vierkant rood is.

a) Vul aan.

p:

q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

011 010 001

c) Wanneer is die uitspraak waar?

1.3 Logische raadsels

Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje.

‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’

Wie gaat er naar Schoolrock?

Mogelijkheid 1:

• Nummer de verschillende uitspraken.

• Zet alle mogelijkheden in een tabel.

• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.

Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1)

Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)

FlorAnaïsSeppe

gaatgaatgaat

gaatgaatgaat niet

gaatgaat nietgaat

gaatgaat nietgaat niet

gaat nietgaatgaat

gaat nietgaatgaat niet

gaat nietgaat nietgaat

gaat nietgaat nietgaat niet

Mogelijkheid 2:

p: Flor gaat.

Proefversie©VANIN

• Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.

• Stel een waarheidstabel op.

q: Anaïs gaat. In symbolen: (q ⇒ p) ˄ (r ⇔ ¬p)

r: Seppe gaat.

Oefeningen

REEKS B

20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken.

Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken.

Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.

Proefversie©VANIN

21 Van drie beweringen A, B en C weet je het volgende:

• Als A waar is, dan zijn B en C waar.

• Als B waar is, dan is er van A en C ten minste één waar.

• Als C waar is, dan is A waar en B onwaar.

Welke van de beweringen A, B en C zijn waar?

Lijst de verschillende mogelijkheden op in een tabel.

22 Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor.

Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

A) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

B) De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

C) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

D) De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

E) De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

JWO,editie2020,tweederonde

Proefversie©VANIN

23 Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd.

De anderen spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt: ‘Maarten of Jens is de mol.’

• Lisa antwoordt: ‘De mol is een man.’

• Jens zegt: ‘Lisa is de mol niet en ik ook niet.’

• Maarten stelt: ‘De mol is een vrouw.’

• Inneke beweert: ‘Ik ben de mol niet.’

Wie is de mol?

A)WoutB)Lisa C)Jens D)MaartenE)Inneke

JWO,editie2020,tweederonde

REEKS C

24 Een van drie broers Kwik, Kwek en Kwak heeft geld gestolen uit de spaarpot van zijn ouders. Nadat de ouders hun zonen confronteren met de feiten, besluiten ze dat Kwik en Kwek de hoofdverdachten zijn. De drie broers doen de volgende uitspraken:

• Kwik: ‘Kwek is schuldig en Kwak is onschuldig.’

• Kwek: ‘Als Kwik schuldig is, dan is Kwak ook schuldig.’

• Kwak: ‘Ik ben onschuldig, maar minstens een van de anderen is schuldig.’

Stel dat de onschuldige broers de waarheid spraken en de schuldige loog, wie heeft er dan geld gestolen uit de spaarpot van zijn ouders?

Proefversie©VANIN

25 Een ridder moet kiezen tussen drie koffers. Hij weet dat er goud in juist één koffer zit en dat op maar één koffer een ware uitspraak staat. In welke koffer zit het goud?

26 In een bos wonen drie kabouters: Smul, Smal en Boemel. Kabouter Smul staat erom bekend om altijd de waarheid te spreken, en kabouter Smal om altijd te liegen.

Kabouter Boemel is een twijfelaar: hij liegt soms en spreekt soms de waarheid.

Tijdens een mooie wandeltocht door het bos kom je hen tegen en stel je de volgende vraag: ‘Wie van jullie is de oprechte kabouter, wie de leugenaar en wie de twijfelaar?’

De linkse kabouter wijst naar de middelste en zegt: ‘Hij is de oprechte.’

De rechtse kabouter wijst naar de linkse kabouter en zegt: ‘Hij is de oprechte.’

De middelste zwijgt. Wie is wie?

27 Voor je liggen vier kaarten: een 5, een 8, een blauwe kaart en een groene kaart.

Boven de kaarten staat: ‘Als een kaart een even getal heeft op één kant, dan is de andere kant van die kaart blauw.’

Welke kaart(en) moet je omdraaien om na te gaan of die uitspraak correct is?

5 8

Bron:www.nieuwsblad.be

1.4 Tautologieën en contradicties

1.4.1 Begripsvorming

Logische equivalentie

Twee (enkelvoudige of samengestelde) proposities p en q zijn gelijkwaardig als en slechts als ze voor alle gevallen dezelfde waarheidswaarde hebben.

Je noemt de proposities logisch equivalent

Als je een equivalentieteken tussen twee gelijkwaardige proposities plaatst, verkrijg je altijd een ware uitspraak.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p is gelijkwaardig met q.

Tautologie

Als een getal oneven en een priemgetal is, dan is het getal oneven.

p: Een getal is oneven.

q: Een getal is een priemgetal.

Vul de waarheidstabel aan. pq

In symbolen:

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een tautologie

Definitie Tautologie

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Contradictie

Een reëel getal is rationaal en irrationaal.

p: Een reëel getal is rationaal.

Proefversie©VANIN

In symbolen:

Vul de waarheidstabel aan. p 1 0

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een contradictie

Definitie Contradictie

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

1.4.2 De wet van de uitgesloten derde

‘Elk getal is even of oneven’ is altijd een ware uitspraak. Er is geen derde mogelijkheid.

p: Elk getal is even.

te bewijzen p ˅ ¬p is een tautologie.

bewijs

p¬pp ˅ ¬p

1 0

Besluit Wet van de uitgesloten derde p ˅ ¬p

1.4.3 De wet van de dubbele negatie

‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’.

p: De zon schijnt.

te bewijzen p ⇔ ¬(¬p)

bewijs

p¬p ¬(¬p) p ⇔ ¬(¬p)

1 0

Besluit Wet van de dubbele negatie p ⇔ ¬(¬p)

1.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’.

p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone.

te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

bewijs

pqp ⇒ q¬p ¬p ˅ qp ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

Proefversie©VANIN

11 10 01 00

Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie

p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

1.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie

‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’

is gelijkwaardig met

‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’.

p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

te bewijzen (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

bewijs

pqp ⇔ qp ⇒ qq ⇒ p (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

1.4.6 De wet van de contrapositie

‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’.

p: Het regent. q: De straten worden nat.

te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

bewijs

Proefversie©VANIN

Besluit Wet van de contrapositie

p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

Opmerking

Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

Voorbeeld

p: n is een viervoud. q: n is een even getal.

a)Formuleer de proposities in woorden.

p ⇒ q: ¬p ⇒ ¬q:

b) Zijn die uitspraken waar of onwaar?

Proefversie©VANIN

Algemeen

Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q

pqp ⇒ qpq ¬p ¬q ¬p ⇒ ¬q

De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.

Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.

Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch. Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p.

In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.

1.4.7 De wetten van De Morgan

Voorbeeld 1

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.

te bewijzen ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q

Proefversie©VANIN

bewijs

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties.

Voorbeeld 2

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.

te bewijzen ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties

Besluit De wetten van De Morgan

Oefeningen

REEKS A

28 Vul de tabel aan.

implicatie contrapositie

a)Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.

b) Als de zon niet schijnt, dan is het donker.

c)Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.

d) Als ik niet volledig ontspannen ben, dan ben ik niet op vakantie.

e)Als Melissa mij een zoen geeft, dan krijg ik kriebels in mijn buik.

29 Gegeven: ‘Als de lift niet werkt, dan neem ik de trap.’

a) Stel dat die propositie waar is en ik de trap neem. Wil dat dan zeggen dat de lift kapot is?

p:

q: pq

Proefversie©VANIN

In symbolen:

b) Formuleer de contrapositie van die uitspraak in woorden.

30 Gebruik de wetten van De Morgan om de uitspraken om te vormen.

a) Het is niet waar dat Ariane tennis en basketbal speelt.

b) Het is niet waar dat Geert bruine of blauwe schoenen draagt.

c) Ik wil geen bruine suiker of geen siroop op mijn pannenkoek.

d) Maandag staat er geen toets gepland en dinsdag ook niet.

REEKS B

31 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) p ⇒ (p ˅ q) e) ¬p ⇒ (p ⇒ q)

Proefversie©VANIN

b) (p ˄ q) ˅ p ⇔ p f) (p ⇒ q) ˅ (q ⇒ p)

c) (p ˄ ¬p) ⇒ q g) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

d) p ˄ q ⇔ q ˄ p h) p ˄ (p ⇔ q) ⇒ q

32 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)

Proefversie©VANIN

b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)

33 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.

a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.

b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.

c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.

d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.

e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.

f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.

REEKS C

34 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)

Proefversie©VANIN

b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica.

Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.

Enkele voorbeelden:

• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p

• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)]

• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).

Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.

Bewijstechnieken

1.5.1 Nodige en voldoende voorwaarde

Eigenschap

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

p: Een vierhoek is een ruit.

q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

In symbolen: p ⇒ q

Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).

Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je

p de voldoende voorwaarde voor q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p pqp ⇒ q

Besluit

Proefversie©VANIN

Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.

Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft.

p: Een driehoek is gelijkbenig.

q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.

In symbolen: p ⇔ q

Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid. Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.

Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q. Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p

Oefeningen

REEKS B

35 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.

a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.

b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.

c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.

d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.

e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.

f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.

g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.

h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.

i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.

j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.

Proefversie©VANIN

36

a)Een getal is deelbaar door 3.

b)Twee driehoeken zijn congruent.

c)Een driehoek is gelijkzijdig.

Een getal is deelbaar door 6.

Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.

Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

d) x + 2 = 4 x = 4 – 2

e)Een getal is een natuurlijk getal.

Een getal is een geheel getal.

f) x ∈ r + x 2 ∈ r +

g)|PQ| = |QR|

h)Een vierhoek is een rechthoek.

i) a is een irrationaal getal.

Q is het midden van [PR].

Een vierhoek is een trapezium.

a is een reëel getal.

j)De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b

1.5.2 Rechtstreeks bewijs

Om een implicatie p ⇒ q te bewijzen, gebruik je in veel gevallen een rechtstreeks bewijs. Je vertrekt van het gegeven en steunt op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen om uit te komen bij wat je wilt bewijzen.

Definitie Rechtstreeks bewijs

Een rechtstreeks bewijs is een bewijs waarbij je een uitspraak bewijst door te steunen op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen.

Voorbeeld 1

gegeven

a < b met a, b ∈ r0 + te bewijzen

a 2 < b 2 bewijs

a < ba < b beide leden vermenigvuldigen met a ∈ r0 + beide leden vermenigvuldigen met b ∈ r0 +

a 2 < ab (1) ab < b 2 (2)

volgt uit (1) en (2)

a 2 < ab < b 2

a 2 < b 2

Proefversie©VANIN

besluit

∀a, b ∈ r0 + : a < b ⇒ a 2 < b 2

Voorbeeld 2

Bewijs de volgende eigenschap: als drie natuurlijke getallen opeenvolgend zijn, dan is de som van die getallen altijd een drievoud.

gegeven

drie opeenvolgende getallen met n ∈ n te bewijzen bewijs

besluit

1.5.3 Bewijs door tegenvoorbeeld

‘Alle kanaries zijn geel.’

Die uitspraak stelt dat een bepaalde eigenschap (geel)

geldt voor alle kanaries. Als je één kanarie vindt die niet geel is, dan is die bewering ontkracht.

Elke rode kanarie zou dus een tegenvoorbeeld zijn van de bewering ‘alle kanaries zijn geel’.

Met een voorbeeld kun je een bepaalde bewering illustreren.

Met een tegenvoorbeeld kun je een bepaalde bewering ontkrachten.

Definitie Tegenvoorbeeld

Een tegenvoorbeeld is een uitzondering op een vooropgestelde regel.

Een tegenvoorbeeld is een specifiek geval van de falsificatie (= het vinden van een tegenbewijs) van de universele kwantor

Notatie: ‘∀’

Je leest: voor alle

Naast de universele kwantor bestaan ook deze kwantoren:

• de existentiële kwantor

Notatie: ‘∃’

Je leest: er bestaat

• de uniciteitskwantor

Notatie: ‘∃!’

Je leest: er bestaat juist één

Voorbeelden

• ∀ x ∈ r : x 2 – 9 = 0 is een onware uitspraak, omdat 2 een reëel getal is waarvoor geldt: 2 2 – 9 ≠ 0.

• ∃ x ∈ r : x 2 – 9 = 0 is een ware uitspraak, omdat 3 een reëel getal is waarvoor geldt: 3 2 – 9 = 0.

• ∀ a ∈ z, ∃! (–a) ∈ z : is een ware uitspraak, omdat elk geheel getal a + (–a) = –a + a = 0 juist één symmetrisch element voor de optelling heeft, namelijk zijn tegengestelde.

Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar?

Geef een tegenvoorbeeld als de uitspraak onwaar is.

a)Als de diagonalen van een vierhoek loodrecht op elkaar staan, dan is de vierhoek een vierkant.

Proefversie©VANIN

b)Elk priemgetal is oneven.

c)Alle vierkantswortels zijn irrationale getallen.

d)Alle getallen die deelbaar zijn door 4, zijn ook deelbaar door 2.

1.5.4 Bewijs uit het ongerijmde

Stel dat je voor een splitsing staat en weet dat een van de twee paden naar je vakantiebestemming leidt.

Je besluit het linkse pad te nemen, dat jammer genoeg na een tijd doodloopt.

Je keert terug en weet nu zeker dat het rechtse pad naar je bestemming leidt.

In het derde jaar bewees je dat 2 een irrationaal getal is.

Daarvoor ging je uit van de veronderstelling dat als 2 een rationaal getal was,

je het kon schrijven als een onvereenvoudigbare breuk a b .

In het bewijs toonde je echter aan dat a en b even getallen zijn.

Als a en b even getallen zijn, kun je de breuk a b wél vereenvoudigen.

Je verkreeg een contradictie. Je kon daaruit besluiten dat je veronderstelling fout was.

Definitie Bewijs uit het ongerijmde

Een bewijs uit het ongerijmde is een bewijs waarbij je de negatie van het ‘te bewijzen’ neemt en die toevoegt aan de gegevens.

Je redeneert logisch verder tot je een contradictie verkrijgt.

Voorbeeld

Bewijs uit het ongerijmde dat er geen gehele getallen a en b bestaan waarvoor geldt dat

8a – 6b = 101.

gegeven

a, b ∈ z

te bewijzen

8a – 6b ≠ 101

bewijs

Veronderstel dat er wél gehele getallen a en b bestaan waarvoor geldt dat 8a – 6b = 101.

Stap 1: 101 is een oneven getal.

Uit de gelijkheid 8a – 6b = 101 volgt dat 8a – 6b ook een oneven getal is. (1)

Stap 2: 8a – 6b = 2 ? (4a – 3b) de distributieve eigenschap

Je kunt concluderen dat 8a – 6b een even getal is. (2)

Uitspraak (2) is in tegenspraak met uitspraak (1). De veronderstelling moet dus fout zijn.

besluit

Er bestaan geen gehele getallen a en b waarvoor geldt dat 8a – 6b = 101.

Proefversie©VANIN

Verklaring

De tegenspraak is hier van de vorm p ˄ ¬p en bijgevolg een contradictie

p: 8a – 6b is een oneven getal. ¬p: 8a – 6b is een even getal.

p ¬pp ˄ ¬p

1.6 Logische poorten

1.6.1 Logische poorten

Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.

Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang.

De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang.

Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.

Er zijn drie elementaire poorten

poort ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica

Proefversie©VANIN

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:

• het ANSI-systeem (AmericanNationalStandardofIndustry), dat het meest gebruikt wordt;

• het IEC-systeem (InternationalElectrotechnicalCommission);

• het DIN-systeem (DeutscheInstitutfürNormung).

Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen. poort

ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica

1.6.2 Modeloefening 1

Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden?

Proefversie©VANIN

Het lampje zal branden als

Het lampje zal branden als

1.6.3 Modeloefening 2

Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen. a)

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

Oefeningen REEKS A

37 Onderzoek of het lampje zal branden.

Proefversie©VANIN

Het lampje zal wel/niet branden.

REEKS B

38 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen. a)

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?

REEKS C

39 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.

Proefversie©VANIN

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄, ˅, ⇒/⇐, ⇔

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in symbolen noteren.

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in woorden formuleren.

De waarheidswaarde van een (enkelvoudige of samengestelde) propositie bepalen met behulp van een waarheidstabel.

Vraagstukken oplossen met behulp van een waarheidstabel.

1.3 Logische raadsels

KUNNEN

Logische raadsels oplossen met behulp van een waarheidstabel.

Logische raadsels oplossen door een oplijsting te maken van de verschillende mogelijkheden.

1.4 Tautologieën en contradicties

KENNEN –  + – 

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

Je kent de volgende logische wetten:

• de wet van de uitgesloten derde: p ˅ ¬p

• de wet van de dubbele negatie: p ⇔ ¬(¬p)

• de wet van de contrapositie: p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q

¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

KUNNEN –  + –  +

De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.

Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd: p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

1.5 Bewijstechnieken

Proefversie©VANIN

KENNEN –  + –  +

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p

Een rechtstreeks bewijs is een bewijs waarbij je een uitspraak bewijst door te steunen op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen.

Een tegenvoorbeeld is een uitzondering op een vooropgestelde regel. Als je een uitspraak wilt bewijzen uit het ongerijmde, dan neem je de negatie van het ‘te bewijzen’ en voeg je die toe aan de gegevens. Je redeneert logisch verder tot je een contradictie verkrijgt.

1.6 Logische poorten

KENNEN –  +

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

KUNNEN

De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.

De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.

De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen:

NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.

1.De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’

Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?

A) r 0 B) r 30 C) r 33 D) r 40 E) r 42

JWO,editie2016,eersteronde

Proefversie©VANIN

2.Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur.

Hoe groot is a? a

40°

A) r 40º B) r 50º C) r 60º D) r 70º E) r 80º

JWO,editie2020,eersteronde

3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …

A) r x B) r 2x C) r 2 x D) r 4 x E) r 22x

JWO,editie2018,eersteronde

Proefversie©VANIN

2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

2.1.1 Inleiding

Oplossing

Boer Jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter.

Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

Proefversie©VANIN

Werkwijze

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x

De lengte is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere.

Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

Proefversie©VANIN

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op.

