VBTL 5/6 D-basis Leerboek Kansrekenen en statistiek - inkijk methode (materiaal vbtl)

LEERBOEK

Kansrekenen i Statistiek

D-finaliteit basis

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Dit boek bevat drie hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur.

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

1.1

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Welkom in de boeiende studie van kansrekenen en statistiek. Bij kansrekenen leggen we de klemtoon op kansbomen en de formule van Laplace die enkel geldt als de uitkomsten bij een kansexperiment even waarschijnlijk zijn. We maken ook kennis met kruistabellen en voorwaardelijke kansen. Statistiek is de wetenschap van het verzamelen, ordenen en interpreteren van gegevens. In het dagelijkse leven kom je voortdurend data, statistieken en resultaten van statistische gegevens tegen. Met kennis en inzicht in de statistische wetenschap ben je beter in staat om daarmee om te gaan en kun je ze op hun (on)waarde taxeren.

De deductieve of beschrijvende statistiek is het deel van de statistiek dat verzamelde data, afkomstig van een steekproef of van de populatie, probeert samen te vatten in een beknopte weergave om globale patronen en kenmerken te ontdekken.

De inductieve statistiek bestaat enerzijds uit de verklarende statistiek en anderzijds uit de inferentiële statistiek. Verklarende statistiek maakt gebruik van de kansrekening ; inferentiële statistiek probeert algemene uitspraken binnen een zeker betrouwbaarheidsniveau te formuleren over de gehele populatie, op basis van een beperkt aantal gegevens : de steekproef.

1

2

3

Kansrekenen

Kan kansrekenen je een wereldreis opleveren? We maken even tijd voor een van de beroemdste problemen uit de kansrekening.

Bij een quizprogramma ben jij de winnaar. Proficiat! De presentator neemt je mee naar drie deuren. Achter een van die deuren zit een wereldreis. Achter de twee andere bevindt zich niets. Jammer dat je niet weet achter welke deur wat zit. Je kiest, maar voordat jouw deur wordt opengemaakt, komt de presentator eventjes tussen. Hij, die wel weet waar de wereldreis zich bevindt, helpt een beetje (?) door een deur te openen waar niets achter zit. Je zenuwen begeven het bijna als de presentator zegt dat je nu nog van idee mag veranderen. Wat doe je? Blijf je bij je eerste idee of kies je de andere deur, die nog niet geopend is?

Kansrekenen

1.1

1.2

1.1 Rekenen met kansen

1Kansexperimenten

De mens is al lange tijd gefascineerd door het toeval en probeert onzekere verschijnselen te benaderen met een model. Zo kan niemand voorspellen of het opgooien van een correct muntstuk ‘munt’ zal opleveren. Wel aanvaardt iedereen dat bij veel keren opgooien het aantal keren ‘munt’ de helft van het aantal worpen zal zijn. In gewone taal zeggen we dat de kans om munt te werpen 1 op 2 is.

De bedoeling van kansrekenen is precies dit soort voorspellingen te doen over allerlei ‘experimenten’ waarvan de afloop door het toeval wordt beheerst. We spreken over kansexperimenten.

Als je een zuivere dobbelsteen opgooit, mag je wel verwachten dat hij zal neervallen, maar niet dat bijvoorbeeld ‘drie’ boven zal liggen. Het is onmogelijk de afloop van dit experiment te voorspellen maar we kunnen soms zinnige informatie geven over de afloop van een groot aantal herhaalde experimenten over dit verschijnsel.

– Bij 6000 worpen met een normale dobbelsteen mogen we, ruw geschat, zowat in 1000 gevallen een ‘drie’ verwachten.

– Als we 1300 maal een kaart trekken uit een spel van 52 kaarten, dan zal het aantal getrokken ‘azen’ ongeveer 100 bedragen.

– Uit de statistieken blijkt dat in België 51,35% van de pasgeboren baby’s jongens zijn.

Het is dus duidelijk dat het uitvoeren van herhaalde experimenten ons veel kan leren over verschijnselen die door het toeval beheerst worden. Het is dan wel noodzakelijk een aantal afspraken en begrippen in te voeren.

De dobbelstenen waarmee alles begon

Ridder de Méré, een dobbelaar, schrijft in 1654 een brief met vragen aan Blaise Pascal, de wiskundige en filosoof. “Het paar dobbelstenen dat mij geld in het laatje gebracht had, deed het mij nog sneller weer verliezen”, schreef jonker de Méré. Bij het zoeken naar een antwoord op de puzzel van de Méré begon Pascal de beginselen van kansen waarschijnlijkheidsrekening te bestuderen. Hij besprak de vraagstukken met Pierre de Fermat, jurist en raadsheer bij de rechtbank van Toulouse, maar daarnaast een wiskundige bolleboos. Met die brief begon de geschiedenis van de waarschijnlijkheidsrekening. Ridder de Méré had enige tijd goed geboerd door te wedden op de waarschijnlijkheid dat hij met vier worpen van de dobbelsteen minstens één zes kon krijgen. Hij won meer dan hij verloor. Maar toen hij overging op de weddenschap dat twee dobbelstenen in een reeks van 24 worpen hem op zijn minst één dubbele zes zouden bezorgen, verloor hij meer dan hij won. de Méré berekende dat de kans op een zes bij het werpen van een dobbelsteen 6 is, bij vier worpen zou de kans dus 4 6 == 2 3 moeten zijn. Op diezelfde manier redeneerde hij voor twee dobbelstenen. De kans op één dubbele zes bij het werpen van twee dobbelstenen is 36 , bij 24 worpen zou de kans dus 24 36 == 2 3 moeten zijn. Dit valse spoor leidt tot de conclusie dat de tweede weddenschap even goed is als de eerste. Maar dat is niet zo, zoals de Méré aan den lijve ondervond. Bij gebrek aan een methode van kansrekening kan de Méré niets anders dan een heel groot aantal worpen uitvoeren en dan de aantekeningen bekijken. Ook bij de Grieken was het dobbelen een bekend gokspel. De drie broers Zeus, Poseidon en Hades dobbelden om het heelal: Zeus won de hemelen, Poseidon de zeeën en Hades, de verliezer, kreeg de onderwereld.

2Uitkomst en uitkomstenverzameling

Het uitvoeren van een experiment geeft aanleiding tot een uitkomst. We noteren de mogelijke uitkomsten door ui , met i ∈ N0 omdat we ons alleen beperken tot kansexperimenten met een eindig aantal uitkomsten.

Bij het gooien van een dobbelsteen kunnen we één, twee, drie, , zes ogen zien verschijnen. We leggen de afloop van dit experiment vast door een van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6 op te schrijven. We zeggen dat dit de zes mogelijke uitkomsten van het experiment zijn.

De uitkomstenverzameling ( of het universum) U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment.

