Hele getallen - inkijkexemplaar - 9789006487145

Hele getallen

Hele getallen

Reken-wiskundedidactiek

Marc van Zanten

Petra van den Brom-Snijders

Geeke Bruin-Muurling

COLOFON

auteurs

Marc van Zanten

Petra van den Brom-Snijders

Geeke Bruin-Muurling

redactie

Singeling Tekstproducties, Amersfoort

opmaak binnenwerk

Imago Mediabuilders, Amersfoort

ontwerp binnenwerk

Studio Fraaj, Rotterdam

ontwerp omslag

Studio Vlak

beelden omslag

Austris Augusts (Unsplash) /

Getty Images

technisch tekenwerk

Imago Mediabuilders, Amersfoort

Over ThiemeMeulenhoff

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt slimme flexibele leeroplossingen met een persoonlijke aanpak. Voor elk niveau en elke manier van leren. Want niemand is hetzelfde. We combineren onze kennis van content, leerontwerp en technologie, met onze energie voor vernieuwing. Om met en voor onderwijsprofessionals grenzen te verleggen. Zo zijn we samen de motor voor verandering in het primair, voortgezet en beroepsonderwijs.

Samen leren vernieuwen.

www.thiememeulenhoff.nl

ISBN 978 90 06 48714 5

Derde druk, eerste oplage, 2023

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2023

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

1 Hele getallen en bewerkingen 9

1.1 Getallen zie je overal 9

1.2 Ons getalsysteem 12

1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem 12

1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen 13

1.2.3 Andere talstelsels 16

1.3 Eigenschappen van getallen 18

1.3.1 Deelbaarheid 18

1.3.2 Priemgetallen 21

1.3.3 Andere getallen met bijzondere eigenschappen 24

1.4 Basisbewerkingen 27

1.4.1 Betekenissen van bewerkingen 27

1.4.2 Eigenschappen van bewerkingen 29

1.5 Wiskundetaal bij hele getallen 30

1.5.1 Uitspraak en notatie van hele getallen 30

1.5.2 Wiskundetaal: bewerkingen 32

2 Ontluikende gecijferdheid 35

2.1 Schets van de leerlijn tellen en getalbegrip 36

2.2 Getalbegrip 37

2.2.1 Leren tellen 42

2.2.2 Rekenvoorwaarden 50

2.2.3 Betekenissen van getallen 53

2.2.4 Symboliseren 54

3 Aanvankelijk rekenen 59

3.1 Schets van de leerlijn aanvankelijk rekenen 60

3.2 Verder werken aan getalbegrip 61

3.3 Betekenissen van optellen en aftrekken 68

3.4 Splitsen, optellen en aftrekken tot en met 10 72

3.5 Optellen en aftrekken over de 10 79

3.5.1 Structuren en getalbeelden 79

3.5.2 Formeel rekenen 81

4 Basisbewerkingen 87

4.1 Schets van de leerlijn basisbewerkingen 88

4.2 Optellen en aftrekken 89

4.2.1 Basisstrategieën: rijgen en splitsen 90

4.2.2 Variastrategieën 96

4.2.3 Omgaan met verschillende oplossingsstrategieën 100

4.3 Vermenigvuldigen en delen 102

4.3.1 Tafels van vermenigvuldiging 102

4.3.2 Deeltafels 108

4.3.3 Verder hoofdrekenend vermenigvuldigen en delen 110

4.4 Samenhang basisbewerkingen 114

5 Rekenen-wiskunde met hele getallen in de bovenbouw 117

5.1 Schets van de leerlijn hele getallen in de bovenbouw 119

5.2 Hoofdrekenen in de bovenbouw 122

5.2.1 Hoofdrekenen: schattend of precies? 124

5.2.2 Grip op grote getallen 126

5.2.3 Getalbegrip voor gevorderden 129

5.3 Schriftelijk rekenen 133

5.3.1 Kolomsgewijs en cijferend optellen 133

5.3.2 Kolomsgewijs en cijferend aftrekken 135

5.3.3 Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen 139

5.3.4 Kolomsgewijs en cijferend delen 142

5.3.5 Kolomsgewijs versus cijferend rekenen 147

5.4 Schattend rekenen 149

5.5 Rekenen met de rekenmachine 154

6 Probleemoplossen bij rekenen-wiskunde 161

6.1 Wiskundig probleemoplossen 162

6.2 Leren van wiskundig probleemoplossen 164

6.2.1 Heuristieken 167

6.2.2 Geschikte probleemopgaven 168

6.3 Typen probleemopgaven 170

6.3.1 Onbekende getallen 170

6.3.2 Onbekende bewerkingen 172

6.3.3 Magische figuren 175

6.3.4 Verandervraagstukken 176

6.3.5 Combinatoriek 178

6.3.6 Patronen 183

6.3.7 Welke hoort er niet bij? 187

6.3.8 Kenken-puzzels 189

7 Gelegenheid om te leren: hele getallen 191

7.1 Leerinhouden en prestatieverwachtingen 191

7.1.1 Functies en waardes van rekenen-wiskunde 192

7.1.2 Gecijferdheid 193

7.1.3 Doelen 194

7.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde 199

7.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde 200

7.2.2 Leren van rekenen-wiskunde 202

7.2.3 Leertheorieën 205

7.3 Faciliteren van leren 208

7.3.1 Didactische modellen 209

7.3.2 Didactische noties en benaderingen 213

7.3.3 Instructie 219

7.4 Uit de geschiedenis van onderwijs in hele getallen 223

8 Differentiatie bij hele getallen 225

8.1 Differentiatie als cyclisch proces 226

8.2 Onderwijsbehoeften vaststellen bij rekenen-wiskunde 229

8.2.1 Zicht op je leerlingen 229

8.2.2 Zicht op de leerinhouden 240

8.2.3 Peilen en observeren in groep 1 en 2 242

8.3 Differentiatie naar doelen 244

8.3.1 Gedifferentieerde doelen aan het einde van de basisschool 244

8.3.2 Fundamenteel niveau 1F 246

8.3.3 Hoger dan 1S: niveau 1S+ 247

8.4 Differentiatie in het faciliteren van leren 248

8.4.1 Groeperen van leerlingen 248

