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Índice Guía Docente Introducción general
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Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad ................................... 4 Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ............................................................... 6
¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? ........................... 12 Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita ................................... 13 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones .................................................................... 14 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales ................................................... 17 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría .......................................................................... 19 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida ................................................................................. 21
Orientaciones didácticas
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Capítulo 1 ................................................................................ 24 Numeración .................................................................... 24 Operaciones .................................................................... 27 Geometría ........................................................................ 32 Capítulo 2................................................................................. Operaciones .................................................................... Numeración .................................................................... Geometría ........................................................................
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Capítulo 3 Geometría Numeración Operaciones Capítulo 4 Numeración Operaciones Geometría Capítulo 5 Operaciones Numeración Geometría Capítulo 6 Geometría Numeración Operaciones Capítulo 7 Numeración Operaciones Medida Capítulo 8 Operaciones Numeración Geometría y medida
Recursos TIC
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Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC ................................................................ 115 Recursos TIC por capítulo ............................................. 118
Introducciรณn general
Introducción general Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad1 La situación de interrupción de la asistencia presencial a las aulas de todos los establecimientos educativos a partir de la ASPO, instalada para enfrentar la pandemia COVID-19, lleva a que, inevitablemente, debamos hacer alusión a este contexto tan particular compartiendo algunas ideas que favorezcan la revinculación de las y los alumnos con un cierto modo de funcionamiento áulico –en el marco del enfoque que sostenemos para el trabajo matemático en la clase–, como así también, que posibiliten reconocer distintas experiencias y puntos de partida que se presenten respecto a cada uno de los contenidos y problemas que se planteen. Más allá de que es posible que el trabajo con contenidos del área de Matemática (principalmente, los que corresponden a los ejes Números naturales y Operaciones) haya ocupado una importante porción de los distintos planes y propuestas de continuidad pedagógica y de los materiales oficiales que han circulado, los diversos modos de retorno presencial a las escuelas (presencial, semipresencial, en “burbujas”) demandarán acuerdos, en el ámbito institucional, que contemplen la articulación, selección, progresividad y alcance de los contenidos que se prioricen, de la organización de los tiempos y los espacios, como de los tipos de problemas y los modos de trabajo que se propongan en el aula (y en los hogares). Estos asuntos se deben apoyar en la información que los equipos docentes hayan podido construir basándose en las trayectorias de las y los alumnos, el recorrido realizado y las condiciones para la enseñanza y el aprendizaje que hayan estado al alcance, con la complejidad y diversidad involucrada. Algunas de las preguntas iniciales para reorganizar la tarea podrán referirse a ¿qué contenidos se priorizaron para el período de excepcionalidad?, ¿qué problemas se trabajaron con mayor sostenimiento?, ¿qué conocimientos se consideran disponibles en los alumnos para que inicien los procesos de resolución?, ¿en cuáles portadores de información matemática tuvieron la oportunidad de apoyarse?, ¿resolvieron mediante diversas estrategias o empleando solo técnicas como los algoritmos?, ¿qué avances es posible identificar y proyectar a partir de la comunicación –de la manera que haya sido– y de las producciones de los alumnos a las que se pudo acceder?, ¿qué dificultades surgieron?, ¿qué estrategias de enseñanza se probaron o se podrían explorar en relación con esas dificultades?, ¿cuáles alumnos tuvieron acceso o pudieron realizar las propuestas tanto en formato impreso como virtual y cuáles, no?, ¿qué trabajo podríamos realizar para retomar lo que sí pudieron realizar y restituir aquello que no pudieron realizar? Estos entre otros asuntos. Recuperar, retomar y profundizar conocimientos constituyen propósitos centrales para organizar las respuestas y las decisiones que se deriven de esas y otras preguntas:
1 La situación mundial de emergencia sanitaria declarada en 2020 llevó a suspender las clases presenciales en todo el país. Las orientaciones que se desarrollan en este apartado se centran en las condiciones que se podrán dar en las aulas a partir de los progresivos y diversos modos de regreso de las y los docentes y las y los alumnos. No obstante, se considera que estos aportes constituyen estrategias para enseñar Matemática considerando la diversidad que caracteriza a todos los grupos, más allá de esta situación de excepcionalidad presentada.
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Introducción general • Recuperar los conocimientos que sabemos que las y los alumnos tienen disponibles para poder revisarlos y enriquecerlos. • Retomar aquello que se ha trabajado de manera excepcional con la intención de que constituya una nueva oportunidad para los alumnos que tuvieron escasos o nulos vínculos con las propuestas enviadas; por ejemplo, planteando problemas similares, pero con la posibilidad de resolverlos en pequeños grupos y con el acompañamiento del docente. Esta instancia, también, resulta una nueva ocasión de aprendizaje para los alumnos que sí pudieron resolverlos, pero que no tuvieron la oportunidad de comparar diferentes modos de resolución, justificar los procedimientos realizados, analizar los errores, etc., (prácticas que, por su misma naturaleza, con seguridad, no han podido desplegarse en las tareas realizadas en los hogares), recibir explicaciones para aquello que no llegaban a comprender del todo, identificar saberes que debían retener para volver a utilizarlos en situaciones nuevas. • Profundizar porque justamente los encuentros en las aulas permiten interactuar de otra manera con los problemas y, a la vez, introducir otros que, por los propósitos que se persiguen o por la complejidad que involucran, resultan imposibles de proponer en contextos de no presencialidad o virtualidad. La vuelta presencial a las aulas requerirá fundamentalmente de acuerdos institucionales que organicen una gradualidad más amplia en unidades pedagógicas (de tal manera que permita priorizar y distribuir los contenidos disponiendo de un tiempo más extenso para su tratamiento y para volver a “visitarlos”) y de agrupamientos de las y los alumnos flexibles y periódicos (es decir, que se decidan en virtud de los recorridos y conocimientos identificados y que se alternen o se cambie su composición de acuerdo con ellos). En el libro presentamos secuencias de problemas de complejidad creciente, lo que permite que ustedes puedan tomar diferentes decisiones; de tal manera que quizá, con algunos grupos, haya que detenerse un mayor tiempo en el trabajo con un tipo de problema, volver sobre problemas del mismo contenido, que están en capítulos anteriores, o resolver más problemas similares; mientras que, con otros, se pueda avanzar o trabajar con los problemas del capítulo, etcétera. Valoramos la oportunidad para que las instancias de “Para pensar entre todos” se constituyan en momentos en los que el grupo, en su totalidad, pueda abordarlas de manera conjunta, más allá de los recorridos previos que hayan tenido para llegar a cada una de ellas. Un asunto derivado de la complejidad que presentarán las aulas y la organización institucional tendrá que ver con la optimización de los tiempos, principalmente de aquellos con los que la y el docente cuente para trabajar de manera presencial con sus alumnos. Destacamos la importancia de analizar cuáles situaciones son las más convenientes para que los alumnos las puedan realizar en sus hogares y cuáles las que necesitan de forma imprescindible la interacción en el aula con los compañeros y con el docente. Algunos ejemplos de estas últimas pueden ser: • aquellos problemas para los cuales las y los alumnos aún no disponen las herramientas canónicas y para los que se tiene el objetivo que la comparación de diferentes producciones constituya una oportunidad para acercarlos a ellas; • las situaciones que se planifican en torno a juegos; • problemas que presentan varios datos, requieren varios pasos o tienen una complejidad que hace indispensables las interacciones, tanto con la y el docente como entre las y los alumnos, ya sea para resolverlos o para propiciar avances en relación con esos procedimientos.
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Introducción general Consideramos que, en estos casos, el valor didáctico se reduce en forma considerable, o directamente se anula si se proponen para ser resueltas de manera individual, en los hogares o de manera virtual, etcétera. Estas ideas están construidas para anticipar ciertos fenómenos que, suponemos, se presentarán en el retorno presencial a las aulas; seguro, esta realidad inédita determinará otras cuestiones y otros factores que haya que considerar y articular con las ideas que hemos compartido. Destacamos, en todos los casos, su tratamiento y abordaje institucional.
Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ¿Qué posibilidades ofrece este material editorial para trabajar tanto en la presencialidad como también en la virtualidad? Todos coincidimos en que trabajar en la presencialidad nos permite: • desplegar una diversidad de estrategias de enseñanza, muchas veces relacionadas con lo que va ocurriendo en la clase; • realizar intervenciones según lo que vamos interpretando “en vivo” acerca de la resolución de los alumnos y en el momento en que están trabajando para que puedan avanzar con sus producciones; • agrupar a los niños atendiendo a la diversidad para lograr intercambios que, seguramente, favorecerán sus aprendizajes, etcétera. Sin embargo, la propuesta Estrada A Dúo digital nos proporciona materiales para que las y los niños puedan trabajar desde su hogar, en forma individual o en pequeños grupos a través de medios digitales, cuando dispongan de esta posibilidad. Esta disponibilidad permitirá seleccionar algunos trabajos para hacer de modo autónomo y otros para desplegar en espacios compartidos de clase. Otro aporte que consideramos valioso es la inclusión de problemas geométricos en el programa Geogebra. Sugerimos la lectura de la introducción Acerca de la enseñanza a través de las TIC (página 115) para obtener mayor información al respecto. Esta nueva realidad nos lleva a las y los docentes a tener en cuenta en la planificación de la enseñanza para cada contenido, o para cada capítulo del libro, qué problemas son indispensables para trabajar en la escuela en forma presencial y cuáles podrán hacer las y los alumnos en sus casas, que luego serán discutidos con pares y con el docente en un espacio presencial o virtual sabiendo que en esta última instancia nos encontraremos con una gran diversidad de posibilidades.
¿Cómo podemos recurrir a propuestas de diferentes niveles para trabajar el mismo aspecto de un contenido contemplando la diversidad de conocimientos de las y los alumnos? Las y los docentes disponen en formato digital de la serie Estrada A Dúo para seleccionar, en caso de que sea necesario, problemas de años anteriores a los correspondientes al año en el que dicta clases o para tener el horizonte de hacia dónde se dirige la propuesta del ciclo completo, tomar nuevos problemas más desafiantes para algunos alumnos, etcétera.
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Introducción general En esta serie, proponemos una secuenciación en el tratamiento de los contenidos. Estamos pensando en que, en un mismo grupo, el docente tenga la posibilidad de armar subgrupos con propuestas del mismo contenido con diferentes grados de dificultad, pero que luego permitan compartir lo realizado, hacer la puesta en común, analizar aspectos seleccionados por la o el maestro y llegar a conclusiones comunes con la participación de todos los alumnos.
¿Cuál es la intención de ofrecer juegos en todos los capítulos? ¿Cómo los gestionamos? En la apertura y desarrollo de cada capítulo, se ofrecen juegos relacionados con aspectos del contenido sobre el que se pretende avanzar. Cada juego, por un lado, forma parte de una serie de problemas y, por el otro, es asimismo un desafío, que esperamos que genere aprendizajes, en el que el alumno tenga que tomar decisiones acerca de qué conocimientos utilizar y luego dar razones sobre ellos. Además, como señalamos, en el desarrollo del capítulo, se plantean problemas que remiten al juego. Seguramente, la instancia de juego será una de las propuestas que seleccionaremos para la presencialidad, ya que requiere de jugar con otros compañeros. Podrán volver a jugar en casa con algún miembro de la familia o, también, en encuentros virtuales si no cuentan con la primera posibilidad. Coincidimos en que no puede faltar luego de jugar, de manera presencial o virtual, un espacio colectivo de análisis: la reflexión acerca de lo que hicieron, cuáles fueron las discusiones acerca de los diferentes procedimientos usados y el pedido de argumentaciones acerca de la validez de lo producido.
¿Cómo están secuenciados y distribuidos los contenidos en cada capítulo? En los diferentes capítulos, encontrarán propuestas relativas a los ejes propuestos para la enseñanza de la Matemática y no sobre un único contenido. La decisión de organizar la secuenciación y distribución de contenidos de esta manera fue pensada teniendo en cuenta: • Para cada uno de los grandes contenidos propuestos en los lineamientos curriculares, hay diferentes aspectos que consideramos que no pueden ser abarcados simultáneamente, ya que se pretende una mayor profundización en cada uno de ellos. • Las y los alumnos, por diversas razones, no aprenden todos lo mismo y al mismo tiempo. Serán necesarias, entonces, diversas aproximaciones a un mismo contenido a través de diferentes problemas con distinto grado de profundización y en diferentes momentos. • Los aprendizajes requieren un largo plazo por lo que distribuirlos de esta manera habilita varias estaciones de recupero durante un ciclo escolar, al mismo tiempo que permite establecer relaciones entre diferentes contenidos. • La experiencia nos lleva a pensar también en los tiempos que es posible sostener el interés de las y los alumnos alrededor de un mismo contenido. En muchas ocasiones, nos damos cuenta de que estos tiempos se agotan tanto para los alumnos como para los y las docentes. Muchas veces es necesario un cambio de eje y aceptar la provisoriedad de los contenidos, que retomaremos en otro momento.
¿Cuál es la intencionalidad de que los contenidos estén secuenciados en toda la serie? Si bien hace ya muchos años que, en los lineamientos curriculares del área, se propone una secuenciación de los contenidos, de los modos de hacer y pensar que son propios de la Matemática, en esta situación que atravesamos, se vuelve aún más necesario.
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Introducción general Gran parte de los contenidos se repiten no solo en el interior o dentro de cada año, sino también, a lo largo de los diferentes años. Esto se apoya en la idea de que la construcción de la mayoría de los conocimientos se produce en plazos largos. Con seguridad, la heterogeneidad de conocimientos disponibles en nuestras y nuestros alumnos será muy grande y la mejor opción para incluirlos a todos y que puedan hacer Matemática será tener en cuenta y elegir las propuestas para estos grupos diferenciados, flexibles y pensados estratégicamente.
¿Por qué incluimos problemas extras destinados a trabajar contenidos con un grado de dificultad que puede corresponderse con grados anteriores? ¿Por qué consideramos que pueden resultar un buen apoyo y punto de partida para aquellos alumnos cuyos conocimientos disponibles no les permiten iniciar directamente el trabajo con los problemas incluidos en el libro? La situación de interrupción de la asistencia presencial a los establecimientos educativos, seguro, ha ocasionado diferentes impactos en las trayectorias escolares de las y los alumnos. Estos han estado derivados, entre otros varios factores, de las diferentes oportunidades que hayan tenido para vincularse con las propuestas de continuidad pedagógica, las producciones que pudieron desplegar (de manera individual o con ayuda) y los conocimientos que identificaron tanto para iniciar procedimientos de resolución como respecto a los avances a partir de ponerlos en juego. El enfoque que sostenemos para la enseñanza de la Matemática asume como un potencial (y no un obstáculo) la diversidad que caracteriza a todo grupo de estudiantes, de tal manera que esos diferentes puntos de partida puedan ser reconocidos para propiciar la identificación de diversas opciones para la resolución, sus relaciones, diferencias y conveniencias. También, las interacciones entre alumnos que enfrentan diferentes niveles de dificultad y progresividad de los conocimientos matemáticos pueden constituirse, bajo ciertas condiciones didácticas, en instancias propicias para identificar regularidades, es decir, características y propiedades que permanecen constantes más allá del grado de profundidad por la que se vaya transitando su estudio. Por ejemplo, los aportes de un grupo que esté trabajando con un problema que requiere leer y comparar números hasta el 1.000 pueden resultar fructíferos para otros grupos a los que se les haya asignado un problema de características similares, pero con intervalos numéricos mayores. Este aspecto, quizá, no hubiera sido posible de revelar si la clase estuviera centrada en una dimensión más acotada de esos contenidos, como por ejemplo, la que se dispone para un determinado grado de la escolaridad. El contexto de excepcionalidad y aislamiento no solo puede haber dado lugar a frustraciones con respecto a las tareas en las y los alumnos que más acompañamiento por parte del docente requieren (entre otros motivos), sino que dejó más a la vista las enormes desigualdades presentes en nuestra sociedad. Reconocemos que esta realidad compleja requiere de varias y diversas estrategias e intervenciones por parte del equipo docente y, a su vez, de una variedad de recursos didácticos que puedan ser puestos a disposición de acuerdo con los propósitos que se planteen. En este sentido, y con el objeto de contribuir a este último aspecto mencionado, al finalizar las orientaciones de los problemas de cada capítulo, hemos decidido incluir una serie de problemas que corresponden a los mismos contenidos que cada capítulo aborda, pero que tienen un grado de dificultad menor. Ustedes podrán tomar diferentes decisiones didácticas respecto a ellos (darlos como parte de la
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Introducción general tarea a todo el grupo, destinarlos a las y los alumnos que puedan requerirlo antes de abordar los problemas que están en el libro, entre otras). Para muchos, tal vez, las últimas oportunidades que tuvieron de interactuar con ciertos contenidos se hayan dado hace más de un año, (por ejemplo, las y los alumnos de cuarto año para evocar alguna experiencia escolar con determinado conocimiento, quizá, deban tener que remitirse a lo realizado en segundo año), por eso, esos problemas y otros que ustedes seleccionen, pueden resultar fértiles para propiciar esas relaciones y reconocimientos. Queremos remarcar que la inclusión de estos apartados no se ofrece con la intención de que un grupo de alumnos “trabaje menos” o solamente resuelva tareas “más sencillas” y que la propuesta para ellos termine allí mientras el resto de la clase resuelve otros problemas “más complejos”. Lo que pretendemos es que constituyan una herramienta que permita recuperar determinados conocimientos y ciertas relaciones que se constituyan en puntos de apoyo para abordar, en mejores condiciones, los problemas que se presentan en el libro para todo el grupo.