U = { u 1, u 2, , un }

Voorbeelden :

– De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘gooien met een correcte dobbelsteen’ is :

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ⟹#U = 6

– De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘opgooien van een correct muntstuk’ is :

U = { k , m } ⟹#U = 2 met k : kruis gooien en m : munt gooien

De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘gooien met twee correcte dobbelstenen’ is :

–

U = {( 1, 1); ( 1, 2); ( 2, 1); ; ( 6, 6)} ⟹#U = 36

3Gebeurtenissen

Bij het gooien met een correcte dobbelsteen is U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Veronderstel dat iemand 3 euro krijgt als hij bij zijn worp een even aantal ogen gooit. Hij heeft dan natuurlijk bijzondere belangstelling voor een deelverzamelingA = { 2, 4, 6 } van U.

Die deelverzameling A noemen we een gebeurtenis.

– De uitkomsten die een volkomen kwadraat zijn, vormen de deelverzameling B = { 1, 4 }

– De uitkomsten die priemgetallen zijn, vormen de deelverzameling C = { 2, 3, 5 }

B en C zijn ook gebeurtenissen van het experiment ‘gooien met een dobbelsteen’. Er zijn bij dit experiment in het totaal 26 = 64 gebeurtenissen. Verklaar dit !

gebeurtenis

Bij het uitvoeren van een kansexperiment met uitkomstenverzameling U is een gebeurtenis een deelverzameling van U.

Notatie :– We stellen een gebeurtenis voor met de hoofdletters A, B, C …

– Voor een gebeurtenis A geldt dus :A ⊂ U.

Beschouw opnieuw de gebeurtenis A = { 2, 4, 6 }

Veronderstel dat je een dobbelsteen opwerpt en als uitkomst 2 bekomt.

Omdat 2 ∈ A zeggen we dat de gebeurtenis A optreedt of dat A gerealiseerd wordt.

Enkele bijzondere gebeurtenissen :

aDe zekere gebeurtenis

De uitkomstenverzameling U van een experiment is een deelverzameling van zichzelf. We noemen ze de zekere gebeurtenis.

Je merkt op dat bij het gooien met een dobbelsteen U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } steeds gerealiseerd wordt. U is dus een zekere gebeurtenis.

bDe onmogelijke gebeurtenis

De lege verzameling ∅ is een deelverzameling van U. We noemen ze de onmogelijke gebeurtenis

Inderdaad: wat ook de uitkomst van een experiment is, die uitkomst kan nooit tot ∅ behoren, ∅ kan zich dus onmogelijk voordoen, ∅ wordt nooit gerealiseerd.

Voorbeeld :

Een zeven werpen met een correcte dobbelsteen is een onmogelijke gebeurtenis.

cElementaire of enkelvoudige gebeurtenis

Een deelverzameling van U die uit één enkele uitkomst bestaat, een singleton van U dus, noemen we een elementaire of enkelvoudige gebeurtenis

Als U = { u 1, u 2, …, un }, dan zijn E1 = { u 1}, E2 = { u 2}, … , En = { un} elementaire gebeurtenissen.

Voorbeeld :

Bij het experiment ‘gooien met een dobbelsteen’ zijn { 1}, { 2}, , { 6} gebeurtenissen die individuele uitkomsten beschrijven, het zijn de 6 elementaire gebeurtenissen van U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

dAfgeleide gebeurtenissen

Doorsnede van 2 gebeurtenissen

Beschouw 2 gebeurtenissen A en B van een uitkomstenverzameling U.

A ∩ B = { u ∈ U | u ∈ Aen u ∈ B}

De gebeurtenis A ∩ B doet zich voor enkel en alleen als A en B zich beide voordoen.

Vereniging van 2 gebeurtenissen

A ∪ B = { u ∈ U | u ∈ Aof u ∈ B}

De gebeurtenis A ∪ B treedt op als en slechts als de gebeurtenis A en/of de gebeurtenis B zich voordoet.

Verschil van 2 gebeurtenissen

A \ B = { u ∈ U | u ∈ Aen u / ∈ B}

De gebeurtenis A ⧵ B doet zich voor enkel en alleen als A zich voordoet en B niet.

Tegengestelde of complement van een gebeurtenis

A = { u ∈ U | u / ∈ A}

A doet zich voor enkel en alleen als A zich niet voordoet. Merk op dat U =∅ en ∅= U.

Disjuncte gebeurtenissen

We zeggen dat twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten of disjunct zijn als hun doorsnede de onmogelijke gebeurtenis is.

A en B zijn disjunct ⟺ A ∩ B =∅

Twee disjuncte gebeurtenissen kunnen dus nooit tegelijkertijd optreden.

Voorbeeld :

2 verschillende elementaire gebeurtenissen, 2 tegengestelde gebeurtenissen.

Voorbeeld :

Bij het gooien met een dobbelsteen beschouwen we de volgende gebeurtenissen :

A : even aantal ogen

B : aantal ogen is een kwadraat

A ∩ B = { 4 }

A ∪ B = { 1, 2, 4, 6 }

A ⧵ B = { 2, 6 }

4Relatieve frequentie en kans

De Deltawerken :

A = { 2, 4, 6 }

B = { 1, 4 }

B ⧵ A = { 1 }

A = { 1, 3, 5 }

B = { 2, 3, 5, 6 }

Voordat de overstromingsramp in 1953 plaatsvond, waren de dijken in Nederland op een hoogte dat je zo’n ramp gemiddeld een keer in 300 jaar kon verwachten. Met de afsluiting van de Oosterschelde zijn de Deltawerken voltooid. De dijken zijn nu op deltahoogte. Dat houdt in dat een dijkhoogte is gekozen waarbij een ramp zoals in1953 gemiddeld één keer in de 10000 jaar kan voorkomen. Bij de berekening van hoogte van dijken maken ingenieurs gebruik van kansrekening. Hierbij worden kansen gebruikt die gebaseerd zijn op meetgegevens of ervaringen. Zulke kansen heten empirische kansen. Hoe groot schat je de kans dat een ramp als in 1953 volgend jaar plaatsvindt? En in het jaar 2035 ?

aRelatieve frequentie van een gebeurtenis

Als bij n experimenten de gebeurtenis A zich n maal voordoet, dan noemen we de relatieve frequentie van A het getal f A = n A n of f A = hetaantalkeerdatdegebeurteniszichvoordoet hetaantalkeerdathetexperimentuitgevoerdwordt

In de beschrijvende statistiek heb je al kennisgemaakt met het begrip relatieve frequentie. We herhalen even met een voorbeeld.

Bij een onderzoek naar het gebruik van internet bij jongeren, werd aan 1200 leerlingen van het vijfde jaar gevraagd hoeveel keer per dag ze iets posten op hun sociale media. De resultaten staan in de volgende frequentietabel.

We kiezen willekeurig een leerling van het vijfde jaar. Omdat 168 leerlingen op 1200 niets posten, zeggen we dat de kans op gebeurtenis A, leerling post 0 keer per dag, gelijk is aan

168

1200 = 0,14.

Notatie :P ( leerling post 0 keer per dag) = 0,14 = 14%

De letter P komt van probabilitas, dit is het Latijnse woord voor ‘kans’.