8.4.2 Differentiatie in het dagelijkse reken-wiskundeonderwijs 252

Over de auteurs 265

Met dank aan 265

Geraadpleegde bronnen 266

Illustratieverantwoording 274 Register 276

A B C

Voorwoord bij de 3e editie

Rekenen-wiskunde is een kernvak. Het komt op de basisschool elke dag aan bod en is belangrijk voor de voorbereiding op het vervolgonderwijs en het functioneren in de maatschappij. De realiteit is doordrenkt met rekenen-wiskunde: bij het boodschappen doen, in de gaten houden van de tijd, plannen van een vakantiereis, lezen van de krant, of als je iemand de weg wijst. Al van jongs af aan komen kinderen rekenen-wiskunde overal tegen: bij het inschatten van afstanden, vergelijken wie het grootste is, onthouden van de weg naar huis en op welk nummer je woont, of het sparen van zakgeld. Op de basisschool leren kinderen met al deze reken-wiskundige zaken omgaan en leren ze ook in meer formele zin rekenen-wiskunde. Daarbij komen de volgende domeinen aan bod: getallen, verhoudingen, meten, meetkunde en verbanden. In dit boek wordt de leerstof van gehele getallen, bewerkingen en probleemoplossen behandeld.

Volgens de Kennisbasis wiskunde lerarenopleiding basisonderwijs moeten basisschoolleraren professioneel gecijferd zijn. Dat houdt in dat zij:

■ zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid;

■ rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen;

■ oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren;

■ wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen.

De geactualiseerde boekenserie Reken-wiskundedidactiek helpt (aanstaande) leraren om deze kennis, vaardigheden en attitude te verwerven. Naast het voorliggende boek omvat de serie de boeken Meten, meetkunde en verbanden en Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten en een ondersteunende website eDition. De serie is volledig dekkend voor de herziene Kennisbasis wiskunde lerarenopleiding basisonderwijs

De boeken kennen drie invalshoeken voor het leren van (aanstaande) basisschoolleraren:

Activiteiten – ideeën om in de praktijk mee aan de slag te gaan en opdrachten om de leerstof nader te verwerken;

Bronnen – informatie over rekenen-wiskunde in realiteit en theorie, wiskundetaal, leerlijnen, en leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde, inclusief differentiatie;

Met deze nieuwe editie kunnen (aanstaande) leraren zich goed voorbereiden op de tegenwoordige eisen die worden gesteld op de opleiding en in de onderwijspraktijk. Bovendien zijn in de geactualiseerde boeken recente ontwikkelingen en inzichten opgenomen, zoals rekenen-wiskunde voor burgerschap en kritisch kwantitatief denken, het leren van wiskundig probleemoplossen, opportunity to learn (gelegenheid om te leren), en de nieuwste tussendoelen en reken-wiskundemethodes. Verder is er nadrukkelijker aandacht voor verschillende instructievormen en de betekenis daarvan voor het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde.

De auteurs

1

Hele getallen en bewerkingen

WERELD NIEUWS

Datum: Eind van de zomer, maar nog geen herfst

Mensenmassa wint lotto

De winnende ballen bij de nationale lotto op zaterdag waren: rood, rood, blauw, geel, geel en wit. Zondag meldde zich een enorme mensenmassa bij het hoofdkantoor om hun prijs op te halen. Er vormde zich een rij die dwars door de hele stad liep. Het totale prijzengeld bedroeg op dat moment een paar huizen vol geld. Per winnend lot wordt een kom geld uitgekeerd, tot al het geld verdeeld is.

Wereld weer

Londen Zonnig maar niet echt heel warm

New York Warm genoeg voor een T-shirt

Sydney

Tokyo

Koud en bewolkt, weer voor een trui

Veel regen verwacht, neem een paraplu mee

Vrouw krijgt veel baby’s

Een vrouw in India is bevallen van heel veel baby’s tegelijkertijd. De baby’s zijn allemaal niet veel groter dan een ananas, maar volgens de artsen zijn ze stuk voor stuk goed gezond. Hoewel het niet ongebruike-

Rio Smoorheet, drink heel veel water

Snijdend koud, zet een muts op München

Parijs

Delhi

Regenachtig en koud, jas nodig

Nat en warm, maar niet te warm

lijk is dat een vrouw het leven schenkt aan een kind en nog een, en soms zelfs aan nog een kind en nog een en nog een, beviel deze vrouw van een kind, en nog een, en nog een, en nog een, en nog een en nog een.

Voetbalteam scoort heel veel doelpunten

Johnny Ball

Engeland heeft gisteren opnieuw de Wereldcup gewonnen door Brazilië met diverse doelpunten te verslaan. Ze namen na een tijdje de leiding toen Beckham vanaf de andere helft wist te scoren. Hij scoorde nog eens en nog eens na de rustpauze. De supporters waren met ‘man en macht aanwezig’

Voetbaluitslagen

Spanje: Veel doelpunten

Italië: wat minder doelpunten

Colombia: geen doelpunten

Nigeria: een paar doelpunten

ACHTERGROND

Olympische atleten winnen goud

Sonja Marx

B

Duitsland: enkele doelpunten

Thailand: evenveel doelpunten

Mexico: heel veel doelpunten

Zweden: nog meer doelpunten

Baby’s in India nog een erbij

Hoe zou een krant eruitzien als er geen getallen waren?