¿Por qué razón no incluimos especificaciones referidas a qué tipo de organización de la clase corresponde a cada problema? ¿Cuáles son los argumentos por los cuales valorizamos la posibilidad de considerar agrupamientos variados y flexibles para el trabajo con un problema o un grupo de problemas? Entre los diferentes asuntos que debe decidir un docente en el momento de planificar el trabajo con cada problema, se halla la organización de la clase (de manera individual, en parejas, pequeños grupos, etc.), que puede determinarse con diferentes finalidades (para distribuir diferentes tareas, porque la complejidad del problema requiere que sea abordado en parejas debido a que se necesitan intercambios para arribar a la respuesta, porque se disponen instancias para intercambiar y comparar producciones, etc.), porque las consignas lo predeterminan (por ejemplo, el tipo de agrupamiento que dispone cada juego), por solo mencionar algunos de los factores que pueden considerarse como referencia. Una escena habitual que suele darse en las aulas tiene que ver con que estos agrupamientos se establecen de manera uniforme, es decir, toda la clase trabaja en parejas, en grupos de tres o cuatro o de manera individual, entre otras posibilidades. Más allá de estas modalidades, queremos destacar el valor didáctico que tiene la posibilidad de establecer diferentes organizaciones en el aula de acuerdo con las necesidades que se presenten. Por ejemplo, mientras para algunas y algunos alumnos que pueden trabajar con cierta autonomía, se dispone que resuelvan de manera individual; para otros, se puede proponer un trabajo en parejas, de tal manera que esos intercambios permitan tomar decisiones acerca de los conocimientos y procedimientos a poner en juego. La diversidad presente en las aulas, incrementada en gran medida por las circunstancias excepcionales mencionadas, requerirá inevitablemente de diversos modos de organización en virtud de los recorridos, avances y dificultades que se puedan identificar. Esta realidad, compleja de anticipar y muy dinámica, es probable que requiera de decisiones diarias que, a su vez, se alternen y diversifiquen de acuerdo con los impactos que provoquen y con las evaluaciones que realice el y la docente. Incluso, concebimos que estos agrupamientos excedan la composición de“un determinado grado y grupo escolar”, que puedan ir más allá, y que optimicen las posibilidades que permita cada institución, por ejemplo:
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Introducción general • que ante determinados problemas algunas y algunos alumnos de tercero puedan trabajar con las y los de segundo año, o se modifiquen las divisiones de un mismo grado, etcétera; • optimizar el equipo docente para concretar estos escenarios que, en muchos casos, alteran en forma considerable la organización escolar tradicional. Por ejemplo, incluir a los integrantes del equipo de orientación escolar o del/la bibliotecario/a, de tal manera que haya una mejor gestión y acompañamiento del trabajo con cada una de esas propuestas. Por esta razón, en cada uno de los problemas del libro, no hallarán indicaciones referidas al modo de agrupamiento sugerido (salvo como mencionamos en aquellos casos predeterminados, como pueden ser, las reglas de un juego) para que ustedes puedan decidir, en conjunto con los otros integrantes de la institución, en virtud de la variedad, flexibilidad y dinámica que esta realidad compleja requiera.
¿Por qué incluimos Estrategias para estudiar Matemática, Actividades para seguir estudiando y la Caja de Herramientas en la Carpeta A Dúo? El recorrido que se propone a lo largo del libro es acompañado por la Carpeta A Dúo, que contiene fichas con estrategias para estudiar Matemática y actividades que complementan el trabajo de cada capítulo para que las y los alumnos puedan volver sobre ellas de manera un poco más autónoma y como forma de practicar algunos de los asuntos que se fueron identificando. Estudiar siempre requiere volver de una manera reflexiva sobre lo realizado. En el caso específico de la Matemática, se trata de poder identificar lo aprendido, establecer nuevas relaciones entre los diferentes conocimientos que se fueron elaborando para integrarlos en un marco más general –reconociendo qué guardan en común–, identificar puntos de dificultad y cómo fueron o pueden ser subsanados, reconocer lo que aún queda pendiente, practicar aquello sobre lo cual se ha avanzado para que pueda quedar más establecido o reafirmado, resolver los mismos o similares problemas si es necesario retomar la acción sobre ellos, etcétera. En el libro, especialmente, en “Para pensar entre todos”, encontrarán vueltas de análisis “hacia atrás” para reflexionar sobre lo que se hizo y avanzar. Este material complementario, también, intenta aportar al proceso de estudio de las y los alumnos. Subrayamos que la práctica de estudio necesita ser enseñada y acompañada por la o el docente. Asimismo, señalamos que, el material puede ser extendido según el recorrido particular que tiene lugar con cada grupo de alumnas y alumnos, es decir, la o el docente evaluará si es necesario la preparación de otras actividades similares o no que se adapten, mejoren o completen las propuestas.
¿Por qué proponemos instancias de análisis colectivo en la clase en “Para pensar entre todos”? A lo largo del recorrido de las actividades, encontrarán momentos en los que se propone un espacio de análisis colectivo bajo la consigna“Para pensar entre todos“. Por supuesto, el o la docente organizará además otros espacios con la clase en otros momentos en que lo crea oportuno, ya sea para comunicar una actividad, para analizar lo que se haya producido en su resolución o, quizá, pueda necesitar explicar o retomar algo con todos mientras están resolviendo. Los apartados “Para pensar entre todos“ proponen aspectos de los contenidos trabajados para analizar con la clase completa a partir de lo realizado por las y los alumnos en las actividades. Además de difundir procedimientos o ideas puestas en juego por algunas o algunos niños para todo el
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Introducción general grado, se trata de analizar los conocimientos que van conduciendo las resoluciones, las relaciones entre las diferentes estrategias (qué tienen de común y qué de diferente). Asimismo, es un espacio para analizar errores frecuentes: cuáles son las ideas que conducen a producir esos errores, bajo qué condiciones esas ideas podrían ser válidas, por qué no lo son frente al problema que se está analizando. Se apunta a promover momentos de reflexión que permiten avanzar no solo a los autores de las producciones “erróneas”, sino a toda la clase, porque llevan a explicitar relaciones referidas al contenido que se está trabajando y también a utilizarlas para argumentar sobre la validez de los procedimientos o afirmaciones que se analizan. Se trata de ir articulando espacios de la clase individuales, de a dos o en pequeños grupos y entre todos –espacios más privados y más públicos– en la elaboración de conocimientos. Estos momentos colectivos permiten al docente, además, recuperar lo realizado por sus alumnos para brindar explicaciones o identificar saberes que se asuman como compartidos por toda la clase a partir de lo elaborado hasta el momento. Es una de las razones por las cuales es importante ir observando los diferentes procedimientos y, cuando sea posible, los procesos de resolución para poder retomar los conocimientos puestos en juego. Comprender las ideas que subyacen a las estrategias de las y los niños puede requerir, muchas veces, de dialogar con ellos para que puedan explicar lo que pensaron. Insistimos en que se trata de sugerencias. La o el docente decidirá los momentos en los cuales abrir a un espacio colectivo y qué aspectos del trabajo realizado retomar.
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?
¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita El aprendizaje y la enseñanza del sistema de numeración recorren toda la escuela primaria y continúan en la escuela media. En primer ciclo, las alumnas y los alumnos han desarrollado un fuerte trabajo sobre los números naturales. Seguramente, han recorrido situaciones de uso de los números en las que han tenido que leer, anotar, comparar y ordenar números escritos, así como resolver cálculos, y han reflexionado con sus compañeros bajo la guía del docente. En efecto, disponen de conocimientos sobre diferentes funciones sociales de los números, sobre su designación oral, sobre el sistema de numeración escrita y sus propiedades, sobre algunas relaciones entre los números y, a la vez, comenzaron a explorar sus relaciones internas (cómo se encuentran organizados, algunas descomposiciones posibles) y cómo pueden vincularse con cálculos. En el segundo ciclo, se trata de estabilizar y ampliar los aprendizajes numéricos del primer ciclo sabiendo, por ejemplo, que la extensión del intervalo a números mayores no supone la transferencia automática de los conocimientos que las niñas y los niños han elaborado para números menores. El estudio de números mayores permitirá enriquecer la comprensión de la numeración (oral y escrita) y movilizar sus propiedades en cálculos. En efecto, se trata asimismo de avanzar en la comprensión de la estructura que organiza la numeración escrita, en poder considerar los números desde distintos puntos de vista y comprender las relaciones dialécticas que guardan numeración y cálculos, y cómo los conocimientos sobre una permiten puntos de apoyo para los otros. La propuesta del trabajo con los números naturales, entonces, abarca tanto la resolución de problemas que apelan o remiten a situaciones prácticas como el cálculo de puntajes de un juego o de una cantidad de dinero, como instancias que invocan reflexiones más conceptuales o teóricas, por ejemplo, la de reflexionar sobre la equivalencia entre diferentes descomposiciones numéricas o identificar cómo y por qué es posible conocer resultados de cálculos a partir de analizar la notación numérica. Se apunta a retomar y avanzar a lo largo de todo el segundo ciclo en las relaciones entre los números escritos y las operaciones multiplicativas que los organizan. Es decir, se busca desarrollar un trabajo que permita reflexionar sobre la relación entre el sistema de numeración y las operaciones profundizando en el análisis del valor posicional. La ubicación de números naturales en rectas numéricas, que sabemos difícil y que deberá contar con acompañamiento del docente, busca profundizar el análisis de las relaciones de orden con diferente grado de precisión (rectas con graduaciones de 1.000 en 1.000, de 100 en 100, de 10 en 10). Este contexto, además de poner en juego las relaciones de orden, conlleva la exigencia de considerar la distancia entre los números. En efecto, no basta con identificar cuál va antes y cuál después, sino que se hace necesario saber a qué distancia se encuentra de otro u otros considerados como referencias. El segundo ciclo avanza el trabajo sobre la organización de los números escritos en agrupamientos de a 10. En sexto grado, se retoman situaciones que lleven a movilizar las propiedades de los números en cálculos y, recíprocamente, reflexionar acerca de cómo los conocimientos sobre las operaciones nos permiten profundizar la comprensión sobre los números. En este grado, se propone un trabajo sobre las notaciones con coma para números grandes: esta representación, que implica un cambio de unidad para economizar la escritura de números que de otra manera llevarían muchas cifras –además de conocer la función social que cumplen en diferentes contextos en
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? los que se utilizan-, brinda una oportunidad para reflexionar acerca del valor de cada cifra según la posición que ocupa respecto de la unidad o según la relación que mantiene con las cifras de otras posiciones. Este trabajo se desarrolla a partir de diferentes problemas que requieran establecer relaciones entre cantidades representadas en unidades o en unidades mayores, como los millones, o que también exijan relacionar (comparar, ordenar, calcular la diferencia, etc.) diferentes escrituras expresadas con el mismo cambio de unidad. En cuanto a la denominación que reciben las diferentes posiciones en la notación numérica (unidades, decenas, centenas, etc.), son introducidas no para insistir en un vocabulario específico, sino en su significado en términos de comprensión de la organización del número, de la relación que guardan entre sí las diferentes posiciones y con los cálculos. De la misma manera que en las otras situaciones que remiten al análisis de las escrituras numéricas, para los problemas en los que se recurre a la denominación de las diferentes posiciones, no se apunta a proponer ejercicios estereotipados de decodificación, sino a brindar oportunidades para que los alumnos y las alumnas puedan extraer información sobre el número a partir de una reflexión sobre su organización.
Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones El trabajo de las operaciones con números naturales en la educación primaria involucra la resolución de una diversidad de problemas en los que estas son herramientas de resolución. Al mismo tiempo, implica la construcción y apropiación de diferentes estrategias de cálculo, tanto para obtener resultados exactos como aproximados. Se trata de que, progresivamente, las y los alumnos reconozcan una amplia variedad de problemas como constitutivos del sentido de cada operación; es decir que puedan identificar y seleccionar, entre sus conocimientos disponibles, cuál es la herramienta pertinente y que, a partir de poner en juego esos procedimientos, también, puedan confrontarlos y hacerlos avanzar. De manera paralela, se trata de que puedan disponer de diferentes recursos de cálculo que les permitan escoger cuál resulta conveniente emplear, ya sea porque los números que intervienen lo ameritan (por ejemplo, si los datos del problema requieren operar con “números redondos”, quizá, sea conveniente acudir al repertorio de resultados que tengan memorizados o emplear alguna estrategia de cálculo mental, en lugar de aplicar un algoritmo) o porque la respuesta del problema lo requiere (por ejemplo, en los casos en que basta con realizar un cálculo estimativo). Con frecuencia, desde la enseñanza, se ha propiciado una cierta asociación entre las palabras claves que están en el enunciado del problema y la operación que lo resuelve (por ejemplo, si dice “total”,“agregamos”o“ganamos”, se resuelve mediante una suma o si dice“quitar”, con una resta. Del mismo modo, se asocia la multiplicación con situaciones en las que se repite una misma cantidad o la división con enunciados en los que aparece el término repartir, entre otros). Sabemos, gracias a numerosos trabajos que se han ocupado al respecto, que estas vinculaciones directas pueden dar lugar a diversos tipos de errores, ya que las operaciones que resuelven un problema dependen de las relaciones entre las cantidades que están involucradas y no de la asociación directa con una palabra o acción. Muchos son los ejemplos que se pueden proponer para sostener esta afirmación, por ejemplo: “En una caja, agregué 345 bolillas. Ahora, hay 1.058, ¿cuántas había antes?”. O también, “Mariano repartió 450 bolillas entre sus amigos de la escuela y 368 entre sus amigos del club. ¿Cuántas
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? bolillas repartió?”. Seguramente, ustedes coincidirán con nosotros en que el primer problema no se resuelve con una resta, por más que refiera a “quitar” elementos, y el segundo no se resuelve mediante la división, más allá de que haga referencia a repartos. Esto hace que sea necesario enfrentar a los alumnos a la resolución de una importante variedad de problemas para que puedan reconocer las relaciones que presentan entre los datos, distinguir similitudes y diferencias, y para poder asociarlos a una determinada operación reconociendo el alcance y los límites que cada una tiene. A la par de los problemas, se propone el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado. Esta tarea involucra la construcción progresiva de un repertorio de resultados memorizados, de estrategias diversas para arribar a un resultado (procedimientos de cálculo mental) y del estudio y apropiación de técnicas de cálculo (cálculo algorítmico), de tal manera que de acuerdo con los números involucrados o con el tipo de respuesta requerida (exacta o aproximada) se pueda seleccionar cuál resulta más conveniente. Del mismo modo, la articulación entre esos diferentes procedimientos permite que uno pueda estar al servicio del otro como herramienta de control (por ejemplo, el cálculo estimativo puede ser de gran utilidad para determinar la pertinencia de un resultado obtenido mediante el algoritmo). Hacemos mención, además, al uso de la calculadora como instrumento, no solo para obtener y verificar resultados, sino también, para plantear determinados problemas. Por ejemplo: Escribir en el visor el número 5.324 y lograr que, en el visor, aparezca el 0 luego de realizar 4 operaciones. Estas deben aplicarse sobre las cifras siguiendo el orden de la serie numérica: comenzar logrando que el 2 se transforme en 0, luego el 3, el 4 y, por último, el 5. Registrar en una hoja las sucesivas operaciones que hay que realizar antes de operar la calculadora. A través de este problema, intentamos que los alumnos puedan hacer un análisis del valor posicional de cada cifra y, al mismo tiempo, identificar que es la resta la operación que permite resolverlo (– 20, – 300, – 4, – 5.000). La numeración hablada es un soporte de información que facilita la resolución y, a la vez, una intervención posible de realizar para alumnos que se encuentren en dificultades para encontrar un procedimiento: “Leé el número porque te da pistas de lo que hay que hacer”. Si bien es cierto que las calculadoras nos permiten resolver múltiples problemas, también es cierto que los límites de su utilización son claros. Por ejemplo, si hubiera que resolver este problema: “Hay 473 figuritas para armar paquetes de 5 figuritas cada uno, ¿cuántos paquetes de figuritas se pueden armar? ¿Cuántas figuritas quedan sin empaquetar?”, la calculadora daría como resultado 94,6. Es decir que se podría, eventualmente, contestar la primera pregunta: se pueden armar 94 paquetes de figuritas. Pero ¿qué sentido tendría decir que quedan 0,6 figuritas sin empaquetar? Si los alumnos optaran por transformar el decimal en el resto de una división entera, es decir, si decidieran que, para poder contestar ambas preguntas, hay que multiplicar 0,6 x 5, entonces, la discusión acerca del uso o no de la calculadora pasaría a segundo plano, ya que tomar esa decisión requiere poner en acción una serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto, que dan muestras claras de la actividad matemática implicada. Por otra parte, poder reconocer cuál es el campo de problemas que resuelve un conocimiento y, en función de ello, dar la orden a la calculadora es lo que pone de manifiesto que se ha construido el sentido de ese conocimiento. Derivado de ello, otro asunto importante consiste en ofrecer a los alumnos diferentes herramientas para que puedan hacerse cargo, por sus propios medios, de la validez de los procedimientos realizados y los resultados obtenidos. La validación es parte constitutiva del quehacer matemá-
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? tico y, para justificar las razones de los procedimientos aritméticos, se requiere disponer de una diversidad importante de relaciones y propiedades, tanto de las operaciones como del sistema de numeración, de tal manera que, al momento de argumentar las decisiones tomadas, se pueda recurrir a esos conocimientos. Por ejemplo, ¿qué diferentes recursos les ofrecemos a los alumnos para que puedan explicitar las razones por las que los resultados de multiplicar por la decena en el algoritmo de la multiplicación se deben ubicar en la segunda fila dejando un lugar a la derecha? Disponer de las propiedades del sistema de numeración (en este caso, el valor posicional) y de la multiplicación, que intervienen en el algoritmo convencional, como haber tenido oportunidades para comparar ese procedimiento con otros, les puede permitir reconocer y explicitar las razones por las cuales en esa técnica se siguen esos pasos. En este libro, se propone trabajar con problemas del campo aditivo (problemas que se resuelven con sumas y/o restas), principalmente, correspondientes a los sentidos más complejos, como búsquedas de complementos y comparaciones (más que y menos que). También, se introducen problemas, que requieren analizar y completar información en tablas de doble entrada. Junto a estos problemas se propone abordar el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas en conjunto con las propiedades que intervienen. La multiplicación y la división se introducen a partir del trabajo con problemas que refieren a cantidades organizadas en grupos de igual cantidad de elementos –problemas de series proporcionales– (Una bolsa tiene 12 vinchas. ¿Cuántas vinchas hay en 15 bolsas?) y referidos a distribuciones (repartos y particiones equitativas). Otros de los problemas del campo multiplicativo son los que involucran organizaciones rectangulares, los de combinatoria y los que refieren a iteraciones. La tabla pitagórica constituye uno de los recursos centrales para el trabajo con repertorios multiplicativos, tanto para resolver multiplicaciones como para cálculos con divisiones. En este caso, se proponen problemas que permitan recuperar y sistematizar los resultados que allí se presentan, como así también, identificar relaciones entre ellos para propiciar que reconozcan y empleen las propiedades de estas operaciones y que las expliciten. Estos y otros repertorios (como las multiplicaciones y divisiones con “números redondos”), junto a diversos procedimientos de cálculo mental se proponen como insumos para revisitar y estudiar los algoritmos de estas operaciones. En conjunto con estos problemas, se presentan situaciones que requieren varios pasos y operaciones para resolverlas. El estudio de la divisibilidad se introduce a partir de problemas que requieren obtener e identificar múltiplos o divisores. A partir de ellos, se invita a resolver mediante diferentes procedimientos problemas que involucran múltiplos o divisores comunes de dos o más números; de este modo, se introducen también algunos criterios de divisibilidad destinados a facilitar esas exploraciones. El estudio de la proporcionalidad se presenta a partir de problemas que las y los alumnos han resuelto previamente (como el del ejemplo referido a las bolsas de vinchas), con el objetivo de propiciar que, mediante diferentes procedimientos, puedan completar tablas, reconocer las propiedades y usarlas para resolver otros problemas. En conjunto con estas situaciones, se introducen también problemas en los que hay que obtener porcentajes, que están destinados a introducir la lectura e interpretación de gráficos en sistemas de ejes de coordenadas o circulares.