P ( leerling post maximaal 2 keer per dag) = 840 1200 = 70%

bKans op een gebeurtenis

Je ziet dat de kans op een gebeurtenis niets anders is dan de relatieve frequentie van die gebeurtenis.

In het kanshistogram hiernaast staan de kansen die uit de tabel volgen. De som van alle kansen is 1.

empirische kans

De empirische kans op een gebeurtenis A = P (A) = frequentievanA totalefrequentie

Kansen geef je aan met getallen tussen 0 en 1. Zo ontstaat de kansschaal in de volgende figuur.

KANSSCHAAL

onmogelijk

Het is een jaar lang windstil in Vlaanderen.

Je gooit kruis bij het tossen met een muntstuk.

zeker

Morgen gaat de zon op in Vlaanderen.

posts per dag

cSchatten van de kans op een gebeurtenis

Voorbeeld 1 : geldstukken gooien

Annelies gooit 10 keer met een geldstuk. Ze krijgt drie keer munt en zeven keer kruis. “Dat is onmogelijk”, zegt ze, “die munt is niet zuiver”.

Enkele klasgenoten van Annelies hebben elk met een geldstuk gegooid. Ze telde het aantal keren ‘munt’.

De resultaten staan in de tabel.

Bereken telkens de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’. Van welk getal zal de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’ op den duur weinig verschillen als nog veel vaker wordt gegooid ?

Bij een kansexperiment kun je de kans schatten door het experiment een groot aantal keren uit te voeren en de relatieve frequentie te berekenen. De ervaring leert dat de relatieve frequentie een steeds betere schatting geeft van de kans naarmate je het experiment vaker uitvoert. Die eigenschap heet de wet van de grote getallen (zie blz.18)

Zo komt de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’ steeds dichter bij 0,5 te liggen. De kans op munt is gelijk aan 0,5 of ook P( munt) = P( kruis) = 0,5.

Voorbeeld 2 : kaarten trekken

Als je 1300 keer een kaart zou trekken uit een spel van 52 kaarten ( met terugleggen en telkens goed door elkaar schudden), dan zal het aantal getrokken azen ongeveer 100 bedragen. De relatieve frequentie van de gebeurtenis A ‘een aas trekken uit een spel van 52 kaarten’ is dan gelijk aan 100 1300 = 1 13

Dit is wat we bedoelen als we kortweg zeggen: “De kans op een aas is 1 13 ”. We weten dit ook door de symmetrie ( elke kaart speelt dezelfde rol)

Aangezien 4 van de 52 kaarten azen zijn en er geen enkele reden is om aan te nemen dat bepaalde kaarten meer kans maken om getrokken te worden dan andere, is de kans dat je een aas trekt gelijk aan 4 52 = 1 13

Voorbeeld 3 : gooien met 1 dobbelsteen

Op dezelfde manier weten we dat de kans om met één dobbelsteen een 6 te gooien gelijk is aan 1 6 omdat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn als de dobbelsteen niet vervalst is.

Dit blijkt ook uit een computersimulatie ( zie figuur) van het werpen van 1 dobbelsteen, waarbij eerst voor 60 worpen en daarna voor 8000 worpen telkens de frequentie grafisch geïllustreerd wordt d.m.v. een histogram. De uniforme verdeling ( alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk) komt goed naar voren bij een zeer groot aantal worpen.

Voorbeeld 4 : gooien met 2 dobbelstenen

We bekijken nu de computersimulatie van het werpen met 2 dobbelstenen.

Hoeveel verschillende uitkomsten ( voor de som van de ogen) zijn er ?

Niet elk van die uitkomsten iseven waarschijnlijk. Welke uitkomst heeft de grootste kans ?

De niet-uniforme verdeling (niet alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk) komt goed tot uiting bij een zeer groot aantal worpen. Hoe gaan we de kans op een gebeurtenis berekenen bij een uniforme en een niet-uniforme verdeling ?

5Uniforme kansverdeling: formule van Laplace

Als de uitkomstenverzameling U n elementen telt en alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, dan is de kans op elke uitkomst ui ( elementaire gebeurtenis) gelijk aan 1 n

P ({ u i }) = P ( u i ) = 1 n =⇒ n i = 1 P ( u i ) = 1

Voor een gebeurtenis A met p elementen is de kans gelijk aan p n

Formule van Laplace :

P (A) = p n

P ( A) lees je als: de kans van A of de waarschijnlijkheid van A of de probabiliteit van A.

De formule van Laplace wordt vaak anders opgeschreven :

P (A) = p n = aantalvoorAgunstigeuitkomsten aantalmogelijkeuitkomsten = #A #U

Gevolgen : •P( U) = 1en P( ∅) = 0

• ∀ A ⊂ U : 0 ⩽ P( A) ⩽ 1

Je hebt hier een voorbeeld van een theoretische kansberekening. Een theoretische kans kun je precies berekenen zonder het kansexperiment uit te voeren, statistisch cijfermateriaal te raadplegen of metingen te doen. Het is dan belangrijk een overzicht te hebben van alle mogelijke uitkomsten. Vervolgens zoek je de gunstige uitkomsten en bereken je de kans.

In de praktijk vinden we heel wat gevallen van uniforme kansverdelingen :

– het gooien van een zuivere dobbelsteen ;

– het trekken van een knikker uit een vaas ;

– het opgooien van een zuiver muntstuk ;

– het trekken van de hoofdprijs van een tombola ;

– het bepalen van een nummer in een eerlijk roulettespel ;

– het kiezen van een te controleren exemplaar uit een voorraad van geproduceerde stukken ;

– het aanwijzen van een proefpersoon op een lijst met mogelijke namen ;

– het trekken van een kaart uit een goed geschud spel.

6Enkele toepassingen op de regel van Laplace

Voorbeeld 1 : dobbelstenen

Bij het gooien met een zuivere dobbelsteen beschouwen we de gebeurtenis A : een aantal ogen gooien dat deelbaar is door 3. Bereken de kans van A.

Oplossing :

We vinden dat A = { 3, 6 } ⟹# A = 2

We weten dat # U = 6

Omdat het hier gaat om een uniforme kansverdeling kunnen we de formule van Laplace toepassen : P (A) = 2 6 = 1 3

Voorbeeld 2 : twee dobbelstenen

We gooien met twee zuivere dobbelstenen. Beschouw de gebeurtenis A : de som van het aantal ogen op de twee stenen is gelijk aan 6. Bereken de kans van A.

Oplossing :

In dit geval is U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } × { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Dus U = {( 1, 1); ( 1, 2); ( 2, 1); ( 2, 2); ; ( 6, 6)} ⟹# U = 36

We vinden de gebeurtenis A = {( 1, 5); ( 2, 4); ( 3, 3); ( 4, 2); ( 5, 1)} ⟹# A = 5

Volgens de formule van Laplace is dus : P (A) = 5 36 .

Voorbeeld 3 : knikkers

We trekken blindelings een knikker uit een vaas die 3 rode en 7 witte knikkers bevat. Wat is de kans dat de getrokken knikker rood is ?