1.1 Getallen zie je overal

Steven Spring won gisteren een gouden medaille tijdens de Olympische spelen met een record brekend hoge sprong. Hij brak het vorige heel hoge record door inderdaad nog hoger te springen. Tijdens deze Olympische Spelen won ook Harrie Speed goud: hij verbeterde het wereldrecord op de korte sprint door diverse renners in een middelmatig groot veld voor te blijven. Jimmy Voet won zilver door vlak achter Speed te eindigen. De veteraan Voet heeft inmiddels een fiks aantal Olympische medailles gewonnen.

Probeer je eens een wereld voor te stellen zonder getallen. Veel, misschien wel alles van ons werk en dagelijks leven zou niet meer mogelijk zijn, of op zijn minst heel ingewikkeld worden. Geen telefoonnummers, geen laptops, geen pinpas, geen klokken, geen huisnummers, geen prijzen in de super-

betekenis van getallen

markt, geen infographics. En zo kun je nog wel even doorgaan. Getallen zijn zo onmisbaar dat onze samenleving zonder getallen onmiddellijk tot stilstand zou komen. We leunen op technische vooruitgang en onze maatschappij is een informatiemaatschappij, waarin kwantitatieve informatie een cruciale rol speelt. Ieder mens moet kennis hebben van getallen om in onze samenleving te kunnen functioneren.

Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen komen in het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.

verschijningsvorm functie van getallen

Getallen in het dagelijks leven

De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal. Getallen worden immers op verschillende manieren gebruikt.

Verschijningsvorm Betekenis

Het getal geeft de rangorde aan in de telrij: 1, 2, 3, ..., of: de eerste, de tweede, … hoeveelheidsgetal of kardinaal getal

telgetal of ordinaal getal

Het getal geeft een bepaalde hoeveelheid aan. Bijvoorbeeld 5 appels. meetgetal Het getal hoort bij een meting. Bijvoorbeeld van de voordeur tot het tuinhek is het vier meter, het is buiten 23 graden, de pup weegt 10,5 kg. naamgetal of nummer Het getal heeft de functie van een naam of een nummer. Bijvoorbeeld tramlijn 1, rugnummer 7, huisnummer 38. rekengetal Een getal dat zonder context of grootheid wordt gebruikt. Bijvoorbeeld in een rekenopgave: 36 × 125 = 4500 of 5 8 × 400

benoemd getal onbenoemd getal

kaal getal

Je kunt ook onderscheid maken tussen benoemde en onbenoemde getallen. Bij benoemde getallen is de grootheid vermeld, zoals bij het meetgetal 3 liter of het hoeveelheidsgetal 100 kinderen. Getallen waarbij dat niet zo is, zijn onbenoemd zoals in 3 + 5 = 8. Deze onbenoemde getallen worden ook wel kale getallen genoemd.

Wiskundetaal

natuurlijk getal

negatief getal

rationaal getal

gebroken getal

geheel getal

BDe getallen waarmee we tellen worden in de wiskunde de natuurlijke getallen genoemd: 1, 2, 3, enzovoort. Ook 0 is een natuurlijk getal. Tel je twee natuurlijke getallen op of vermenigvuldig je ze, dan is de uitkomst opnieuw een natuurlijk getal. Bij aftrekken en delen is dat niet altijd zo: bijvoorbeeld bij 15 − 47. Het antwoord is in dit geval geen natuurlijk getal maar een negatief getal. Onder wiskundigen werd de uitkomst van 15 – 47 in eerste instantie niet geaccepteerd als getal. De uitkomst werd gezien als een tekort van 32, wat sommige kinderen overigens ook zo formuleren. Pas na verloop van tijd werden negatieve getallen geaccepteerd als getallen. Negatieve getallen komen kinderen al op de basisschool tegen, bijvoorbeeld als meetgetal op een thermometer. Ook de uitkomst van een deling van twee natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal. De uitkomst van bijvoorbeeld 5 : 10, is een rationaal getal, ofwel een gebroken getal (zie het boek Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten uit deze serie).

De gehele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen en de negatieve hele getallen …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …. De wiskundige naam voor deze getallen is gehele getallen, maar er wordt ook vaak gesproken over hele getallen.

Getallen in de wereld om je heen

ADe wereld om je heen is vol getallen, het rekenen ligt op straat! Vaak zijn we er ons niet eens van bewust.

Bedenk een aantal voorbeelden van getallen in de wereld om je heen en noteer deze. Ga vervolgens op onderzoek uit. Leg een bepaalde route af, bijvoorbeeld van je huis naar je sportclub of school. Noteer de getallen die je op deze route tegenkomt.

Maak een analyse van de getallen die je bent tegengekomen. Je kunt bijvoorbeeld onderscheid maken op basis van de verschijningsvorm van de getallen.

Denk aan hoeveelheidsgetal, meetgetal, naamgetal, telgetal of een kaal reken-

C B

talstelsel

getal. Je kunt ook kijken of de getallen natuurlijke, negatieve of rationale getallen zijn, of je kunt kijken naar de grootte van de getallen die je tegenkomt. Welke getallen komen vooral op jouw route voor? Komt dat overeen met wat je vooraf had bedacht?

Burgerservicenummer

Het BSN (burgerservicenummer) is een mooi voorbeeld van een zogenaamde fouten detecterende code. Dat is een code waarmee je incorrecte of valse nummers kunt herkennen. Het BSN is een combinatie van 9 cijfers. Is een van de cijfers verkeerd overgeschreven of getypt, dan kan dat worden achterhaald met een berekening. De uitkomst daarvan moet overeenkomen met het laatste cijfer: dit is het controlegetal. Ook op bankbiljetten, paspoorten en ISBN-nummers kom je fouten detecterende codes tegen.