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales Las fracciones y las expresiones decimales de números racionales aparecen como nuevos números que son introducidos en el segundo ciclo. En esta introducción, queremos describir de forma sintética parte de la complejidad que involucran, a la cual progresivamente se irán aproximando los alumnos. Desde la enseñanza, buscamos apelar, en un inicio, al sentido de los números racionales a partir de la insuficiencia de los números naturales para resolver situaciones en las que hay que continuar repartiendo el resto de una división o expresar una medida cuando la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto que hay que medir. En el aprendizaje de los números racionales, juega un papel central la relación con los conocimientos adquiridos hasta el momento a propósito de los números naturales. Estos últimos constituyen un punto de apoyo para estos nuevos aprendizajes. Desde allí, las y los alumnos abordarán las situaciones que ahora se presenten intentando extender hacia las fracciones y las expresiones decimales lo que saben sobre los naturales. En consecuencia, al mismo tiempo que permiten una base, este intento de generalización lleva a la producción de errores que son constitutivos de este proceso de desarrollo de los conocimientos porque, así como usan propiedades que son válidas, también, extienden otras que no lo son para los racionales. Así, por ejemplo, las y los alumnos suelen afirmar que 1 es menor que 1 porque 3 es menor que 6 o que 1 es diferente de 2 o que 3 6 2 4 0,5 es diferente de 0,50 porque se anotan con números diferentes, que entre 2 y 3 no hay otro 5 5 número porque piensan que los números racionales tienen sucesor como los naturales, que 0,3 es menor que 0,29879 porque tiene menos cifras, y así extienden el criterio de comparación de números basado en la cantidad de cifras que es válido para los naturales, que la multiplicación siempre “agranda” el número o que la división lo “achica” siguiendo una regularidad que venían observando para los naturales, etcétera. Como señalamos, estos errores, manifestaciones de una concepción inicial que atribuye a los racionales las propiedades conocidas para los naturales, son parte del proceso de aprendizaje. Para los niños y las niñas, es lógico pensar que, si son números, funcionan como los números que ya conocen. Como componentes del aprendizaje, son errores que persisten y su modificación requiere un trabajo de largo aliento que tiene que asumir la enseñanza. Se propone desde la enseñanza un recorrido sobre los números racionales que lleve a alumnas y a alumnos a apropiárselos como herramientas a partir de una práctica matemática de resolución de problemas y de análisis acerca de lo realizado en torno a estos nuevos objetos de conocimiento. Supone un proyecto que abarque, en forma progresiva, los diferentes contextos (extra e intramatemáticos) en los que cobran sentido las fracciones y los decimales, en tareas que vayan poniendo de relieve los diferentes aspectos que los caracterizan. Las situaciones que se presentan apuntan, entonces, a hacer aparecer las fracciones en situaciones de repartos o medición en las cuales no bastan los enteros. En efecto, un primer sentido de las fracciones que se aborda es el de expresar resultados de repartos equitativos de magnitudes continuas (es decir, cuando se puede seguir repartiendo el resto). Este punto de partida intenta dar continuidad al trabajo con la división que se ha realizado desde el primer ciclo e, incluso, en este sexto grado. Permitirá una plataforma para enlazar a futuro la idea de fracción como cociente entre números naturales.
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? La fracción como una relación con una unidad de medida es otro sentido que se aborda. A futuro, en el segundo ciclo y también en la escuela media, las fracciones funcionarán en otras clases de problemas que las hacen jugar como una relación de proporcionalidad directa. En algunos de estos casos, refieren a nociones particulares, como escalas, porcentajes, probabilidades, velocidad, densidad, etc. Otras veces, las fracciones aluden a relaciones entre partes que forman un todo (por ejemplo, una mezcla de pintura que se hace con una parte de negro y 4 partes de blanco, tenemos una relación de 1 del negro respecto del blanco). 4 La definición inicial de fracción que se propone parte de pensar las fracciones de forma 1 (de n numerador 1 como, por ejemplo, 1 , 1 , 1 , etc.) como la cantidad tal que repetida n veces equivale 4 5 8 a 1. Así, por ejemplo, 1 de pizza es la parte que, repetida 4 veces, permitiría obtener la pizza en4 tera; 1 es la parte que, repetida 8 veces, permitiría armar la unidad, etc. Apoyados en esta idea, se 8 establece luego la definición general para cualquier fracción m como la cantidad que repite m veces n 1 . Así, por ejemplo, 3 es la cantidad que repite 3 veces 1 . Esta definición, en algún momento n 4 4 del trabajo, se irá vinculando con aquella basada en subdividir la unidad en partes iguales según indica el denominador y permitirá tomar la cantidad de partes que indica el numerador. Como esta última definición –históricamente utilizada en la escuela– ha presentado numerosos inconvenientes porque se centra en un reconocimiento perceptivo y en que la unidad se encuentre efectivamente subdividida en partes iguales antes que en las relaciones que intervienen en el concepto de fracción, muchos niños, por ejemplo, señalan que la parte pintada en este rectángulo es 1 porque 2 se encuentra dividido en dos partes:
Por estas razones, se realiza la alternativa de comenzar desde la primera opción que, por supuesto, podrá articularse luego con esta otra. A lo largo del trabajo, se hace un fuerte hincapié en el análisis de las relaciones que están involucradas en el funcionamiento de las fracciones: se trata de números que se anotan mediante una relación entre dos, el mismo número puede anotarse de infinitas maneras equivalentes y es posible tomar decisiones sobre la escritura conveniente para pensar cálculos, comparaciones, etc. Hay situaciones que buscan específicamente hacer emerger los errores mencionados para que puedan ser discutidos y analizados con toda la clase y, así, ir identificando en forma progresiva la especificidad que guardan los números racionales respecto de los naturales. Este trabajo se sostiene a lo largo del segundo ciclo para asumir la persistencia mencionada de las concepciones sobre los naturales al pensar los números racionales. En quinto grado, se avanza sobre la primera aproximación a las expresiones decimales realizada en cuarto a propósito de su uso en el contexto del dinero (décimos y centésimos de pesos). Se ha optado por anteponer un trabajo más intenso sobre las fracciones en cuarto grado como base para la construcción del significado de los números decimales. En quinto y sexto grado se profundiza el tratamiento de estos últimos vinculando el significado de la notación decimal con las fracciones decimales, por un lado, y con el valor posicional del sistema de numeración, por el otro. Es decir, la escritura con coma aparece como una convención que recurre a la organización del sistema de numeración para representar una fracción decimal o una suma de fracciones
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? decimales. Se trata pues de prolongar el significado de las diferentes posiciones en la notación de los números naturales –y las relaciones que guardan entre sí– hacia los décimos, centésimos, milésimos, etc. Estas relaciones permiten aproximarse a las características de los números decimales y fundamentar las reglas de comparación que vayan elaborando. Este significado permitirá comprender también el funcionamiento de las operaciones, facilitará la elaboración de estrategias de cálculo mental con expresiones decimales y permitirá fundamentar las técnicas de cálculo que se aborden. En quinto y sexto grado, también, se proponen situaciones con números racionales en el contexto de la recta numérica. Hicimos referencia en [el parágrafo sobre numeración escrita] a la complejidad y potencia de esta representación para utilizar y reflexionar sobre relaciones numéricas. Se mencionó la necesidad de que ese trabajo sea muy acompañado por la o el docente para ayudar a las y los alumnos a comprender la especificidad que introduce (entre otras cosas, a partir de la escala involucrada en la representación gráfica). Acerca de la representación de números racionales en la recta numérica, se abordarán diferentes problemas relativos al orden (ubicar, encuadrar, intercalar números), a la relación entre fracciones decimales y expresiones decimales, a la relación entre operaciones y desplazamientos sobre la recta numérica.
Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría En este año, será necesario retomar algunas propuestas de años anteriores evocando conocimientos que los alumnos tengan disponibles respecto de las figuras, los cuerpos, sus características y propiedades, y desde allí profundizar en su estudio. Se espera que, en el último año de este ciclo, en la enseñanza de la Geometría, se ponga el foco en avanzar hacia la resolución de situaciones en la que se vaya abandonando, en la medida de los posible, el nivel perceptivo y se pongan en juego y se expliciten las características que permitan analizar las propiedades de las figuras y los cuerpos. En este año, seguramente, será necesario retomar o iniciar para algún grupo de niños (teniendo en cuenta que, con las condiciones del año anterior, es muy posible que los alumnos no hayan tenido la posibilidad de interactuar con problemas de este contenido) el estudio de circunferencias y círculos como objetos geométricos en sí mismos y como herramientas para avanzar en la construcción de triángulos a partir de sus lados. La construcción progresiva de estos conceptos requerirá también del uso y estudio de instrumentos geométricos nuevos o poco usados y de la toma de decisión de su utilización en relación con las propiedades que definen a cada figura. Se profundizará en un trabajo de anticipaciones, elaboración de conjeturas y argumentaciones, en el que los alumnos se apropien de la necesidad de, frente a una propuesta, tomar decisiones previas a la resolución (anticipaciones), que podrán ser modificadas durante la resolución. Si bien se propondrá dejar gradualmente las constataciones de tipo empíricas (aunque seguiremos utilizando algunas, por ejemplo, en los copiados, la superposición de figuras para validarlos si fuera necesario), se propiciará que se comiencen a enmarcar en un análisis más relacional. Por ejemplo, frente a la propuesta:
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?
Se espera que las y los alumnos puedan, antes de comenzar a resolver, elaborar un plan, apoyarse en los conceptos que necesitan tener en cuenta y anticipar algunos pasos que les permitan iniciar la tarea. Por ejemplo, para las actividades 35 y 36, para comenzar la copia, podrán anticipar que necesitarán compás para trazar la circunferencia, que ABCD es un cuadrado y que los cuatro vértices están sobre la circunferencia de centro en E. Podrán luego realizar validaciones, tal vez provisorias, de su procedimiento apoyándose en el conteo del cuadriculado y/o en algunas características: • Estoy seguro de que está bien porque dibujé primero el cuadrado de 4 cuadraditos de lado y el punto del medio de adentro del cuadrado (E) es el centro de la circunferencia y la abertura del compás es desde E hasta los vértices del cuadrado. • En la actividad 36, me di cuenta de que dos lados del triángulo eran dos radios de la circunferencia, entonces, Inés tiene razón, es un triángulo isósceles. Pensamos en un alumno que sea capaz de enfrentarse al problema para iniciar algún camino de resolución, que pueda argumentar acerca de lo realizado, que intente fundamentar sus respuestas, que tenga en cuenta las ideas de sus compañeros y que pueda comunicar las propias. Al igual que los restantes contenidos matemáticos que se abordan, las propuestas están orientadas a la resolución de problemas. No de cualquier problema, sino de aquellos que permiten que los conocimientos que se quieren enseñar funcionen como herramientas para encontrar la solución. Proponer un problema geométrico implica generar una situación en la que surja la necesidad de usar o apoyarse en una propiedad conocida, hacer aparecer o explicitar características de cierta figura o cuerpo para poder descubrir alguna nueva relación o propiedad. El copiado de figuras, los juegos de adivinación, la elaboración de mensajes, las construcciones serán diferentes tipos de tareas para avanzar en el análisis y construcción de las propiedades de las figuras y de los cuerpos. En el caso de los copiados de figuras, por ejemplo, se espera que puedan identificar algunas de sus características antes de iniciar la tarea, como lo ejemplificamos en el problema anterior. El docente jerarquizará algunos procedimientos que desplieguen los niños, que permitan explicitar los elementos o propiedades que se pretenden estudiar.
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Las diferencias entre utilizar papel liso o cuadriculado, el hecho de que el original de la figura esté o no permanentemente a la vista, el copiado en un tamaño diferente del original, la habilitación de ciertos instrumentos geométricos son diferentes aspectos para tener en cuenta en el momento de planificar la propuesta. En síntesis, se espera que, en los problemas geométricos, los alumnos: • Pongan en juego sus conocimientos sobre las propiedades de los objetos geométricos. • Interactúen con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado; los dibujos trazados solo representan las figuras, no son las figuras. • Inicien la tarea probando y ensayando a partir de los conocimientos previos sobre ese concepto, reorganizándolos, haciendo anticipaciones, analizando propiedades, para de ese modo, aprender nuevos conceptos. • Puedan comunicar lo realizado, de forma tal que se explicite el saber construido. • Validen la respuesta, si fuera posible, apoyándose en las propiedades de los objetos geométricos, acercándose progresivamente a las características propias de la argumentación en Matemática.
Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida La enseñanza de estos contenidos en el segundo ciclo de la escuela primaria tiene como uno de sus objetivos retomar y profundizar el trabajo que se haya podido realizar en los años anteriores que los niños puedan acercarse a las prácticas sociales de la medida y vincular esos conocimientos con un quehacer matemático descubriendo los diferentes contextos en los que la medida es una herramienta para resolver situaciones. Otro objetivo de la enseñanza de la medida es profundizar en el sistema de medición, las equivalencias entre las diferentes unidades de medida de una misma magnitud y su relación con el sistema de numeración decimal.