Oplossing :

We kunnen veronderstellen dat alle knikkers evenveel kans hebben om getrokken te worden. We hebben hier dus te maken met een uniforme kansverdeling. Beschouw de gebeurtenis A: een rode knikker trekken ⟹# A = 3 Uit het gegeven leiden we af dat # U = 10

Volgens de formule van Laplace is P (A) = 3 10 = 30%.

Pierre-Simon Laplace (1749– 1827)

Laplace wordt geboren op 28 maart 1749 in Beaumont-en-Auge (Normandië) als zoon van een landbouwer. Hij gaat naar school tot zijn zestiende. Al vlug is duidelijk dat wiskunde zijn roeping is en in 1769 wordt hij wiskundeleraar aan de militaire school in Parijs. Daar was in 1784 en 1785 een zekere Napoleon Bonaparte een van zijn leerlingen. Laplace hield zich vooral bezig met de waarschijnlijkheidstheorie en de sterrenkunde. In 1794 wordt hij professor in de wiskunde aan de École Polytechnique in Parijs, waar de beste studenten worden opgeleid tot ingenieurs en legerofficieren. Als Napoleon in 1799 aan de macht komt, benoemt hij Laplace tot minister van Binnenlandse Zaken. Als dank draagt Laplace zijn meesterwerk Mécanique Céleste (hemelmechanica) aan Napoleon op.

Laplace overlijdt in Parijs op 5 maart 1827, precies 100 jaar na zijn grote voorganger Newton. Laplace

In 1812 publiceert hij zijn Théorie Analytique des probabilités. Dit boek bevat een overzicht van de kansrekening uitgewerkt door zijn voorgangers Fermat, Pascal, Bernoulli, aangevuld met zijn eigen bevindingen. In verband met kansrekening schreef Laplace het volgende: “De waarschijnlijkheidstheorie is in de grond niets anders dan het gezond verstand gereduceerd tot cijfers. Ze stelt ons in staat precies weer te geven van wat grote genieën instinctief voelen zonder dat ze er rekenschap van geven.”

7Niet-uniforme kansverdeling

De klassieke kansberekening volgens Laplace laat ons in desteek als de symmetrie verbroken wordt, zoals bij een verzwaarde dobbelsteen. De uitkomsten zijn niet meer evenwaarschijnlijk. In dit geval is het onmogelijk de kans te kennen zonder te steunen op relatieve frequenties.

Voorbeeld 1 : de vervalste dobbelstenen

Voor een normale dobbelsteen verwachten we intuïtief dat in een lange reeks herhaalde experimenten de relatieve frequentie van ‘zes ogen gooien’ niet veel van 1 6 zal afwijken. Dit werd aangetoond met een computersimulatie op blz.14. Wat echter te denken van een vervalste dobbelsteen die aan één zijde verzwaard is ?

Om dit geval te onderzoeken zetten we een reeks van 1500 herhaalde experimenten op. Na elk groepje van 30 worpen enlater na elk groepje van 150 worpen bepalen we het totale aantal zessen en de relatieve frequentie van de gebeurtenis : een zes gooien.

We stellen de resultaten grafisch voor t.o.v. een rechthoekige basis. Op de x -as duiden we de omvang ( aantal worpen) aan, op de y -as de relatieve frequentie. We stellen vast dat de relatieve frequenties in het begin grote schommelingen ondergaan, maar op het einde niet sterk meer veranderen. We constateren dat op den duur vrij kleine schommelingen optreden rond een getal dat tussen 0,3300 en 0,335 ligt, dus ongeveer gelijk is aan 1 3

3030060090012001500 frequentie omvang x y

Dit intuïtief aanvoelen krijgt een ruggensteuntje van de experimentele wet van de grote aantallen die zegt dat bijeen toenemend aantal pogingen de relatieve frequentie van een bepaalde gebeurtenis zich meer en meer stabiliseert. We nemen hier de relatieve frequentie over een lange periode als waarde voor de kans, bij gebrek aan symmetrieoverwegingen. We kunnen dus stellen dat de kans op zes ogen in dit geval gelijk is aan 1 3 .

Op dezelfde manier bepalen we de kans op de andere uitkomsten. De kansverdeling voor de vervalste dobbelsteen ziet er als volgt uit :

Hieruit blijkt dat kant 1 van de dobbelsteen lichtjes verzwaard is, waardoor 1 minder vaak voorkomt en de overstaande kant 6 daarentegen meer. We berekenen de kans op gebeurtenis A: ten minste 2 ogen gooien.

A = {2,3,4,5,6} =⇒ P (A)= P (2)+ P (3)+ P (4)+ P (5)+ P (6)= 32 36 = 8 9 of A = {1} =⇒ P A = 1 9 =⇒ P (A)= 1 1 9 = 8 9

Wepassenhierde complementregel toe:P (A)+ P (A)= 1

Voorbeeld 2 : afgekeurde objecten bij industriële productie De volgende tabel geeft het aantal verworpen producten aan bij achtereenvolgens 10 reeksen van 25, 10 reeksen van 250 en 10 reeksen van 2500 voorwerpen, alsook de corresponderende relatieve frequenties van afkeuring.

Voor n = 25 varieert het percentage tussen 0 en 16; voor n = 250 tussen 3,2 en 8,8; voor n = 2500 tussen 5,4 en 6,4. We zien duidelijk het effect van het vermeerderen van het aantal waarnemingen in de reeks, namelijk de grotere stabiliteit van de relatieve frequentie. We stellen vast dat de ware waarde van de relatieve frequentie bij 6% gelegen is. We kunnen hieruit besluiten dat de kans op een afgekeurd object 0,06 is.

Besluiten :

1 Experimentele wet van de grote aantallen :

De relatieve frequentie van een gebeurtenis bij herhaalde experimenten heeft de neiging steeds minder af te wijken van een zeker reëel getal als het aantal experimenten toeneemt. De relatieve frequentie gaat zich meeren meer stabiliseren.

2 De kans op een gebeurtenis :

Bij een experiment met een niet-uniforme kansverdeling is de kans op een gebeurtenis, het reëel getal waarrond de relatieve frequenties van de gebeurtenis gesitueerd zijn bij een zeer groot aantal herhalingen van hetexperiment. We nemen de relatieve frequentie over een lange periode als waarde voor de kans, bij gebrek aan symmetrieoverwegingen.

3 De kansverdeling :

– De som van alle kansen van alle uitkomsten moet 1 zijn.

– De kans van een gebeurtenis A ≠∅ is de som van de kansen van de uitkomsten in A.

4 Enkele gevallen waarbij de kansverdeling met deze methode van de relatieve frequentie bepaald zal worden : – bij het opgooien van een vervalste dobbelsteen of een verbogen muntstuk ; – bij kwaliteitscontroles van nieuwe gloeilampen is de kans op een defecte lamp heel wat kleiner dan dekans op een niet-defecte lamp ;

– voor de diensten van het openbaar vervoer is het belangrijk dat de kans dat trein of bus op tijd aankomt veel groter is dan de kans dat ze niet op tijd zijn ;

– bij het opgooien van een duimspijker kan deze op 2 manieren terechtkomen. De kans dat de punt omhoog wijst is niet gelijk aan de kans van het andere geval.