Burgerservicenummer

Als het nummer acht cijfers telt, plaats je er eerst een 0 voor zodat je negen cijfers krijgt. Vermenigvuldig nu het eerste cijfer met 9, het tweede cijfer met 8, het derde met 7, en zo verder tot en met het achtste cijfer met 2. Tel vervolgens alle acht uitkomsten bij elkaar op. Deel de uitkomst door 11. De rest die deze deling oplevert, moet het laatste cijfer zijn. Dan is het getal een geldig BSN, anders niet.

a Ga na of het getal 079414199 een BSN kan zijn.

b Als het getal 99?21248 een BSN is, welk cijfer staat dan op de plaats van het vraagteken?

1.2 Ons getalsysteem

decimaal talstelsel B

cijfer

Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijvoorbeeld in Arabische of in Romeinse cijfers. Je noemt een systeem om getallen te representeren een talstelsel, getalstelsel of getalsysteem. Ons talstelsel, het decimale stelsel, is omstreeks 1202 door Leonardo van Pisa (ook bekend als Fibonacci) in West-Europa geïntroduceerd. Het duurde overigens nog tot de veertiende eeuw voordat dit stelsel met Hindoe-Arabische cijfers door iedereen werd gebruikt. Om vlot te kunnen rekenen met getallen en adequaat reken-wiskundeonderwijs te kunnen verzorgen, is het nodig dat je je bewust bent van de eigenschappen van ons decimale talstelsel.

1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem

Ons talstelsel gebruikt oorspronkelijke Arabische cijfers en heeft een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig waarvoor we deze tien cijfersymbolen, oftewel cijfers gebruiken: 0,

7, 8 en 9. Een getal bestaat

C B

uit een of meer cijfersymbolen. Zo bestaat het getal 4 uit het cijfer 4 en het getal 398 uit de cijfers 3, 9 en 8. De plaats of positie van een cijfer in het getal bepaalt de waarde van het cijfer. Je noemt dit plaatswaarde of positiewaarde. De 3 in 398 is 300 waard, terwijl de 3 in 938 maar 30 waard is. Deze manier van getallen noteren, waarbij de positie van een cijfer de waarde ervan bepaalt, is kenmerkend voor een positioneel talstelsel of positiestelsel. In ons decimale positionele stelsel neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in. De 0 zorgt ervoor dat elk cijfer op de juiste positie kan staan: de 0 zorgt ervoor dat de 7 in 7025 de waarde 7000 krijgt. Elke positie in een getal heeft een positiewaarde die correspondeert met een macht van tien. Bijvoorbeeld:

7025 = 7 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1 = 7 × 103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100

Bundelingsprincipe

Dit gedachte-experiment gaat over een denkbeeldige potlodenfabriek. In deze fabriek worden de potloden netjes verpakt. Tien potloden gaan naast elkaar in een plat doosje. Tien van die doosjes worden gebundeld tot een pakketje. Tien van die pakketjes gaan in een kleine doos. Tien van die kleine dozen gaan samen in een grote doos. En tien grote dozen gaan samen op een pallet.

a Als de tien potloden in het platte doosje gaan, zie je alleen nog het platte doosje. Wat zie je als je 5032 potloden op deze manier inpakt?

b Bedenk een bundelingssysteem in groepjes van 4. Welke namen zou jij aan elk van de bundelingen geven? Bedenk een handige manier om deze bundeling te noteren. Verdeel dan 250 kaartjes volgens dit bundelingssysteem. Wat zie je precies?

c Hoe zou je antwoord eruitzien als je niet een bundeling van 4, maar van 3 gebruikt om het aantal van 250 kaartjes te verpakken?

1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen

Er zijn verschillende getalsystemen met andere symbolen die (deels) positioneel zijn. Zo gebruikten de Maya’s onderstaande symbolen voor de getallen 0 tot en met 19, die in een positiestelsel gecombineerd werden.

Er zijn ook getalsystemen bekend die niet positioneel zijn, zoals het Egyptische getalsysteem.

Romeinse getalsysteem additief

Het Egyptische getalsysteem

In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het Romeinse getalsysteem.

Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de symbolen. In de tabel zie je de waarde van de Romeinse cijfersymbolen. Het getal 7 bijvoorbeeld wordt in het Romeinse systeem op de volgende manier weergegeven: VII. De waarde is de som van de verschillende symbolen (5 + 1 + 1 = 7).

Bij de Romeinen ontbrak een symbool voor 0; in hun systeem was hiervoor immers geen symbool nodig. Bij het weergeven van een getal in het Romein-

se getalsysteem is de volgorde van de symbolen niet willekeurig. De symbolen met de grotere waarden staan links van de symbolen met een kleinere waarde.

Sinds de middeleeuwen is het nieuw-Romeins getalsysteem in gebruik, dat overigens niet goed is ingeburgerd. In dit systeem wordt naast het additieve principe gebruik gemaakt van het substractief principe: als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, zoals bij IX, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool. IX is dus 9. Dit principe geldt echter alleen bij de volgende combinaties: I voor V of voor X, X voor L of voor C, en C voor D of voor M. Het getal 14 wordt in het oud-Romeinse getalsysteem geschreven als XIIII en in het nieuw-Romeinse getalsysteem als XIV. Overigens werden beide varianten niet consequent gebruikt. In het nieuw-Romeins werd het substractieprincipe niet altijd toegepast en in het oud-Romeins kwam het soms ook al voor.

Een andere afspraak was dat de cijfers V, L en D maar één keer voorkomen in een getal. In het zogenoemde modern-Romeins, varianten uit de laatste eeuwen, kom je wel notaties van getallen tegen als MIM en IC.

Abacus

Om te rekenen gebruikten de Romeinen de abacus. Die heeft navolging gevonden bij verschillende andere volken. In sommige Aziatische landen wordt nog met een abacus gerekend, volgens vergelijkbare inwisselingsprincipes.