Oplossing

• Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x

De langste rechthoekszijde is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Aangezien een lengte een positief getal is,is slechts een van de verkregen oplossingen logisch, namelijk

2.1.3

Tweedegraadsvergelijkingen

Definitie

Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking

Voorbeelden

a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen.

b) Noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c

c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn.

2.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

2x  (x + 1) = x 2 – 9x = x 

–x  (–x + 3) = –7x 2 + 2x = x 

10x (–10 + x) = 8x + x 2 = x

De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

2x 2 – 7x = 0

x (2x – 7) = 0 Een product is nul als een van de factoren nul is.

x = 0 of 2x – 7 = 0 x

Let op!

Wat is er verkeerd aan de volgende methode? 2

Voorbeeld 2

4 x 2 – 16 x = 0

Proefversie©VANIN

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul.

2.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

Inleiding

van een product naar een som

van een som naar een product

(x + 1) (x – 1) = x 2 – 9 = (x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 = (–4 – x)  (–x + 4) = –25 + x 2 =

Het merkwaardig product (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product.

Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

9x 2 – 16 = 0 methode 1 methode 2

(3x + 4)  (3x – 4) = 0

3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0

3x = – 4 of 3x = 4

x

Voorbeeld 2

3x 2 – 12 = 0 methode 1 methode 2

3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0

3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0

3 x = –12 of 3 x = 12

x = –12

3 of x = 12 3

x = –2 of x = 2

V = {–2, 2}

3x 2 = 12

x 2 = 4

x = –4 of x = 4

x = –2 of x = 2

V = {–2, 2}

Voorbeeld 3

–2x 2 – 8 = 0

methode 1

–2x 2 – 8 = 0

Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode.

V = [

methode 2

–2x 2 = 8 x 2 = –4

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

V = [

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes:

• de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b) (a – b);

• de definitie van een vierkantswortel.

2.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Voorbeeld

–2x 2 = 0 x 2 = 0

x = 0 V = {0}

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0.

Proefversie©VANIN

Een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren

De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5). Je noemt die veelterm ontbindbaar.

Oefeningen

REEKS A

1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen.

a)15x 2 – 3x = 0 e)4x – 12x 2 = 0

Proefversie©VANIN

b)5x 2 – 8x = 0 f)–12x 2 – 15x = 0

c)3x 2 + 4x = 0 g)81x 2 + 27x = 0

d)–10x 2 + 6x = 0

h)–25x 2 – 12x = 0

2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op.

verschil van twee kwadraten

a)4x 2 – 9 = 0

b) x 2 – 16 = 0

c)36x 2 – 25 = 0

d)–1 + 49x 2 = 0

definitie vierkantswortel

Proefversie©VANIN

e)4 + 81x 2 = 0

REEKS B

3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op.

a)3x 2 – 9x = 0

b)5x 2 – 20 = 0

c)2x 2 + 16 = 0

d)12x 2 + 4x = 0

e)–2x 2 + 5x = 0

g)–16x 2 = 4

Proefversie©VANIN

f)–25x 2 + 9 = 0

h)2x 2 = 9x

i)–16x 2 = –9

j)–4 – 3x 2 = 0

k)3x = –8x 2

l)–16x 2 = 4x

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte. De oppervlakte is 1 875 m2.

Bereken de afmetingen van dat stuk land.

Proefversie©VANIN

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten.

De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2

Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter.

Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

REEKS C

8 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a)(x – 3)

2 = 25 c) –5  (x – 2)

2 – 20 = 0

x – 3 = –5 of x – 3 = 5

x = – 2 of x = 8

b) 4 (x + 5) 2 – 25 = 0

V = –2, 8 {}

Proefversie©VANIN

9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) (x + 1) 2 – 2  (x + 1) = 0

d) –3 (5x – 4)

2 + 12 = 0

b) 3  (2x – 1) = 2  (2x – 1) 2

c) –3  (2 – 3x)

2 = 7  (2 – 3x)

De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn.

Voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21.

De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x)  (5 + x) = 21.

Na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4.

Vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2.

De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7.

Proefversie©VANIN

10 Los op met de methode van de Babyloniërs.

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

2.3.1 De methode van de kwadraatafsplitsing

Inleiding

Werk uit.

Schrijf als het kwadraat van een tweeterm.

(x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = =

(x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = =

(5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = =

Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen

te schrijven als een kwadraat van een tweeterm

Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

x 2 – 4x + 4 = 0

x 2 + 2  x  (–2) + (–2) 2 = 0

(x – 2) 2 = 0

x – 2 = 0

Proefversie©VANIN

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = 2 V = {2}

Voorbeeld 2

x 2 + 8x + 7 = 0

x 2 + 8x = –7

x 2 + 2 x 4 + 4 2 = –7 + 4 2

(x + 4) 2 = 9

x + 4 = –3 of x + 4 = 3

Je verandert de constante term van lid.

Je vermeerdert beide leden met 4 2

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = –7 of x = –1 V = {–7, –1}

Oefeningen

REEKS B

11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing.

a) x 2 + 10x + 25 = 0

b) x 2 – 6x + 9 = 0

c)16x 2 + 8x + 1 = 0

e) x 2 + 6x + 8 = 0

Proefversie©VANIN

d)9x 2 – 6x + 1 = 0

f) x 2 – 2x – 35 = 0

g)3x 2 + 24x – 27 = 0

h)2x 2 – 20x + 68 = 0

2.3.2 De formules opstellen

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + b a x + c a = 0

x 2 + b a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = –c a + b 2a 2

x + b 2a 2 = –c a + b 2 4a 2

x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2

x + b 2a 2 = D 4a 2

met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Je deelt beide leden door a

Je verandert de constante term van lid.

Proefversie©VANIN

Je maakt het dubbel product zichtbaar.

Je vermeerdert beide leden met b 2a 2

Je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

Je werkt het rechterlid verder uit.

Stel: D = b 2 – 4ac

Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief.

Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen.

Je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking

eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0derde geval: D < 0

x + b 2a 2 = D 4a 2

x + b 2a = –D 4a 2 of x + b 2a = D 4a 2

x + b 2a = –D 2a of x + b 2a = D 2a

x

x + b 2a 2 = 0 4a 2

x + b 2a 2 = 0

x + b 2a = 0

x = –b 2a

V = –b 2a

x + b 2a 2 = D 4a 2

De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief.

2.3.3 Overzicht

Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac.

D > 0 D = 0 D < 0

twee verschillende oplossingen: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen

Proefversie©VANIN

Als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat.

Als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen (x1 = x2).

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules

2.3.4 Voorbeelden

a) x 2 – 3x – 10 = 0

c)–6x 2 + 13x + 5 = 0

a = b = c = a = b = c =

Stroomdiagram en Nassi-Schneiderman diagram VIDEO

D = D =

b)16x 2 – 24x + 9 = 0

d)–3x 2 + 5x – 8 = 0

a = b = c = a = b = c =

D = D =

Oefeningen

REEKS A

12 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a) x 2 + 2x – 3 = 0 f)–x 2 + x + 6 = 0

Proefversie©VANIN

b) x 2 + 3x – 10 = 0 g) x 2 – 4x – 5 = 0

c) x 2 – x + 2 = 0 h) x 2 + 28x + 196 = 0

d) x 2 – 10x + 25 = 0 i) x 2 – 12x + 40 = 0

e)–x 2 + 3x – 2 = 0

j)–x 2 + 16x – 64 = 0

13 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a)2x 2 – 5x – 3 = 0

b)25x 2 + 70x + 49 = 0

c)3x 2 – 13x + 12 = 0

d)5x 2 + 15x + 17 = 0

f)14x 2 – 3x – 5 = 0

Proefversie©VANIN

e)6x 2 + x – 1 = 0

g)–3x 2 + 6x – 4 = 0

h)–64x 2 + 48x – 9 = 0

i)–12x 2 + 43x – 21 = 0

j)–9x 2 – 6x – 1 = 0

REEKS B

14 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) x 2 + x – 4 = 0 e) 12x  (x + 4) = 24x  (2 – x) – 5

Proefversie©VANIN

b)–4x 2 + 11x – 1 = 0 f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0

c)28x = –49 – 4x 2 g) x 2 – 3x + 9 4 = 0

d)(4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 3 8 x 2 –5 4 x + 15 2 = 0

15 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) 3x + x (x – 2) = 0 e)(–3x + 6) 2 – 16 = 0

Proefversie©VANIN

b)–121x 2 + 4 = 0 f)36x 2 – 96x + 64 = 0

c) x  (11x – 3) = 5 g)–x 2 – 1 = 0

d) 3x  (x – 1) = 4 – 3x h)–10x 2 + 15x – 10 = 0

a) x 2 –1 5 31 2 x + 7 = 0

d) 2x 2 – (x + 2) (x – 3) = 6

Proefversie©VANIN

b) –1 2 –1 3 x + 4 + x 2 = 0

e) 14  (x – 4) – (x + 2) = (x + 2)  (x – 4)

c) –x –1 3 x + 4 –1 9 x = 0

f) (2x – 3) 2 + 17x  (x – 1) = 9

Proefversie©VANIN

REEKS C

18 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen oplossingen.

e)2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

Proefversie©VANIN

b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

f)–3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen oplossingen.

c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing.

g)8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing.

d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing.

h)(m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft geen oplossingen.

a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0

d) x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0

Proefversie©VANIN

b) x 2 + ax + a 2 = 0

e) x 2 – ax + a – 1 = 0 (a > 2)

c) x 2 + bx –3 4 b 2 = 0

f)3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 (b > –12)

a) x 2 + ax – b 2 + ab = 0 (a – 2b > 0)

c) x 2 + ax – bx – ab = 0

Proefversie©VANIN

b) 4x 2 – 8ax – 9b 2 + 12ab = 0 (8a - 12b > 0)

d) abx 2 + a 2 x – b 2 x – ab = 0

2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking

2.4.1 De formules opstellen

De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft oplossingen als D ⩾ 0.

Besluit Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = –b a en P = x 1  x 2 = c a

2.4.2 Voorbeelden

Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen.

a) x 2 – 3x + 2 = 0 c) x 2 + 4x – 21 = 0

S = ––3 1 = 3

P = 2 1 = 2

Proefversie©VANIN

⇒ x 1 = 1 en x 2 = 2

S = = ⇒ x 1 = en x 2 =

P = =

V = 1 , 2 {} V =

b)–x 2 + 9x – 20 = 0 d)2x 2 – x – 3 = 0

S = = ⇒ x 1 = en x 2 = S = = ⇒ x 1 = en x 2 = P = = P = = V = V =

Opmerkingen

• Als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis.

• De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1.

• Als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules.

2.4.3 Het omgekeerde vraagstuk

Gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2

Gevraagd: bepaal x 1 en x 2

Oplossing:

x 1 + x 2 = S en x 1  x 2 = P

⇓

⇓ je vervangt x 2 door S – x 1

x 2 = S – x 1 x 1  (S – x 1) = P

⇓ de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling

x 1 S – x 1 2 = P

⇓ eigenschap gelijkheden

x 1 2 – Sx 1 + P = 0

x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0.

Analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking.

Besluit Als S = x 1 + x 2 en P = x 1 x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Voorbeeld

De som van twee getallen is 1 9 en hun product is – 2 27 . Bepaal die getallen.

Oplossing:

De getallen zijn de oplossingen van Wegwerken van de noemers:

Proefversie©VANIN

D = x 1 = x 2 =

De gevraagde getallen zijn en

Oefeningen

REEKS A

21 Los op met de som- en productmethode.

a) x 2 – 8x + 7 = 0

b) x 2 – 12x + 20 = 0

c) x 2 + 2x – 15 = 0

d) x 2 + 3x – 28 = 0

e) x 2 – 3x – 18 = 0

g) x 2 – 4x – 96 = 0

Proefversie©VANIN

f) x 2 + 4x – 12 = 0

h) x 2 + 13x + 36 = 0

i) x 2 + 14x + 40 = 0

j)–x 2 – 17x + 18 = 0

k)–x 2 + 9x + 70 = 0

l)–x 2 – 2x + 35 = 0

REEKS B

22 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn.

a) S = –9 en P = 3

2 d) S = –1 12 en P = –1 12

Proefversie©VANIN

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn

en en

b) S = 6 en P = 0 e) S = 1 36 en P = –5 72

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn

en en

c) S = –1 en P = –3 f) S = – 0,5 en P = – 0,84

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn

en en

23 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant. a)

Proefversie©VANIN

24 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg.

a)5 en – 4

c) 5 – 3 en 5 + 3

b) 1 2 en –3 4

d)0 en –4

REEKS C

25 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 – 3x + m = 0

–1 is een oplossing.

1) D ⩾ 0: 2)

b)–3x 2 + mx – 6 = 0

2 is een oplossing.

1) D ⩾ 0: 2)

c) x 2 + 2mx – 5 = 0

De som van de wortels is 8.

1) D ⩾ 0: 2)

e)3x 2 + 5mx – 9 = 0

Er zijn twee tegengestelde oplossingen.

Proefversie©VANIN

d)–4x 2 – 3mx + 1 = 0

De som van de wortels is 2.

1) D ⩾ 0: 2)

f)–5x 2 + 6x – 8m = 0

Het product van de wortels is 16.

g) x 2 – 8x + 2m = 0

Het product van de wortels is 6.

h)2x 2 – 7x – 3m = 0

De twee wortels zijn elkaars omgekeerde.

26 Welk besluit kun je trekken over de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking?

Noteer de juiste letter.

AEr zijn twee verschillende oplossingen, die allebei positief zijn.

BEr zijn twee verschillende oplossingen, die allebei negatief zijn.

CEr zijn twee verschillende oplossingen, waarvan één strikt positieve en één strikt negatieve.

DEr zijn twee verschillende oplossingen, die elkaars tegengestelde zijn.

EEr zijn twee verschillende oplossingen en een van de oplossingen is 0.

FEr is maar één positieve oplossing.

GEr is maar één negatieve oplossing.

HEr is maar één oplossing, namelijk 0.

a) D > 0 S > 0 P > 0 e) D > 0 S < 0 P < 0

Antwoord: Antwoord: b)

Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels

2.5.1 Voorbeeld 1

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen.

Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan .

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

2.5.2 Voorbeeld 2

Een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog. De foto is 84 cm 2 groot.

Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is.

Stel: x is de breedte van het frame.

20cm

12cm

De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

2.5.3 Voorbeeld 3

a) Verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], A x 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk.

Stel: het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x

Een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid. Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

Je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

Stel: x is het gevraagde getal.

• Opstellen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1: Vergelijking 2:

• Oplossen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1: Vergelijking 2:

Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg.

Die vergelijking heeft als oplossingen:

x 1 = x2 =

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door Euclides, in de derde eeuw

vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur.

In de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische.

Enkele beroemde voorbeelden:

• De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50 De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

• In het Parthenon, de oude Griekse tempel op de Akropolis in Athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur1).

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de Griekse theaters is de gulden snede. De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

• Vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van Laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede.

Proefversie©VANIN

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. Voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

• de Mona Lisa (zie figuur2);

• de renaissancetuinen in Frankrijk;

• de meeste beeldhouwwerken van Rodin;

• de vierkanten van Mondriaan.

Niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur3);

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur4).

1,618

1,61811 1,618

Oefeningen

REEKS A

27 Los de vraagstukken op.

a)Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

c)De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

Proefversie©VANIN

Controle:

b)De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

Controle:

d)Van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

Controle:

Controle:

REEKS B

28 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers?

b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

Controle:

29 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2

Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen.

a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek?

b) Een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle:

30 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Proefversie©VANIN

Controle:

31 Als je de zijde van een vierkant verdrievoudigt, dan wordt de oppervlakte 5832 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

32 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

Controle:

33 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule

s = v 0  t + 1 2  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid in m/s en a de versnelling in m/s2

Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s2

a) Na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? Rond af op 0,001 s.

Proefversie©VANIN

Controle:

b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. Rond af op 0,01 m/s.

34 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h

Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is.

Rond af op 1 mm nauwkeurig. h r

Controle:

35 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken.

De zijde van het grote vierkant is 2 m langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant.

De totale oppervlakte van beide vierkanten is 2 377 m2

Bereken de zijden van de vierkanten.

Proefversie©VANIN

Controle:

36 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn.

Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule:

aantal glazen per laag = 1 2 n 2 + 1 2 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld).

Bereken in welke laag 45 glazen staan.

laag1

laag2

laag3

Controle:

REEKS C

37 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes.

Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken.

Wat is de oppervlakte van elk lapje en van het lappendeken?

Proefversie©VANIN

Controle:

38 De beroemde schrijver H. Gentemans heeft een nieuwe roman geschreven.

Een boekenwinkel bestelt een aantal boeken en betaalt daarvoor 930 euro.

Bij aankomst van de bestelling blijken er twee boeken meer te zijn dan er besteld waren.

De totale prijs blijft hetzelfde, zodat de prijs per boek daalt met 0,50 euro.

Hoeveel boeken werden er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs?

Controle:

39 In een fabriek moeten 1 650 balpennen in dozen worden ingepakt. Als er in elke doos vijf balpennen meer konden, zouden er drie dozen minder nodig zijn.

Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in één doos kon.

Proefversie©VANIN

Controle:

40 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen. Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen.

Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle:

41 De snelheid van de boot van Tom in stilstaand water is 15 km/h. Hij vaart in een rivier 40 km stroomopwaarts en 40 km stroomafwaarts in 6 h.

Bereken de stroomsnelheid van het water in die rivier.

Proefversie©VANIN

Controle:

42 ABCD is een rechthoek met lengte 10 cm en breedte 3 cm.

Bereken x zodat ∆BCP een rechthoekige driehoek is met ^ P = 90º. 10

Proefversie©VANIN

Controle:

2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen

2.6.1 Bikwadratische vergelijkingen

Definitie

Bikwadratische vergelijking

Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r.

Voorbeeld 1

x 4 – 5x 2 + 4 = 0 Stel: x 2 = t

t 2 – 5t + 4 = 0

D = (–5) 2 – 4  1  4 = 9

t 1 = 5 – 3 2 1 = 1 en t 2 = 5 + 3 2 1 = 4

x 2 = 1 of x 2 = 4

x = –1 of x = 1 of x = –2 of x = 2

V = {–2, –1, 1, 2}

Voorbeeld 2

x 4 – x 2 – 12 = 0 Stel:

Proefversie©VANIN

Algemeen Om een bikwadratische vergelijking op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Stel: x 2 = t.

• Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t.

• Los de vergelijkingen x 2 = t 1 en x 2 = t 2 op.

Je krijgt twee tweedegraadsvergelijkingen:

Proefversie©VANIN

Algemeen Om een vergelijking van de vorm a[f (x)] 2 + b[f (x)] + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Stel: f (x) = t

• Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t.

• Los de vergelijkingen f (x) = t 1 en f (x) = t 2 op.

Oefeningen

REEKS B

43 Los de vergelijkingen op.

a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0

c) x 6 – 28x 3 + 27 = 0

Proefversie©VANIN

b)4x 4 – 29x 2 + 45 = 0

d) x 4 – 2x 2 – 8 = 0

a) (3x – 1) 2 – 3  (3x – 1) + 2 = 0

Proefversie©VANIN

b) 2  (x 2 – 4x) 2 – 11  (x 2 – 4x) + 5 = 0

c) 3 (3x 2 – x) 2 + 17 (3x 2 – x) – 6 = 0

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen

2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + –  +

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm

ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

• ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

Proefversie©VANIN

KENNEN –  + –  +

methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen

• ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

methode

1: a 2 – b 2 = (a + b) (a - b)

methode 2: definitie vierkantswortel

• ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Er is één oplossing: 0.

KUNNEN –  + – 

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

D (discriminant) = b 2 − 4ac

• D > 0: twee verschillende oplossingen

x 1 = –b – D 2a en x 2 = –b + D 2a

KENNEN –  +

• D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen)

x 1 = x 2 = –b 2a

• D < 0: geen reële oplossingen

KUNNEN –  + –

Een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen

• door kwadraatafsplitsing;

• met de wortelformules;

• door ontbinding in factoren.

De best passende methode gebruiken.

De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met ICT.

Een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig.

Een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen.

Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is.

2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking

voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + – 

Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = –b a en P = x 1 x 2 = c a

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1 x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + – 

Een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te gebruiken.

Twee getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn. Een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn.

2.5 Vraagstukken

KUNNEN –  + – 

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking.

2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen

KENNEN –  + –  +

Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0 met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

KUNNEN –  + – 

Vergelijkingen oplossen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking.

1.Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur.

Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant I en II?

Proefversie©VANIN

A) r 6 7 B) r 7 8 C) r 8 9 D) r 9 10 E) r 1

JWO,editie2022,eersteronde

2.Wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur?

A) r 5 B) r 6 C) r 7 D) r 8 E) r 9

JWO,editie2012,tweederonde

3.Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat.

Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt.

Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

A) r 20 B) r 30 C) r 40 D) r 60 E) r 120

JWO,editie2020,eersteronde

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

3.1 Basisbegrippen over functies

3.1.1 Inleiding

Een brandende kaars is 20 cm lang.

De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

Na 7 uur is de hoogte

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):

y =

Vul de tabel in.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze.

Proefversie©VANIN

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

3.1.2 Domein en bereik

Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen.

dom f =

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as,

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

In symbolen

dom f = {x ∈ r | f (x) ∈ r}

Definitie Bereik

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

In symbolen

ber f = {f (x) | x ∈ dom f }

Praktisch domein en bereik

Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen

die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan

Het praktisch domein van f is

Notatie: pdom f

Proefversie©VANIN

Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken

die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan .

Het praktisch bereik van f is .

Notatie: pber f

3.1.3 Nulwaarde van een functie

Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul?

Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f

Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek?

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Voorbeeld

Bepaal de nulwaarde(n).

f (x) = 20 – 2xf (x) = x 2 – 9

3.1.4 Tekenschema en verloop van een functie

Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Voor welke waarden van x is f (x) > 0?

Voor welke waarden van x is f (x) = 0?

Voor welke waarden van x is f (x) < 0?

Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x).

tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars

• Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt?

De functie is stijgend / dalend.

Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen.

verloop van f verloop binnen de context van de kaars

Algemeen Tekenschema en verloop van een functie

• tekenschema

Proefversie©VANIN

• verloop

3.1.5 Voorbeeld

Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2.

Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het tekenschema en het verloop van de functie.

x f (x)

• dom f = ber f =

• nulwaarde:

• tekenschema x f (x)

• verloop

Oefeningen

REEKS A

1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

Proefversie©VANIN

• verloop x f

REEKS B

2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

Proefversie©VANIN

3.2.1 Kenmerken

Proefversie©VANIN

Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool

Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken.

• dom f = ber f =

• nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as?

• nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie?

• tekenschema:

• verloop: x f (x) x f

De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep.

• symmetrie:

De twee takken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van

De grafiek van f is een kromme.

Het symmetriemiddelpunt is de ( , ).

3.2.2 Asymptoten

Verticale asymptoot

De grafiek van f (x) = 1 x vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat 0 niet tot het domein behoort.

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van 0.

Je kiest argumenten die naderen tot 0, zonder 0 te bereiken, en berekent de functiewaarden.

Notatie: x → 0

Je leest: x nadert tot 0.

x – 0,1– 0,01– 0,001– 0,000 1 → 0 ← 0,000 10,0010,010,1

f (x) – 10– 100– 1 000– 10 000 → – ∞ | + ∞ ← 10 000 1 000 10010

Als x tot 0 nadert, dan wordt f (x) groter in absolute waarde.

De grafiek komt dichter en dichter tot de y-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de y-as een verticale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

Horizontale asymptoot

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van – ∞ en + ∞.

Je kiest argumenten die heel groot en heel klein zijn en je berekent de functiewaarden.

Proefversie©VANIN

Als x groter wordt in absolute waarde, dan nadert f (x) tot 0.

De grafiek nadert dichter en dichter tot de x-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de x-as een horizontale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

3.2.3 Voorbeeld

Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen.

Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis.

Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x

Waarom is het verband tussen y en x een functie?

Je noteert: f (x) = 1 x

dom f = ber f = pdom f = pber f =

Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001.

Waarom mag je de punten niet verbinden?

3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband

Voorbeeld

Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = vt, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h).

t (h)12345612

v (km/h)

s=v ? t(km)

Het product v ? t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig

Er geldt: v =

Definitie Omgekeerd evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x ? y constant is. x ? y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante

Formule

Proefversie©VANIN

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).

Grafiek van een omgekeerd evenredig verband

v (km/h)

Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).

De grafiek is

Besluit

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.

Oefeningen

REEKS A

4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a)

Proefversie©VANIN

REEKS B

5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel.

h (cm)4568

v (km/h)60484030

a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v =

d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij.

Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1.

De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x

a)Vul de tabel aan. b)Teken de grafiek.

Proefversie©VANIN

c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar.

d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar.

e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro.

7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders

8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig?

8 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. 8 koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. 12 koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

a)Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.

b)Geef de formule van het verband:

c)Vul de tabel aan.

Proefversie©VANIN

d)In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af?

REEKS C

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt.

De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m).

9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a .

a)Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.

b)Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 m hangen?

c)Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat

van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x

vermenigvuldigen met 4.

Proefversie©VANIN

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x

verticaal is uitgerekt met factor 4.

Om de grafiek van de functie g (x) = 1 4x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat

van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x

vermenigvuldigen met 1 4 .

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x

verticaal is samengedrukt met factor 4.

Verticaal samendrukken met factor 4 is hetzelfde

als verticaal uitrekken met factor 1 4

Proefversie©VANIN

Algemeen

Om de grafiek van de functie g (x) = –1 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1.

De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as

Om de grafiek van de functie g (x) = –5 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x

vermenigvuldigen met –5.

De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens:

• verticaal uitgerekt met factor 5;

• gespiegeld ten opzichte van de x-as

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Oefeningen

REEKS A

10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x . a)

11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).

g (x) = 3 x

12 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f .

Proefversie©VANIN

REEKS B

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c ∈ r0), als je weet dat:

a)het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

c)het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

d) het punt A 4 7 , 14 3 tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

Proefversie©VANIN

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop

x f x f

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop

x f x f

15 Maak gebruik van de grafieken van de functies f en g om de vergelijkingen op te lossen. a)gegeven:

Proefversie©VANIN

REEKS C

16 De getekende grafieken van de functie g zijn ontstaan door de grafieken van de functie f (x) = 1 x te spiegelen en/of te verschuiven. Bepaal het domein, het bereik, het tekenschema, het verloop en de vergelijking van de asymptoten van elke functie g.

Proefversie©VANIN

• dom g = ber g =

• tekenschema

x

• dom g = ber g =

• tekenschema

g(x) x g(x)

• verloop

• verloop

x g x g

• VA: HA:

• VA: HA:

17 Bij de aankoop van een nieuwe smartphone is het belangrijk om kritisch naar de batterijduur te kijken. De stand-bytijd van een smartphone is de maximale tijd die de smartphone kan aanstaan zonder gebruikt te worden. Die is afhankelijk van het type toestel. Het spanningsverloop U (in V) van een batterij van een smartphone wordt gegeven door de functie

U (t ) = 3,60 + 20 t – 50 .

Daarbij is t de tijd (in h) na het opladen.

a) Teken met ICT de grafiek van de functie U, zonder rekening te houden met de werkelijkheid.

b) Bepaal de spanning van de batterij onmiddellijk na het opladen.

c) Met hoeveel procent neemt de spanning af tijdens de eerste dag na het herladen? Rond af op 0,01 %.

d) Geef het praktisch domein en bereik van de functie U

pdom U = pber U =

18 Een achtbaan is een constructie uit hout of staal waarover karretjes een parcours afleggen met hoge snelheid. Een karretje begint omhoog te rijden volgens de functie f en vervolgt

daarna zijn weg volgens de functie g

Het voorschrift van f is f (x) = –0,68 ∙ (x – 4,37)2 + 13.

Het voorschrift van g is g (x) = 17 x – 4, 4 +2 , met x de horizontale verplaatsing (in m) en f (x) en g (x) de verticale verplaatsing (in m).

y (m) 2

Proefversie©VANIN

x (m)

2468101214161820222426283032

a) Op welke hoogte bevindt het karretje zich in

• Het punt A?

• Het punt B?

b) Welke horizontale verplaatsing heeft het karretje gemaakt als het zich op een hoogte van 3 m bevindt?

3.3.3 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Hiervoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) op de druksensor.

Dat levert de volgende meetresultaten op:

V (ml)2017,51512,5107,55 p (kPa)97,65111,60130,20156,24195,30260,40390,60

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

Proefversie©VANIN

De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak.

Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband.

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml).

b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml?

c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

Oefeningen

REEKS B

19 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden.

Proefversie©VANIN

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).

b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

d) Geef de economische betekenis van de verticale asymptoot van de grafiek van het verband.

20 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in V), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in V).

b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

REEKS C

Als een duiker zich onder water bevindt, ademt hij de lucht in onder een grotere druk dan normaal.

Daardoor ontstaat meer stikstofgas in het bloed.

Als de duiker te lang onder water blijft of te snel terug naar het oppervlak stijgt, kan de stikstof belletjes doen ontstaan in het bloed.

De duiker krijgt last van hoofdpijn, spierpijn en duizeligheid. In ernstige gevallen kan hij buiten bewustzijn raken of zelfs sterven. Dat verschijnsel noem je de ziekte van Caisson

Proefversie©VANIN

21 De tabel toont de maximale tijd t (in min) die een duiker onder water mag blijven als hij zich op een diepte d (in m) bevindt.

a)Vul de tabel aan.

b)Bepaal via regressie het verband tussen t en d 2

c)Hoelang mag een duiker onder water blijven, als hij zich op een diepte van 60 m bevindt? Rond af op 1 minuut.

d)Hoe diep mag een duiker gaan, als hij zuurstof heeft voor 1 h 30 min? Rond af op 0,1 m.

3.1

Basisbegrippen over functies voor de leerling voor de leerkracht

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Notatie: pdom f

Proefversie©VANIN

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

KUNNEN

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

3.2 De functie f (x) = 1 x

f (x) = 1 x

KENNEN

• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f

• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.

Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x ? y constant is.

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x is een (deel van een) hyperbool.

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

Proefversie©VANIN

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen. Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = c x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen met en zonder ICT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = c x onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

1.Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven.

Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant?

?

Proefversie©VANIN

A) r 144B) r 169 C) r 196D) r 200E) r 225

JWO,editie2020,tweederonde

2.Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen.

• Annelies heeft drie tomaten en x paprika’s.

• Boudewijn heeft y tomaten en drie wortels.

• Claudia heeft vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels.

Nadat ze de oogst verdeeld hebben, heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot.

Waaraan is x + y + z gelijk?

A) r 4 b) r 6 C) r 8 D) r 10E) r 12

JWO,editie2016,eersteronde

3.Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

A) r 2 B) r 3 C) r 4 D) r 5 E) r meer dan 5

JWO,editie2021,eersteronde

Proefversie©VANIN

4.1 Veeltermen in één veranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

4.1.1 Veelterm

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1.1 Veelterm

5.1.1 Veelterm

Definitie Veelterm

5.1.1 Veelterm

5.1.1 Veelterm

Definitie Veelterm

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Definitie Veelterm

Definitie Veelterm

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Proefversie©VANIN

5.1.2

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Deveelterm5 a +6 b −5iseendrietermindeonbekende(n)

5.1.2

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

In dit hoofdstuk werk je met veeltermen in één veranderlijke of onbekende.

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Deveelterm6 x 3 +5 x 2 +3 x −7iseenviertermindeonbekende(n)

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Je noteert zo’n veelterm met een letter, gevolgd door de onbekende tussen haakjes.

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Voorbeeld

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

Voorbeeld: v (x)= −2 x 2 +5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

v (x) = – 2 x 2 + 5 x is een veelterm in één veranderlijke x.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

4.1.2 Herleiden en rangschikken van een veelterm

5.1.2 Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

Neemdeveelterm g (x) = 4 x + 6 x 2 8 x 3 + 7 x 5 x 2 + x 3 8

Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

5.1.2 Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

5.1.3

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

Neemdeveelterm g (x) = 4 x + 6 x 2 8 x 3 + 7 x 5 x 2 + x 3 8

Neemdeveelterm g (x)=4 x +6 x 2 −8 x 3 +7 x −5 x 2 + x 3 −8

Neemdeveelterm g (x) = 4 x + 6 x 2 8 x 3 + 7 x 5 x 2 + x 3 8

Herleiddegegevenveelterm:

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

• Een veelterm betekent dat je de gelijksoortige eentermen optelt.

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

Herleiddegegevenveelterm:

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

Herleiddegegevenveelterm:

Herleiddegegevenveelterm:

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Een veelterm rangschikken betekent dat je de veelterm herschrijft naar dalende (of stijgende) machten van de veranderlijke.

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig

Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig

Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Getalwaardevaneenveelterm

4.1.3 Getalwaarde van een veelterm

5.1.3 Getalwaardevaneenveelterm

5.1.3 Getalwaardevaneenveelterm

5.1.3

Getalwaardevaneenveelterm

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a

Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a).

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a

Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a).

f (−2) = f (4) =

Degetalwaardevan f (x)=2 x 2 +7 x −9voor x = a schrijfjekortwegals f (a).

f (−2) = f (4) =

Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a).

f (−2)= f (4)=

f (−2) = f (4) =

f (– 2) = f (4) =

5.1.4 Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

4.1.4 Graad van een veelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Definitie Graadvaneenveelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Notatie:gr ( f (x))

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

g (x) = 5 x 3 3 x + 5

Notatie:gr ( f (x))

Notatie:gr ( f (x))

Notatie:gr ( f (x))

gr (g (x)) = h (x) = 4 x + 6 x 4 + 5 gr (h (x)) =

g (x)=5 x 3 −3 x +5

g

gr (g (x)) = h (

x) = 5 x 3 3 x + 5

g (x) = 5 x 3 3 x + 5 gr (

gr (g (x)) =

h (x) = 4 x + 6 x 4 + 5

gr (h (x)) = p (x) = 7 x 6 + 8 x 5

gr (p(x)) =

4.1.5 Coëfficiëntenrij

5.1.5 Coëfficiëntenrij

Gegeven: f (x)= −2 x −3 x 4 +6 x 3 +6

Jerangschiktdeveelterm: f (x)= −3 x 4 +6 x 3 −2 x +6

Jemaaktdeveeltermvolledig: f (x)= −3 x 4 +6 x 3 +0 x 2 −2 x +6

Derijgetallen−3,6,0,−2,6noemjede coëfficiëntenrij vandezeveelterm.

Noteerdecoëfficiëntenrijvan g (x)=− x 5 +8 x 3 + x −2 x 2 :

Proefversie©VANIN

4.1.6 Bewerkingen met veeltermen

5.1.6 Bewerkingenmetveeltermen

Optellenenaftrekkenvanveeltermen

Werkwijze

• Werkdehaakjesuit.

• Herleiddeverkregensom.

Herleid de verkregen veelterm naar dalende machten van x

(7 x 2 −5 x +4)+(3 x −6) (3 x 3 −5)−(2 x 4 −5 x 3 x)

=7 x 2 −5 x +4+3 x −6

Werkwijze

Werkwijze

Vermenigvuldigenvaneeneentermeneenveelterm

• Vermenigvuldigdeeentermmetelketermvandeveelterm.

Vermenigvuldig de eenterm met elke term van de veelterm (distributieve eigenschap).

• Teldeverkregenproductenop.

2 x (x 2 −2 x +3) −3 x 2 (2 x 4 −5 x 3 +3)

=2 x x 2 +2 x (−2 x)+2 x 3=

Vermenigvuldigenvanveeltermen

• Vermenigvuldigelketermvandeeneveeltermmetelketermvandeandereveelterm.

• Teldeverkregenproductenopenherleidhetresultaat.

Tel de verkregen producten op en herleid het resultaat, indien mogelijk.