8Statistisch bepalen van kansen

Voorbeeld 1 : kans op een meisje

Veel mensen denken dat bij een zwangerschap de kans op een meisje 0,5 is.

De enige manier om de kans op een meisje te bepalen, is de statistieken raadplegen. Hieruit blijkt dat in Vlaanderen de kans op een meisje ongeveer 0,4887 is en niet 0,5. Er worden immers ongeveer 48,87% meisjes geboren en 51,13% jongens.

Voorbeeld 2 : sterftetafels en overlevingskansen

Ten behoeve van het verzekeringswezen hebben ze sterftetabellen i.v.m. overlevingskansen van bepaalde leeftijdsgroepen opgesteld, zoals in gebruik in de actuariële wiskunde. Herleid op 1 miljoen inwoners registreerden ze het aantal overlevenden ( Lx ) en bijgevolg ook het aantal sterfgevallen ( Dx ) per leeftijdscategorie.

De resultaten staan in de tabellen van bijlage 1 en 2 blz.138 en 139.

a Gebruik de tabel om de kans af te lezen dat een pasgeboren jongen 80 jaar oud zal worden. Zelfde vraag voor een meisje.

Antwoord :

– Voor een jongen is de kans : L80 L0 = 571123

– Voor een meisje is de kans : L80 L0 = 722256

b Wie heeft de grootste kans om 100 jaar te worden: een meisje van 16 of een vrouw van 80 ?

Antwoord :

De vrouw van 80 is al een eind onderweg en heeft dus logisch gezien meer kans om 100 jaar te worden dan een meisje van 16.

Uit de tabel lezen we af dat de kans om 100 jaar te worden voor een meisje van 16 is :

L100

L16 = 34710 996041 = 0,03484796 ≈ 3,48%

Analoog is de kans om 100 jaar te worden voor een vrouw van 80 :

L100

L80 = 34710 722256 = 0,04805775 ≈ 4,81%

c Bereken de kans dat een jongen van 16 de leeftijd van 65 jaar niet bereikt.

Antwoord :

Uit de tabel lezen we af dat de kans om 65 jaar te worden voor een jongen van 16 is :

L65

L16 = 870382

994950 = 0,87479974 ≈ 87,48%

De kans dat een jongen van 16 geen 65 jaar oud wordt, is 1 0,8748 = 0,1252 = 12,52%

Opmerking :

Die overlevingskansen moeten wel gerelativeerd worden, want de levensverwachting verandert in functie van de tijd. Dankzij de vooruitgang van de geneeskunde en de verbetering van de levensomstandigheden, is de levensverwachting in België tijdens de twintigste eeuw met meer dan 40% toegenomen. Ook nu weten we niet precies hoe de sterftetafels er binnen 50 of 100 jaar zullen uitzien.

Verder gaan die overlevingskansen over ‘gemiddelde Belgen’. Extra informatie kan de kansen sterk veranderen : weet je bijvoorbeeld dat de betrokkene rookt, dan zakt zijn of haar levensverwachting een heel stuk !

9Kansbomen

Voorbeeld 1 : kinderen en kansen

In een gezin worden twee kinderen geboren. Neem aan dat bij elke geboorte de kans op een jongen gelijk is aan 0,5113 en de kans op een meisje 0,4887.

Bereken nu de kans :

a dat het eerste kind een jongen en het tweede kind een meisje is.

b dat het kinderen van hetzelfde geslacht zijn.

Antwoord :

De kansboom bij deze opgave ziet er als volgt uit :

1e kind

2e kind

a De kans dat het eerste kind een jongen is en het tweede een meisje :

0,5113 0,4887 = 0,2499 ≈ 24,99%

b De kans dat het twee jongens zijn: 0,5113 0,5113 = 0,26142769 ≈ 26,14%

De kans dat het twee meisjes zijn: 0,4887 0,4887 = 0,23882769 ≈ 23,88%

De kans op twee kinderen van hetzelfde geslacht: 0,26142769 + 0,23882769 = 0,5002554 ≈ 50,03%

Uit deze opgave onthouden we volgende regels :

1 De som van de kansen bij de takken die uit eenzelfde vertakkingspunt vertrekken, is altijd gelijk aan 1.

2 Wanneer we in een kansboom verdergaan langs een bepaalde tak, moeten we de kansen van de deeltakken vermenigvuldigen.

3 Wanneer verschillende takken goed zijn, moeten we de kansen van die takken optellen.

Taak : bereken de gevraagde kansen opnieuw als je aanneemt dat de kans op een jongen gelijk is aan de kans op een meisje. Vergelijk je antwoorden met de vorige.

Voorbeeld 2 : knikkers

In een bak zitten drie witte, vier zwarte en drie rode knikkers.

We nemen lukraak een eerste knikker, leggen hem niet terug en nemen dan lukraak een tweede knikker. Bereken de kans dat de tweede getrokken knikker rood is.

Antwoord :

De kansboom ziet er als volgt uit : eerste knikker tweede knikker

Is dit toevallig ?

Bereken bijvoorbeeld de kans dat de derde knikker een rode is (als de eerste twee knikkers niet worden teruggelegd ) en vergelijk met de kans dat de eerste knikker een rode is, namelijk 3

Voorbeeld 3 : schaken

Annelies en Bert schaken 18 maal tegen elkaar. Daarvan wint Annelies 9 partijen, Bert wint er 6 en drie spelletjes eindigen met remise. Ze spelen nu nog driemaal tegen elkaar.

Bereken telkens de kans van de volgende gebeurtenissen.

a De drie partijen worden gewonnen door Annelies.

b Twee partijen eindigen op remise.

c Bert wint minstens één keer.

Antwoord :

We beschouwen de volgende gebeurtenissen elk met hun empirische kans, afgeleid uit hun relatieve frequentie.

c De kans dat Bert minstens 1 partij wint = 1 de kans dat Bert geen enkele partij wint (complementregel). De kans dat Bert een partij niet wint is 2 3 . Hieruit volgt dat de kans dat Bert geen enkel van de 3 spelen wint

Voorbeeld 4 : trekkingen met terugleggen

In een vaas zitten 4 gele en 2 rode knikkers. We trekken 3 knikkers met terugleggen. Bereken de kans op precies 1 rode knikker.

In dit geval gaat het om een samengesteld experiment, waarbij de drie deelexperimenten onafhankelijk zijn, omdat een getrokken knikker teruggelegd wordt.

P( 1 rode en 2 gele knikkers) = 3

Voorbeeld 5 : trekkingen zonder terugleggen

In een vaas zitten 4 gele en 2 rode knikkers. We trekken 3 knikkers zonder terugleggen. Bereken de kans op precies 1 rode knikker.

Oplossing :

P( 1 rode knikker) = P( GGR) + P( GRG) + P( RGG) = 1

In dit geval gaat het om een samengesteld experiment, waarbij de drie deelexperimenten afhankelijk zijn. Na het trekken van de eerste knikker blijven er nog 5 knikkers over.