C B binair

Rekenen in het Romeinse getalsysteem

Rekenen met Romeinse getallen is erg bewerkelijk. Reken de volgende opgave maar eens uit, zonder de getallen om te schrijven naar ons decimale stelsel.

a CLVI + CXII

b XII × CLVI

1.2.3 Andere talstelsels

Naast ons decimale (tientallig) stelsel komen in ons dagelijks leven ook andere talstelsels voor. Zo maken computers gebruik van het binair (tweetallig) en hexadecimaal (zestientallig) talstelsel. Het sexagesimaal (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem is de oorsprong van onze tijd- en hoekmeting.

Deze talstelsels onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een ander grondtal, oftewel een andere basis hebben. Zo kent het binaire talstelsel een tweetallige bundeling: alle getallen worden geschreven door slechts twee cijfersymbolen te gebruiken: 0 en 1. In het hexadecimale talstelsel is de basis zestien, in het octale stelsel acht en in het sexagesimale talstelsel zestig. Bij deze positiestelsels geldt dat de waarde van een positie een macht is van de basis van het talstelsel, of de basis nu 10, 2 of 60 is. Reken je met meerdere talstelsels tegelijk, dan wordt de basis van het talstelsel als een subscript achter het getal gezet om verwarring te voorkomen. Je noemt dit radixnotatie. Een voorbeeld hiervan is 34258. Bij de getallen in het tientallig stelsel wordt subscript 10 ook vaak weggelaten. Je rekent dat bijvoorbeeld op deze manier om naar het tientallig stelsel. 34258

Uit de geschiedenis van tijdsindeling

B

C C C

kleiner worden in stappen van tien. Tijdens de invoering van dit stelsel werd een dag verdeeld in tien uur, een uur in honderd minuten en een minuut in honderd seconden, waarmee het een tijdsindeling in het zestigtallig stelsel moest vervangen. De omschakeling naar een ander tijdssysteem is bijzonder ingrijpend. Zeker als je bedenkt dat alle klokken dan vervangen moeten worden. Het verhaal gaat dat deze verandering niet populair is geworden omdat klokken in die tijd nog een grote investering waren. Het nieuwe systeem is dan ook niet lang in gebruik geweest.

Bundelingsprincipe

a Laat zien dat 25010 in het viertallig stelsel 33224 is.

b Laat zien dat 25010 in het drietallig stelsel 100.0213 is.

Omrekenen

a Hoeveel (tientallig) is het cijfer 5 in het zestallige getal 5316 waard?

b Schrijf de decimale getallen 5310 en 10610 binair.

c Schrijf de decimale getallen 5310 en 10610 octaal.

d Beschrijf de relatie tussen je antwoorden bij b en c.

e Schrijf de binaire getallen 100.1112 en 1.001.1102 decimaal.

f Schrijf de binaire getallen 100.1112 en 1.001.1102 octaal.

g Schrijf de octale getallen 5678 en 56708 decimaal.

h Schrijf de octale getallen 67 en 107 hexadecimaal.

i Schrijf het zestallige getal 10006 tientallig.

j Schrijf het tientallige getal 100010 zestallig. Of: wat is het duizendste zestallige getal?

k Schrijf het zestallige getal 10006 octaal.

l Hoeveel is 3610 in het zestallige stelsel?

m Hoeveel is 3610 in het tweetallige stelsel?

n Hoeveel is 3610 in het achttallige stelsel?

o Welk getal is het zestigtallige getal 123 in ons tientallige stelsel?

p Welk getal is het zestigtallige getal 23 in ons tientallige stelsel?

q Welk getal is het zestientallige getal 123 in ons tientallige stelsel?

r Welk getal is het zestientallige getal 23 in ons tientallige stelsel?

Rekenen in andere stelsels

a Bereken 5 × 5 in het achttallige stelsel.

b De cijfersymbolen in het hexadecimale stelsel zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, A, B, C, D, E en F.

Bereken A + B.

c Bereken binair: 1010 + 1101 1010 × 1101

111.111 + 1

C B B

rest bij deling samengesteld getal

Doordenkers

a Zijn priemgetallen (zie paragraaf 1.3.2) geschreven in andere talstelsels ook priem?

b Wat betekent in een willekeurig positiestelsel ‘achter een getal een 0 toevoegen’?

c In welk talstelsel geldt: 1 10 = 0,1?

d In welk talstelsel geldt 1 5 = 0,33333…?

1.3 Eigenschappen van getallen

Gehele getallen hebben verschillende bijzondere eigenschappen. Deze worden hieronder toegelicht.

1.3.1 Deelbaarheid

We noemen een getal deelbaar door een ander getal als de deling ‘mooi’ uitkomt op een heel getal. Dat wil zeggen dat je geen rest overhoudt na de deling. Is een getal deelbaar door een ander getal dan zichzelf, ongelijk aan 1, dan noem je het getal een samengesteld getal. Oftewel: samengestelde getallen zijn positieve gehele getallen die géén priemgetal zijn. Het kleinste samengestelde getal is dus 4.

ontbinden in factoren B B

Je kunt een samengesteld getal schrijven als het product van getallen, bijvoorbeeld: 30 = 5 × 6 = 10 × 3 = 2 × 3 × 5. Je noemt dit ook wel ontbinden in factoren. Deelbaarheid gebruik je bijvoorbeeld bij het maken van groepjes van gelijke grootte in de gymles of het vereenvoudigen van breuken. Het is daarom handig als je snel kunt zien of een getal deelbaar is door een ander getal.