(2 x +3) (x 3 −5) (− x 3 −3) (2 x 2 x +7)

=2 x x 3 +2 x (−5)+3 x 3 +3 (−5)

Oefeningen

REEKSA

1 Herleidenrangschiknaardalendemachtenvandeonbekende.

a)3 x + 5 x 4 7 x 2 4 x =

+5 −7 −4−

Bereken de getalwaarde. Proefversie©VANIN

b)−8 5a 3 + 2a 3a 3 + 6a 2 =

b)−8−5 +2 −3 +6

−3 +9 −7 −2 −5=

c)7 x 4 3 x 2 + 9 x 7x 2 2 x 3 5 =

d)− t 3 + 4 t 6 t 2 5 t 3 + t 9 t 2 =

2 Berekendegetalwaarden.

a) f (x) = 2 x 2 + 3 x 5 f (−3) = f (2) =

+4 −6 −5 −9 )=2 +3 −5 (−3)= (2)=

b) g (b) = b 3 + 4 b 2 3 g (−2) = g (3) =

c) h (y) = y 4 2 y 2 4 h (3) = h (−1) =

)=− +4 −3 (−2)= (3)= )= −2 −4 (3)= (−1)=

d) i (x) = x 5 + 2 x 3 i (−2) = i (2) =

3 Bepaaldegraad.

a)gr(6 x 3 + 7 x 11) = e)gr (x (x 3 5)) =

)= +2 −3 (−2)= (2)= +7 −11)= −5)

b)gr(−8 x 2 + 9 x 3 7 x 2) = f)gr ((x + 2) (x 3)) =

+9 −7 )= +2) −3)

c)gr(5 + 3 x 2 7 x 4) = g)gr((x 7) (x 2 + x)) =

g)gr

c)gr(5+3 −7 )= −7) )

−5 −3 +9)= +2)

d)gr(x 4 5 x 3 3 x 4 + 9) = h)gr (x 2 (x 3 + 2) x) = 4 Bepaaldecoëfficiëntenrij.

Bepaal de coëfficiëntenrij. Herleid en rangschik de veelterm eerst indien nodig.

−3 +2 −6 +7 −3

a)−8 x 6 + x 5 3 x 4 + 2 x 3 6 x 2 + 7 x 3

b)2 x 5 4 x 3 + 6 x 2 x + 5

c)3 x 7 + 6 x 4 3 x 2 + 5 x 4 + 8 x 9

REEKSB

R

5 Werkuit,herleid,rangschikenbepaaldegraad.

5 Werk uit. Herleid en rangschik de verkregen veelterm. Bepaal de graad van die veelterm.

a)(x 2) (−2 x 2 3 x + 4)

c)(3 x x 2) (2 x 3 5)

b)(7 x 8) (−3 x 2 + 5x) d) x 2 (x 5 x 2) x 3

6 Werkuit,herleid,rangschikenbepaaldegraad.

Werk uit. Herleid en rangschik de verkregen veelterm. Bepaal de graad van die veelterm.

a)(2 x 2 x + 3) (x 3 2 x 2 4)

b)(x + 3 x 2) (2 x x 3) (−5 x 2)

−2) (−2 −3 +4) −5) −8) +5 −5 +3) −2 −4) +3 (−5−

Proefversie©VANIN

4.2 De euclidische deling van twee veeltermen

5.2 Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

4.2.1 Inleiding

5.2.1 Destaartdeling

gehele getallen

• Bepaal x ∈ℤ zodat

4 ? x =28

Oplossing: x =7

veeltermen in één veranderlijke

• Bepaal een veelterm f (x) zodat

2x ? f (x)=6 x 2 +4 x

Oplossing: f (x)=3 x +2

JOBNAME:Pienter.4TSO.lwsPAGE:6SESS:689OUTPUT:FriMar3009:11:462018

JOBNAME:Pienter.4TSO.lwsPAGE:6SESS:689OUTPUT:FriMar3009:11:462018

7 noem je het quotiënt van de deling van het deeltal 28 door de deler 4.

• Bepaal x ∈ℤ zodat

4 ? x = 31

Controle: d q + r = D

Er is geen geheel getal x te vinden dat aan de vergelijking voldoet. Je zegt dat 31 niet deelbaar is door 4 in de verzameling van de gehele getallen.

• Er geldt: 4 ? 7+3=31

5.2.2 Opgaandedeling

Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

3x +2 noem je het quotiënt van de deling van het deeltal 6 x 2 +4 x door de deler 2x

• Bepaal een veelterm f (x) zodat

2x ? f (x)=6 x 2 +4 x +3

Controle: d (x

Er is geen veelterm f (x) te vinden die aan de vergelijking voldoet. Je zegt dat 6 x 2 +4 x +3 niet deelbaar is door 2x in de verzameling van de veeltermen.

• Er geldt: 2x ? (3x +2)+3=6 x 2 +4 x +3

3x +2 is het quotiënt q (x) van de deling van het deeltal D (x)=6 x 2 +4 x +3 door de deler d (x)=2x

7 noem je het quotiënt q van de deling van het deeltal D = 31 door de deler d = 4. De rest r van de deling is 3.

5.2 Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

Criterium

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

De rest r (x) van de deling is 3.

4.2.2 De staartdeling van een veelterm door een eenterm

5.2.1 Destaartdeling

D(x)isdeelbaardoor d (x) ⇔ D(x) = d (x) q (x) d (x)noemjedaneendelervanD(x). Notatie: d (x) D(x) Voorbeeld Controle: d (x) q (x) = D(x) delingvannatuurlijkegetallen delingvaneenveeltermdooreeneenterm

d q + r =D

5.2.2 Opgaandedeling

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

5.2.3

4.2.3 De staartdeling bij de deling van twee veeltermen

Destaartdelingbijdedelingvantweeveeltermen

OmD(x)=5 x 4 −3 x 3 +7 x −9tedelendoor d (x)= x −2,kunjeookeenstaartdelinggebruiken.

Je rangschikt het deeltal en de deler naar dalende machten van x

• Jerangschikthetdeeltalnaardalendemachtenvan x Bijonvolledigeveeltermenschrijfjedeontbrekendemachtenvan x meteencoëfficiënt0.

5 x

Proefversie©VANIN

• Jedeeltdeeerstetermvanhetdeeltal(5 x 4)doordeeerstetermvandedeler(x). Hetresultaatisdeeerstetermvanhetquotiënt.

• Jevermenigvuldigtdeeerstetermvanhetquotiënt(5 x 3)metdedeler(x −2). Deverkregenveelterm(5 x 4 −10 x 3)trekjeafvanhetdeeltal.

• Jedeeltopnieuwdeeersteterm(7 x 3)doordeeerstetermvandedeler. Hetresultaat(7 x 2)isdetweedetermvanhetquotiënt.

• Jeblijftdezewerkwijzeherhalentotdegraadvanderestkleinerisdandegraadvandedeler.

• q (x)=

• r (x)=

Controle: d (x) q (x)+ r (x)=

Daarinwerdvanuitvijfaxioma’sallewiskundesystematischafgeleid. 2000jaarlangwasditeenvandebelangrijkstewiskundewerken enwashetsamenmetdeBijbeleenvandemeestgedrukteboeken.

In DeElementen behandeldehijonderandere:

Algemeen De euclidische deling van de veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, heeft als quotiënt de veelterm q (x) en als rest de veelterm r (x) ⇕

• detheorievandeelbaarheid;

• degrootstegemenedelereneenalgoritmeomdieteberekenen;

• eenbewijsdateroneindigveelpriemgetallenzijn.

D (x) = d (x) ⋅ q (x) + r (x) waarbij gr (r (x)) < gr (d (x)) of r (x) = 0

Als r (x) = 0, dan spreek je van een opgaande deling.

Voorbeelden Voerdedelingenuit.

Voorbeelden

Proefversie©VANIN

Opmerking gr (q (x)) =gr (D(x)) −gr (d (x))

Eenstaartdelingiseenalgoritmeomeendelinguittevoeren.

Stelling Bij de deling van een veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, bestaat er juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

HetwoordalgoritmeiseenverbasteringvanhetOudengelsewoord algorism,datvanhetLatijnsewoordalgorismuskomt.

Bewijs

Hetwoord‘algorisme’verweesoorspronkelijkalleennaarderegelsvoor hetrekenenmetArabischecijfers,maarevolueerdeinde18eeeuw naar‘algoritme’.Hetwoordalgoritmewordtnugebruiktvooralle eindigeproceduresomproblemenoptelossenoftakenuittevoeren.

Bewijs uit het ongerijmde: als je kunt aantonen dat het onmogelijk is dat er twee verschillende quotiënten zijn en twee verschillende resten, dan is er juist één quotiënt en juist één rest.

Heteerstealgoritmevooreencomputer,geschrevenin1842, istevindenindenotitiesvanAdaByron.

Stel: er bestaan twee quotiënten q 1 (x) en q 2 (x) en twee resten r 1 (x) en r 2 (x).

Dan: D (x)= d (x) q 1 (x)+ r 1 (x) met gr (r 1 (x)) < gr (d (x)) of r 1 (x)=0

Zijwordtdaarombeschouwdalsdeeerstecomputerprogrammeur.

D (x)= d (x) q 2 (x)+ r 2 (x) met gr (r 2 (x)) < gr (d (x)) of r 2 (x)=0

⇒ d (x) ? q 1 (x)+ r 1 (x)= d (x) ? q 2 (x)+ r 2 (x)

⇔ d (x) ? q 1 (x)+ r 1 (x) – d (x) ? q 2 (x) – r 2 (x)=0 alle termen naar het linkerlid

⇔ d (x) ? [q 1 (x) – q 2 (x)] + r 1 (x) – r 2 (x)=0

Omdat gr (r 1 (x) – r 2 (x)) < gr (d (x)) of r 1 (x) – r 2 (x) = 0

kunnen d (x) ? [q 1 (x) – q 2 (x)] en r 1 (x) – r 2 (x) niet tegengesteld zijn

⇒ d (x) [q 1 (x) – q 2 (x)] = 0 en r 1 (x) – r 2 (x) = 0

⇒ q 1 (x) – q 2 (x) = 0 en r 1 (x) – r 2 (x) = 0

d (x) ≠ 0

⇔ q 1 (x) = q 2 (x) en r 1 (x) = r 2 (x)

Conclusie: er bestaat juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

de factor d (x) afzonderen

5.2.2 Opgaandedeling

4.2.4 Opgaande deling

5.2.2 Opgaandedeling

Kenmerk

D (x) is deelbaar door d (x) ⇔ D (x) = d (x) q (x) Proefversie©VANIN

d (x)noemjedaneendelervanD(x).

d (x)noemjedaneendelervanD(x).

Notatie: d (x) D(x)

Notatie: d (x) D(x)

Voorbeeld

Voorbeeld

Voorbeeld

Toon aan dat D (x) = 2x 3 – 7x 2 + 16x – 15 deelbaar is door d (x) = 2x – 3. 2 x 3 – 7 x 2 + 16 x – 15 2 x – 3 r (x) = ⇒ D (x) is deelbaar door d (x)

Controle: d (x) ⋅ q (x) = D (x)

Een veelterm ontbinden in factoren

Een veelterm ontbinden in factoren betekent dat je de veelterm schrijft als een product van veeltermen en eentermen die een lagere graad hebben dan de oorspronkelijke veelterm.

Als de veelterm D (x) deelbaar is door de veelterm d (x), dan kan je D (x) schrijven als een product d (x) ? q (x). Dit product is een ontbinding in factoren van D (x).

• Ontbind D (x) = 6x 2 + 4x in factoren.

D (x) is deelbaar door 2x (zie § 4.2.1). Het quotiënt is

⇒ 6x 2 + 4x =

De veelterm 6x 2 + 4x is ontbonden in de factoren en

• Werk het product van de toegevoegde tweetermen uit: (3x – 4) (3x + 4) =

De verkregen veelterm D (x)= kan je ontbinden in de factoren 3x – 4 en 3x +4 en is dus deelbaar door 3x – 4 en door 3x + 4.

• Bepaal het quotiënt van de deling van D (x) = 9x 2 – 25 door d (x) = 3x + 5.

9x 2 – 25 = (3x + 5)

⇒ q (x) =

Oefeningen

Oefeningen

REEKSA

7 Berekenhetquotiëntzonderstaartdeling.

deeltal deler quotiënt

a)8 x 5 +6 x 3 +24 2

b)7x 4 +5x 2 + x x c)12 x 5 −72 x 2 +9 x

8 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x).

a)D(x)=4x 2 −8 d (x)=2 x c)D(x)=2 x 4 −3 x 2 d(x)=4x 3

q (x)= en r(x)=

b)D(x)=−2 x 3 +3 x 2 +5 d (x)=6 x 2

q (x)= en r (x)=

d)D(x)=4 x 3 −10 x 2 +7 xd (x)=−2 x q

Proefversie©VANIN

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van (x) door d (x

BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).Maakdeproef.

a)D(x)=−3 x 3 −14 x 2 −16 x −7 d (x)= x 2 +4 x +3

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x). D

Proefversie©VANIN

q (x)= en r (x)= Proef:

b)D(x)=−6 x 4 +7 x 3 −17 x 2 +11 x −8 d (x)=2 x 2 x +1

R 12

BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).Maakdeproef.

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x). Maak de proef.

a)D(x)= x 5 x 3 +5 d (x)= x 3 +3

Proefversie©VANIN

q (x)= en r (x)=

Proef:

b)D(x)= x 4 −3x 3 + xd (x)= x 2 + x +1

q (x)= en r (x)=

Proef:

a) D (x) = x 4 + 2 x 3 – 2 x 2 + 7 x – 2 = (x 2 + 3x - 1) ? ( )

b) D (x) = 4x 5 + 9 x 3 + 4 x 2 + 9 = (4x 2 + 9) ? ( )

Proefversie©VANIN

14 Losop.

a)Bereken a en b zodat ax 3 + bx 2 +3 x +2deelbaarisdoor x 2 + x +1. Berekenhetquotiënt.

Proefversie©VANIN

Antwoord: a = en b = en q (x)=

b)Bereken a en b zodatbijdelingvan2 x 3 + ax 2 + bx +1door2 x 2 −3 x +1derest3 x −4is. Berekenhetquotiënt.

Antwoord: a = en b = en q (x)=

4.3 Deling door x – a

4.3.1 De regel van Horner

5.3.1 DeregelvanHorner

Jebepaalthetquotiëntenderestvandedelingvan2 x 3 −3 x 2 −4 x +2door x −3.

Proefversie©VANIN

Bijhetmakenvaneenstaartdelingrekenjeeigenlijkenkelmetdecoëfficiënten.

DeregelvanHorner

Jekuntdecoëfficiëntenschikkeninhetvolgendeschema.

Jevermenigvuldigtdatgetalmet a Hetverkregenproductschrijfje onderdetweedecoëfficiëntvanhetdeeltal.

Jeherhaaltdezewerkwijze voorallecoëfficiëntenvanhetdeeltal. Jezeteenverticaalstreepjevóórhetlaatstegetal.

Deverkregenrijisdecoëfficiëntenrijvanquotiëntenrest.

Ditalgoritmeomsnelhetquotiëntenderestvaneendelingdoor x−a teberekenen, staatbekendals deregelvanHorner

Dit algoritme om snel het quotiënt en de rest van een deling door x – a (met a ∈ r) te berekenen, staat bekend als de regel van Horner

Opmerking

Zorgeraltijdvoordathetdeeltaleenvolledigeveeltermis.

a) D(x)=3 x 3 −4 x 2 −9 x +10

a) D(x)=3 x 3 −4 x 2 −9 x +10

d (x)= x −2

d (x)= x −2

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

b) D(x)= −2 x 2 +5 x +7

b) D(x)= −2 x 2 +5 x +7

d (x)= x +3

d (x)= x +3

c) D(x)= x 3 +1

c) D(x)= x 3 +1

d (x)= x −1

d (x)= x −1

Proefversie©VANIN

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

d) D(x)= x 4 x 2 +2 x +5

d) D(x)= x 4 x 2 +2 x +5

d (x)= x +2

d (x)= x +2

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

WilliamGeorgeHorner (1786-1837)waseenBritsewiskundige.

HijstudeerdeaandeKingswoodSchoolinBristol.Opzijnveertiendewerd hijdaarassistent-directeurenopzijnachttiendewerdhijerzelfsdirecteur.

OpzijndrieëntwintigstestichttehijeeneigenschoolinBath.

WilliamGeorgeHorner (1786-1837)waseenBritsewiskundige. HijstudeerdeaandeKingswoodSchoolinBristol.Opzijnveertiendewerd hijdaarassistent-directeurenopzijnachttiendewerdhijerzelfsdirecteur. OpzijndrieëntwintigstestichttehijeeneigenschoolinBath.

Hijisbekendomzijnschemaomveeltermentedelendoor x a, dathijpubliceerdein1830.

Hijisbekendomzijnschemaomveeltermentedelendoor x a, dathijpubliceerdein1830.

In1834vondhijookhet‘Daedalum’(wielvan deduivel)uit.Eenapparaatwaarmeehijbeelden konlatenbewegen(devoorlopervandefilm). Vreemdgenoegwerdzijnuitvindingvergeten. PasmeerdandertigjaarlaterwerderinAmerikaeenpatentopgenomen doorWilliamF.Lincoln.

de duivel) uit: met dat apparaat kon hij beelden laten bewegen (de voorloper van de film).

In1834vondhijookhet‘Daedalum’(wielvan deduivel)uit.Eenapparaatwaarmeehijbeelden konlatenbewegen(devoorlopervandefilm). Vreemdgenoegwerdzijnuitvindingvergeten. PasmeerdandertigjaarlaterwerderinAmerikaeenpatentopgenomen doorWilliamF.Lincoln.

Lincolnvervingdenaam‘Daedalum’door‘zoetrope’of‘levendwiel’.

Lincolnvervingdenaam‘Daedalum’door‘zoetrope’of‘levendwiel’.

15 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x)metderegelvanHorner. a)D(

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x) met de regel van Horner. D

17 Vervolledig het rekenschema van Horner en bepaal telkens het deeltal, de deler, het quotiënt en de rest.

Proefversie©VANIN

18 Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x) met de regel van Horner (a ∈ r 0).

a) D (x)= – 3ax 3 + ax 2 – 2ax +4a

d (x)= x +2

b) D (x)=2ax 3 – a 2x 2 +3a 3x – a 4

d (x)= x – a

q (x) =

r (x)=

q (x) =

r (x)=

Dereststelling

4.3.2 De reststelling

5.3.2 Dereststelling

Berekenderestvandedeling.