Voorbeeld 6 : lotto

Bij de lotto krijg je 6 getallen van 1 tot 45. Onder het toeziend oog van een deurwaarder en televisiekijkers rollen er dan op de eerstvolgende woensdag of zaterdag zes balletjes uit een doorzichtige ‘trommel’ waarin 45 genummerde balletjes aan het dansen waren.

Bereken de kans om 6 getallen juist te hebben.

Oplossing :

Let op: de volgorde van de zes getallen is van geen tel. Er is dus geen ‘eerste’ aangekruist getal, geen tweede enz. Er zijn gewoon 6 aangekruiste en 39 niet-aangekruiste getallen.

Vul de volgende kansboom verder aan :

GOKVERSLAVING

Het is bij wet verboden aan jongeren onder de 18 om deel te nemen aan kansspelen. Ook het lottospel kan verslavend werken. Een gokverslaafde is eerder geneigd om te gokken en vaker te spelen bij spelen waar de uitslag direct bekend is. Hoe merk je dathet de slechte kant uitgaat? Als je langer speelt dan je van plan was, als je tegen anderen liegt over je gokgedrag en als je (wanneer je niet gokt) altijd aan gokken denkt. Een gewaarschuwd persoon is er twee waard !

De kans dat het eerste balletje een van de zes aangekruiste getallen draagt, is volgens de regel van Laplace 6 45 Als het eerste balletje een van de zes is, dan zitten er nog 44 balletjes in de trommel waarvan 5 goede. In het andere geval zitten er ook nog 44 balletjes in, maar de 6 goede zijn er nog allemaal.

Zo vinden we dat de kans om de 6 getallen juist te hebben gelijk is aan

8145060 (productregel).

10Samenvatting

• Je kent de methodes om kansen te berekenen:

1 uniforme kansverdeling

Alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk.

Formule van Laplace: P (A) = #A #U = aantalvoorAgunstigeuitkomsten aantalmogelijkeuitkomsten

2 niet-uniforme kansverdeling

De uitkomsten zijn niet meer even waarschijnlijk.

– De kans op een gebeurtenis is het reëel getal waarrond de relatieve frequenties van de gebeurtenis gesitueerd zijn bij een zeer groot aantal herhalingen van het experiment.

– De relatieve frequentie van een gebeurtenis A die zich n A maal voordoet bij n experimenten is f A = n A n

– Hierbij gelden volgende regels :

• De som van alle kansen van alle uitkomsten moet 1 zijn.

• De kans van een gebeurtenisA ≠∅ is de som van de kansen van de uitkomsten in A.

3 kansbomen

Hierbij gelden volgende regels :

– De som van de kansen bij de takken die uit eenzelfde vertakkingspunt vertrekken, is altijd gelijk aan 1.

– Wanneer we in een kansboom verdergaan langs een bepaalde tak, moeten we de kansen van de deeltakken vermenigvuldigen. Dit noemen we de productregel voor kansen. Die regel wordt gebruikt wanneer ‘en’ in de formulering van de boom voorkomt.

– Wanneer verschillende takken goed zijn, moeten we de kansen van die takken optellen. Dit noemen we de somregel. Die regel gebruiken we wanneer ‘of’ in de formulering van de kans voorkomt.

4 complementregel

AlsAen Acomplementairegebeurtenissenzijn,dangeldt:P (A)+ P (A)= 1.

11 Oefeningen

Kruis of munt.

a Geef de uitkomstenverzameling van het experiment ‘opgooien van 3 geldstukken’.

b Geef de volgende gebeurtenissen door opsomming. Maak een boomdiagram en bereken de kans op elke gebeurtenis.

A: ten hoogste tweemaal kruis gooien

B: driemaal hetzelfde resultaat gooien

c Omschrijf de volgende gebeurtenissen met woorden en door opsomming. Bereken daarna de kans op elke gebeurtenis.

A,A ∪ B,A ∩ B,A \ B

2 3 6 5 4 3 2 1 4 5 6

Geef de uitkomstenverzameling van het experiment ‘drie knikkers na elkaar trekken uit een bak die drie knikkers met verschillende kleur ( rood, groen, blauw) bevat’ als :

a elke trekking gebeurt met terugleggen ;

b elke trekking gebeurt zonder terugleggen.

Een voorwerp heeft de vorm van een regelmatig achtvlak met zijvlakken a 1, a 2, , a 8.

Aan de gebeurtenis { a 1 }, zijvlak a 1 blijft boven liggen bij het gooien, wordt 0,16 als kans toegekend. Alle andere elementaire gebeurtenissen { ai } hebben dezelfde kans. Bepaal die kans.

Beschouw het experiment ‘kiezen van een cijfer met behulp van dit rad’. We veronderstellen bovendien dat het rad nooit zal stilstaan op een scheidingslijn.

a Geef de uitkomstenverzameling.

b Bepaal de kans van elke elementaire gebeurtenis. Is de kansverdeling uniform ?

c Bepaal de kans van de gebeurtenis A: het getrokken cijfer is even of deelbaar door 3.

Kun je hier de formule van Laplace toepassen ?

Bij het opgooien van een punaise observeren we de ligging ervan als ze op de tafel neergekomen is. Het blijkt dat de uitkomstenverzameling U = { punt omhoog, punt omlaag }

We werpen de punaise 3000 maal. Bij 1800 worpen valt de punt naar beneden. Welke waarde geef je dan aan de kans op ‘punt omhoog’ en aan de kans op ‘punt omlaag’ ?

We trekken een kaart uit een spel van 52 kaarten. Beschouw de gebeurtenissen A en B.

A: trekken van een hartenkaart

B: trekken van een aas

a Hoe zou je de volgende gebeurtenissen beschrijven ?

A ∪ B,A ∩ B,B \ A, A ∩ B

b Bereken de kans van elke gebeurtenis.

c Toon aan : A ∪ B = A ∩ B

In een school bestaat de leerlingenraad uit 15 leerlingen. 10 leerlingen zijn van de derde graad, waarvan 5 jongens en 5 meisjes. 5 leerlingen zijn van de tweede graad, waarvan 3 jongens en 2 meisjes. We kiezen hieruit een voorzitter voor de leerlingenraad.

Wat is de kans dat het een jongen is ?

De kans dat een bepaalde scheikundeproef lukt, is volgens de ervaring 0,32.

a Bereken de kans dat de proef vier keer achter elkaar mislukt.

b Bereken de kans dat de proef minstens drie van de vier keer lukt.

c Bereken de kans dat de proef minstens één van de vier keer lukt.

d De scheikundeleraar demonstreert de proef een aantal keren. Hij wil dat de kans dat de proef minstens eenmaal lukt groter is dan 0,96. Zoek met je rekentoestel uit hoeveel keren hij de proef minstens moet doen.

In een urne zitten drie ballen, genummerd met de getallen 1, 2 en 3. Er wordt lukraak een bal uit de urne genomen. Het getal dat op de bal staat, wordt genoteerd en de bal wordt terug in de urne gelegd. Op dezelfde manier wordt een tweede en een derde trekking gedaan.