Deelbaar door 10

Als een getal eindigt op een 0, dan is het deelbaar door 10. Je kunt dat uitleggen door te kijken naar het bundelingsprincipe: 7860 is 786 tientallen. Deel je een getal door 10 dan is het cijfer op de plek van de eenheden je rest. 7864 ÷ 10 = 786 rest 4. Is de rest 0, dus het laatste cijfer van het getal een 0, dan is het getal deelbaar door 10.

Deelbaar door 5

Als je naar de tafel van 5 kijkt, dan valt op dat de laatste cijfers afwisselend 5 en 0 zijn. Een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op een 5 of een 0. Ook hiervoor kun je weer kijken naar de bundeling van de getallen. Elke 10 kun je bundelen als 2 groepjes van 5. Dat betekent dat als een getal deelbaar is door 10 het ook deelbaar is door 5. Als een getal eindigt op een 5 dan is het getal een veelvoud van 10 plus 5. In dat geval is het getal ook deelbaar door 5. Dus:

6580 = 658 × 10 = 658 × 2 × 5 = 1316 × 5

6585 = 658 × 10 + 5 = 1316 × 5 + 1 × 5 = 1317 × 5

C C

even getal oneven getal C C

Deelbaar door 100

a Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 100?

30.100 – 5200 – 2501 – 1025 – 1250 – 7325 – 73.250 – 732.500 – 73.275

b Beschrijf hoe je aan een getal kunt zien dat het deelbaar is door 100.

c Welke van de getallen hierboven zijn deelbaar door 25?

d Beschrijf hoe je aan een getal kunt zien dat het deelbaar is door 25

e Beschrijf hoe je aan een getal kunt zien dat het deelbaar is door 125.

Gebruik je regel om aan te geven welke van de getallen hierboven deelbaar zijn door 125.

Deelbaar door 2 en door 4

In de tafel van 2 valt op dat alle getallen eindigen op een 0, 2, 4, 6 of 8. Hier kun je bijna dezelfde redenering volgen als bij de deelbaarheid door 5, namelijk: 10 is deelbaar door 2, dus alle tienvouden zijn ook deelbaar door

2. Je hoeft dan alleen nog te kijken of de rest als je deelt door 10 ook deelbaar is door 2.

De getallen die deelbaar zijn door 2 hebben een eigen naam: even getallen. Is een getal niet deelbaar door 2, dan noem je het een oneven getal.

a Hoe zie je aan een getal dat het deelbaar is door 4?

b Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 4?

97.333.792 – 444.888.486 – 123.456

Deelbaarheid door 8

Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 8?

634.904 – 125 – 1024 – 2048 – 123.568 – 456.168

Deelbaarheid door 3

a Welke getallen uit het volgende rijtje zijn deelbaar door 3?

1 – 11 – 111 – 1111 – 11.111 – 111.111

Stel je een getallenstrook voor met drie kleuren: rood, wit en blauw.

b Welke kleur heeft 3256?

c Welke kleuren hebben 10, 100, 1000 en 10.000?

d Welke kleuren hebben 20, 200, 2000 en 20.000?

e Vul de volgende opteltabel van kleuren verder in.

f 5127 is blauw. Welke kleur heeft het getal 6127? g Voor deelbaarheid door 3 geldt: een getal is alleen deelbaar door 3 als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is door 3. Leg uit waarom deze regel geldt.

Deelbaar door 9

De deelbaarheid door 9 is op een vergelijkbare manier te bepalen als de deelbaarheid door 3. Tel alle cijfers van het getal op. Is de uitkomst deelbaar door 9, dan is het oorspronkelijke getal ook deelbaar door 9, anders niet. Leg uit waarom deze regel werkt.

Deelbaar door 6

Hieronder staat een honderdveld. Kleur alle tweevouden rood. Kleur vervolgens alle drievouden geel.

De vakjes die je zowel geel als rood kleurde zijn oranje geworden. Dit zijn de getallen die zowel door 2 als door 3 deelbaar zijn. Dit zijn precies alle zesvouden. Is een getal deelbaar door 6, dan moet het deelbaar zijn door 2 én 3. Je ziet nu eenvoudig dat 356 niet deelbaar is door 6. Het is een even getal, dus deelbaar door 2. Tel je de cijfers op (3 + 5 + 6 = 14) dan is de som geen drievoud. 356 is dus niet deelbaar door 3 en daarom ook niet door 6.

Spelen met deelbaarheid

Marieke heeft ontdekt dat 12 het kleinste getal is dat je kunt delen door 1, 2, 3 én 4.

a Welk getal tussen 1600 en 1700 kun je delen door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 én 8?

b Is dat ook het kleinste getal met die eigenschap?

c Welk getal is het kleinste getal dat je kunt delen door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 én door 10?

ontbinden in priemfactoren

1.3.2 Priemgetallen

BEen priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft. Zo’n getal wordt soms een strookgetal genoemd. Als je het getal probeert te leggen of tekenen als een rechthoek, dan kan dat alleen maar als een strook waarvan één zijde gelijk is aan 1, zoals het getal 7 hieronder.

Je kunt een samengesteld getal opschrijven als het product van factoren. Dat heet ontbinden in factoren. Zijn die factoren allemaal priemgetallen, dan noem je dit ontbinden in priemfactoren. Zo kun je het getal 85 ontbinden in de priemfactoren 5 en 17; 5 × 17 = 85. Zowel 5 als 17 hebben geen andere delers dan 1 en zichzelf. De priemontbinding van 20 is 2 × 2 × 5 = 2² × 5. Een priemfactor kan dus ook meerdere keren voorkomen.

Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud

BDe grootste gemene deler (GGD) is het grootste getal dat de deler is van twee of meer gegeven getallen. Zo is de GGD van 36 en 54 gelijk aan 18. Het getal 36 kun je immers delen door 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36, en het getal 54 kun je delen door 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 en 54. Dus 18 is de grootste deler die in beide rijtjes voorkomt. Bij het zoeken naar de GGD kun je gebruikmaken van ontbinden in priemfactoren.