¿Qué significa medir? ¿Qué aspectos de las medidas de longitud, capacidad, peso y tiempo se pretende abordar en este año? Como punto de partida, será necesario considerar con los niños los diferentes atributos de los objetos, nos interesan aquellos que se pueden medir y que se denominan magnitudes. Medir una magnitud implica aislarla de los restantes atributos que tiene el objeto, es decir, anticipar qué cualidad interesa medir; y para ello, habrá que elegir una unidad que tenga el mismo atributo del objeto con el que se comparará y, luego, expresar numéricamente la relación entre los dos objetos. En ciertas ocasiones, la medición entre dos objetos puede realizarse en forma directa, por ejemplo, al comparar la altura entre dos niños que están parados espalda con espalda. En otros casos, si los elementos por medir están en distintos ámbitos, la medición tendrá que ser indirecta, es decir, habrá que tomar una misma unidad de medida para ambos y, luego, comparar los resultados de las mediciones, por ejemplo, la comparación del largo de dos pizarrones en diferentes aulas. Por otra parte, esa unidad de medida puede ser convencional o no. Dependerá de los conocimientos de los niños y de la intencionalidad del maestro el que ese intermediario sea un metro o una tira de papel, por ejemplo. La acción de medir supone la repetición de una unidad de medida. Es decir, una subdivisión expresada en función de cierta unidad de medida, que es repetida sobre la totalidad de la extensión
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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? de la magnitud. Esta repetición debe ser tal que el intervalo que haya que medir quede cubierto por la unidad de medida de manera que no haya huecos ni superposiciones. Uno de los rasgos distintivos del proceso de medir es que se pueden utilizar diferentes unidades para medir una misma cantidad. Por lo tanto, otra de las cuestiones vinculadas con la medición es la comprensión de la relación entre el tamaño de la unidad y el número necesario de repeticiones para medir una cantidad dada. El acto de medir requiere comprender la invariancia de los elementos que hay que mensurar en relación con el modo en que lo hagamos, la longitud de un pasillo sigue siendo la misma independientemente de la dirección en la que uno lo recorra, ya sea caminando, corriendo o dando saltos. También, sigue siendo la misma si la medimos en metros, pisadas, palos de una escoba, etcétera. Se podría resumir estas características diciendo que medir es comparar. Otro aspecto para tener en cuenta relativo a las mediciones es la exactitud de las medidas. Toda medición efectiva tiene un margen de error, es una medida aproximada, no existe la medida exacta. Es decir que existe un error que es inherente a la medición, que depende de diferentes factores como la herramienta utilizada para medir, las características del objeto a medir, la precisión de la persona que mide, etcétera. Supongamos que los niños quieren medir el largo del escritorio con una cinta métrica. A pesar de usar el mismo instrumento, aparecerán diferentes medidas cercanas a un mismo valor, por lo que será necesario aceptar un cierto intervalo numérico para dicha medida. Si se aleja considerablemente de dicho intervalo será necesario retomar esa medición para analizar el error. Si bien la totalidad de relaciones involucradas en la medición convencional lleva varios años de construcción para lograr saberes relativamente acabados, se los puede iniciar en problemas que involucren la práctica de la medida a través de situaciones ligadas a la comparación de magnitudes. La diversidad de instrumentos a su disposición debe estar orientada a que los niños puedan tomar decisiones acerca de la conveniencia de utilizar uno u otro instrumento, siempre en función de lo que hay que medir. Para que los alumnos puedan avanzar en los procesos sociales de la medición, habrá que brindarles oportunidades para que puedan vincular aquellos conocimientos que construyeron en el entorno cotidiano y en el transcurso de los años anteriores con los contenidos de enseñanza de este año y, de ese modo, ampliarlos y cargarlos de sentido. En 6.° grado, por los acontecimientos del 2021 ya mencionados, con seguridad, necesitarán comenzar o avanzar con la construcción del concepto de ángulo. Se propondrá estimar y clasificar ángulos a partir del ángulo recto que proporciona la escuadra. También, se ofrecerá el transportador como instrumento para medir los ángulos. Estas prácticas se proponen ligadas a las propiedades de las figuras geométricas. Del mismo modo, se comenzará a establecer similitudes y diferencias entre el sistema decimal de medición y el sistema sexagesimal. Se iniciará o continuará con el trabajo en torno al perímetro y área de figuras poniendo el acento en la independencia de estas magnitudes entre sí y con la forma de las figuras.
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Orientaciones didรกcticas
Orientaciones didácticas
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Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.
Páginas 133 a 136. Juego inicial y actividades 1 a 9. Numeración: Sistema de numeración escrita. Problemas que requieren el análisis de la escritura del número.
El conjunto de actividades que se presentan en este capítulo apuntan a analizar los números poniendo de relieve su organización, el significado multiplicativo de cada cifra según la posición que ocupa, la relación de los valores entre posiciones contiguas y no contiguas de una escritura numérica. Estas relaciones alimentarán la comprensión del funcionamiento de los números en los cálculos y, recíprocamente, el avance de los conocimientos sobre las operaciones enriquecerá la comprensión (Pueden leer más en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13). El juego inicial de la página 133 requiere, para calcular los puntajes, poner en juego descomposiciones numéricas a partir de una cantidad de veces 1, 10, 100, 1.000, etc. Las potencias de la base del sistema de numeración incluyen el orden de los millones. La condición de tirar solo 5 tapitas restringe la posibilidad de que haya reagrupamientos (10 de un orden forman 1 uno del orden inmediato superior). Sin embargo, podría haberlos en el cálculo del total de puntajes. La o el docente podría proponer jugar con 10 o más tapitas si lo considera adecuado para su grupo. También, podrían modificar el valor de 100.000.000 si resultada difícil un reagrupamiento del orden de los billones. Es importante jugar varias veces para que se familiaricen con estos cálculos. El análisis posterior permitirá vincular la cantidad de fichas caída en la zona de cada valor con el número del puntaje obtenido. Se podría vincular –en este momento o en otra discusión durante el trabajo dentro del capítulo– la posición en el número que corresponde a un valor del tablero, la cantidad de fichas caídas sobre un valor del tablero con la cifra que ocupará ese lugar, el puntaje obtenido con la composición del número. Se podría analizar qué sucedería si cayeran más de 9 fichas sobre un mismo valor. Este juego es retomado a partir de la actividad 10. Las actividades de las páginas 134 a 136 requerirán, primero, que se converse con toda la clase sobre el contexto, sobre las imágenes. Es necesario que los alumnos comprendan los diferentes agrupamientos de ojalillos. Podrían resolver oralmente entre todos problemas sencillos, como por ejemplo,“cuántos ojalillos hay en... tiritas”, “cuántos ojalillos hay en... sobres transparentes”, etc. La actividad 1 requiere identificar los agrupamientos de a 100, 10, etc., que pueden armarse con una cantidad de ojalillos. Será necesario aclarar que se entregan utilizando la mayor forma de agrupamiento posible. Por eso, en la tabla, cuando se indica“plancha”, en realidad, las planchas“sueltas” que no llegan a completar un sobre transparente. Así, la venta de 1.800 ojalillos lleva 1 sobre transparente y 8 planchas. Esta tarea requiere un análisis del número en términos de cuántas veces 1.000, cuántas veces 100, cuántas veces 10 están contenidas en él, ya que estas son las cantidades que corresponden a los diferentes embalajes. Como extensión, se podrían proponer otras cantidades de etiquetas de esa cantidad de cifras. La actividad 2 apela ambién a ellas, extendiéndolas a números de 5 y 6 cifras.
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Orientaciones didácticas La actividad 3 plantea la tarea inversa: a partir de la organización del pedido, establecer la cantidad total de ojalillos. Es decir, dada la cantidad de veces que se repiten valores que corresponden a potencias de la base del sistema de numeración (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000), establecer el número. La instancia de reflexión colectiva, propuesta en “Para pensar entre todos” de la página 135, sugiere detenerse a analizar diferentes modos de calcular los puntajes. La o el docente podrá aportar explicaciones que vinculen las estrategias propuestas con el significado multiplicativo de cada cifra del número escrito. Será una ocasión en la que se pueda reconocer entre todos cómo esa información puede “leerse” directamente de la escritura del número. La actividad 4 apela a la relación entre posiciones contiguas en la escritura numérica; en este caso, entre las unidades de mil y las centenas: si se restringe la posibilidad de apelar a agrupamientos de 1.000 (no hay sobres transparentes), con cuántas veces 100 es posible componer el número 4.300. Siempre la o el docente podrá proponer problemas similares con otros números para reutilizar conocimientos que se hayan puesto en juego en un problema. La actividad 5 puede necesitar una conversación previa con toda la clase para comprender el enunciado que no tiene una formulación directa o sencilla como en otros casos. Sin explicitar cómo se resolvería, es posible aclarar entre todos qué se sabe, qué se propone buscar. En efecto, se trata de saber cuántos ojalillos necesitarían y cuál es la diferencia con los que en realidad se tienen. La resolución puede seguir diferentes caminos. Las actividades 6 y 7 escalan el intervalo numérico. Se trata de repartir 10.000 ojalillos en grupos de 10 y 500.000 ojalillos en 100 partes. Además de la diferencia de números, se ponen aquí en juego dos sentidos de la división trabajados en grados anteriores: “averiguar cuántos grupos de … pueden formarse” o “averiguar cuánto corresponde a cada grupo”. Las actividades 8 y 9 pueden resolverse de diferentes maneras: • Componer la cantidad de ojalillos utilizados (mediante una resta o la búsqueda del complemento) para después calcular la diferencia con el sobre transparente o una plancha completos; • Restarlos progresivamente. En este último caso, no interesa contar con el total de ojalillos utilizados. Página 137. Actividades 10 a 14. Numeración: Sistema de numeración escrita. Análisis del valor posicional. Multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1.000, etcétera.
A partir de la actividad 10, se retoma el juego inicial. Las actividades 10, 11 y 12 remiten al cálculo de puntajes. Estos problemas no requieren tener en cuenta reagrupamientos. A partir de la actividad 15, con la inclusión de 10 o más tapitas, se abre la posibilidad de analizar las relaciones entre diferentes posiciones. La actividad “Para pensar entre todos” presenta información sobre el valor de cada posición. Se busca relacionar las descomposiciones de números trabajadas en los diferentes contextos del capítulo (puntajes del juego de puntería y agrupamientos de ojalillos). En aquellos contextos, las cantidades se armaban con sumas de varios 10, 100, 1.000, 10.000, etc. El juego de puntería habilita números mayores. En todos los casos, se trata de identificar operaciones subyacentes a una escritura numérica en términos de sumas de multiplicaciones por esas potencias de la base del sistema de numeración.
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Orientaciones didácticas La última pregunta remite relacionar de forma explícita esta organización con la multiplicación y división por 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000; con cómo se transforma un número al multiplicarlo por 10, donde cada cifra pasa a la posición inmediata superior (cada 1 se transforma en 10, cada 10 en 100, cada 100 en 1.000, etc.). De manera similar, al dividir por 10 un número, cada cifra pasa a la posición inmediata inferior (cada 10 se transforma en 1, cada 100 en 10, etc.). En el caso de las divisiones, se apunta a identificar que, en la lectura del número escrito, puede identificarse la cantidad de veces que está contenido 10, 100, 1.000, 10.000, etc. Esta explicación se integrará más adelante con la multiplicación y división de expresiones decimales por 10, 100, 1.000, etc. Estas relaciones estarán sostenidas y acompañadas por explicaciones del docente. Actividades extra - Capítulo 1 - Numeración
1
Las descomposiciones trabajadas en este capítulo podrían apoyarse o sostenerse, en caso de resultar muy difíciles, en el contexto del dinero que, muy probablemente, las alumnas y los alumnos habrán trabajado en años anteriores: • Armar una manera posible de pagar justo una cantidad de dinero con monedas de $1, $10, billetes de $100 y $1.000. • Incluso con referencia a billetes de fantasía de un juego, se pueden extender estas relaciones para armar cantidades mayores. Aquí sí se podría preguntar cuántos billetes de $1.000 se necesitan para tener $1.000.000, cuántos de $100, etcétera.
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En el caso del juego de puntería, además de volver a jugar –incluso con números menores si fuera necesario– y analizar las estrategias que ponen en juego para calcular los puntajes y para hacerlo lo más rápidamente posible, se pueden proponer problemas que remitan a esa situación y planteen diferentes tareas. En todos estos casos, la cantidad de fichas con las que se juega será una variable que determine el docente. Se proponen –solo a modo ilustrativo– estas situaciones para un juego en el que se arrojan 15 fichas: • Dadas las zonas del tablero donde cayeron las fichas, calcular el puntaje. Por ejemplo, ¿cuál es el puntaje que hizo Greca si sus fichas cayeron en estas zonas: 2 fichas en 1.000.000, 10 fichas en 10.000, 1 fichas en 100? Las demás cayeron fuera del tablero. • Dado un puntaje, indicar modos posibles de obtenerlo. Esta opción puede incluir la búsqueda acerca de si se trata de la única posibilidad o hay otras, y cómo es posible estar seguro de ello. Por ejemplo: Nicolás hizo 501.000 puntos. ¿En qué zonas pueden haber caído sus 15 fichas? Dado que se juega con 15 fichas, ese puntaje podría obtenerse con 5 de 100.000, 1 de 1.000; 5 de 100.000, 10 de 100; 4 de 100.000, 10 de 10.000, 1 de 1.000. El docente podrá conformarse con una solución o pedirles que busquen otras posibilidades si creen que las hay o puede haber o, en un extremo, que busquen todas las posibilidades y que traten de argumentar cómo es posible establecer que esas son todas las posibilidades. • Dadas las fichas caídas en determinadas zonas en una tirada y el cálculo del puntaje, analizar si este cálculo ha sido correcto o no y cómo pueden explicarlo. Por ejemplo: Mariano tiró sus fichas y cayeron de esta manera: 1 en 100.000, 10 en 10.000, 3 en 10 y 1 afuera. Calculó su puntaje y anotó 110.030. ¿Es correcto el cálculo de su puntaje o se equivocó?
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Orientaciones didácticas • Completar una jugada para alcanzar un puntaje determinado. Por ejemplo: A Luciana le falta tirar 1 ficha. Hasta ahora embocó 3 fichas en 1.000.000, 12 en 100.000 y 1 ficha en 1.000. ¿Hay posibilidades de que pase los 5.000.000? • Sumar progresivamente el puntaje que se va obteniendo durante la jugada y compararlo con las posibilidades que brinda calcularlo al final cuando se pueden juntar las fichas caídas sobre un mismo valor. Por ejemplo: Diego va contando su puntaje a medida que va tirando cada ficha: Ficha tirada
Cae en ...
Luciana dice el total de puntos que lleva acumulados
1.ª
1.000
1.000
2.ª
100
1.100
3.ª
1.000
4.ª
100.000
5.ª
Fuera del tablero
6.ª
1.000
7.ª
1.000.000
8.ª
Fuera del tablero
9.ª
100.000
10.ª
100.000
11.ª
1.000.000
12.ª
1
13.ª
Fuera del tablero
14.ª
1
15.ª
10.000
En este caso, se trata de ir sumando 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, etc. al número anterior. Después de resolver, se puede analizar la diferencia con calcularlo al terminar el juego, cuando se pueden reunir todas las fichas de un mismo valor y finalmente sumar el puntaje hecho con cada valor. En el caso de este problema, se puede analizar qué se transforma del número al sumar estas cantidades.
Operaciones En la página 14, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.
Página 138. Actividades 15 a 18. Operaciones: Resolución de problemas que involucran diferentes sentidos de la suma y la resta.