Als de som van de drie genoteerde getallen 6 is, wat is dan de kans dat de bal met het nummer 2 drie keer werd getrokken ?

De frisdrankautomaat in de refter van onze school is tijdens de afgelopen 12 weken 5 dagen defect geweest. Hoe groot is de kans dat hij de volgende schooldag defect is ( vijfdagenweek)?

In de kruistabel hiernaast zijn van de leerlingen van klas 4E de kenmerken ‘geslacht’ en ‘leeftijd’ verwerkt.

a Bereken P ( leerling is een jongen van 14 jaar)

b Bereken P ( meisje is 16 jaar) = P ( 16 jaar onder de voorwaarde ‘meisje’) cP ( leerling van 15 jaar is een jongen)

Opmerking :

Kijk goed uit wat de totale frequentie is, want soms moet je je beperken tot een kleinere groep.

Een universitaire afdeling heeft 80 studenten. Van die studenten volgen er 20 logica, 30 volgen psychologie en 40 volgen geen van beide. We kiezen lukraak een student.

a Wat is de kans dat hij enkel psychologie volgt ?

b Wat is de kans dat hij logica of psychologie volgt ?

We gooien met 3 zuivere dobbelstenen.

a Bepaal de kans dat het product van het aantal ogen op de 3 stenen gelijk is aan 12.

b Bepaal de kans dat de som van het aantal ogen op de 3 stenen ten minste gelijk is aan 5.

c Bepaal de kans dat we met de 3 geworpen getallen een rekenkundige rij met verschil 1 kunnen vormen.

Twee koppels gaan samen naar het theater. Ze zetten zich willekeurig op 4 naast elkaar liggende plaatsen. Hoe groot is de kans dat niemand naast z’n partner zit ?

Stel dat we een spelletje darts spelen met een doel zoals in de figuur hiernaast. Als we een pijltje gooien en de schijf S raken, wat is dan de kans dat we in de roos zitten ?

In een loopwedstrijd met drie deelnemers is de kans dat deelnemer a wint drie keer die van b . De kans dat deelnemer b wint, is twee keer die van c Bepaal de kans op winnen van elk van de deelnemers a , b en c .

Een lifter wil zich van plaats O naar A begeven. Hij doet dit door lukraak een van de drie wegen te nemen die uit O vertrekken. Vanuit de knooppunten B1, B2, B3 kiest hij opnieuw lukraak uit de aangegeven wegen (zie figuur). Wat is de kans dat de lifter in A aankomt ?

In een doos zitten kaartjes waarop getallen van drie cijfers geschreven staan. Voor het eerste cijfer zijn er vier mogelijkheden: 1, 2, 3 of 4. Het aantal kaartjes van elk type is zodanig berekend dat iemand die lukraak een kaartje uit de doos neemt, een kans 0,425 heeft op een getal beginnend met 1, een kans 0,25 op een getal beginnend met 2, een kans 0,20 op een getal beginnend met 3 en een kans 0,125 op een getal beginnend met 4. Bereken de kans om een kaartje te trekken waarop :

a het eerste cijfer even is ; b het getal kleiner is dan 400.

Jeroen, Lien en Wouter vormen een quizploeg. Om een vraag over sport op te lossen, heeft Jeroen een kans 0,8, Lien een kans 0,7 en Wouter een kans 0,6.

Bereken de kans dat hun ploeg de sportvraag oplost.

Met een verbogen geldstuk is de kans om kruis te gooien gelijk aan 0,3. Met een tweede verbogen geldstuk is de kans om munt te gooien 0,25.

Bereken de kans om tweemaal hetzelfde resultaat te krijgen als elk geldstuk eenmaal opgegooid wordt.

Een vaas bevat 24 blauwe en 16 groene knikkers. Michiel neemt er willekeurig en na elkaar 3 knikkers uit. Bereken eerst met terugleggen en nadien zonder terugleggen de kans op precies 2 groene knikkers. Gebruik voor beide gevallen een kansboom.

Een inwoner van stad A trekt elke dag met de wagen naar stad B om zijn dagtaak te vervullen. Daarbij heeft hij de keuze tussen twee wegen (a en b ) die hem ongeveer even snel naar de tussenliggende stad C brengen. Vandaar neemt hij meestal de hoofdweg (d ) naar B. Bij grote drukte kan hij echter ook gebruikmaken van twee alternatieve wegen (c en e ). a b c d e A C B

De keuze van het gevolgde traject hangt voor een deel van de omstandigheden af, maar de ervaring leert dat weg a tweemaal meer wordt benut dan weg b en dat weg d driemaal zo vaak wordt gebruikt als c en e

a Bereken P( a ), P( b ), P( c ), P( d ) en P( e )

b Hoe groot is de kans dat de inwoner van stad A de volgende werkdag het traject ae volgt ? Gebruik hiervoor een kansboom.

In een loterij met 5000 biljetten zijn er 250 prijzen. Wat is de kans :

a dat we met één biljet prijs hebben ?

b dat we met 2 biljetten twee prijzen hebben ?

c dat we met 2 biljetten minstens één prijs hebben ?

We trekken op aselecte wijze twee kaarten uit een spel van 52 kaarten zonder terugleggen. Bereken de kans :

a dat de tweede getrokken kaart een aas is ;

b dat de twee kaarten azen zijn.

Een muntstuk wordt 4 maal geworpen. Bereken de kans van de volgende gebeurtenissen :

a 4 maal kruis gooien ;

b meer kruis dan munt gooien.

Er zal een kindje geboren worden en je weet nog niet of het een jongen is of een meisje. Gebruik de sterftetabellen en het feit dat 48,87% van de pasgeborenen meisjes zijn om de kans te bepalen dat het kind de leeftijd van 18 jaar bereikt. Stel een kansboom op.

Een man en een vrouw van 28 jaar huwen. Wat is de kans dat ze hun gouden bruiloft (50 jaar gehuwd) samen zullen vieren ?

*

Wie heeft de grootste kans om 90 jaar te worden: een meisje van 16 of een man van 75? Raadpleeg de sterftetafels om het probleem op te lossen.

Een landbouwer huurt een groot stuk weiland van een oud koppel. De man is 70 jaar en de vrouw is 67 jaar oud. Hij weet dat de erfgenamen andere plannen hebben met het stuk grond wanneer beide eigenaars sterven. Wat is de kans dat hij het stuk weiland nog 15 jaar kan gebruiken? Stel een kansboom op met behulp van de sterftetafels.

Het verjaardagsprobleem.

Neem aan dat de verjaardagen op aselecte wijze verdeeld zijn over de 365 dagen van het jaar. Als je te maken hebt met mensen waarvan je de verjaardag niet kent, bereken dan :

a de kans dat een bepaalde persoon vandaag jarig is ;

b de kans dat twee bepaalde personen vandaag jarig zijn ;

c de kans dat twee bepaalde personen op dezelfde dag jarig zijn ;

d de kans dat in een groep van drie personen er minstens twee dezelfde verjaardag hebben ; e de kans dat een bepaalde persoon jarig is op 29 februari.