Bepaal GGD (24, 92)

Je zoekt de GGD van 24 en 92.

24 = 2 × 2 × 2 × 3

92 = 2 × 2 × 23

De twee getallen hebben deze gelijke priemfactoren: 2 en 2.

De andere priemfactoren komen maar in één van de twee getallen voor. De grootste gemeenschappelijke deler vind je door de gemeenschappelijke priemfactoren met elkaar te vermenigvuldigen. In dit geval dus:

GGD (24,92) = 2 × 2 = 4.

Het kleinste gemene veelvoud (KGV) is het kleinste getal dat een veelvoud is van twee of meer gegeven getallen. Bijvoorbeeld: het KGV van 6 en 15 is 30.

Ook hier kun je weer twee rijtjes naast elkaar zetten. Veelvouden van 6 zijn

6, 12, 18, 24, 30, 36, … Veelvouden van 15 zijn 15, 30, 45, … Je ziet dat 30 het kleinste veelvoud is dat in beide rijtjes voorkomt. Ook voor het bepalen van de KGV kun je priemontbindingen gebruiken.

C C

Bepaal KGV (14, 26)

14 = 2 × 7

26 = 2 × 13

Het KGV is een veelvoud van beide getallen. Dat betekent dat het KGV de priemfactoren van beide getallen in zich heeft. Hebben de getallen dezelfde priemfactor, dan komt die niet dubbel voor in de priemontbinding van de KGV:

(2 × 7) × 13 is een veelvoud van 14.

(2 × 13) × 7 is een veelvoud van 26.

2 × 7 × 13 is dus het kleinst mogelijke veelvoud van 14 én 26.

Dus: KGV (14, 26) = 2 × 7 × 13 = 182

Breuken vereenvoudigen Om breuken te vereenvoudigen zoek je naar een gemeenschappelijke factor van de teller en de noemer. Om de breuk zo ver mogelijk te vereenvoudigen zoek je naar de grootste factor: de GGD.

Voorbeeld: vereenvoudig de breuk 2940 3150 zo ver mogelijk.

Bij het ontbinden in factoren van grote getallen kun je handig gebruikmaken van je kennis van deelbaarheid. Zo vind je stapje voor stapje dat:

2940 = 2 × 1470 = … = 22 × 3 × 5 × 72

3150 = … = 2 × 32 × 52 × 7

GGD (2940, 3150) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210

Dus: 2940 3150 = 210 × 14 210 × 15 = 14 15

Deelbaarheid

a Als je drie opeenvolgende positieve hele getallen met elkaar vermenigvuldigt, is de uitkomst altijd deelbaar door 6. Laat zien dat dit klopt.

b Als je vijf opeenvolgende positieve hele getallen met elkaar vermenigvuldigt, is de uitkomst altijd deelbaar door 120. Laat zien dat dit klopt.

Ontbinden in factoren

Schrijf je antwoord steeds zo op als in het voorbeeld:

Ontbind 196 in factoren. Antwoord: 196 = 22 × 72

a Ontbind in factoren: 200 – 201 – 202 – 203 – 204 – 205.

b Ontbind in factoren: 241 – 242 – 243 – 244 – 245 – 246 – 247 – 248.

C C

Toepassen GGD en KGV

a Hans en Renée maken samen een wandeling. Ze lopen gelijk op. Hans loopt met stappen van 75 cm en Renée met stappen van 65 cm. Ze beginnen tegelijk met hun rechtervoet; ze beginnen dus ‘in de pas’. Na hoeveel stappen van ieder zijn ze weer even ‘in de pas’?

b Een fabrikant van thee heeft drie verschillende kubusvormige blikken met ribben van 6, 10 en 15 cm. Voor het transport ontwerpt hij een kubusvormige kist, die geschikt is om te vullen met elk van de afmetingen blikken. Wat is de kleinst mogelijke maat van deze kist?

c De getallen 207, 318 en 503 geven bij deling door een bepaald geheel getal telkens dezelfde rest. Welk geheel getal is dat?

d Bereken de volgende kleinste gemene veelvouden.

KGV (20, 45)

KGV (54, 18)

KGV (35, 81, 270)

KGV (28, 105)

KGV (1925, 420)

e Bereken de volgende grootste gemene delers.

GGD (20, 45)

GGD (54, 18)

GGD (35, 81, 270)

GGD (28, 105)

GGD (1925, 420)

Priemgetallen

a Neem een getal in gedachten dat deelbaar is door 6, dus een zesvoud. Noem het getal gemakshalve z. Laat zien dat geen van de getallen z, z + 2, z + 3 en z + 4 een priemgetal kan zijn.

b Welke van de volgende getallen zijn priemgetallen?

71 – 91 – 101 – 121 – 221 – 323 – 2009

c Welke getallen tussen 60 en 69 zijn priem?

d 37 is priem. Geldt nu ook dat 137, 237, 337, 437, enzovoort priem zijn? Waarom wel of niet?

Extra

Heb je een computer bij de hand, dan vind je eenvoudig de GGD of KGV van getallen in google. Je gebruikt daarvoor de termen gcd (greatest common divisor) of lcm (least common multiple). Toch is het voor je getalbegrip nog steeds waardevol om de GGD en KGV met de hand te kunnen uitrekenen. Maak onderstaande opgaven daarom zonder digitale hulpmiddelen. Je kunt deze wel gebruiken om je antwoorden te controleren.

a Van twee verschillende getallen is het KGV 60 en de GGD 12? Wat is het product van die twee getallen? Weet je nu ook welke twee getallen dit zijn?

b Twee autobussen, A en B, vertrekken gelijktijdig van een busstation. Bus A rijdt heen en weer in 70 minuten, bus B doet 50 minuten over een ronde.