Esta página propone retomar (o introducir) diferentes problemas del campo aditivo con la intención que las y los alumnos pueden avanzar en el reconocimiento de estas operaciones como
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27
Orientaciones didácticas herramientas para resolverlos y, además, seleccionar los procedimientos de cálculo que consideran más conveniente (por ejemplo, en los casos en los que intervienen números redondos, se espera que puedan recuperar resultados disponibles en memoria o realizar cálculos mentales; en otros casos, que recurran al algoritmo). En los casos que la información se presenta en tablas, se pretende que también se instalen como objeto de análisis (a lo largo de todo el libro, tendrán la oportunidad de trabajar con diferentes problemas que requieren leer, interpretar y completar tablas). Por ejemplo, para la actividad 15, se podrán introducir intervenciones como, “¿Qué información se incluye en la primera fila? ¿Y en la segunda? ¿Y en cada columna? Si necesito saber la cantidad de socios de tenis que votó en 2019, ¿dónde puedo encontrar esa información?”. Entre los problemas aditivos, los que involucran una relación entre medidas (del tipo “más que” y “menos que”) suelen ser los que más dificultades presentan. Es así que, por ejemplo, en la actividad 16, pueden aparecer respuestas del tipo “la lista B tiene 1.089 votos”, trasladando la relación a la medida de B. Una intervención posible puede ser aportar alguna situación con números menores de tal manera que permita comprender y distinguir las cantidades y la relación entre ellas, por ejemplo, “en la elección del mejor compañero/a, Pedro obtuvo 20 votos y María obtuvo 8 votos más que Pedro, ¿Cuántos votos obtuvo María? ¿Cuál de los dos obtuvo más votos?” Cabe mencionar que, de acuerdo con el tipo de relación (más que o menos que) y el lugar de la incógnita, se pueden plantear diferentes variantes. Las actividades 16, 17 y 18 presentan la incógnita en una de las medidas, en cambio, si se plantea el problema “En 2014 la lista A obtuvo 4.600 votos y la lista B obtuvo 3.250 votos. ¿Cuántos votos más tuvo la lista A que la B? o, recíprocamente, ¿cuántos votos menos tuvo la lista B que la A?, se habrá cambiado el lugar de la incógnita y ahora está en la relación. Este último ejemplo (u otro de esas características) puede resultar interesante para aportar en la instancia de reflexión que se propone en la actividad “Para pensar entre todos”. Como se ha mencionado Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones de la página 14, una escena habitual que se suele presentar en las aulas tiene que ver con la asociación de ciertas palabras claves“agregar, ganar, avanzar, unir, quitar, perder”con la resta. Los problemas que involucran relaciones constituyen uno de los tantos ejemplos que permiten interpelar esas asociaciones, en el caso del ejemplo dado, el problema habla de “más que” y la operación canónica que permite resolverlo es la resta. De manera colectiva, se puede elaborar un listado de problemas cuyos enunciados contengan estas palabras y, en algunos casos, las resoluciones coincidan con esas asociaciones y, en otros, no, por ejemplo, estos problemas que refieren a estados que se transforman: • Mario tiene 450 bolillas en un frasco. Si agrega 35 bolillas. ¿Cuántas tiene ahora? • Mario agregó 35 bolillas a un frasco. Ahora tiene allí 450 bolillas. ¿Cuántas tenía antes? Páginas 139 y 140. Actividades 19 a 26. Operaciones: Resolución de sumas y restas mediante cálculos mentales. Propiedades de la suma y de la resta. Estimación de resultados de sumas y restas.
Los conocimientos diversos de los alumnos respecto a la suma y a la resta estarán marcados por los repertorios de cálculos que dispongan. Algunos alumnos, quizá puedan resolver apelando a la memoria de una amplia variedad de cálculos, con números de distintos tamaños tales como:
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Orientaciones didácticas • • • •
sumas y restas con “números redondos” (20 + 30, 40 + 50, 70 – 40, 200 + 300, 7.000 – 4.000). sumas y restas que dan 10, 100, 1.000 (6 + 4, 16 – 6, 60 + 40, 140 – 40, 700 + 300, 1.854 – 854). sumas y restas que dan otros “números redondos” (26 + 4, 460 + 40, 3.400 – 1.200). sumas de “miles”,“cienes” y “dieces” (3.000 + 400 + 20). Y otros, quizá, para hacerlo necesiten apoyarse en portadores o en alguna información que aporte el enunciado, por ejemplo,“sabiendo que 40 + 30 = 70, resolver 4.000 + 3.000, 4.300 + 3.400, etc.”. En la actividad 19 se trata de que puedan emplear cálculos mentales (aunque algunos/as alumnos/as quizás opten por el algoritmo, esta es una oportunidad para comparar la conveniencia de este procedimiento de acuerdo con los números que aquí intervienen). También, resultará interesante que se expliciten relaciones y regularidades entre cálculos, para avanzar también en las razones que subyacen a ellas, por ejemplo, “el resultado de 3 + 4 sirve para resolver 30 + 40, 300 + 400, 3.000 + 4.000 los que permite explicitar –o aportarlo el/la docente– que 3 unidades más 4 unidades es igual a 7 unidades, entonces, 3 centenas más 4 centenas es igual a 7 centenas”, por ejemplo. En las actividades 20 y 21, la consigna requiere apoyarse en resultados dados para obtener otros. Este tipo de situaciones suelen resultar complejas para las y los alumnos, quienes tienden a resolver, mediante la cuenta, cada cálculo por separado. Una intervención posible puede ser proponer un problema de esas características para resolver entre todos, de tal manera que posibilite identificar las relaciones que se espera que pongan en juego. A partir de los aportes de la clase, se pueden ir registrando algunas conclusiones a las que puedan haber arribado, por ejemplo, “si uno de los sumando disminuye en uno (– 1) , el resultado de la suma también”, “Si en una resta el sustraendo disminuye en uno (– 1), entonces, el resultado aumenta uno”; el/la docente podrá acompañar estas identificaciones con otros ejemplos como,“si 100 – 40 = 60, ¿100 – 41 da 59 o 61? ¿Cómo pueden explicarlo a partir de las conclusiones que surgieron en estos problemas?” Estos son ejemplos de las decisiones que puede requerir la optimización de los tiempos de enseñanza (pueden leer más en Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad de la página XX), ya que se asume que el trabajo vinculado a la sistematización y el reconocimiento de relaciones entre cálculos es una tarea compleja que requiere de interacciones en el aula que vayan propiciando ese reconocimiento. En cambio, las actividades 19 y 22 pueden proponerse como tarea, lo que permite que, en el aula, se trabaje solamente con alguno de ellos de tal manera que permita comparar las estrategias empleadas. Las propiedades de la suma y de la resta se introducen con el objeto de que puedan constituirse en herramientas para validar esas decisiones, tal como lo propone la actividad “Para pensar entre todos” (el/la docente podrá decidir en qué momento introducirlas en el aula, de acuerdo con los avances y las dificultades que vaya identificando con estos procedimientos, incluso, proponerlas para algunos grupos mientras trabaja con otros en el reconocimiento de esas estrategias). Las actividades de la página 140 se ocupan del cálculo estimativo de sumas y restas. Este tipo de estrategias no es una tarea sencilla para las y los alumnos, por un lado, porque por lo general, tienden a obtener directamente el resultado exacto (ya que predomina en los problemas escolares que resuelven) y, por otro, porque requiere disponer de determinados recursos de cálculo mental y repertorios de resultados en los cuales apoyarse. Estimar costos y gastos constituye uno de los contextos en los que más se emplean estas estrategias. El/la docente podrá recurrir a él para propiciar su reconocimiento y los conocimientos en las que se apoyan, “¿Si compro un cargador de celular de $640 y un pendrive de $405,
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Orientaciones didácticas ¿gasto más o menos que $1.000? Un alumno dice que no es necesario hacer toda la cuenta, como 600 + 400 = 1.000, entonces, tienen que valer más que $1.000” ¿Es correcto lo que hace? ¿Por qué habrá usado ese cálculo y no la suma 640 + 405? ¿Nos sirve esa estrategia para responder sobre los cálculos que están en el libro? ¿Por qué? Páginas 141 y 142. Actividades 27 a 33. Operaciones: Multiplicación. Revisión y ampliación de un repertorio de multiplicaciones.
La tabla pitagórica es uno de los recursos didácticos más utilizado para trabajar repertorios de multiplicaciones (y divisiones), como así también, para propiciar la identificación de relaciones entre ellos y las propiedades, trabajo que involucra varios años de la escuela primaria. No obstante, las circunstancias actuales, posiblemente, lleven a contemplar propuestas que permitan recuperar esas experiencias e incluso presentarlas (pueden revisar las actividades extra). Las actividades 27 a 33 están destinadas a avanzar en el reconocimiento de relaciones y regularidades de tal manera que se constituyan en herramientas para ampliar el repertorio de resultados disponibles y además, emplearlos para obtener otros. Algunos podrán volcar directamente los resultados debido a que los saben de memoria (otros, quizá, requieran apoyarse en otros recursos como tablas de proporcionalidad, por ejemplo, cantidad de motos y cantidad de ruedas para completar la fila del 2, sumar de 2 en 2, etc.), se espera focalizar la tarea en estos problemas para cuestiones de este tipo, entre otras: • Relacionar resultados de la tabla del 2 y la del 3 con dobles y triples de cada número. • Con respecto a la tabla del 2: “¿En qué se parecen los resultados de la tabla del 2 con las sumas 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, etc.? ¿Y con los números que voy diciendo al ir de 2 en 2 a partir de 0? Si continuamos la fila del 2 más allá del 10 (como lo propone la actividad 28), ¿en qué se parecen y en qué se diferencian los resultados que están entre el 1 y el 10 con los que están entre el 11 y el 20? ¿Y con los que están entre el 20 y 30? ¿Y con los que siguen al 100? ¿Y al 1.000? • ¿Qué relaciones pueden identificar entre la fila del 2, la del 4 y la del 8? Nicolás dice que los de la fila del 4 son el doble de la del 2, ¿están de acuerdo? • Si se continuara la fila del 4 más allá de 4 x 10 = 40, ¿qué similitudes y diferencias identifican con los que se anotaron antes? (propuesta de la actividad 29). Un aspecto que resulta importante mencionar ante este tipo de problemas tiene que ver con los conocimientos que se considera que las y los alumnos deben tener disponibles. Por ejemplo, si se espera que obtengan 8 x 4 a partir de dobles, es decir, como 8 x 2 = 16, 16 x 2 = 32, resulta necesario que puedan disponer del cálculo memorizado 16 + 16 = 32, de lo contrario, les implicará hacer una cuenta o contar con los dedos para obtenerlo. Un procedimiento posible puede ser descomponer en 10 + 10 + 6 + 6, por lo que las intervenciones del/la docente podrán también propiciar que identifiquen estos casos, que requieren algún tipo de procedimiento de cálculo mental, de los que pueden resolver directamente porque forman parte de los repertorios disponibles. Otra cuestión interesante tiene que ver con que de forma progresiva, puedan identificar intervalos en los que los productos presentan ciertas regularidades (lo cual puede facilitar su obtención), por ejemplo, a partir de propuestas como la actividad 32, pueden reconocer que los resultados de 3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9 permiten obtener los de 3 x 10 = 30, 3 x 11 = 33, 3 x 12 = 36, de 3 x 100 = 300, 3 x 101 = 303, 3 x 102 = 306, etcétera.
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30
Orientaciones didácticas Actividades extra - Capítulo 1 - Operaciones
1
En una librería, están realizando el balance de las ventas realizadas en 2020. Anotaron las cantidades en una tabla. Libros Infantiles
Novelas
Biografías
Ventas en el local
326
645
298
Ventas por internet
548
1.015
999
a. ¿Cuántos libros vendieron en total? b. ¿Cuántas biografías vendieron en total? c. ¿Cuántos libros más vendieron por internet que en el local? d. El dueño del local esperaba a vender en total 5.000 libros. ¿Cuántos libros le faltaron vender para llegar a esa cantidad?
e. ¿Les resultó complejo? Compartan las dudas y comparen los diferentes procedimientos que emplearon en cada caso.
2
Resuelvan estos cálculos. Los resultados que están en el recuadro les pueden ser de
utilidad. 4+5=9
40 + 50 = 90
90 – 40 = 50
90 – 50 = 40
400 + 500 =
400 + 520 =
4.500 + 5.200 =
900 – 400 =
9.000 – 5.000 =
9.500 – 4.400 =
3
Resuelvan estos cálculos y luego compartan las diferentes estrategias que emplearon.
6.000 + 400 + 8.000 + 600 =
250 + 1.500 + 2.500 + 750=
475 + 360 + 125 + 240 =
645 – 300 – 145 =
• Matías dice que para resolver estos cálculos le sirvió buscar sumas o restas que den “números redondos”, por ejemplo, 400 + 600 = 1.000, 475 + 125 = 600. ¿Por qué habrá usado esa estrategia? ¿Hicieron algo similar?
4
Sabiendo que 55 + 65 = 120 y sin resolver todo el cálculo, rodeen los resultados no son correctos. Expliquen en cada caso cómo hicieron para darse cuenta. 55 + 66 = 121
120 – 55 = 65
120 – 56 = 66
550 + 650 = 1.300
120 – 65 = 55
120 – 64 = 54
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31
Orientaciones didácticas 5
Antes de resolver cada cálculo, marquen con una X el casillero en el que consideren que debe ir el resultado. Los cálculos que están en el recuadro les pueden resultar de utilidad. Luego, resuélvanlos para verificar y expliquen los procedimientos que emplearon. 300 + 200 = 500
400 + 200 = 600
700 + 200 = 900
Cálculos
500 + 200 = 700
700 + 300 = 1.000
Menor que 500
Entre 500 y 700
Mayor que 700
398 + 215 = 508 + 209 = 900 – 198 = 1.016 – 697 =
6
Escriban multiplicaciones (usando dos factores) cuyo resultado sean los que se indican. Compartan con un compañero los cálculos que escribieron y completen con los que les falten. 12
18
24
40
7
Completen los casilleros restantes de esta parte de una tabla pitagórica. Expliquen los procedimientos que emplearon. x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3 4 5
Geometría En la página 19, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.
Página 143. Actividad 34. Geometría: Circunferencias. Elementos. Uso del compás.
Antes de iniciar la resolución de problemas geométricos, en particular de copiados de figuras, el docente podrá ofrecer a los alumnos un tiempo para reconocer el compás, explorar su uso, trazar algunos dibujos, pensando en que, para algunos niños, tal vez, sea la primera aproximación al instrumento teniendo en cuenta la situación particular que atravesamos en 2020.
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32
Orientaciones didácticas En la actividad 34, se solicita la construcción de figuras geométricas a partir de un mensaje. También, este tipo de tarea, como el vocabulario geométrico o los elementos mencionados, podrán ser novedosos para los alumnos. El docente podrá ofrecerles que se apoyen en las definiciones del inicio de página. Será necesario dedicar el tiempo que se necesite para momentos de reflexión, comparación de estrategias y circulación y explicitación de lo aprendido, como los propuestos en la actividad “Para pensar entre todos”. Inventar un mensaje que permita realizar una figura suele ser más complejo que la propuesta inversa. Una buena opción es que lo elaboren entre dos compañeros para intentar poner el foco en qué es necesario tener en cuenta para elaborar un mensaje, por ejemplo: • Que el mensaje elaborado permita construir una única figura. • Que se utilicen la menor cantidad de datos, que no haya sobreabundancia de ellos. Página 144. Actividades 35 y 36. Geometría: Copiado de figuras. Análisis de las relaciones entre las figuras que las componen.
La intención de la actividad 35 es evaluar si los alumnos tienen disponibles ciertos conceptos referidos a las figuras geométricas, ya que, además del copiado, se solicita que describan cada figura que compone el dibujo como también los instrumentos geométricos necesarios. Será interesante que expliciten por dónde iniciaron la copia para poner en evidencia, que para los problemas geométricos también puede haber diferentes procedimientos válidos. Algunos procedimientos posibles pueden ser: • Iniciar la copia por la circunferencia y luego realizando conteo de cuadraditos marcar los segmentos correspondientes a los lados del cuadrado y del triángulo sin identificar esas figuras. • Identificar el cuadrado aprovechando el cuadriculado para dibujarlo con regla, dibujar luego el triángulo marcando el punto E y, por último, la circunferencia. • Comenzar por el triángulo ABE, continuar con la circunferencia y, por último, el cuadrado. Podrán argumentar que se trata de un cuadrado porque todos sus lados miden 4 cuadraditos y sus ángulos son rectos, que la circunferencia tiene centro en E y pasa por los otros dos vértices del triángulo, entonces, el triángulo tiene dos lados iguales, que son radios de la circunferencia, es isósceles. O también que los 4 vértices del cuadrado están en la circunferencia. Se podría confeccionar un cartel con estas ideas circulantes para tenerlo disponible en futuros problemas. Con la actividad 36, se espera llevar a los alumnos a elaborar una generalización, que puedan explicitar esa relación entre los lados del triángulo y los radios de la circunferencia, ya que, posiblemente no salga de los alumnos. Esta idea anterior se podrá reinvertir en la actividad“Para pensar entre todos”. Es probable que para algunos alumnos aún no sea tan evidente que los lados del triángulo son los radios de las circunferencias e intenten obtener la información midiendo con la regla, por esto, se especifica“sin medir”. Páginas 145 y 146. Actividades 37 a 41. Geometría: Construcción y clasificación de triángulos a partir de sus lados. Condición de constructibilidad.
La intención de las actividades de la página 145 es reinvertir los conceptos trabajados en la página anterior, la idea de construir triángulos a partir de los lados utilizando el compás para tomar y trasladar medidas como herramienta eficaz.