Reststelling

Reststelling

Berekenderestvandedeling.

8 7 + 5 + 2)

(−3 x 4 −8 x 3 −7 x 2 +5 x + 3):(x +2)

(−3 x 4 8 x 3 7 x 2 + 5 x + 3):(x + 2)

−2

−2

646−22

−3−8−753

−3−2−311−19

646−22

) =

r (x)=

r (x) =

−3−2−311−19

Stel: f (x)=−3 x 4 −8x 3 −7 x 2 +5 x +3

Berekendegetalwaarde f (−2).

Stel: D (x) = D (– 2).

Stel: f (x)=−3 x 4 −8x 3 −7 x 2 +5 x +3

D (– 2)

Berekendegetalwaarde f (−2).

f (−2)=−3 (−2) 4 −8 (−2) 3 −7 (−2) 2 +5 (−2)+3 = = = −3−8−753

(−2) = −3 8 7 + 5 (−2) + 3

f (−2) = −3 (−2) 4 8 (−2) 3 7 (−2) 2 + 5 (−2) + 3 = = =

Proefversie©VANIN

Criterium

Criterium

Wat stel je vast?

Watsteljevast?

Watsteljevast?

Om de rest van een deling van een veelterm D (x) door x – a te berekenen, volstaat het dus om D (a) te berekenen.

Omderestvaneendelingdoor x−a teberekenen,volstaathetdusom f (a)teberekenen.

Reststelling

Reststelling

Reststelling

Omderestvaneendelingdoor x a teberekenen,volstaathetdusom f (a)teberekenen.

Derestvandedelingvaneenveelterm f (x)door x−a isgelijkaan f (a).

x a x a

Kenmerk De rest van de deling van een veelterm D (x) door x – a (met a ∈ℝ) is gelijk aan D (a).

Bewijs

Derestvandedelingvaneenveelterm f (x)door x a isgelijkaan f (a).

f (x)=(x−a) q (x)+ r (x)

Bewijs

Bewijs

gr (r (x)) 1of r (x)=0 ⇒ r (x) R

D (x) = (x – a) q (x) + r (x)

stel r (x)= r

f (x) = (x a) q (x) + r (x)

f (x)=(x−a) q (x)+ r

gr (r (x)) 1of r (x) = 0 ⇒ r (x) R

⇓ gr (r (x)) < 1 of r (x) = 0 ⇒ r (x) ∈ r stel r (x) = r

stel r (x) = r

f (a)=(a−a) q (a)+ r

D (x) = (x – a) ? q (x) + r

f (x) = (x a) q (x) + r

f (a)=0 q (a)+ r

f (a)= r

⇓ bereken de getalwaarde D (a)

f (a) = (a a) q (a) + r

f (a) = 0 q (a) + r

f (a) = r

Voorbeelden

D (a) = (a – a) ? q (a) + r = 0 q (a) + r = r

Bepaalderestzonderdedelinguittevoeren.

Voorbeelden

Bepaalderestzonderdedelinguittevoeren.

opgave berekeningen rest

(5 x 2 −2 x +3):(x −2)

(x a ) + ) = 0 ) = ) = (x a ) + ) = (a a ) + ) = 0 ) + ) = 2 + 3) : ( 2)

opgave berekeningen rest

(−2 x 4 +5 x 3 + x 2 −3 x −3):(x +1)

(5 x 2 2 x + 3) : (x 2)

+ 5 3 3) : ( + 1)

(−2 x 4 + 5 x 3 + x 2 3 x 3) : (x + 1)

Deelbaarheidscriterium

Eenveeltermisdeelbaardooreenandereveeltermalsderest0is.

Kenmerk van deelbaarheid door x – a

Deelbaarheidscriterium

Eenveeltermisdeelbaardooreenandereveeltermalsderest0is.

x a

Een veelterm is deelbaar door een andere veelterm als en slechts als de rest 0 is.

Eenveelterm f (x)isdeelbaardoor x−a alsenslechtsals

f (a)=0.

) = 0.

Kenmerk Een veelterm D (x) is deelbaar door x – a (met a ∈ℝ) ⇔ D (a) = 0

Eenveelterm f (x)isdeelbaardoor x a alsenslechtsals

f (a) = 0.

4.3.3 Toepassing: de methode van de onbepaalde coëfficiënten

5.3.3 Toepassing:demethodevandeonbepaaldecoëfficiënten

Toepassing:demethodevandeonbepaaldecoëfficiënten

Modeloefening1

Modeloefening 1

Modeloefening1

Bijdelingvan f (x)= x 3 + ax 2 +16 x +21door x +3isderest0.

Bij deling van D (x)

Bijdelingvan f (x) = x 3 + ax 2 + 16 x + 21door x + 3isderest0.

Bepaaldecoëfficiënt a

Bepaaldecoëfficiënt a

Jegebruiktdereststelling:

Jegebruiktdereststelling:

f (−3)=(−3) 3 + a (−3) 2 +16 (−3)+21=−27+9a −48+21=9a −54=0 ⇔ a =6

D (– 3)

f (−3) = (−3) 3 + a (−3) 2 + 16 (−3) + 21 = −27 + 9a 48 + 21 = 9a 54 = 0 ⇔ a = 6

Proefversie©VANIN

Modeloefening2

Modeloefening 2

Modeloefening2

Bijdelingvan f (x)= ax 3 + bx 2 +2x +1door x −2isderest1enbijdelingdoor x −3isderest4.

Bij deling van D (x)

Bijdelingvan f (x) = ax 3 + bx 2 + 2x + 1door x 2isderest1enbijdelingdoor x 3isderest4.

Bepaaldecoëfficiënten a en b

Bepaaldecoëfficiënten a en b

Jegebruiktdereststelling:

Jegebruiktdereststelling:

f (2)= a 2 3 + b 2 2 +2 2+1=8 a +4 b +4+1=8 a +4 b +5=1 ⇔ 8 a +4 b = −4

D (2)

f (2) = a 2 3 + b 2 2 + 2 2 + 1 = 8 a + 4 b + 4 + 1 = 8 a + 4 b + 5 = 1 ⇔ 8 a + 4 b = −4

f (3)= a 3 3 + b 3 2 +2 3+1=27 a +9 b +6+1=27 a +9 b +7=4 ⇔ 27 a +9 b = −3

D (3)

f (3) = a 3 3 + b 3 2 + 2 3 + 1 = 27 a + 9 b + 6 + 1 = 27 a + 9 b + 7 = 4 ⇔ 27 a + 9 b = −3

Je verkrijgt het stelsel S

Jeverkrijgthetstelsel 8 a +4 b = −4 27 a +9 b = −3

Jeverkrijgthetstelsel 8 a + 4 b = −4

Je lost dit stelsel op om de waarde van a en b te vinden.

Modeloefening3

Modeloefening3

Bijdelingvan f (x)door x −2isderest3enbijdelingdoor x −4isderest5.

Bijdelingvan f (x)door x 2isderest3enbijdelingdoor x 4isderest5.

Berekenderestvandedelingvan f (x)door(x −2) (x −4).

Berekenderestvandedelingvan f (x)door(x 2) (x 4).

f (x)= q (x) d (x)+ r (x)

f (x) = q (x) d (x) + r (x)

f (x)= q (x) (x −2) (x −4)+ r (x)

f (x) = q (x) (x 2) (x 4) + r (x)

Aangeziengr(d (x)) =2isgr (r (x)) 1.

Aangeziengr(d (x)) = 2isgr (r (x)) 1.

r (x)isdusvandevorm ax + b

r (x)isdusvandevorm ax + b

f (x)= q (x) (x −2) (x −4)+(ax + b)

f (x) = q (x) (x 2) (x 4) + (ax + b)

Uithetgegevenhaalje: f (2)=3en f (4)=5.

Uithetgegevenhaalje: f (2) = 3en f (4) = 5.

Dus: a = b =

f (2)= q (2) (2−2) (2−4)+(2 a + b)= q (2) 0+(2 a + b)=2 a + b =3

f (2) = q (2) (2 2) (2 4) + (2 a + b) = q (2) 0 + (2 a + b) = 2 a + b = 3

f (4)= q (4) (4−2) (4−4)+(4 =5

f (4) = q (4) (4 2) (4 4) b = 5

Jeverkrijgthetstelsel 2 a

Jeverkrijgthetstelsel 2 a + b 4 a + b

Antwoord:derestvandedelingvan

Antwoord:derestvandedelingvan 1.

4.3.4 Deling van een veelterm door (x – a)

? (x – b)

Inleiding

Bij deling van een getal door 3 is de rest 2 en bij deling van dat getal door 5 is de rest 3.

Als je dat getal deelt door 15 (= 3 5), dan is de rest altijd gelijk aan 8. Je ziet drie voorbeelden.

Voor een veelterm D (x) de rest bij deling door (x – a) ? (x – b) bepalen aan de hand van de resten bij deling door x – a en door x – b.

Modeloefening

Bij deling van D (x) door x – 2 is de rest 3 en bij deling door x – 4 is de rest 5.

Bereken de rest van de deling van D (x) door (x – 2) ? (x – 4)

D (x) = d (x) ? q (x) + r(x)

D (x) = (x – 2) ? (x – 4) ? q (x) + r (x) ⇓ gr (r (x)) < gr (d (x)) =2 ⇒ gr (r (x)) ⩽ 1 ⇒ r (x)= ax + b

D (x) = (x – 2) ? (x – 4) ? q (x) + ax + b

De rest van de deling van D (x) door x – 2 is 3 ⇒ D (2) = 3 (reststelling)

D (2) = (2 – 2) (2 – 4) q (2) + a 2 + b = 3

⇔ 0 (– 2) q (2) + 2a + b = 3 ⇔ 2a + b = 3

De rest van de deling van D (x) door x – 4 is 5 ⇒ D (4) = 5

D (4) = (4 – 2) ? (4 – 4) ? q (4) + a ? 4 + b = 5

⇔ 2 ? 0 ? q (4) + 4a + b = 5 ⇔ 4a + b = 5

Je lost het stelsel S 2a + b = 3

4a + b = 5 op.

Proefversie©VANIN

Dus: de rest van de deling van D (x) door (x – 2) ? (x – 4) is

Kenmerk van deelbaarheid door (x–a) ? (x–b)

Gegeven is de veelterm D (x) = 2x 4 – x 3 – 16x 2 – 3x + 18

• x + 2 is een deler van D (x) want

x – 3 is een deler van D (x) want

• (x + 2) ? (x – 3) = x 2 – x – 6

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door x 2 – x – 6.

q (x) = r (x) =

Besluit:

Kenmerk Een veelterm D (x) is deelbaar door (x – a) (x – b), met a ≠ b

⇔ D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

Bewijs

Proefversie©VANIN

⇒ ⇐

D (x) is deelbaar door (x – a) ? (x – b)

⇓ eigenschap deelbaarheid

D (x)=(x – a) ? (x – b) ? q (x)

Stel: q1 (x)=(x – b) q (x)

Dan: D (x)=(x – a) ? q1 (x)

Stel: q2 (x)=(x – a) ? q (x)

Dan: D (x)=(x – b) q2 (x)

⇒

D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

D (x) is deelbaar door x – a

⇓ eigenschap deelbaarheid

D (x)=(x – a) ? q1 (x) (1)

D (x) is deelbaar door x – b

⇕ kenmerk vandeelbaarheid

D (b)=0 ⇔ (b – a) q1 (b)=0 ⇔ q1 (b)=0 b – a ≠ 0

⇒

q1 (x) is deelbaar door x – b

⇒ q1 (x)=(x – b) q (x) (2)

Uit (1) en (2) ⇒ D (x)=(x – a) ? (x – b)

⋅ q (x)

⇒ D (x) is deelbaar door (x – a) ? (x – b)

deeltal deler berekeningen rest

a)2 x 3 +8 x 2 +5 x −17 x −1

b) x 5 −1 x −1

21 Bepaal de waarde van d (x) een deler is van D (x).

D ( )

)eendelerisvan

f (x) d (x) berekeningen p

f (x) d (x) berekeningen p

a) x 3 +5 x 2 px x −2

a) x 3 + 5 x 2 px x 2

b) x 4 + px 3 −3 x −15 x +3

b) x 4 + px 3 3 x 15 x + 3

JOBNAME:Pienter.4TSO.lwsPAGE:23SESS:682OUTPUT:FriMar3009:11:462018

c)2 x 4 −5 x 2 −8 x 3 + px x −4

c)2 x 4 5 x 2 8 x 3 + px x 4

d)7 x 3 +33 x 2 + px x +5

d)7 x 3 + 33 x 2 + px x + 5

Proefversie©VANIN

20 Bepaaldewaardevan p zodatderestvandedelingvan f (x)door d (x)gelijkisaan r

22 Bepaal de waarde van zodat de rest van de deling van D (x) door d (x) gelijk is aan r.

20 Bepaaldewaardevan p zodatderestvandedelingvan f (x)door d (x)gelijkisaan r.

19 Bepaaldewaardevan p zodat d (x)eendelerisvan f (x).

D (x

f (x) d (x) r berekeningen p

f (x) d (x) r berekeningen p

f (x) d (x) berekeningen p

a) x 3 +8 x 2 +7 x + px + 16

a) x 3 + 8 x 2 + 7 x + px + 16

a) x 3 + 5 x 2 px x 2

b)2 x 4 −2 x 3 + px 2 x −10 x 1−8

b)2 x 4 2 x 3 + px 2 x 10 x 1−8

b) x 4 + px 3 3 x 15 x + 3

c)4x 3 +8x 2 + px −3 x +211

c)4x 3 + 8x 2 + px 3 x + 211

c)2 x 4 5 x 2 8 x 3 + px x 4

d) px 4 +4 x 3 +3 x 2 −6 x −9 x 29

d) px 4 + 4 x 3 + 3 x 2 6 x 9 x 29

d)7 x 3 + 33 x 2 + px x + 5

REEKS B

23 Bepaal de coëfficiënten a en b.

a) De veelterm x 3 + ax 2 + bx – 12 is deelbaar door x + 2 en x – 2.

Antwoord: a = b =

b) Bij deling van x 3 + ax 2 + 11x + b door x – 1 en x – 2 is de rest telkens 5.

Proefversie©VANIN

Antwoord: a = b =

c) Bij deling van x 3 + ax 2 – bx – 5 door x + 2 en x + 3 is de rest telkens 7.

Antwoord: a = b =

d) Bij deling van ax 3 + bx 2 + 4x – 3 door x – 2 is de rest -7 en bij deling door x + 1 is de rest -4.

Antwoord: a = b =

a) Bij deling van D (x) door x + 1 is de rest 2 en bij deling door x – 2 is de rest 5.

Bepaal de rest bij deling van D (x) door (x + 1) ⋅ (x – 2)

b) Bij deling van D (x) door x + 2 is de rest 3 en bij deling door x + 3 is de rest 2.

Bepaal de rest bij deling van D (x)door (x + 2) (x + 3)

Proefversie©VANIN

REEKS C

25 Gegeven zijn de veeltermen D (x) = 3x 3 – 2x 2 – 19x – 6 en d (x) = x 2 – x – 6.

a) Toon aan dat d (x) deelbaar is door x + 2.

b) Ontbind d (x) in factoren.

c) Toon aan dat D (x) deelbaar is door d (x), zonder de deling uit te voeren.

Proefversie©VANIN

26 Toon aan dat D (x) = 3x 4 – 23x 2 – 36 deelbaar is door d (x) = x 2 – 9, zonder de deling uit te voeren.

27 Bepaal de rest van de deling van D (x) = – 4x 3 + 3x 2 – 7x + 5 door d (x) = x 2 + 2x, zonder de deling uit te voeren.

Tweetermen van de vorm a 3 – b 3

voorbeeld algemeen

Gegeven is de veelterm D (x) = x 3 – 8

D (x) is deelbaar door x – 2

want D (2) = 2 3 – 8 = 8 – 8 = 0

Je deelt x 3 – 8 door x – 2 :

100-8 2 248

1240

q (x) = x 2 + 2x + 4

x 3 – 8 = d (x) q (x) = (x – 2) (x 2 + 2x + 4)

Formule a 3 – b 3 = (a–b) (a 2 +ab+ b 2)

Tweetermen van de vorm a 3 + b 3

Gegeven is de veelterm D (a) = a 3 – b 3

D (a) is deelbaar door a – b

want D (b) = b 3 – b 3 = 0

Je deelt a 3 – b 3 door a – b :

100– b 3

bbb 2 b 3

1 bb 2 0

q (a) = a 2 + b ⋅ a + b 2

a 3 – b 3 = d (a) q (a) = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

voorbeeld algemeen

Gegeven is de veelterm D (x) = x 3 + 8

D (x) is deelbaar door

want

Je deelt x 3 + 8 door :

Proefversie©VANIN

q (x) =

x 3 + 8 =

Voorbeelden

Gegeven is de veelterm D (a) = a 3 + b 3

D (a) is deelbaar door

want

Je deelt a 3 + b 3 door :

q (a) =

a 3 + b 3 =

Oefeningen

REEKS B

28 Ontbind in factoren.

a) 1 – x 3 =

b) 125 + x 3 =

c) 27x 3 – 8 =

d) 343x 3 + y 3 =

e) 1 8 x 3 + 1 27 =

f) – x 3 + 64y 3 =

g) 216x 3 –1 8 =

h) – 8 27 x 3 + 1 64 =

Proefversie©VANIN

REEKS C

29 Ontbind in factoren.

a) 8x 4 – 27x =

b) – x 3 – 27y 3 =

c) x 6 + y 6 =

d) x 6 – y 6 = =

e) 27x 7 – 8xy 3 =

STUDIEWIJZER Deelbaarheid bij veeltermen

4.1 Veeltermen in één veranderlijke voor de leerling voor de leerkracht

Een veelterm is een som van eentermen.

KENNEN –  + –  +

De graad van een veelterm in x is de hoogste exponent van de onbekende x in die veelterm.

KUNNEN –  + –  + Veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen.