B

volmaakt getal C

figuraal getal B

Over hoeveel minuten treffen ze elkaar voor het eerst weer bij het busstation?

c Een verpakkingsbedrijf moet uit 34.650 potten jam en 36.300 blikjes vis zoveel mogelijk gelijke pakketten samenstellen. Hoeveel pakketten zijn dat en wat is de inhoud van één pakket? Gebruik je rekenmachine indien gewenst.

d Een rechthoekig bouwterrein heeft afmetingen 585 m bij 825 m. Het terrein wordt verdeeld in zo groot mogelijke vierkante vakken met afmetingen van een geheel aantal meters. Hoeveel vakken telt die verdeling?

e Vereenvoudig de breuk 1950 2475 zo ver mogelijk.

f Vereenvoudig de breuk 272 560 zo ver mogelijk.

g In een parkeergarage is plaats voor 854 personenauto’s. Eén bus neemt de plaats in van zes personenauto’s. Stel dat de parkeerplaats vol staat met bussen. Hoeveel bussen staan er dan? Hoeveel personenauto’s kunnen er nog bij?

1.3.3 Andere getallen met bijzondere eigenschappen

Er zijn allerlei typen getallen die een eigen naam hebben gekregen vanwege een bepaalde eigenschap. Bijvoorbeeld volmaakte getallen. Dit zijn positieve getallen die gelijk zijn aan de som van hun delers behalve zichzelf. Zo is het getal 6 een volmaakt getal. Als je de delers (1, 2 en 3) optelt, kom je op het getal 6 uit. De enige twee volmaakte getallen onder de 100 zijn 6 en 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14). Het volgende volmaakte getal is 496.

Volmaakt

Laat zien dat 496 een volmaakt getal is.

Figurale getallen is een overkoepelende naam voor een groep van getallen die je in een stippen- of blokjespatroon kunt leggen, zoals een driehoek.

driehoeksgetallen vierkantsgetallen

kwadraat vierkantsgetal

Opeenvolgende figurale getallen volgen een patroon. Bij de driehoeksgetallen is elke rij die er de volgende figuur aan een van de zijden bij komt steeds

1 langer. Dat betekent dat driehoeksgetallen de som zijn van opeenvolgende getallen, startend bij 1:

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10 enzovoort.

rechthoeksgetal

De kwadraten worden ook wel vierkantsgetallen genoemd. Zet je ze op een rij, dan zie je dat het aantal stippen dat er in de rand bij komt telkens het volgende oneven getal is. Vierkantsgetallen zijn dus steeds de som van opeenvolgende oneven getallen, beginnend bij 1. Bijvoorbeeld 16 = 1 + 3 + 5 + 7. Soms wordt de term rechthoeksgetal gebruikt. Nu kun je élk getal in de vorm van een rechthoek leggen. Immers ook een strook, of één rij van stippen vormt een rechthoek. Maar meestal worden hiermee de samengestelde getallen bedoeld. Dat betekent dat je het getal kunt leggen als een rechthoekig stippenpatroon van meerdere rijen en kolommen. Een figuraal figuur hoeft niet een plat patroon te betreffen. Je kunt ook aan driedimensionale patronen denken, zoals kubusgetallen of piramidegetallen.

Stippenpatronen

CV-getallen en W-getallen zijn figurale getallen.

V-getallen

W-getallen

a Door op verschillende manieren naar de opvolging van stippenpatronen te kijken, herken je andere structuren in het patroon. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat er in de reeks V-getallen telkens twee stippen bij komen bij het uiteinde van de V. Welke andere structuren zie jij in de V-getallen?

b Bedenk nu hoe je in woorden kunt zeggen hoe je het aantal stippen in het ‘n-de’ V-getal kunt uitrekenen. Beantwoord dan de volgende vragen:

• Wat is het tiende V-getal?

• Wat is het honderdste V-getal?

• Het hoeveelste V-getal is 37?

c Het 6e driehoeksgetal is de som van het 1e, 3e en 5e V-getal. Laat dit met een tekening zien.

d Een W-getal is altijd één minder dan een dubbel V-getal. Laat dit zien.

Hele getallen

De driedelige serie Reken-wiskundedidactiek vormt een belangrijke bron voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak rekenen-wiskunde.

De uitgangspunten van deze boeken zijn:

Opgezet vanuit de domeinindeling van de Kennisbasis Wiskunde voor de pabo: hoe komen deze voor in de realiteit, om welke wiskunde(taal) gaat het en hoe kun je eraan werken in de basisschool.

Aandacht voor A-B-C in samenhang: Activiteiten in de praktijk, Bronnen met theoretische inzichten en het eigen niveau van geCijferdheid.

In elk deel is aandacht voor gelegenheid-tot-leren (opportunityto-learn) van rekenen-wiskunde: aandacht voor doelgericht werken, zicht op leerlijnen, en differentiatie die bijdraagt aan gelijke onderwijskansen.

Dekkend voor de Kennisbasis Wiskunde en de inhouden van de landelijke kennistoets Wiskunde voor de pabo.

Getallen zijn overal

Zonder grip op getallen kom je niet ver in het leven. Op de basisschool verwerven kinderen het onmisbare fundament van het begrijpen van getallen en het kunnen omgaan met getallen. In dit deel lees je alles wat je als leerkracht wilt weten hierover, van ontluikende gecijferdheid tot schriftelijk en schattend rekenen, en van hoofdrekenen tot het gebruiken van de rekenmachine.

In dit deel zijn nieuwe inzichten verwerkt over rekenen-wiskunde voor burgerschap en kritisch kwantitatief denken, het leren van wiskundig probleemoplossen en variëren met instructievormen.

Bij de boeken is er een ondersteunende online leeromgeving, eDition, met aanvullend materiaal.