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33
Orientaciones didácticas La actividad 37 ofrece una tarea similar a la realizada en las actividades de la página 143, realizar una construcción a partir de un mensaje. La intención en este caso está puesta en comenzar a reflexionar y discutir con los alumnos este procedimiento, que podría sintetizarse: Para construir un triángulo usando regla y compás cuando conocemos la longitud de sus tres lados, se puede: • Trazar uno de los segmentos. • En cada uno de los extremos, dibujar circunferencias que tengan como radio la medida de los otros dos lados del triángulo. • Alguno de los puntos donde se cortan estas circunferencias es el tercer vértice del triángulo. Será interesante poder analizar con los alumnos que, al realizar este proceso, quedan dos puntos de corte que generan dos triángulos que son idénticos, pues las longitudes, tres lados coinciden, pero están en diferente posición, por lo que elegir uno u otro es indistinto. La actividad 40 propone un copiado, de nuevo sin medir con la regla, con la intención de reinvertir los usos del compás descriptos antes. Pero también, una tarea diferente que se refiere a describir los pasos realizados.Volver a pensar lo hecho y ponerlo en palabras usando vocabulario matemático puede ser aún una tarea compleja para los alumnos. Se podrá proponer que los alumnos que el docente considere lo resuelvan en parejas o en pequeños grupos realizarlo en parejas o pequeños grupos. Si no han tenido oportunidad de realizar este tipo de trabajo en años anteriores, será importante aceptar la provisoriedad de la escritura. A partir de los aportes de los alumnos, se podrá reescribir este instructivo entre todos. En la actividad 41, la intención es poner el foco en la condición de constructibilidad de un triángulo usando la medida de tres segmentos para sus lados. Se espera que, a través de la prueba, del ensayo, puedan explicitar que algunos no se pueden construir porque “no cierran” y, entonces, comenzar a pensar en esta condición. Podrán discutir en pequeños grupos lo ocurrido. Seguramente, para algunos alumnos con la terna 6 ,3 ,3, el triángulo se logra construir, pero queda“muy chato”. Esto se debe a la imprecisión que ocurre al trazar medidas, o también a la intención o voluntad que pone cada uno al intentar cerrarlo. Se espera que, en cada pequeño grupo, surjan algunas ideas que el docente podrá ir registrando y compartiendo entre todos. En la actividad“Para pensar entre todos”, podrán reflexionar y explicitar las ideas que circularon y compararlas con la propiedad que se ofrece. Esta es una forma diferente de utilizar las definiciones que aparecen en los libros. Leídas al iniciar la tarea, resultan sin sentido para los alumnos, es muy difícil que las comprendan completamente o se las apropien. Si se inicia un camino en el que se intente construir una propiedad con palabras propias y, a partir esto, se intente resolver un problema y, luego, se la contraste con la ofrecida en el libro, posiblemente, les resulte más accesible y con más sentido. Actividades extra - Capítulo 1 - Geometría
1
Construyan con el compás.
a. Tres circunferencias de diferentes radios.
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Orientaciones didácticas b. Tres circunferencias de diferentes radios pero que tengan el mismo centro. c. Tres circunferencias de diferentes radios pero que sus centros se encuentren en una misma línea. • Comparen sus dibujos con otros compañeros y cuenten en qué se parecen y en qué se diferencian.
2
Copien a la derecha estos dibujos de manera que queden idénticos al original.
a.
b.
• ¿Cómo pueden saber si están bien copiados? Antes de responder a la pregunta convérsenlo con algunos compañeros.
3
Felipe construyó estos 3 triángulos, uno de ellos es equilátero, otro escaleno y otro isósceles. Clasifiquen cada uno usando solo el compás.
• Cuéntenle a otro compañero cómo se usa el compás para comparar los lados de un triángulo.
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35
Orientaciones didácticas
2
Operaciones En la página 14, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.
Páginas 147 y 148. Juego inicial y actividades 42 y 43. Operaciones: Multiplicación. Resolución de multiplicaciones mediante diferentes procedimientos.
El juego que inicia el Capítulo 2 involucra obtener y completar productos utilizando como soporte una tabla pitagórica con los productos desde 2 x 10 hasta 9 x 99. La intención es continuar el trabajo propuesto en el Capítulo 1 respecto al reconocimiento de relaciones entre resultados y propiedades de la multiplicación. Es sabido que el juego del Tutti frutti requiere de celeridad para completar, en primer lugar, cada fila, por lo que se espera que, progresivamente (es decir, luego de algunas jugadas), las y los alumnos puedan elaborar diferentes estrategias que les permitan completar cada fila de acuerdo con las tarjetas que salen en cada caso. Así, por ejemplo, considerando las jugadas que simula la actividad 42, algunos de los procedimientos posibles pueden ser: • Usar resultados que están en la tabla pitagórica. Por ejemplo, para resolver 20 x 4, 21 x 4,…, 20 x 5, 21 x 5 apoyarse en los resultados de la fila o la columna del 4 y del 5 y, luego de llegar a 10 x 4 o 10 x 5, seguir sumando de 4 en 4 y de 5 en 5 hasta conseguir resultados correspondientes al intervalo dado. • Usar los resultados que van obteniendo en una misma fila, por ejemplo, a partir de 20 x 5 = 100 ir sumando de 5 en 5 para 21 x 5, 22 x 5,…; a partir de 30 x 5 = 150 ir restando de 5 en 5 para 29 x 5, 28 x 5,… • Recurrir a resultados de filas anteriores. Por ejemplo, para resolver 5 x 21, pueden considerar el resultado de 4 x 21 y sumarle 21, para resolver 5 x 22, pueden considerar el resultado de 4 x 22 y sumarle 22, y así sucesivamente. • Otra de las estrategias puede permitir multiplicar por 9 apoyándose en repertorios de la unidad seguida de ceros. Así, para resolver 9 x 22, pueden hacer 10 x 22 – 22. De este último procedimiento, se ocupan las actividades 42b y 42c, a partir de las cuales las y los alumnos podrán arribar a conclusiones del tipo “para multiplicar un número por 9, podés multiplicar por 10 y restar una vez ese número”. El o la docente, también, podrá extender esa relación a otros cálculos, entonces,“¿Qué estrategia podemos emplear para multiplicar de manera fácil por 11? ¿Y por 19? ¿Y por 21?, etcétera.” Otro de los contextos fértiles para trabajar con estas relaciones (en el marco de un trabajo amplio vinculado a las propiedades de la multiplicación) lo constituye el uso de la calculadora si se introducen ciertas restricciones (teclas que no funcionan). Este tipo de situaciones no suelen resultar sencillas de interpretar para las y los alumnos y, en muchas ocasiones, acuden directamente al uso de la calculadora sin considerar las indicaciones que impone la consigna. Una intervención posible puede ser proponer una consigna de esas características de tal forma que, de manera conjunta, puedan reflexionar sobre las condiciones que requiere atender y respecto a algunas estrategias
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36
Orientaciones didácticas posibles que se pueden desplegar, que, de acuerdo con lo que especifica la actividad 43 para 20 x 8, pueden ser: • sumar 20 ocho veces. • descomponer el 8 de manera aditiva (4 + 4, 6 + 2, 7 + 1, 10 – 2, etc.) y hacer, por ejemplo, 20 x 4 + 20 x 4. • descomponer el 8 de manera multiplicativa (por ejemplo, 4 x 2, 2 x 2 x 2) y hacer 20 x 4 x 2, 20 x 2 x 2 x 2. Estos procedimientos, junto a las que están en la actividad “Para pensar entre todos” y los que hayan surgido en la clase, se introducen con la intención de que puedan ser analizados y comparados. Resulta interesante que se propicie la identificación de las relaciones entre esos cálculos en lugar de verificar, por separado, si cada uno permite arribar al resultado correcto (por ejemplo, considerando las descomposiciones de los factores que intervienen en cada caso y las propiedades de la multiplicación que se ponen en juego, más allá de que aún no las hayan estudiado).
Página 149. Actividades 44 y 45. Operaciones: Multiplicación. Resolución de problemas que involucran series proporcionales a partir de diferentes procedimientos.
Los primeros problemas que las y los alumnos resuelven relacionados a la multiplicación corresponden a relaciones de proporcionalidad directa, es decir, la relación entre las magnitudes involucradas se presenta de manera constante. Los primeros procedimientos que emplean suelen estar asociados a representaciones (dibujar o hacer marcas) de esas cantidades que se repiten, realizar sumas sucesivas, multiplicar, etc. El tamaño de los números involucrados en las actividades 44 y 45 intenta que surjan procedimientos vinculados al cálculo (ya sea mediante sumas o mediante la multiplicación). El hecho de que los datos se presenten en tablas (que, como hemos mencionado antes implica una complejidad mayor) puede hacer, si se lo considera necesario, que se introduzcan previamente otros problemas (pueden ver ejemplos en Actividades extra) y, también, tablas de proporcionalidad con otras cantidades que, por ejemplo, les permitan apoyarse en la tabla pitagórica para resolverlas. Por ejemplo, “1 caja trae 6 lapiceras. Completen una tabla en la que se solicita la cantidad de lapiceras que hay en 2, 3, 4, 6, 8 y 10 cajas. Luego, expliquen cómo hicieron para obtener esos valores”. Algunos de los procedimientos posibles que podrían surgir para resolver la primera tabla de la actividad 44 son: • Sumar de 2 en 2 tantas veces como las cantidades de pliegos lo van requiriendo en cada celda, empezando desde 0, 2, 4, 6,… o reconociendo la posibilidad de partir de un resultado conocido, por ejemplo, a partir de 10 x 2 = 20. • Multiplicar por 2 cada cantidad recuperando algunos resultados de memoria (por ejemplo, 8 x 2, 9 x 2, 10 x 2 = y empleando otras estrategias para los restantes como, por ejemplo, hacer 11 + 11, 12 + 12, etcétera. • Aplicar el algoritmo de la multiplicación en los cálculos que lo consideren necesario. • Usar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta (más allá de que conozcan o no su nombre) y, por ejemplo, obtener la cantidad de cartulinas que trae 1 pliego sumando las cantidades que hay en 20 y en 21 pliegos, entre tantas posibilidades.
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Orientaciones didácticas Estas estrategias refieren a cálculos y relaciones que se dan entre los valores de una misma tabla. Otro aspecto que resulta interesante mencionar (e introducir en el aula) estará vinculado a las relaciones entre los valores de las tres tablas. Así, por ejemplo, para completar la segunda tabla (pliegos de 4 cartulinas cada uno), se pueden duplicar los valores obtenidos en la primera (pliegos de 2 cartulinas cada uno). Y, para completar la tercera, se pueden sumar los valores correspondientes a las dos tablas anteriores (ya que esos pliegos traen 6 cartulinas cada uno). El/la docente podrá propiciar el trabajo con otras relaciones, por ejemplo, “¿Cómo podríamos completar las cantidades correspondientes a pliegos que traen 8 cartulinas cada uno?”. Para la actividad 44, se sugiere recuperar las conclusiones referidas a estrategias para multiplicar por 9 trabajadas a partir de la actividad 42 y ponerlas en relación con las que se introducen aquí y con las que surjan en la clase. La actividad “Para pensar entre todos” resultará importante para sistematizar estos procedimientos (los que, más adelante, se retomarán tanto en el estudio de las propiedades de la multiplicación como de la relación de proporcionalidad directa). Páginas 150 y 151. Actividades 46 a 55. Operaciones: Construcción y ampliación del repertorio de multiplicaciones y divisiones con números “redondos”. Usar repertorios de multiplicaciones y divisiones con números “redondos” para resolver otros cálculos empleando diferentes procedimientos.
Estos problemas se centran en el cálculo con multiplicaciones y divisiones en las que intervienen “números redondos”, las que resultan de suma importancia para el trabajo con diferentes estrategias de cálculo mental y, también, para la resolución mediante los algoritmos. La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, es decir, por potencias de diez, están íntimamente relacionadas con las propiedades del sistema de numeración decimal, por lo que, en el momento de resolver los cálculos que propone la actividad 46, podrán recuperar el trabajo realizado en el Capítulo 1 sobre numeración. Los nombres de los números de más de una cifra dan cuenta de las operaciones involucradas en su conformación (que, de acuerdo con la cifra que sea, en algunos casos, se basarán en la multiplicación y la suma, por ejemplo, ochocientos veinte: 8 x 100 + 20; en otros, solamente en la suma: veintiocho: 20 + 8; y en otros, en la multiplicación, ochocientos: 8 x 100; sabiendo también que en otros casos no ofrecen información alguna como, por ejemplo, quinientos). Así, para resolver 8 x 100, algunos alumnos podrán afirmar “Da ochocientos, ocho de cien, el nombre de los números te lo dice”. Una estrategia que suele aparecer tiene que ver con “agregar” o “quitar” al número, según sea multiplicación o división, tantos ceros como los que tenga la potencia de diez involucrada. Si bien es un procedimiento que permite resolver con cierta facilidad estos cálculos, resultará interesante que se propicien instancias en las que las y los alumnos puedan explicitar las razones que subyacen en ellos. Una de las intervenciones puede ser presentar cálculos equivalentes al dado de tal manera que permita identificar las sucesivas multiplicaciones o divisiones por 10 y el consecuente efecto en el valor que determina en cada cifra. Por ejemplo, para el cálculo 80 x 1.000, se puede escribir a la par 80 x 10 x 10 x 10, y a partir de allí, propiciar que reconozcan cómo aumenta el orden de magnitud de la decena y la unidad del 80 cada vez que se multiplica
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Orientaciones didácticas por 10 y los lugares que implica trasladarlas en la posición de su escritura (y la consecuente necesidad de “completar con ceros los lugares que quedan”), de manera recíproca podrán trabajar respecto a la división. Estrategias similares pueden proponerse en el momento de intervenir ante multiplicaciones y divisiones que involucran otros números redondos, como los cálculos de las actividades 47 a 51. Por ejemplo, “Para explicar la resolución de 4.000 x 8, Matías lo pensó como 4 x 10 x 10 x 10 x 8, entonces, le sirvieron las conclusiones a las que arribaron en el problema 46, ¿están de acuerdo con lo que dice? ¿Por qué?”. Estos procedimientos, y otros que puedan surgir en la clase, podrán ser volcados en un cartel que, junto a la tabla pitagórica, y otros podrán disponerse en el aula para su consulta. De parte de ello, se ocupa el apartado “Para pensar entre todos“. Una vez que las y los alumnos dispongan de estos repertorios de cálculos (en memoria o a partir de portadores que permitan consultarlos), se propone emplearlos para resolver otros cálculos. En caso de ser necesario, el/la docente puede introducir otros cálculos que posibiliten reflexionar de manera conjunta sobre algunas estrategias convenientes, por ejemplo, “Lucía dice que para resolver 5 x 8 x 2, le resultó más fácil multiplicar, primero, el 5 con el 2 y, luego, multiplicar por 8. ¿Por qué habrá empleado esa estrategia? ¿En qué se le facilitará la resolución? ¿Nos servirá esa estrategia para resolver los cálculos de la página 151? ¿Por qué?”. Actividades extra - Capítulo 2 - Operaciones
1
Completen los casilleros restantes de esta tabla. Comparen los diferentes procedimientos que emplearon. 12 x 10
12 x 11
12 x 12
120
132
144
12 x 13
12 x 14
12 x 15
2
¿Cuál o cuáles de los cálculos que se dan a continuación permite resolver este problema? Rodéenlos. Comparen los que señalaron y expliquen por qué los eligieron. Un paquete trae 12 pastillas. ¿Cuántas pastillas hay en 6 paquetes? 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12
12 + 6
12: 6
6 x 12
12 x 6
12 – 6
3
Una caja trae 8 témperas. ¿Cuántas témperas hay en 6 cajas como esa? ¿Y en
12 cajas?
4
Un chupetín vale $14. ¿Cuánto cuestan 3 chupetines?
5
Un cajón de gaseosa trae 6 botellas. Completen esta tabla. Cajones
1
2
3
4
5
8
10
11
15
Botellas
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Orientaciones didácticas 6
Resuelvan estas multiplicaciones y divisiones. Si lo necesitan pueden consultar la tabla pitagórica. 8 x 9 =
80 x 9 =
72 : 9 =
72 : 8 =
720 : 9 =
720 : 8 =
7 x 6 =
7 x 60 =
42 : 6 =
42 : 7 =
420 : 6 =
420 : 7 =
7
Escriban los resultados que faltan en estos cálculos.
4 x 10 = 40
4 x 100 =
4 x 1.000 =
40 : 10 =
400 : 4 =
9 x 10 = 90
9 x 100 =
9 x 1.000 =
90 : 10 =
9.000 : 9 =
7 x 10.000 =
700 : 7 =
700 : 100=
7 x 10 =
7 x 100 =
8
Completen estas multiplicaciones y divisiones. Los cálculos que están en el recuadro les pueden resultar de utilidad. Compartan cómo los utilizaron. 4 x 8 = 32
4 x 10 = 40
8 x 10 = 80
10 x 10 = 100
100 x 100 = 10.000
4 x 80 =
400 x 8 =
80 x 40 =
40 x 8 =
800 x 4 =
800 x 400 =
9
Resuelvan estos cálculos de la manera que consideren conveniente. Comparen las estrategias que emplearon. 3 x 5 x 2 x 3 =
8 x 6 x 5 =
6 x 3 x 5 x 10 =
10 Resuelvan estas divisiones. 300 : 5 = 300 : 10 =
300 : 2 =
300 : 20 =
300 : 3 =
300 : 6 =
Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.