4.2 De euclidische deling van twee veeltermen

KENNEN –  + –  +

D (x) is deelbaar door d (x) ⇔ D (x) = d (x) q (x).

De euclidische deling van de veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, heeft als quotiënt de veelterm q (x) en als rest de veelterm r (x) als en slechts als

D (x) = d (x) q (x) + r (x) waarbij gr (r (x)) < gr (d (x)) of r (x) = 0.

Bij de deling van een veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, bestaat er juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

KUNNEN –  + – 

De euclidische deling van veeltermen in één veranderlijke uitvoeren.

De uniciteit bewijzen van quotiënt en rest bij een euclidische deling van veeltermen.

4.3 Deling door x – a

Proefversie©VANIN

KENNEN –  + –

De rest van de deling van een veelterm D (x) door x – a (met a ∈ r) is gelijk aan D (a).

Een veelterm D (x) is deelbaar door x – a (met a ∈ r) ⇔ D (a) = 0.

Een veelterm D (x) is deelbaar door (x – a) (x – b) , met a ≠ b als en slechts als D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

KUNNEN –  + –  +

De deling van een veelterm door x – a uitvoeren met de regel van Horner.

De reststelling bewijzen en toepassen.

Oefeningen oplossen met de methode van de onbepaalde coëfficiënten.

De rest bepalen bij deling van een veelterm door (x – a) (x – b) door gebruik te maken van de resten bij deling door x – a en door x – b

4.4 Tweetermen van de vorm a 3 – b 3 en a 3 + b 3 ontbinden in factoren

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)

KENNEN –  + –  +

KUNNEN –  + –  +

Tweetermen van de vorm a 3 + b 3 en a 3 – b 3 ontbinden in factoren.

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Een getal heeft zeven cijfers. Het eerste cijfer is gelijk aan het aantal nullen in het getal, het tweede gelijk aan het aantal enen, het derde gelijk aan het aantal tweeën, enzovoort, tot aan het zevende cijfer, dat gelijk is aan het aantal zessen. Bepaal dat getal.

2. In de figuur staan drie cirkels en van twee ervan is de diameter gekend. De oppervlakte van het blauwe gebied is gelijk aan de oppervlakte van het lichtrode gebied. Wat is de diameter van de derde cirkel? (JWO, tweede ronde 2023)

(a) 16 cm(b) 18 cm(c) 20 cm(d) 22 cm

(e) 24 cm

3. Je koopt een broek en krijgt 25 % korting. Als trouwe klant van de winkel krijg je daarbovenop nog een extra korting van 15 %. Hoeveel procent korting krijg je in totaal?

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

7.1

Eerstegraadsfuncties

7.1.1 Voorbeeld

Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.

De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.

De tickets kosten 30 euro per stuk.

Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.

Vul de tabel aan.

Proefversie©VANIN

aantal tickets0

kostprijs (euro)

Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie

7.1.2 Eerstegraadsfuncties

Definitie

Eerstegraadsfunctie

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).

f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r

Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.

wat is de toename van de functiewaarde,

als het argument met één eenheid toeneemt?

Die toename is de richtingscoëfficiënt

Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.

(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.

b is de afsnijding op de y-as.

algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Opmerking

als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax.

De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.

Oefeningen

REEKS A

1 Teken de grafiek.

a) f (x) = 2x b)

Proefversie©VANIN

2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.

a) f (x) = 2x + 3 f (–1) =

b) f (x) = –3x – 2 f (2) =

c) f (x) = –1 2 x + 1 f (–2) =

d) f (x) = –4x – 9 f (0) =

e) f (x) = 5– 3 2 xf (–4) =

3 Ligt het punt A op de grafiek van f ?

janee

a) f (x) = –6x – 10 A (–3, 8) ❒❒

b) f (x) = –2x + 5 A (7, –2) ❒❒

c) f (x) = 1 2 x –3 2 A (–5, –4)

REEKS B

4 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel.

a)

x 0123 f (x)471013 c) x –3–2–10 f (x)–1–3–5–7

Proefversie©VANIN

b)

functievoorschrift: functievoorschrift:

x 0246 f (x)051015 d) x –3–113 f (x)–1–3–5–7 functievoorschrift: functievoorschrift:

5 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek.

a)

7.2.1 Doorsnede van een rivierbedding

De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool.

Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kunnen ze schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier.

Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven door het verband d (x) = 1 8 x 2 – 2x

Proefversie©VANIN

Hoe breed is de rivier?

Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst?

wat is die diepte?

Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever?

7.2.2 Baan van een projectiel

h t

Een steen wordt van een gebouw geworpen onder een hoek van 30º met een snelheid van 16 m/s.

Hij volgt een baan in de vorm van een parabool.

De hoogte h (in m) van de steen in functie van de tijd t (in s) wordt dan gegeven door het functievoorschrift

h (t) = –5t 2 + 8t + 5.

• Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de worp?

• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?

• Na hoeveel seconden belandt de steen op de grond? Bepaal op 0,01 s nauwkeurig.

In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van het functievoorschrift telkens 2. Het zijn voorbeelden van tweedegraadsfuncties

7.2.3 Algemeen

Definitie

Tweedegraadsfunctie

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Voorbeelden

Zet een vinkje bij de voorschriften of vergelijkingen die bij een tweedegraadsfunctie horen.

Proefversie©VANIN

y = 4x 2 – 3 f (x) = –x 2 + x 3 – 4 f (x) = (6x – 3) (2x – 1) y = x (x – 4) – x 2 ❒ ❒

7.2.4 Parabolen in het dagelijks leven

Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.

De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in één punt weerkaatst worden.

De beroemde Spaanse architect gaudí gebruikte paraboolvormige gewelven.

Elke waterstraal volgt een parabolische baan.

Om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, vliegt het toestel in een paraboolbaan.

Vul de tabel aan.

xf

Teken de grafiek.

Proefversie©VANIN

• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een dalparabool

• De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat

De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking

• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas.

In dit geval is de coördinaat van de top

• De functie is dalend in en stijgend in

In de top bereikt de functie een minimum

• dom f = ber f = nulwaarde:

• tekenschema: verloop:

algemeen De grafiek van de functie f (x) = x 2 is een parabool met:

• holle zijde naar boven (dalparabool);

• symmetrieas: de y-as (x = 0);

• top: het punt (0, 0).

7.3.2 Het zuiver kwadratisch verband

Voorbeeld

Je vergroot de straal van een cirkel telkens met 1 cm.

Bereken de bijbehorende oppervlakte A =  r 2. Rond af op 0,01.

Proefversie©VANIN

als de straal twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

als de straal drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Uit de formule van de oppervlakte van de cirkel volgt dat: A r 2 =

Je zegt dat het verband tussen de grootheden A en r zuiver kwadratisch is.

Definitie Zuiver kwadratisch verband

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch

als het quotiënt y x 2 constant is.

y x 2 = a ⇒ y = ax 2 (met a ∈ r0). Je noemt a de evenredigheidsconstante.

Formule

Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a ? x 2 (met a ∈ r0).

Grafiek van een zuiver kwadratisch verband

Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm 2) weergeeft in functie van de straal r (in cm).

De grafiek is

r (cm)

Besluit De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De top van de parabool valt samen met de oorsprong.

7.3.3 Grafische betekenis van a in f (x) = ax 2

Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) = 1 2 ? x 2

uit de grafiek van f (x) = x 2?

Proefversie©VANIN

Om de grafiek van de functie g(x) = 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 2.

Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2.

Om de grafiek van de functie h(x) = 1 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 1 2 .

Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2.

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2

uit de grafiek van f (x) = x 2? x

Proefversie©VANIN

Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –1

De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as

Om de grafiek van de functie h(x) = –2 ? x 2

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –2

De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens:

• gespiegeld ten opzichte van de x-as;

• verticaal uitgerekt met factor 2

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r 0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2 .

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |

De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2

Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0).

7.3.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax 2

Voorbeeld

Teken de grafiek van de functie g (x) = 1 4 x 2

a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen.

xg (x)

Proefversie©VANIN

b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2

• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x))

• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, af (x))

Bij het tekenen van de grafiek van g (x) = 1 4 x 2

vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor .

Oefeningen

REEKS A

6 Welke tabellen stellen een zuiver kwadratisch verband voor?

Geef een korte verklaring. a)

Proefversie©VANIN

7 Welke grafieken stellen een zuiver kwadratisch verband voor?

Geef een korte verklaring.

8 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2 .

Proefversie©VANIN

9

10 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’.

a) De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort.

b) De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort.

c) De opening van de parabool die bij f (x) = 2 3 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort.

d) De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort.

REEKS B

11 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift.

12 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Schets de grafiek van g a) g (x) = 3x 2

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a ∈ r0), als

a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

c) het punt A (–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

d) het punt A 1 3 , –1 tot de grafiek van de functie behoort.

Proefversie©VANIN

f (x) = f (x) =

14 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v) = 3 200 v 2 , waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).

a) Vul de tabel aan.

b) Teken de grafiek.

2468101214161820222426

c) Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de norm.

d) Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de functie s (v) = 7 500 ? v 2

Bereken de remweg van die fiets als je weet dat, in identieke omstandigheden en bij een gelijke snelheid, de remweg van de eerste fiets 10 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

REEKS C

15 Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen.

De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar.

De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw.

Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.

Proefversie©VANIN

a) Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O bij het midden van de kabel.

b) Bepaal het functievoorschrift van de kabel.

c) Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.

d) Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = (x – 2) 2 en h(x) = (x + 1) 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?

Proefversie©VANIN

algemeen

De grafiek van h (x) = (x + 1) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar links te verschuiven over een afstand 1.

• p =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van g (x) = (x – 2) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar rechts te verschuiven over een afstand 2.

• p =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van de functie g (x) = (x – p) 2 ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 horizontaal te verschuiven over een afstand | p |.

• Voor p > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven.

• Voor p < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.

De vergelijking van de symmetrieas is x = p

De coördinaat van de top is (p, 0).

7.4.2 Grafiek van de functie f (x) = x 2 + q

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = x 2 + 1 en h (x) = x 2 – 4 uit de grafiek van f (x) = x 2? x

Proefversie©VANIN

algemeen

De grafiek van h (x) = x 2 – 4 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 4.

• q =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van g (x) = x 2 + 1 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar boven te verschuiven over een afstand 1.

• q =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van de functie g (x) = x 2 + q ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal te verschuiven over een afstand | q |.

• Voor q > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven.

• Voor q < 0 wordt de grafiek van f naar beneden verschoven.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, q).

7.4.3 Grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q

Voorbeeld 1

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?

= x 2

Proefversie©VANIN

De grafiek met vergelijking y = 1 2 ? (x + 2) 2 – 2 is een parabool met

• holle zijde naar ( parabool)

• opening die van y = x 2

• symmetrieas:

• top:

Voorbeeld 2

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?

Proefversie©VANIN

De grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 is een parabool met

• holle zijde naar ( parabool)

• opening die van y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• verticale uitrekking (| a | > 1) of samendrukking (| a | < 1)

• spiegeling ten opzichte van de x-as als a < 0

f (x) = x 2

horizontale verschuiving over | p |

• naar rechts als p > 0

• naar links als p < 0

f (x) = ax 2

• | a | is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte.

• a > 0: dalparabool

(holle zijde naar boven)

• a < 0: bergparabool

(holle zijde naar beneden)

Proefversie©VANIN

• symmetrieas:

de rechte met vergelijking x = p

• co(top) = (p, 0)

f (x) = a ? (x – p) 2

verticale verschuiving over | q |

• naar boven als q > 0

• naar beneden als q < 0

• co(top) = (p, q)

f (x) = a ? (x – p) 2 + q

Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q

De grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p

• De top heeft als coördinaat (p, q).

7.4.4 Gemeenschappelijke punten met de assen

Gemeenschappelijke punten met de x-as

De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q vind je door de vergelijking a ? (x – p) 2 + q = 0 op te lossen.

Voorbeeld 1

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift

f (x) = –2 (x + 4) 2

Proefversie©VANIN

–4–5–6–7–3–2–11 –1 –2 –5 –6 –4 –3 y x

f (x)= – 2·( x+ 4)2 O

De functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2 heeft één nulwaarde: –4.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x + 4) 2 één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0). De parabool raakt de x-as in (–4, 0).

Voorbeeld 2

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift

f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12.

De functie met voorschrift f (x) = 3 ? (x + 5) 2 + 12 heeft geen nulwaarden.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12 geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.

Besluit

Voorbeeld 3

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift

f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8. –12134

De functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8 heeft twee nulwaarden: –1 en 3.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8

twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0).

De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0).

Gemeenschappelijk punt met de y-as

Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q bepaal je door x gelijk te stellen aan 0.

Voorbeeld

Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8.

Proefversie©VANIN

De parabool snijdt de y-as in (0, 6). –12134

Een parabool heeft altijd juist één snijpunt met de y-as.

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x – p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

7.4.5 Modeloefeningen

Modeloefening 1

Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = 1 3 (x – 4) 2 aan of schrap wat niet correct is.

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

Modeloefening 2

Teken de grafiek van de functie f (x) = –1 2 (x +

• vorm van de parabool:

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• grafiek:

Oefeningen

REEKS A

16 Plaats elke parabool bij de juiste vergelijking en vul aan of schrap.

Proefversie©VANIN

y = –2x 2 + 8 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met

y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:

• gemeenschappelijk punt met

• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:

y = (x + 1) 2 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met

y = –(x – 2) 2 – 3 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:

• gemeenschappelijk punt met

• gemeenschappelijk punt met

de y-as: de y-as:

17 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. Controleer met ICT.

a) y = 8x 2 e) y = (x + 2) 2 + 1

vorm: vorm: opening: opening:

Proefversie©VANIN

symmetrieas: symmetrieas: top: top:

b) y = (x – 1) 2 f) y = 4 ? (x + 5) 2 – 6

vorm: vorm: opening: opening:

symmetrieas: symmetrieas: top: top:

c) y = –1 2 x 2 + 5 g) y = 2 3 (x – 7) 2 –1 2

vorm: vorm: opening: opening:

symmetrieas: symmetrieas: top: top:

d) y = –3 ? x + 7 5 2 h) y = – x –5 2 2 + 6

vorm: vorm: opening: opening:

symmetrieas: symmetrieas: top: top:

Proefversie©VANIN

a) y = (x + 1) 2 – 4 d) y = –1 2 ? (x + 1) 2 + 1

b) y = x 2 – 4 e) y = –1 2 (x + 1) 2

c) y = (x + 1) 2 + 1 f) y = 2 ? (x + 1) 2 – 4

REEKS B

19 Noteer het voorschrift van de tweedegraadsfunctie g, waarvan de grafiek ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = x 2 :

a) te spiegelen ten opzichte van de x-as.

b) 3 eenheden te verschuiven naar rechts.

c) verticaal uit te rekken met factor 5 en 2 eenheden te verschuiven naar boven.

Proefversie©VANIN

d) achtereenvolgens verticaal uit te rekken met factor 2, te spiegelen ten opzichte van de x-as en 3 eenheden te verschuiven naar links.

e) verticaal samen te drukken met factor 3, vervolgens 5 eenheden te verschuiven naar rechts en tot slot 2 eenheden te verschuiven naar beneden.

f) 4 eenheden te verschuiven naar rechts en te spiegelen ten opzichte van de x-as.

g) 1 eenheid te verschuiven naar boven en te spiegelen ten opzichte van de x-as.

h) verticaal samen te drukken met factor 5, vervolgens 2 eenheden te verschuiven naar links, daarna 3 eenheden te verschuiven naar beneden en tot slot te spiegelen ten opzichte van de x-as.

20 Hoe kan de grafiek van g verkregen worden uit de grafiek van f met voorschrift f (x) = x 2?

a) g (x) = –2 (x + 6) 2

b) g (x) = 3x 2 + 4

c) g (x) = 1 2 ? (x – 1) 2 – 2

d) g (x) = –(x + 3) 2 + 1

e) g (x) = –1 6 x 2 + 4

a) f (x) = –2x 2

Proefversie©VANIN

b) f (x) = (x – 1) 2

c) f (x) = –1 5 x 2 + 5

d) f (x) = –(x + 7) 2 + 1 4

22 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = 3 ? (x + 4) 2 + 2

Proefversie©VANIN

b) f (x) = –3 (x + 4) 2 + 12

c) f (x) = 3 4 ? (x – 5) 2 + 1 2

d) f (x) = –5 (x – 5) 2 + 20

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: x f (

g) grafiek:

24 Teken de grafiek van de functie

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: x

g) grafiek:

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

26 Een golfer slaat tegen een golfbal. De hoogte h (in m) van de golfbal kan beschreven worden door de functie

h (x) = –1 720 ? (x – 120) 2 + 20.

Daarbij is x de horizontale afstand (in m).

a) Na hoeveel meter bereikt de golfbal zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?

Proefversie©VANIN

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich als deze 150 m ver is?

c) Na hoeveel meter belandt de bal terug op de grond?

27 Voor filmopnamen wordt een pop van op de top van de Taipei 101 naar beneden gegooid. De hoogte h (in m) van de pop wordt gegeven door de functie h (t) = 509 – 5t 2

Daarbij is t de tijd (in s).

a) Hoe hoog is het gebouw?

b) Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?

c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond?

Rond af op 0,01 s.

28 De Golden Gate Bridge is een hangbrug die San Francisco met het noorden verbindt. De kabels die tussen twee van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking y = 0,000 39 ? (x – 640) 2 + 2.

Daarbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek (beide in m).

a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?

b) Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?

c) Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek? Hoe hoog hangen ze op dat punt?

29 Een schip vuurt een kanonskogel af richting een vijandelijk schip. De hoogte h (in m) van de kanonskogel kan beschreven worden door de functie h (t) = –5 (t –7 2 ) 2 + 76.

Daarbij is t de tijd (in s) na het afvuren van de kogel.

a) Vul de tabel aan.

Proefversie©VANIN

t (s) 01234567 h (m)

b) wanneer bereikt de kanonskogel zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?

c) Na hoeveel seconden bereikt de kanonskogel zijn doel, als je weet dat de kanonskogel het vijandelijk schip raakt op een hoogte van 12 m? Rond af op 0,01 s.