Página 152. Actividades 56 a 59. Numeración: Sistema de numeración escrita. Análisis de las operaciones subyacentes a su organización.
El recuadro teórico que se presenta al inicio de la página 152, retoma el análisis del valor de cada posición en las escrituras numéricas realizado en el capítulo anterior (actividad “Para pensar entre todos” de la página 137). La actividad 56 retoma la relación entre diferentes posiciones. Aquí se plantea de manera descontextualizada, solamente, en el contexto numérico. La o el docente podrá remitir a los contextos en los que se han utilizado estas relaciones en el capítulo anterior: el cálculo de los puntajes
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Orientaciones didácticas (con cuántas fichas en 1.000 se formaría 1.000.000 de puntos, etc.); de los ojalillos; del embalaje de ojalillos (¿cuántas cajas se necesitarían para tener 1.000.000 de ojalillos); o incluso, del dinero si se hubieran planteado las actividades extra con dinero de fantasía que allí se proponen. Estos contextos pueden funcionar como puntos de apoyo. Otro punto de apoyo es alcanzar el 1.000.000 de manera progresiva: cuántas veces 1.000 arman 10.000 o 100.000 : 100 x 1.000 = 100.000 y 10 x 100.000 = 1.000.000. Entonces, 10 x 100 x 1.000 = 1.000.000; es decir, 1.000 x 1.000 = 1.000.000. Las actividades 57 a 59 se ocupan de descomposiciones numéricas, también, de manera descontextualizada. La actividad 57 presenta descomposiciones en forma de sumas de multiplicaciones por potencias de 10 y solo uno de ellos apela a un reagrupamiento (ítem c). Esta opción se debe a que se trata del comienzo del trabajo. La o el docente podría plantear otros para trabajar este aspecto: qué sucede cuando se repiten más de 9 veces el valor de alguna de las posiciones. La actividad 58 plantea el número que hay que formar junto con una descomposición posible para completar. A veces, se pide completar el coeficiente; y otras, la potencia de la base por la cual se multiplica. En el ítem d, los términos de la descomposición no aparecen ordenados de mayor a menor. Quizá, para algunos alumnos, sea necesario que la o el docente lo aclare o señale. La actividad 59 ya deja abierta la elección de la descomposición por realizar, pero pide dos diferentes para cada número. Si se pudiera organizar una instancia colectiva, se podría analizar cómo determinan que, con esa descomposición, se forma el número dado y cómo es posible establecer la equivalencia entre diferentes descomposiciones halladas en la clase sin hacer todo el cálculo del número. Esto puede realizarse analizando cómo aparece cada parte del número en una u otra o, también, analizando qué partes tienen iguales y cómo puede establecerse la equivalencia entre las partes en que aparecen diferencias. Página 153. Actividades 60 a 64. Numeración: Sistema de numeración escrita. Producción e interpretación de números del orden de los millones.
Las actividades de esta página tratan la relación entre la numeración oral y escrita. Se trata de relacionar el nombre del número con su notación con dígitos. La actividad 60 refiere a la denominación de un número. Por eso, propone, en parejas, una actividad de dictados de números entre sí. Las actividades 61 y 62 remiten a una situación de dictados de números similar: a partir de la denominación de un número, dar su escritura en cifras y, a partir de la escritura en cifras, dar su denominación. Como tienen que ofrecer las respuestas en forma escrita, la denominación oral del número incluye, en estos casos, la necesidad de ofrecer su forma verbal escrita. En consecuencia, involucra aspectos vinculados con la ortografía de la escritura de los nombres de los números. La actividad 63 pide ordenar números a partir de su forma verbal. Esto exige diferentes criterios que los que se utilizan para ordenar números escritos que se organizan según otras propiedades. En el caso del nombre de los números, la extensión de su composición no constituiría un criterio para compararlos. La actividad 64, también, propone ordenar números, pero esta vez escritos con cifras. Se trata de completar escrituras numéricas conservando el orden entre los números. En este caso, se trata
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Orientaciones didácticas de considerar el número que está antes y el que está después para que quede configurado un número entre ambos (excepto para el primero y el último). Las posibilidades para completarlos son diferentes. Por ejemplo: 8.451.3
– 8.451.330 – 8.45
.160 – 8.4
1.159 –
.000.000
Por ejemplo, para el tercer número, se puede completar con cualquier dígito a partir de 2; el cuarto número no se puede completar con cincuenta mil porque sería inferior al anterior. Entonces, cualquier dígito a partir de 6 resulta conveniente, etcétera. Esta tarea se retoma en la actividad “Para pensar entre todos”. Será interesante analizar, luego entre todos, cómo los completaron y cuáles serían las diferentes posibilidades que cumplieran con lo solicitado. La respuesta a la tarea de intercalar números depende del número elegido para completar el primero de la serie. Página 154. Actividades 65 a 70. Numeración: Sistema de numeración escrita. Relaciones de orden entre números grandes.
Este conjunto de problemas se refiere al armado de números a partir de distintas series de tres cifras y a la relación de orden entre los números: armar números menores que uno dado, armar el mayor o el menor posible, el más cercano posible a uno dado. Si resultara muy difícil, el docente podría proponer, primero, tareas similares con números de 6 dígitos en lugar de 9 dígitos. En el momento colectivo de trabajo que se propone en Para Pensar entre todos, se trata de ver cómo es posible decidir, analizando las escrituras numéricas, cuál resulta más cercana a otra dada. Esto puede evaluarse considerando las cifras de cada posición. La idea de distancia entre dos números no supone un sentido determinado, sino que puede ser anterior o posterior. En este caso, no se pide determinar la distancia sino decidir cuál se encuentra a una distancia menor. Páginas 155 y 156. Actividades 71 a 76. Numeración: Sistema de numeración escrita. Los números naturales en la recta numérica.
La recta numérica constituye un contexto muy potente para trabajar diferentes relaciones entre los números, pero a la vez, resulta muy complejo para las y los alumnos. Sobre una recta, se representan los números como puntos en una correspondencia tal que a cada punto le corresponde un número y a cada número le corresponde un punto. Si bien la recta permite representar a todos los números reales (racionales e irracionales), en la escuela primaria, recurrimos a ella para trabajar sobre los números naturales (enteros positivos) y racionales positivos (fracciones y decimales), que son objeto de enseñanza en este nivel. En estos primeros capítulos representaremos números naturales y, más adelante, también números racionales (fracciones y decimales). Sobre esta representación, se pone de relieve el orden entre los números, pero exigiendo precisión acerca de la distancia respecto de los otros números. La distancia entre números conserva una escala dentro de la misma recta numérica: hay una relación proporcional entre la distancia entre números y la longitud que separa a los correspondientes puntos en la recta.
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Orientaciones didácticas La recta tiene un origen (el número cero) y una longitud asignada a la unidad que hace que los números enteros se ubiquen separados por la misma distancia por la relación de escala mencionada. La hoja de papel muestra fragmentos de la recta numérica, y es posible, como en la actividad 73, que el intervalo que se muestra no incluya el origen de la recta. En la actividad 71, se trata de ubicar los números en relación con los múltiplos de 10, 100 o 1.000 señalando cuál es el intervalo que le corresponde a un número. La actividad 72 no trata solo de ubicar el intervalo correspondiente a un número, además, pide dar, aproximadamente, la posición en la recta que le corresponde. La actividad 73 extiende el trabajo realizado en los anteriores a números de 6 dígitos. La actividad 74 remite a la idea de “lupa” de un intervalo de la recta numérica. El docente podría explicar a toda la clase en qué consiste. Que se trata de una partecita de la recta anterior, pero ampliada para poder ubicar más fácilmente ciertos números. Es importante poder identificar bien cuál es el intervalo ampliado, señalar su comienzo y final en ambas representaciones (la recta original y la parte que queda bajo la “lupa”). A su vez, entre todos, se podrá conversar sobre cómo sería la subdivisión de ese intervalo en 10 partes iguales si se reconoce que, cada cien mil, se arma con 10 de 10.000, cuáles serían los que van desde 200.000 a 300.000, etcétera. La actividad 75 extiende estos conocimientos a los millones. Agrega además la idea de “lupas” sobre “lupas”, es decir, una segunda ampliación sobre un intervalo de la primera ampliación. La actividad 76 deja a cargo de las y los alumnos qué lupas realizar sobre una recta numérica. Actividades extra - Capítulo 2 - Numeración
Si es necesario proponer a todos o a algunos alumnos actividades que permitan un mayor dominio de la representación de los números en la recta numérica, es posible proponerles actividades en las cuales deban:
• Completar los números que corresponden a la graduación de una recta numérica como, por ejemplo: 0 100 200
• De la misma manera, se puede proponer completar una graduación de 1.000 en 1.000, 10.000 en 10.000, 5.000 en 5.000, etcétera. • Luego, será importante completar la graduación de una recta numérica donde el fragmento que se presenta no comience desde 0. También se podrán ofrecer rectas para las cuales los datos que se presentan no correspondan a graduaciones consecutivas como, por ejemplo: 3.500 4.000
En estos casos, no solo la escala de la graduación sino también los números dados como datos –y, en particular, la distancia entre los números– harán más fácil o difícil la tarea. Completar los números correspondientes a estas marcas supone identificar cuál es la graduación dada a la recta. Si se quisiera ofrecer más puntos de apoyo para poder establecerlos, se podrían pre-
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Orientaciones didácticas sentar más actividades como la 76 donde la recta aparece con los números correspondientes a las graduaciones todos completos y que las y los niños deban decidir de a cuánto avanzan las marcas. Se intenta de ayudar a las y los alumnos a comprender que se trata de una representación que servirá de soporte o base para ubicar otros números tomando la graduación como referencia. • Encuadrar números en una graduación dada, es decir, elegir el intervalo en el que se encuentran. Esta tarea es parte de la ubicación de números en la recta numérica. Frente a algunas de las rectas trabajadas, se puede pedir a las y los alumnos que pinten el intervalo donde ubicarían un número. Por ejemplo, en la primera, colorear entre qué números ubicarían el 52, el 898, el 624, etc. Será importante detenerse a analizar en qué se basan para identificar el intervalo correspondiente: 624 como un número que se encuentra entre 600 y 700. Lo mismo podría realizarse con una recta con graduaciones menores (10 en 10) o mayores (1.000 en 1.000, 10.000 en 10.000, etc). • Ubicarlos (aproximadamente o con mayor precisión) dentro del intervalo correspondiente. Nos proponemos que las y los alumnos comprendan los procesos que llevan a determinar la ubicación de un número en la recta o, recíprocamente, el número correspondiente a un punto de la recta. En el caso del 624, por ejemplo, sabiendo que se encuentra entre 600 y 700, es posible analizar que se encuentra antes de la mitad de ese intervalo (650). Se podría avanzar identificando que se encuentra antes de la mitad entre 600 y 650, porque está antes de 625, justo uno antes. Se podría mostrar, si no, la construcción de una “lupa” o ampliación de ese intervalo que permita ubicar el número. • Identificar números correspondientes a puntos señalados en la recta. Esta tarea sigue un proceso similar a la ubicación de puntos: decidir entre qué números se encuentra el número a reconocer y, a partir de su posición relativa respecto de otro u otros números como son los extremos del intervalo, establecer de qué número se trata. La graduación y las referencias dadas serán puntos de apoyo y, según las opciones, harán más simple o compleja la tarea. Otra variable, por supuesto, son los números o puntos para ubicar. Una vez ubicados, pueden también funcionar como referencias. La posibilidad de apelar a lo ya realizado como recurso para resolver otros nuevos, muy probablemente, deba ser comunicada por la o el docente. A aquellos alumnos a quienes les resulten sencillas las tareas propuestas, se les puede solicitar que ubiquen un conjunto de números sin darles la recta, y que deban decidir una escala conveniente.
Geometría En la página 19, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.
Páginas 157 a 159. Actividad 77 a 83. Geometría: Clasificación de triángulos según sus ángulos. Uso del transportador. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
En este capítulo, damos continuidad a la construcción de triángulos, pero poniendo el foco en los ángulos interiores. Se incluye, para estas actividades, la clasificación de los triángulos
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Orientaciones didácticas teniendo en cuenta la medida de sus ángulos interiores, definiciones que, quizá, algunos alumnosreconozcan, mientras que otros sea la primera vez que toman contacto con estos conceptos. La intención de que encabecen la página es que las tengan disponibles cuando lo necesiten para resolver las propuestas siguientes; al igual que, en el capítulo anterior respecto de la clasificación a partir de sus lados. El objetivo es estudiar los ángulos, su medición y construcción en el contexto de las figuras geométricas. No pensamos en la necesidad de introducir este concepto previamente, sino de que tengan sentido en las figuras mismas, en particular en este caso, como elementos de los triángulos. Proponemos, como punto de apoyo para los alumnos respecto de la clasificación de ángulos, el uso de la escuadra, ya que, sabiendo que tiene un ángulo recto, al colocarla de forma adecuada (teniendo en cuenta vértice y lado de apoyo), permite anticipar si se trata de un ángulo menor o mayor a 90°, es decir, agudo u obtuso. También como herramienta de verificación, ya que suelen observarse errores de medición con el transportador, pues estos suelen tener dos medidas simultáneas que son suplementarias, es decir que suman 180°; entonces, por ejemplo, frente a un ángulo de 60°, suelen anotar 120°. En la actividad 77, se espera que puedan familiarizarse con este uso de la escuadra porque suele ser complejo, al principio, decidir cómo apoyarla sobre cada ángulo de la figura. Esta tarea sería recomendable que se trabaje en el espacio presencial. La actividad 78 plantea el posible error de lectura del instrumento que antes mencionamos, una intervención del docente frente a esta situación podría ser pedirle al alumno que verifique con la escuadra. Un momento importante de esta actividad es comenzar a escribir algunas ideas para realizar el uso correcto del transportador, cómo apoyarlo, cómo leer la medida, etc., tarea que llevará un tiempo considerable. Tomar registro de las ideas que circulan y compartirlo en un espacio colectivo presencial o virtual será un punto de apoyo para los alumnos que tengan mayores dificultades. En la actividad 79, se proponen diversas construcciones de triángulos. Los alumnos tendrán que decidir qué instrumentos geométricos utilizarán y qué camino realizarán. Algunos procedimientos posibles: • En 79a, seguramente, utilizarán regla y transportador, constrirán uno de los lados, luego, el ángulo y, por último, el segundo lado para cerrar el triángulo. El triángulo es el mismo si comienzan con el lado de 4 cm o el de 5 cm, solo que, quizá, quedará en distinta posición, asunto que será muy interesante plantear a la clase: ¿son iguales o diferentes? • En 79b, algunos alumnos podrán utilizar la escuadra y otros el transportador para construir el ángulo recto. • En 79c, al intentar construirlo, se encontrarán con que el triángulo no cierra, los lados no se encuentran en ningún punto. Esto podrá ser el punto de partida para comenzar a pensar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo. La intención de la actividad 80 es comenzar a explorar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de los triángulos, que los alumnos elaboren sus primeras conjeturas empíricamente para comenzar luego a analizar una posible demostración matemática de la propiedad con la guía del docente.
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Orientaciones didácticas El docente podrá introducir una primera aproximación acerca de las características que debería tener una demostración matemática, la necesidad de apoyarse en propiedades válidas para estar seguros de que la afirmación será siempre verdadera. La demostración se inicia para un caso particular, que es el triángulo rectángulo pensado como la mitad de un rectángulo, para luego generalizarla a cualquier triángulo. Para reinvertir las ideas que circularon anteriormente y la propiedad estudiada, se proponen los problemas de la página 159. En la actividad 81, el dibujo se encuentra en hoja cuadriculada, lo que permite anticipar ciertos datos, por ejemplo: • Los triángulos JGK y JGL son rectángulos porque el ángulo G es recto. • Los lados JG y GK miden 3 cuadraditos, entonces, el triángulo JGK es isósceles. Por las dos ideas anteriores, JGK es isósceles y rectángulo. También, podrán utilizar la escuadra y el compás para verificar, por ejemplo: • JGL es escaleno y rectángulo. • JKL es obtusángulo y escaleno. Las actividades 82 y 83 suponen reinvertir la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, pero también, ponen en juego otras relaciones y definiciones matemáticas que se podrán conversar y discutir: • Ángulos consecutivos: son los que tienen el vértice común y comparten un lado. • Ángulos complementarios: son los ángulos que suman 90°; si además son consecutivos, forman un ángulo recto. • Ángulos suplementarios: son los ángulos que suman 180°; si además son consecutivos, forman un ángulo llano y, en ese caso, se denominan ángulos adyacentes. Estos conceptos se podrán utilizar para validar las respuestas obtenidas. Página 160. Actividad 84. Geometría: Triángulos. Condiciones de constructibilidad.
En la actividad 84, se propone una nueva ronda de construcciones de triángulos, la idea es volver a pasar por los conceptos construidos teniendo en cuenta la cantidad de soluciones para cada caso, cada construcción podrá ser retomada para elaborar las ideas que se solicitan en el trabajo con todo el grupo. En el ítem a de la actividad “Para pensar entre todos”, se podrá concluir que se puede construir un único triángulo cuando, por ejemplo, en 84a y 84d, conocemos: • Dos lados y la medida del ángulo comprendido. • Un lado y dos ángulos (siempre que la suma de ellos sea menor que 180°). • Las medidas de los tres lados y se cumple la propiedad triangular. Para el ítem b de “Para pensar entre todos”, se podrá concluir que si se conocen los ángulos del triángulo hay muchas posibilidades. En la actividad 84f, habrá nuevamente muchas posibilidades, ya que contamos solo con un lado y un ángulo. Con respecto al ítem c de “Para pensar entre todos”, no habrá solución cuando los datos no cumplen con las propiedades estudiadas acerca de los lados y de los ángulos.
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Orientaciones didácticas Actividades extra - Capítulo 2 - Geometría
1
Utilizando la regla y el transportador, completen el dibujo de los ángulos pedidos. 580
900 350
1400
• Comparen con algún compañero si les quedaron iguales y expliquen para qué usaron el transportador y para qué usaron la regla.
2
Copien a la derecha la figura y, luego, expliquen los pasos que siguieron para realizar la construcción. ¿Es posible copiarla sin medir con la regla? Si es así, cuenten cómo.
• Comparen con un compañero si siguieron los mismos pasos. Si algún compañero tuvo dificultades para realizar la copia, intenten ayudarlo
3
Usando solo la escuadra y el compás, clasifiquen cada triángulo teniendo en cuenta sus lados y sus ángulos.
• Pónganse de acuerdo con un compañero y expliquen: ¿Para qué usaron la escuadra? ¿Para qué usaron el compás?
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Orientaciones didácticas 4
Construyan 2 triángulos diferentes para cada consigna cuando sea posible, si no se puede construir indiquen por qué.
a. Que sea equilátero. b. Que sea escaleno y rectángulo. c. Que sea isósceles y acutángulo. d. Que sea rectángulo y equilátero. • Intercambien la tarea con un compañero para verificar si hicieron lo mismo. Si hubo diferencias analicen cuáles son las razones.
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Recursos TIC
Recursos TIC Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC Entendemos la utilización de las TIC como un medio para la enseñanza de contenidos curriculares y hacemos hincapié, en que el núcleo de nuestra propuesta es el análisis de las prácticas de enseñanza. Muchas veces, se analiza a secas el papel de las herramientas tecnológicas. Dicho análisis, entonces, suele limitarse al uso de dispositivos y apunta a un saber técnico con escasa reflexión sobre el “tipo” de uso que se realiza. Buscamos, por el contrario, comunicar la utilización de las tecnologías en una discusión que se encuentre centrada en la gestión de los materiales y de la clase que cada recurso en particular pone en juego. El análisis de la clase, como sabemos, supone un análisis del contenido –de los conceptos y de las prácticas de la Matemática– y de las interacciones entre los alumnos y el docente a propósito de los problemas. ¿Qué significa aprender en este contexto? Adherimos fuertemente a la construcción social del conocimiento, a aprender construyendo el conocimiento junto a los otros, gracias a los aportes de todos y en colaboración. Pero a la vez, reconocemos que es necesario que el alumno tome decisiones acerca de cómo resolver y qué reglas utilizar. En este mismo movimiento, entonces, es necesario asumir el estudio de los nuevos problemas de enseñanza que la inclusión de las TIC plantea. Problemas definidos por condiciones inéditas generadas en el aula: tiempos diferentes, agrupamientos distintos que atiendan varios niveles de conocimiento, disponibilidad de la herramienta para un alumno o para un grupo de alumnos, comunicaciones mediadas por la máquina, otra jerarquización del saber que se construye mejor en colaboración con otros, etcétera. Nuestra intencionalidad es que las situaciones seleccionadas sean el plus que le aportan las TIC a los recursos habituales de la enseñanza. Por esto, las propuestas deben estar diseñadas de manera que permitan la identificación y el análisis de los usos educativos de las TIC. Las tomamos en consideración como herramientas para que los alumnos puedan pensar, resolver, comparar con lo producido, decidir, argumentar, solos y con otros. Seguramente, ustedes habrán tenido y tendrán que adaptar las propuestas disponibles en documentos curriculares, libros, etc., a las trayectorias en el uso de las TIC que tengan las escuelas en las que trabajan y a ustedes mismos en su práctica profesional. ¿La escuela tiene equipamiento tecnológico? ¿Computadora, tablet, celular? ¿Conectividad? ¿Lo usan ustedes? ¿Con qué frecuencia? ¿En la enseñanza de la Matemática? ¿Para qué contenidos de enseñanza? ¿Sus alumnos han trabajado en años anteriores utilizando la tecnología como medio para aprender Matemática? ¿Cuántos disponen de algún equipo que permita la realización de trabajo en sus casas? ¿Qué participación en las clases virtuales han tenido? ¿Las actividades que han realizado con las máquinas fueron planificadas? ¿De qué manera se podrían relacionar con los otros medios didácticos que utilizan? ¿Qué evaluación hacen de lo trabajado?, etcétera. En relación con lo anterior, las propuestas deben permitir la producción de conocimientos por parte de los alumnos. No se trata solo de la aplicación de conocimientos ya construidos. No se trata solo de reproducir lo realizado por otro. Las propuestas tienen que permitir la anticipación por parte de los alumnos y, además, contemplar posibilidades de validar lo producido. Nos referimos al cuidado particular que hay que tomar para que las propuestas que se seleccionen promuevan el mismo tipo de quehacer, el mismo tipo de trabajo matemático en los alumnos, que cuando trabajan en otros medios didácticos. Por un lado, la toma de decisión al tener que
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Recursos TIC seleccionar de todo lo que saben qué van a usar como estrategia de resolución (anticipación) y, por el otro, la actividad argumentativa que, también, debe estar a cargo de los alumnos (validación). Creemos que es importante decir que ningún recurso didáctico es bueno o malo en sí mismo, sino que se inscribe dentro de un entramado complejo de decisiones que toma el docente para llevar adelante un proyecto de enseñanza. El recurso TIC que el docente seleccione no debería ser el centro de la propuesta, sino que debería cobrar sentido dentro de ella en la medida que permita colaborar en el logro de los propósitos que se persiguen y optimizar la propuesta de enseñanza aportando una riqueza singular que, tal vez, otro recurso no podría ofrecer. En este sentido, cuidamos que los recursos ofrecidos aporten un plus a otros medios posibles de enseñanza de esos mismos temas. Uno de los riesgos es el de convertir el recurso en la finalidad. Es decir que se produzca un desvío en el que los medios de enseñanza ocupen el lugar de los contenidos. Un primer criterio que orienta la selección e inclusión de asistentes digitales en las clases sería que no desplacen los contenidos de enseñanza y que la complejidad tecnológica que implica el uso del recurso no requiera de tanto esfuerzo, de modo tal que los contenidos que pretendemos enseñar se desdibujen. Como en toda la enseñanza de la Matemática, más allá del medio didáctico que se utilice, sugerimos la construcción de una memoria didáctica de los alumnos, es decir, proponemos modos de cuidar la relación y la memoria entre conocimientos viejos y nuevos. Porque todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimientos previos, a los que, al mismo tiempo, modifica y para favorecer el seguimiento que va a poder efectuar el maestro del progreso y de las dificultades de los alumnos y, asimismo, el seguimiento que van a poder realizar los alumnos de su propio proceso de aprendizaje. Para esto, en el caso de una enseñanza presencial, si la escuela cuenta con un equipamiento móvil (“carrito”), sugerimos la numeración de las máquinas y el registro del uso de cada una por los alumnos. De ese modo, cada uno utilizará siempre el mismo equipo y podrá guardar sus producciones en una carpeta personal; y así, podrá volver sobre lo producido, ya sea para estudiar, consultar, comparar sus producciones, apoyarse en lo que hizo, etc. Otra opción, si fuera posible, es el guardado en la nube o en la plataforma institucional. Con el mismo propósito y en el caso de que se cuente con este recurso, la impresión de lo producido en la máquina para ser guardado luego en el cuaderno o carpeta es otro modo de volver sobre esos conocimientos a la hora de resolver problemas afines, en la puesta en común, como un registro para estudiar, etcétera. Nuestra propuesta de enseñanza digital se circunscribe a problemas de geometría a través del programa Geogebra. Con independencia de si se trata de las propuestas del libro en papel o de los recursos digitales, el propósito de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria es que los alumnos se apropien de un conjunto de conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos y, también, del modo de pensar propio de la disciplina. A lo largo del segundo ciclo, es necesario que el docente plantee propuestas de trabajo que permitan que los alumnos aprendan que las propiedades de las formas permiten realizar afirmaciones sin necesidad de apelar a la constatación empírica. Se trata de que, a largo plazo, puedan realizar afirmaciones como “Puedo estar seguro, sin medir, de que este ángulo mide 40º porque entre los otros dos ángulos de este triángulo suman 140º”.
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Recursos TIC Asimismo, es necesario considerar que los alumnos ingresan al trabajo en soporte digital portando sus experiencias y conocimientos sobre esos mismos contenidos construidos a través del “lápiz y el papel”. Intentamos que ambos contextos dialoguen y se enriquezcan mutuamente. Contar con una nueva herramienta, muchas veces, implica una modificación en los modos de resolución de los problemas, en particular, de los modos de representación –ampliando posibilidades o encontrando sus límites–; y esto, por supuesto, puede provocar la necesidad de hacer cambios en la gestión de la clase, como también, abrir la posibilidad de la aparición de nuevos errores e ideas. En cuanto a la utilización del GeoGebra, creemos importante que los alumnos se familiaricen con “los básicos” de su uso: la Barra de Herramientas y Mover. La Barra de Herramientas puede variar según la versión de GeoGebra que se utiliza o dependiendo del escenario determinado previamente, pero es necesario que sepan que cada botón orienta con su nombre y que, al apoyarse en él, una etiqueta indica cómo utilizarlo. En lo que se refiere a la herramienta Mover, se trata de activarla al terminar de utilizar otras herramientas, y esto les permitirá mover los objetos que no están fijos con diferentes intencionalidades, por ejemplo, para analizar las características de un objeto geométrico y/o para poder verificar (validar) la construcción de una figura, ya que al moverla, si se han puesto en juego sus propiedades, no se “deformará”. Un detalle que nos parece importante es diferenciar dibujo y construcción. En estas páginas, llamaremos dibujo al producto de utilizar las herramientas en forma directa. Por ejemplo, consideraremos que la circunferencia de radio 2 cm (circunferencia dado un punto y la longitud del radio) o el cuadrado de lado 5 cm, hechos ambos con las herramientas correspondientes, son dibujos. Llamaremos construcción a la que se realiza utilizando propiedades de las figuras. Por ejemplo, construimos cuadrados a partir de rectas perpendiculares porque tenemos en cuenta que los lados del cuadrado son perpendiculares. Consideramos un aspecto enriquecedor el que dialoguen de manera permanente las situaciones del libro papel con las digitales, ya que los problemas en Geogebra han sido diseñados de manera secuenciada con la propuesta del libro papel.
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Recursos TIC Recursos TIC por capítulo Enlace/s
Comentarios Capítulo 1
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En este recurso se utiliza la herramienta Circunferencia: centro y radio. En primer lugar, se pide el dibujo de una circunferencia de radio 3. El alumno elige la herramienta, el centro (cualquier punto de apoyo) e indica 3 como medida del radio en la ventana que aparece. En este uso de la herramienta, no hay más producción que la acción misma: los datos están dados, no hay que procesar, cambiar, tomar decisiones. En la segunda consigna, se pide la construcción de una circunferencia de diámetro 8. Usando la misma herramienta, el alumno elige el centro (de nuevo, cualquier punto de apoyo), pero al indicar el radio, necesariamente, debe dividir el valor del diámetro por dos y escribir 4. Si bien la diferencia entre una consigna y la otra es breve, exige al alumno un conocimiento (“el diámetro mide el doble que el radio” o “el radio mide la mitad que el diámetro”) y una acción previa al uso de la herramienta (dividir la medida por dos). Esta acción, previa al uso de la herramienta, hace que cambiemos la palabra dibujo por construcción. En el futuro, seguiremos utilizando ambas palabras para diferenciar las producciones hechas al utilizar una herramienta de aquellas que requieren de un trabajo previo que, además, implica un conocimiento geométrico. La herramienta que se utiliza en este recurso es Circunferencia (centro, punto). Se ofrecen dos puntos y se pide a los alumnos que dibujen una primera circunferencia con centro en A, que contenga al punto B, y una segunda circunferencia con los mismos puntos, pero intercambiando centro y punto. Las preguntas que aparecen después se podrían hacer a los alumnos antes de iniciar los dibujos para ofrecerles la oportunidad de anticipar respuestas y hasta visualizaciones de los dibujos que se van a obtener. Tengamos en cuenta que asegurar que se obtendrá la misma circunferencia es muy tentador y, si bien tendrán el mismo radio y, en consecuencia, se verán del mismo tamaño, está claro que el centro será distinto y, por lo tanto, será otra circunferencia. ¿Cuál es el interés de este recurso? • Utilizar la herramienta; • Reconocer que, si determinamos y nombramos puntos de una circunferencia, no es la misma que otra que tiene las mismas dimensiones, pero otros puntos (igual que en los polígonos) sin embargo, si no determinamos puntos (centro y punto perteneciente a la circunferencia), nos referimos a la misma circunferencia porque estamos pensando en la distancia que permite medir. • Reconocer situaciones en las que es necesario definir el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma distancia que otros dos (por ejemplo, si el módem tiene señal desde donde está ubicado hasta la mesa del comedor, la señal abarcará hasta todos los lugares que estén a la misma distancia del módem que la mesa del comedor, aun cuando no sepa cuál es esa medida).
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Comentarios Este recurso está pensado para el uso de la herramienta Circunferencia por tres puntos tanto como para la herramienta Compás. Al igual que la anterior, permite la comparación entre circunferencias de distintos centros y, a la vez, comparar las circunferencias que se forman con los tres mismos puntos, pero con uno de ellos como centro cada vez. Como en el caso anterior, es interesante que los alumnos anticipen respuestas, discutan opciones y posibles dibujos antes de dibujar en el lienzo del recurso. Capítulo 2
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En estos recursos, se han limitado las herramientas disponibles para permitir a los alumnos construir triángulos utilizando las propiedades y características que les son conocidas. Particularmente, en el primer enlace, se remite a los alumnos a la clasificación de triángulos por la medida de sus lados, mientras que, en el segundo enlace, se enfoca en la clasificación según los ángulos. En ambos casos, es importante hacer una detallada confirmación de todos los casos posibles y acordar con los alumnos si es acertado repetir medidas en el mismo triángulo (por ejemplo, un triángulo de lados 3, 3 y 4, en el primer enlace, o de ángulos 50°, 50° y 80°, en el segundo enlace. En el primer enlace, se apoyarán en la propiedad fundamental y, en el caso del segundo, en la suma de los ángulos interiores del triángulo. En este recurso, el movimiento es la figura central. El movimiento se presenta a través de un deslizador, herramienta que permite definir entre qué valores se mueve una variable (el ángulo) y, en este caso, que al cambiar, permite ver las modificaciones que definen esos cambios. Si bien en un primer momento, el movimiento es para ver cómo se mueve el deslizador y el efecto que causa, más adelante se plantean preguntas que ayudan a vincular los ángulos interiores del triángulo entre sí. En este caso y tratándose de un triángulo rectángulo, resalta que el aumento en la amplitud de un ángulo implica la disminución de la amplitud del otro ángulo. Puede trabajarse, también, la relación entre esos ángulos (son complementarios, es decir, la suma de sus amplitudes es igual a un ángulo recto).
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Guía docente Estrada A Dúo 6 es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Gerenta editorial: Judith Rasnosky Coordinadora de Arte: Natalia Otranto
Matemática Autores: Beatriz Moreno (coord. autoral), M. Teresita Chelle, M. Emilia Quaranta, Gloria Robalo y Marcos Varettoni Editora del área de Matemática: Evelyn Orfano Correctora: Pilar Flaster Diseño de maqueta y diagramación: Ana G. Sánchez
Editorial Estrada S.A., 2021 Editorial Estrada S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104 – San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional del Derecho de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. ISBN: Material de distribución gratuita. Prohibida su venta.
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (inadi) con los editores de texto. Las personas que hicimos este libro estamos comprometidas con los valores de la diversidad, la igualdad y la no discriminación. Por eso, buscamos que el lenguaje utilizado en nuestros textos sea inclusivo y esté libre de estereotipos. Solo usamos el masculino genérico para facilitar la lectura en aquellos casos en los que no hemos encontrado una mejor alternativa.
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