7.5 Functies van de vorm f ( x ) = ax 2 + bx + c

7.5.1 Inleiding

Voorbeeld

f (x) = 2x 2 + x – 1

Je zet het functievoorschrift in de vorm f (x) = a (x – p) 2 + q

f (x) = 2x 2 + x – 1 factor 2 afzonderen

f (x) = 2 x 2 + 1 2 x –1 2

f (x) = 2 x 2 + 2

f (x) = 2 x +

f (x) = 2 x +

Proefversie©VANIN

dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met 1 4 2

als een kwadraat van een tweeterm schrijven

–

16 –

–

f (x) = 2 x +

Vaststellingen

• vorm van de parabool:

❒  dalparabool ❒  bredere opening dan f (x) = x 2

❒  bergparabool ❒  smallere opening dan f (x) = x 2

❒  zelfde opening als f (x) = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

7.5.2 Grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c

Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f (x) = a ? (x – p) 2 + q

GEOGEBRA

f (x ) = ax 2 + bx + c

f (x ) = ax 2 + b a x + c a

f (x ) = ax 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 –b 2a 2 + c a

f (x ) = ax + b 2a 2 –b 2a 2 + c a

f (x ) = ax + b 2a 2 –b 2 4a 2 + c a

f (x ) = ax + b 2a 2 –b 2 – 4ac 4a 2

f (x ) = ax + b 2a 2 –D 4a 2

f (x ) = ax + b 2a 2 – a D 4a 2

f (x ) = ax + b 2a 2 –D 4a met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

factor

vermeerderen en verminderen met a afzonderen b 2a 2

dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift

Proefversie©VANIN

als een kwadraat van een tweeterm schrijven

kwadraat van een quotiënt

breuken gelijknamig maken

b 2 − 4ac = D

distributiviteit

vereenvoudigen

Dit voorschrift is van de vorm f (x) = a ? (x – p) 2 + q, met p = en q =

Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0)

• a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2a

• De top heeft als coördinaat –b 2a , –D 4a

De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f –b 2a te berekenen.

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen.

De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

Opmerking

als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van die nulwaarden.

Dat betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0.

7.5.3 Overzicht van de verschillende gevallen

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2a en x2 = –b + D

Proefversie©VANIN

De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x1, 0) en B(x2, 0).

• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a

De grafiek raakt de x-as in het punt A(x1, 0).

• D < 0: f heeft geen nulwaarden. a

De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.

De parameters p en q bepalen door f (x) = a ? (x – p) 2 + q uit te rekenen

7.5.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax² + bx + c

Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 2x – 3.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

• methode 1: D = = –D 4a = co(top) =

• methode 2: f ( ) = co(top) =

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: top x f (x)

g) grafiek:

Oefeningen

REEKS A

30 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen.

a) y = x 2 – 6x + 2 c) y = 2x 2 – 8x + 7

vorm: vorm:

opening:

Proefversie©VANIN

opening:

symmetrieas: symmetrieas: top: top: top: top:

b) y = –x 2 + 2x – 5 d) y = –1 2 x 2 + 3x

vorm: vorm:

opening:

symmetrieas:

opening:

symmetrieas:

top: top: top: top:

31 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = x 2 – 5x c) f (x) = –1 3 x 2 + 2x

b) f (x) = –x 2 + 5x – 10 d) f (x) = 3x 2 + x – 4

REEKS B

32 Teken de grafiek van de functie f (x) =

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: x f (x)

g) grafiek:

y

33 Teken de grafiek van de functie f

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: x f (x)

g) grafiek:

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: x f (x)

g) grafiek:

35 Bepaal de symmetrieas en de top van de parabolen.

a) y = –x 2 + x – 3

c) y = 2 3 x 2 – 5x

symmetrieas: symmetrieas:

top: top: top: top: top: top:

Proefversie©VANIN

b) y = x 2 + 7x + 6

d) y = –7 4 x 2 + 1 2 x – 3

symmetrieas: symmetrieas: top: top: top: top: top: top:

36 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = –12x 2 – 20x + 25

c) f (x) = –5 2 x 2 + x + 2 3

b) f (x) = 3x 2 + 6x + 2

d) f (x) = 1 25 x 2 –6 5 x + 9

a) y = x 2 + 3x + 4

Proefversie©VANIN

b) y = x 2 + 3x + 2

c) y = 1 2 x 2 + 3x + 4

d) y = 1 2 x 2 + 3x

e) y = –x 2 + 4x

f) y = –x 2 + 4x – 4

REEKS C

38 Welke van de vijf parabolen is de grafiek van een kwadratische functie f (x) = ax 2 + bx + c, waarbij alle drie de getallen a, b en c strikt positief zijn?

y x (A) y x )B( y x )C( y x )D( x y )E(

VWO,editie1999,eersteronde

39 Op welke figuur is een deel van de grafiek van y = (10 – x) 2 + 10 te zien? ( staat telkens voor het punt (10, 10).) O y x O y x O y x O y x O y x (A)(B)(C)(D)(E)

40 Gegeven: de functie f (x ) = x 2 + 3.

Als –2 < x < 3, dan is …

Proefversie©VANIN

VWO,editie1998,eersteronde

a) 3 ⩽ f (x) < 12 B) 3 < f (x) < 12 c) –1 < f (x) < 12 D) 7 ⩽ f (x) < 1 E) –7 ⩽ f (x) < 12 VWO,editie1999,eersteronde

7.5.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Het zuiver kwadratisch verband

De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.

Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten:

Proefversie©VANIN

v (m/s)0 10 20304050 r (m)06,252556,25100156,25

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband. 5

Om dat verband te vinden, teken je met IcT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).

b) Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt?

c) Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.

Het kwadratisch verband

Elk half uur wordt de concentratie (in mg/l) gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel.

Proefversie©VANIN

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.

Je ziet dat de concentratie eerst stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top niet samenvalt met de oorsprong.

Om dat verband te vinden, teken je met IcT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de concentratie C (in mg/l) en de tijd t (in h).

b) wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min?

c) Na hoeveel minuten is de concentratie het hoogst? Rond af op 1 min.

Bepaal die maximale concentratie. Rond af op 0,01 mg/l.

Oefeningen

REEKS A

41 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar.

201720182019202020212022

aantal jaren x na opstart012345 winst w (in euro)01 3305 32011 97021 28033 250

a) Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.

b) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?

Proefversie©VANIN

Een bewegend voertuig, zoals een fiets, auto of vliegtuig, ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig.

Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.

Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt. Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven.

Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.

42 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht F w (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s). De resultaten vind je in de tabel.

a) Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen F W (in N) en de snelheid v (in m/s).

b) Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.

1 m/s komt overeen met 3,6 km/h.

Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6.

Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.

REEKS B

Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten.

Een halfpipe is een halfcilindervormige baan. Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (het ijzeren gedeelte bovenaan de rand) verticaal omhooggaat.

Proefversie©VANIN

43 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp. s (m)1,21,62,02,42,83,2 h (m)0,180,320,500,720,981,28

a) Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.

b) Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.

c) Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

44 De tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x ⩾ 18).

a) Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen het aantal verkeersongevallen n en de leeftijd van de betrokkene x

b) Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?

REEKS C

45 Bij kogelstoten is het de bedoeling om een metalen bal zo ver mogelijk van de kogelstoter de grond te laten raken. De tabel geeft de hoogte h van de kogel weer (in m) in functie van de horizontale afstand x (in m) van de kogel tot de atleet tijdens een welbepaalde worp.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in m) van de kogel en de horizontale afstand x (in m).

b) Na hoeveel meter valt de kogel op de grond? Rond af op 0,01 m.

46 Op een drukke dag moet je soms lang wachten voordat je toegang hebt tot een attractie in een pretpark. De tabel geeft een overzicht van het aantal mensen n in de wachtrij voor een achtbaan op een bepaald tijdstip t (in h).

t (h)

n

1112131415

282361405406364

Proefversie©VANIN

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal mensen n in de wachtrij en het tijdstip t (in h).

b) Op welk tijdstip stonden er de meeste mensen in de wachtrij? Rond af op 1 min.

c) Hoeveel mensen stonden er op dat moment?

d) Om hoe laat gaat het pretpark open? En wat is het sluitingsuur? Verklaar.

7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties

7.6.1 Verloop van een tweedegraadsfunctie

Stel: f is een tweedegraadsfunctie.

a > 0 a < 0

De grafiek is een dalparabool. De grafiek is een bergparabool.

Proefversie©VANIN

• als x < xT , daalt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).

• als x > xT , stijgt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).

• De functie f bereikt een minimale waarde als x = xT . Die waarde is yT

Schematische voorstelling:

• als x < xT , stijgt de functie.

• als x > xT , daalt de functie.

• De functie f bereikt een maximale waarde als x = xT . Die waarde is yT

Schematische voorstelling:

Opmerking

Het domein van een tweedegraadsfunctie is steeds r

Om het bereik van een tweedegraadsfunctie te bepalen, kun je het verloopschema gebruiken:

als a > 0 geldt: ber f = [yT,+ ∞[

als a < 0 geldt: ber f = ]– ∞,yT]

Voorbeelden

Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.

a) f (x) = –x 2 + 2

c) f (x) = 1 2 x 2 – 4x + 2

Proefversie©VANIN

x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

b) f (x) = –3x 2 + x d) f (x) = 5 4 (x + 3) 2 + 5 x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

7.6.2 Toepassing: extremumvraagstukken

Modeloefening 1

y x

Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is. Daarvoor gebruikt de firma de formule y = 2 45 x 2 –4 3 x, waarbij x de afstand (in cm) is tot de linkerboord en y de diepte (in cm) op x cm van de linkerboord. Je verwaarloost de dikte van de schaal.

Bepaal de maximale diepte van de schaal.

antwoord:

Modeloefening 2

Dieter en Bart beslissen een terras aan hun pas gekochte woning te laten aanleggen. Ze twijfelen echter nog over de afmetingen.

Daarom geven ze een tuinarchitect de opdracht om met 32 m boordstenen een zo groot mogelijk rechthoekig terras te ontwerpen.

Bepaal de lengte en de breedte, als je weet dat de oppervlakte van het terras maximaal moet zijn.

Stel: de breedte van het terras is x; de lengte is dan

Proefversie©VANIN

antwoord:

Modeloefening 3

anoosh en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer.

De bal van anoosh volgt een parabolische baan met vergelijking h = –5t 2 + 9t + 5.

De vergelijking van de baan van de bal van Michael is h = –5t 2 + 7t + 6.

Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s) vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten.

a) Vanop welke hoogte worden beide ballen gegooid?

antwoord:

b) welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat?

t h t h

antwoord:

Oefeningen

REEKS A

47 Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.

a) f (x) = –2x 2 + 6 d) f (x) = 3 ? (x + 5) 2 – 4 x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

b) f (x) = x 2 + 6x e) f (x) = –x 2 + 7x – 2 x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

Proefversie©VANIN

c) f (x) = 1 2 x 2 – x + 3 f) f (x) = 3 2 ? x –1 3 2 x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

REEKS B

48 De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig. De diepte van de rivier kan worden benaderd met de formule y = x 2 – 6x.

Daarbij is y de diepte (in m) en x de afstand tot de linkeroever (in m).

a) Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?

b) Hoe breed is de rivier?

49 De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met vergelijking y = –1 32 x 2 + 1 2 x. Daarbij is x de horizontale afstand (in hm) en y de hoogte (in hm).

a) Hoe hoog is de heuvel? y x

Proefversie©VANIN

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.

50 Het aantal T-shirts q van een bepaald merk dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 – 2p. Daarbij is p de prijs per stuk (in euro).

a) Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?

b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs.

O(p) = p ? q = =

c) welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen?

Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?

Proefversie©VANIN

51 Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld.

Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dat wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel.

De bal volgt een parabolische baan met vergelijking y = –1 12 x 2 + x + 1.

Daarbij is y de hoogte van de bal (in m) op x meter van het vertrekpunt.

a) Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?

b) Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in het doel terechtkomen, als de keeper er niet bij kan?

c) wat is de maximale hoogte van de bal?

52 Bepaal twee reële getallen waarvan de som 22 is, zodat hun product zo groot mogelijk is.

Proefversie©VANIN

53 Bepaal twee reële getallen waarvan het verschil 6 is, zodat hun product zo klein mogelijk is.

54 Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m.

Bepaal de lengte en de breedte zodat de oppervlakte maximaal is. Bereken die oppervlakte.

REEKS C

55 In een vierkant met zijde 10 cm wordt op elke zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.

Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is.

Bepaal die oppervlakte.

Proefversie©VANIN

56 Amir heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een konijnenhok maken in de vorm van een rechthoek.

Hij heeft het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.

Bepaal de totale lengte en breedte van het stuk dat hij kan afbakenen, als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk wil.

57 Boer Tom wil een stuk van zijn weiland indelen in vier rechthoekige stukken, zoals aangegeven op de figuur. Hij heeft daarvoor 640 m draad aangekocht. Bij welke afmetingen verkrijgt boer Tom de grootst mogelijke oppervlakte?

Proefversie©VANIN

58 Voor een optreden in Sportpaleis Antwerpen zijn er 15 000 tickets te verkrijgen. Vorig jaar was de kostprijs per ticket 40 euro en waren de tickets in een mum van tijd uitverkocht. De organisator weet dat per euro dat het ticket duurder wordt, er telkens 250 tickets minder verkocht worden. Bij welke ticketprijs zullen de inkomsten het grootst zijn?

7.6.3 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie

Stel: f is een tweedegraadsfunctie.

Dan: f (x) > 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt.

f (x) < 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt.

f (x) = 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as.

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2a en x2 = –b + D 2a . Stel: x1 < x2.

a > 0 a < 0

• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a

• D < 0: f heeft geen nulwaarden.

Proefversie©VANIN

Oefeningen

REEKS A

59 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = 2x 2 – 7x – 30

Proefversie©VANIN

x f (x)

b) f (x) = 16x 2 – 24x + 9 x f (x)

c) f (x) = –6x 2 + 11x + 7 x

d)

60 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = –4x 2 – 16x – 16

Proefversie©VANIN

x f (x)

b) f (x) = 8x 2 – 8x + 1

x f (x)

c) f (x) = 3x 2 + 9x + 7

x f (x)

d) f (x) = –15x 2 – 10x + 30

x f (x)

REEKS B

61 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = (x – 1) 2 – 9

Proefversie©VANIN

x

f (x)

b) f (x) = –(x + 2) 2 – 6

x

f (x)

c) f (x) = 1 3 x 2 + x + 2 3

x

f (x)

d)

f (x) = –1 12 x 2 + 4x + 2

x

f (x)

7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen

7.7.1 Een tweedegraadsvergelijking oplossen

Definitie

Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Voorbeeld 1

–2x 2 + 3x + 2 = 0

Proefversie©VANIN

In deze paragraaf onderzoek je hoe je die oplossing grafisch kunt aflezen.

• Het linkerlid van de vergelijking –2x 2 + 3x + 2 = 0 bekijk je als een functievoorschrift:

f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

• Je tekent de grafiek van f :

• De x-waarden waarvoor f (x) = 0, zijn

In dit geval zijn dat en

• De oplossingsverzameling is V =

van de functie f

Voorbeeld 2

3x 2 – x – 2 = –x + 1

methode 1

Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = 3x 2 – x – 2 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –x + 1.

methode 2

Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 = –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 = 0

⇔ 3x 2 – 3 = 0

Stel: h (x) = 3x 2 – 3

Je tekent de grafieken van f en g: Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) = g (x).

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) = 0.

De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h

De oplossingsverzameling is

V =

Voorbeeld 3

x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5

methode 1

Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –2x 2 + x + 5.

methode 2

Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.

x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5

⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 = 0

⇔ 3x 2 + 3x – 6 = 0

Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6

Je tekent de grafieken van f en g: Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke x-waarden f (x) = g (x).

Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden h (x) = 0.

De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h

De oplossingsverzameling is

V =

De oplossingsverzameling is

V =

7.7.2 Een tweedegraadsongelijkheid oplossen

Definitie

Tweedegraadsongelijkheid

Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm

ax 2 + bx + c ⩽ 0;

ax 2 + bx + c < 0;

ax 2 + bx + c ⩾ 0;

ax 2 + bx + c > 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 1

–2x 2 + 3x + 2 > 0

grafische oplossing algebraïsche oplossing

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

Je tekent de grafiek van f:

Stel: f (x) = –2x 2 + 3x + 2

Je maakt een tekenschema van de functie

f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

De nulwaarden van f:

–2x 2 + 3x + 2 = 0

D = 3 2 – 4 ? (–2) ? 2 = 25

x1 = –3 – 5 –4 = 2 x2 = –3 + 5 –4 = –0,5

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden f (x) > 0, dus voor welke x-waarden

de grafiek van f boven de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest in het tekenschema af voor welke

x-waarden f (x) > 0.

De oplossingsverzameling is

V =

Voorbeeld 2

3x 2 – x – 2 > –x + 1

grafische oplossing: methode 1 methode 2

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als

een functievoorschrift

f (x) = 3x 2 – x – 2 en

het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –x + 1.

Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 > –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0

⇔ 3x 2 – 3 > 0

Stel: h (x) = 3x 2 – 3

Je tekent de grafieken van f en g: Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) > g (x), dus voor welke

x-waarden de grafiek van f boven die van g ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h boven de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

algebraïsche oplossing:

• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 > –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0

⇔ 3x 2 – 3 > 0

• Stel: h (x) = 3x 2 – 3

• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) = 3x 2 – 3.

De nulwaarden van h: 3x 2 – 3 = 0

beide leden delen door 3

x 2 – 1 = 0

x 2 = 1

x = –1 of x = 1

Proefversie©VANIN

x – ∞ –1 1 + ∞

h (x)+0–0+

• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) > 0.

De oplossingsverzameling is V =

Je kan de oplossing controleren met IcT:

Voorbeeld 3

x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5

grafische oplossing: methode 1 methode 2

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als

een functievoorschrift

f (x) = x 2 + 4x – 1 en

het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –2x 2 + x + 5.

Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5

⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 ⩽ 0

⇔ 3x 2 + 3x – 6 ⩽ 0

Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6

Je tekent de grafieken van f en g: Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) ⩽ g (x), dus voor welke

x-waarden de grafiek van f onder of

op die van g ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) ⩽ 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h onder of op de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

algebraïsche oplossing:

• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

Proefversie©VANIN

• Stel: h (x) =

• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) =

De nulwaarden van h: x

h (x)

• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) ⩽ 0.

De oplossingsverzameling is V =

Je kan de oplossing controleren met IcT:

Oefeningen

REEKS A

62 Los de vergelijkingen grafisch op.

a) x 2 + 2x – 3 = 0

c)–x 2 + 3x + 4 = 2x – 2

Stel: f (x) = Stel: f (x) = g (x) = –5–4–3–2–1

Proefversie©VANIN

b) x 2 + 3x + 1 = –x 2 + 4x + 2

d)9x 2 – 12x + 8 = –4x 2 + 12x – 5

Stel: f (x) = Stel: f (x) = g (x) = g (x) =

63 Los de vergelijkingen grafisch op met behulp van ICT.

a)5x 2 – 8x = 0 V = d)–9x 2 – 3x = 1 + 3xV =

b)4 + 81x 2 = 0 V = e)4x 2 – 3x + 10 = x 2 + 10x – 2 V =

c)–6x 2 + 12x + 10 = 3x – 5 V = f)2x 2 + x – 3 = x 2 + 5x + 2 V =

Proefversie©VANIN

a) –x 2 + 3x < 0

d) 3x 2 + 2x + 2 < 0

Stel: f (x) = Stel: f (x) = Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Proefversie©VANIN

Tekenschema: x f (x) Tekenschema: x f (x)

b) 2x 2 – x – 1 ⩽ 0

e) –3x 2 + 4x – 1 ⩽ 0

Stel: f (x) = Stel: f (x) = Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Tekenschema:

c) –4x 2 + 4x – 1 ⩾ 0

f) 9x 2 – 24x + 16 < 0

Stel: f (x) = Stel: f (x) = Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Tekenschema: x f (x)

Tekenschema: x f (x)

REEKS B

66 Los de ongelijkheden grafisch op.

a) x 2 – 4 ⩽ –3x 2 + 12

c) –2x 2 + 8x ⩾ 3x + 2

Proefversie©VANIN

Tekenschema: x h(x)

Tekenschema: x h(x) V = V

Proefversie©VANIN

Tekenschema: x h(x)

V =

Tekenschema: x h(x)

V =

68 Een bal wordt schuin omhooggegooid. De hoogte (in m) van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h (t) = –5t 2 + 9t + 1.

Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden? Rond af op 0,01.

Proefversie©VANIN

1 promille is 1 duizendste deel en betekent letterlijk: per duizend. Een promille wordt genoteerd als ‰. Daarbij komt 1 ‰ overeen met 0,1 %.

69 Het aantal promille n (x) geboortes bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n (x) = –0,478x 2 + 25,387x – 221,48.

a) Op welke leeftijd worden er relatief de meeste kinderen geboren? Hoeveel promille? Rond af op 0,01.

b) Tussen welke leeftijden worden er meer dan 75 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?

70 Een rechthoek heeft een omtrek van 50 m.

Bereken de lengte en de breedte opdat de oppervlakte minstens 100 m 2 is.

Proefversie©VANIN

71 Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 2 cm langer is dan de andere rechthoekszijde en de schuine zijde minstens 10 cm is.

72 Een bedrijf produceert computerspelletjes.

De maandelijkse opbrengst (in euro) die ze maken als ze x spelletjes verkopen, wordt gegeven door de functie O (x) = –0,15x 2 + 102x.

De maandelijkse kost om x spelletjes te produceren, is K (x) = 30x + 2 500.

Hoeveel spelletjes moeten ze verkopen om winst te maken?

Proefversie©VANIN

REEKS C

73 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 1) x + m 2 = 0 twee oplossingen?

74 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 2) ? x + (m 2 + 4m + 1) = 0 geen oplossingen?

Proefversie©VANIN

75 De grafiek van de parabool met vergelijking y = mx 2 + 2x + m ligt volledig onder de x-as als en slechts als … a) m < –1 B) m < 0 c) –1 < m < 0 D) | m | > 1 E) m > 1

7.8 De vergelijking van een parabool opstellen

7.8.1 De top en een punt zijn gegeven

Voorbeeld 1

Van een parabool zijn de top T (–3, 2) en een punt A (3, 14) gekend.

Bepaal de vergelijking van de parabool.

Oplossing:

De parabool heeft als vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q

• co(T ) = (p, q) = (–3, 2) ⇒ p = –3 en q = 2.

• A(3, 14) behoort tot de parabool.

Proefversie©VANIN

De vergelijking is dus: y = a (x + 3) 2 + 2.

14 = a (3 + 3) 2 + 2

14 = 36a + 2

36a = 12 a = 1 3

De vergelijking van de parabool is dus: y = 1 3 (x + 3) 2 + 2.

Voorbeeld 2

De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg.

De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog.

a) Bepaal de vergelijking van de voorgevel.

b) Bereken de hoogte van de gevel op 10 m van de linkerkant van het gebouw. Rond af op 0,01 m.

c) Hoe breed is de gevel 5 m boven de grond? Rond af op 0,01 m.

Opmerking

als de top T(xT,yT) gegeven is en een punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan xT + 1 , dan kan je de parameter a in het functievoorschrift ook op een andere manier bepalen.

Algemeen

gegeven:

Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.

Besluit

Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.

f (x) = ax 2 + bx + c of f (x) = a (x – p) 2 + q co(top) = (xT,yT)

Je kan de parameter a in het functievoorschrift dan bepalen met de formule

Proefversie©VANIN

a = f (xT + 1) – f (xT)

Als de x-coördinaat van de top met één eenheid toeneemt, dan is de verandering van de functiewaarde gelijk aan de parameter a.

7.8.2 De symmetrieas en twee verschillende punten zijn gegeven

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –1 is en waartoe de punten A(–3, –3) en B(2, –13) behoren.

methode 1 methode 2

vergelijking parabool: y = a ? (x – p) 2 + q vergelijking parabool: y = ax 2 + bx + c

• s ↔ x = –1 ⇒ p = –1

Dus: y = a ? (x + 1) 2 + q

• A(–3, –3) behoort tot de parabool:

a ? (–3 + 1) 2 + q = –3

4a + q = –3

• B(2, –13) behoort tot de parabool:

a ? (2 + 1) 2 + q = –13

9a + q = –13

Om a en q te bepalen, los je het stelsel op:

4a + q = –3

9a + q = –13

Proefversie©VANIN

• s ↔ x = –1 ⇒ –b 2a = –1

Dus: b = 2a en y = ax 2 + 2ax + c

• A(–3, –3) behoort tot de parabool:

a ? (–3) 2 + 2a ? (–3) + c = –3

3a + c = –3

• B(2, –13) behoort tot de parabool:

a ? 2 2 + 2a ? 2 + c = –13

8a + c = –13

Om a en c te bepalen, los je het stelsel op:

3a + c = –3

8a + c = –13

De vergelijking van de parabool is De vergelijking van de parabool is

werk de vergelijking uit die je verkrijgt met methode 1.

Je verkrijgt dezelfde vergelijking als met methode 2.

7.8.3 Drie punten zijn gegeven

Twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as zijn gegeven

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–2, –9), B (1, 6) en C (0, 7) behoren.

Oplossing:

Omdat de coördinaat van het snijpunt met de y-as gegeven is, gebruik je de vergelijking y = ax 2 + bx + c

• C(0, 7) is het snijpunt met de y-as ⇒ c = 7

De vergelijking is dus y = ax 2 + bx + 7

• A(–2, –9) behoort tot de parabool:

a (–2)2 + b (–2) + 7 = –9

4a – 2b + 7 = –9

4a – 2b = –16

• B(1, 6) behoort tot de parabool:

a 12 + b 1 + 7 = 6

a + b + 7 = 6

a + b = –1

Om a en b te bepalen, los je het stelsel op:

4a – 2b = –16

a + b = –1

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

Een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as zijn gegeven

Inleiding

• Teken met IcT de grafiek van de functie f (x) = – 4x2 – 20x – 24.

• Lees de gemeenschappelijke punten af met de x-as: en

• wat kan je hieruit besluiten?

Proefversie©VANIN

• Teken met IcT de grafiek van de functie g(x) = -4 ? (x + 3) ? (x + 2).

• wat valt je op?

• werk verder uit:

g(x) = –4(x + 3)(x + 2)

Algemeen

als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt:

f (x) = a (x – x1 ) (x – x2 )

distributiviteit

f (x) = a ? (x2 – x ? x2 – x1 ? x + x1 ? x2 ) de factor x afzonderen

f (x) = a [x2 – x (x2 + x1) + x1x2 ]

f (x) = a ? (x2 – S ? x + P)

f (x) = a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 x2 + b a x + c a 2 x 2 + 1 2 x –1 2

f (x) = ax2 + bx + c

S = x1 + x2 en P = x1x2

S = –b a en P = c a

distributiviteit

Besluit Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt: f (x) = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ) = ax 2 + bx + c.

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–5, 0), B (–1, 0) en C (3, 8) behoren.

Oplossing:

Omdat de coördinaten van de snijpunten met de x-as gegeven zijn, gebruik je de vergelijking y = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ).

• A (–5, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x1 = –5

• B (–1, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x2 = –1

De vergelijking is dus y = a ? (x + 5) ? (x + 1)

• C (3, 8) behoort tot de parabool:

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

Opmerking

als de snijpunten met de x-as gegeven zijn, kan je ook de vergelijking van de symmetrieas opstellen.

Je weet dat de symmetrieas van de parabool de middelloodlijn is van het lijnstuk [aB]

met A (–5, 0) en B (–1, 0).

De vergelijking van de symmetrieas is dan x = –5 – 1 2 = –3.

Je gebruikt dan de werkwijze beschreven in paragraaf 7.8.2.

Drie willekeurige punten zijn gegeven

Voorbeeld 1

Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (3, 0), B (1, 6) en C (5, 2) bevat.

Oplossing:

Je kunt de punten voorstellen in een assenstelsel. Met behulp van kwadratische regressie vind je de vergelijking van de parabool:

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

Een hangbrug over een rivier verbindt twee punten die op dezelfde hoogte liggen. De hangbrug heeft bij benadering de vorm van een parabool. Om de vergelijking van die parabool te bepalen, zijn enkele metingen gedaan. Daarbij stelt x de afstand voor (in m) vanaf het begin van de brug en h de hoogte (in m) boven het water.

xh 23 32,75 52,55

a) Bepaal via kwadratische regressie de vergelijking van de parabool.

b) Bepaal met IcT op hoeveel meter boven het water het laagste punt van de brug zich bevindt.

c) Bepaal met IcT de lengte van de brug.

Oefeningen

REEKS A

76 Bepaal de waarde van a in het functievoorschrift van de tweedegraadsfuncties.

Proefversie©VANIN

a)co(T) = (0, 0) co(A) = (1, 2)

e)co(T) = (–3, –8) co(A) = (3, 10)

Proefversie©VANIN

b)co(T) = (0, 3) co(A) = (1, 2)

f)co(T) = (2, –5) co(A) = (0, 7)

c)co(T) = (–4, 0) co(A) = (–1, 9)

g)co(T) = (–3, 3) co(A) = (–6, 0)

d)co(T) = (2, 5) co(A) = (4, 1)

h)co(T) = (5, 18) co(A) = (7, 34)

78 Bepaal de vergelijking van de parabolen.

Proefversie©VANIN

REEKS B

79 Bepaal de vergelijking van de parabolen. a)

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

De vergelijking van de parabool is

80 Bepaal de vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = 0 is en waartoe de punten A (–2, –7) en B (1, 2) behoren.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

81 Bepaal de vergelijking y = ax 2 + bx + c van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –3 is en waartoe de punten A (–6, –1) en B (3, 8) behoren.

De vergelijking van de parabool is .

82 De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool.

De rivier is 15 m breed en heeft een maximale diepte van 8 m.

a) Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte (beide in meter).

Proefversie©VANIN

b) Hoe diep is de rivier op 1 m van de linkeroever? Rond af op 0,01 m.

83 Nouri trapt een bal vanop de grond weg.

De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.

a) Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Nouri en y de hoogte (beide in m).

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 10 m van Nouri? Rond af op 0,01 m.

84 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de punten A (–2, 25) en B (0, 1) bevat en die dezelfde symmetrieas heeft als de parabool k2 met vergelijking y = x 2 – x + 4.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is .

85 Bepaal de vergelijking van de parabool die de x-as raakt in het punt A (–1, 0) en het punt B (2, 2) bevat.

De vergelijking van de parabool is

86 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de x-as snijdt in de punten A (–7, 0) en B (2, 0) en waarvan de top dezelfde y-coördinaat heeft als de top van de parabool k2 met vergelijking y = –x 2 + 6x – 2.

De vergelijking van de parabool is

87 Bepaal met ICT de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –18), B (1, –6) en C (2, –14) bevat.

88 Bepaal met ICT de vergelijking van de paraboolvormige constructie, als je weet dat die 12 m breed is en op 2 m van de rechterkant 10 m hoog.

Proefversie©VANIN

89 Een projectiel wordt vanop de grond afgeschoten.

Na 1 s heeft het een hoogte van 35 m en na 8 s belandt het opnieuw op de grond.

a) Bepaal de vergelijking van de baan, waarbij x de tijd (in s) voorstelt en h de hoogte (in m).

De vergelijking van de parabool is

b) Bepaal het hoogste punt dat het projectiel bereikt.

90 Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –9), B (6, –9) en C (0, –21) bevat.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

REEKS C

91 Aziza, Nore en Tuur spelen met een springtouw op de speelplaats. Op de tekening staat Aziza links van Tuur. De aangrijpingspunten (plaats waar Aziza en Tuur het touw vasthouden) bevinden zich 2,5 m van elkaar. Ze houden het springtouw allebei vast op 0,70 m hoogte. Nore springt in het midden tussen hen in het touw. Als het touw onder Nore doorgaat, moet ze minstens 12 cm hoog springen om het touw niet te raken. Bepaal met ICT een vergelijking van de parabool die de vorm van het touw op dat moment benadert. Maak telkens een schets.

Situatie 1: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van aziza.

Situatie 2: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Nore.

7.1 Eerstegraadsfuncties voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + – 

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + –  +

De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen. De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.

Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen:

• uit een tabel met functiewaarden;

• uit een grafiek.

7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

KENNEN –  +

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

KUNNEN –  + – 

Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.

7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2

KENNEN –  +

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.

De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.

De top van de parabool valt samen met de oorsprong.

De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |

De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, 0).

KUNNEN

Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.

Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder IcT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• de coördinaat van de top;

• de vergelijking van de symmetrieas;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• symmetrie.

7.4 Functies van de vorm f (x) = a (x – p) 2 + q

Proefversie©VANIN

KENNEN – 

De grafiek van de functie f (x) = a (x − p) 2 + q (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p

• De top heeft als coördinaat (p, q).

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x − p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

KUNNEN –  + – 

aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = a (x − p) 2 + q en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen.

De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q.

7.5 Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c

KENNEN –  + –  +

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2a

• De top heeft als coördinaat –b 2a , –D 4a = –b 2a , f –b 2a

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

KUNNEN – 

De vergelijking y = ax 2 + bx + c omzetten naar de vorm y = a (x − p) 2 + q

aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek schetsen.

De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c en er de betekenis voor de grafiek van geven.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met IcT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend functievoorschrift bepalen en interpreteren.

7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties

Proefversie©VANIN

KUNNEN –  + –  +

Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Het domein en bereik van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Extremumvraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsfuncties.

Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie opstellen.

7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen

KENNEN –  + – 

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm

ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm

ax 2 + bx + c ⩽ 0; ax 2 + bx + c < 0; ax 2 + bx + c ⩾ 0; ax 2 + bx + c > 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

KUNNEN –  + – 

Vergelijkingen van de tweede graad grafisch oplossen.

Ongelijkheden van de tweede graad grafisch oplossen.

Ongelijkheden van de tweede graad algebraïsch oplossen met behulp van een tekenschema.

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot ongelijkheden van de tweede graad.

7.8 De vergelijking van een parabool opstellen

KUNNEN –  + –  +

De vergelijking van een parabool opstellen als de top en één punt gegeven zijn.

De vergelijking van een parabool opstellen als de symmetrieas en twee verschillende punten gegeven zijn.

De vergelijking van een parabool opstellen als

• twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as gegeven zijn;

• een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as gegeven zijn;

• drie willekeurige punten gegeven zijn.

Vraagstukken oplossen waarbij de vergelijking van een parabool tot de oplossing leidt.

1. welke uitspraak is correct?

a) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies drie punten gemeenschappelijk.

B) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vier punten gemeenschappelijk.

c) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vijf punten gemeenschappelijk.

D) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies zes punten gemeenschappelijk.

E) ❒ alle voorgaande uitspraken zijn verkeerd.

JWO,editie2015,eersteronde

2.Zes tandwielen met assen A, B, C en D zijn met elkaar verbonden zoals op de afbeelding.

ABCD

De drie grote tandwielen hebben omtrek 10 cm.

De drie kleine tandwielen hebben omtrek 5 cm.

Over hoeveel graden draait het tandwiel met as D, als het tandwiel met as A draait over 10º?

Proefversie©VANIN

a) ❒ 10º B) ❒ 20º c) ❒ 30º D) ❒ 40º E) ❒ 80º

JWO,editie2014,eersteronde

3.Koning Liefbaard heeft vier dochters: ariel, Belle, Tiana en Yasmine. Hun kamers hebben elk een andere kleur en bevinden zich boven elkaar in een toren.

• De paarse kamer ligt net onder de roze kamer en net boven de groene.

• ariel slaapt niet in de bovenste of onderste kamer.

• Yasmine slaapt in de kamer net boven die van Tiana, maar moet minder hoog de trap op dan Belle.

• De gele kamer is niet de onderste.

welke prinses slaapt in de roze kamer?

a) ❒ ariel B) ❒ Belle c) ❒ Tiana D) ❒ Yasmine E) ❒ onmogelijk te bepalen

JWO,editie2015,eersteronde