Vier vrienden komen elke maand samen en ze hebben de lekkere gewoonte om dan telkens pralines te eten. De afspraak is dat er geloot wordt wie de volgende keer voor pralines zorgt. Ze doen hiervoor telkens

4 knikkers (3 witte en 1 zwarte) in een zakje.

Wie de zwarte knikker trekt, moet de volgende keer een doos pralines meebrengen. Een jaar lang werkt dit systeem goed tot iemand opmerkt dat het eigenlijk niet eerlijk is; wie de eerste knikker nam, zou minder kans op de zwarte knikker hebben dan de tweede, die minder dan de derde … Immers, de eerste heeft een kans van een op vier om de zwarte knikker te krijgen, bij de tweede is die kans, indien hij aan beurt komt, een op drie. Wat denk je hiervan ?

Stel het trekken van de knikkers voor in een boom en bereken hiermee de kans dat de eerste die trekt de zwarte neemt, dat de tweede de zwarte neemt

Het probleem van Chevalier de Méré

Toon aan (zoals Pascal deed voor de Méré) dat de kans op minstens 1 zes bij 4 worpen met 1 dobbelsteen groter is dan de kans op minstens 1 dubbele zes bij 24 worpen met 2 dobbelstenen.

Hint : bereken eerst de kansen van de tegengestelde ( complementaire) gebeurtenissen.

Voor kerstavond spreken drie broers af dat elkeen één cadeautje koopt zonder er een naam op te plakken. De cadeaus worden blindelings en aselect aan een broer toegewezen. Wat is de kans dat niemand zijn eigen cadeau krijgt?

Los dit probleem opnieuw op met respectievelijk vier en vijf broers.

Vier worpen met een (onvervalste) dobbelsteen geven a , b , c en d ogen.

a Bereken de kans dat het product a · b · c · d even is.

b Bereken de kans dat de som a + b + c + d even is.

Bereken de kans dat je met één gewone dobbelsteen en een viervlaksdobbelsteen eenzelfde aantal ogen gooit.

Toon gooit met twee identieke dobbelstenen een 3 en een 5. Jonas mag nu gooien en moet proberen om minstens 3 of hoger met de ene dobbelsteen en 5 of hoger met de andere dobbelsteen te gooien. Hoeveel kans heeft hij?

In het damestennis wordt vaak ‘best of three’ gespeeld. Dat wil zeggen: wie het eerst twee sets wint, wint de partij. Tot nu toe heeft Annelies 60% van alle sets die ze tegen Bea gespeeld heeft, gewonnen. Hieronder zie je de kansboom waarin is aangegeven hoe de partij kan verlopen.

a Neem de kansboom over en werk hem af.

b Bereken de kans dat Bea de partij wint.

Urne A bevat een wit en een zwart bolletje. Urne B bevat 5 zwarte en 3 witte bolletjes en urne C bevat 4 zwarte en 4 witte bolletjes.

Simon neemt eerst een bolletje uit urne A. Is het bolletje zwart, dan neemt hij daarna een bolletje uit urne B. Is het bolletje uit urne A echter wit, dan neemt hij het tweede bolletje uit urne C.

a Bepaal de kans dat Simon twee witte bolletjes uit de urnen haalt.

b Bepaal de kans dat Simon twee bolletjes van verschillende kleur trekt.

Op een tafel staan twee vazen. In de eerste vaas zitten 4 groene en 2 blauwe ballen, in de tweede vaas één groene en één blauwe bal. We trekken aselect uit de eerste vaas een bal en werpen die in de tweede vaas. Nadien trekken we uit de tweede vaas een bal. Wat is de kans dat de tweede bal blauw is ?

Uit een bak met 3 gele en 7 paarse bollen wordt één bol getrokken. Aan Bram wordt gevraagd welke kleur die bol heeft. Bram liegt echter 2 van de 3 keer. Bram zegt: “De bol is geel”. Bereken de kans dat de bol effectief geel is.

Een muis gaat van haar hol (H) naar de kaas (K) en terug. Wat is de kans dat ze de muizenval (V) niet passeert ?

Je leerkracht wiskunde heeft 2 kinderen. Uit betrouwbare bron weet je dat er zeker een jongen bij is. Je wilt je leerkracht bedanken voor de bijlessen over kansrekening die je kreeg. Terwijl je twee geschenkjes uitzoekt voor de twee kinderen, vraag je je af wat de kans is dat ze allebei een jongen zijn.

In de videogame Nine Lives heeft de kat Felix negen levens. Hij maakt gevaarlijke sprongen die hem een leven kunnen kosten. Bij de n-de sprong belandt Felix met kans 1 n netjes op zijn poten, in het andere geval verliest hij een leven. Wat is de kans dat Felix na 10 sprongen nog niet alle levens opgebruikt heeft ?

Aida dobbelt met drie speciale, kubusvormige dobbelstenen. Van twee dobbelstenen is de ontvouwing gegeven. De derde dobbelsteen heeft op elk zijvlak drie of vier ogen en heeft in totaal 20 ogen. Wat is de kans dat de som van de gegooide ogen gelijk is aan 12 ?

46

47

48

49

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2022, oefening 27 45

Kaya en Mina willen door loting bepalen wie het laatste ijsje krijgt. Ze hebben een muntstuk met verschillende kansen op kop of munt bij het tossen. Kaya kiest kop en Mina kiest munt. Hoe kunnen ze toch eerlijk loten ?

(A)Ze tossen drie keer en kiezen de kant die het vaakst voorkomt.

(B) Ze tossen een aantal keer tweemaal na elkaar tot ze twee verschillende kanten krijgen. Ze kiezen de laatste kant.

(C)Ze tossen een aantal keer tweemaal na elkaar tot ze twee dezelfde kanten krijgen. Ze kiezen de laatste kant.

(D)Ze tossen een aantal keer driemaal na elkaar tot ze drie dezelfde kanten krijgen. Ze kiezen de laatste kant.

(E)Het is niet mogelijk om eerlijk te loten met dat oneerlijke muntstuk.

VWO 2021 tweede ronde, vraag 28 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In Arendland bestaat een gsm-nummer uit zes cijfers en in Buizerdland uit zeven cijfers. Elk cijfer van 0 tot en met 9 kan overal voorkomen. Zo is 000000 een gsm-nummer in Arendland en 1234567 een gsm-nummer in Buizerdland. De kans dat een gsm-nummer in Arendland op 1 eindigt is:

(A)10 keer groter dan de kans dat een gsm-nummer in Buizerdland op 1 eindigt ;

(B)10 keer kleiner dan de kans dat een gsm-nummer in Buizerdland op 1 eindigt ;

(C)106 keer groter dan de kans dat een gsm-nummer in Buizerdland op 1 eindigt ;

(D)106 keer kleiner dan de kans dat een gsm-nummer in Buizerdland op 1 eindigt ;

(E)even groot als de kans dat een gsm-nummer in Buizerdland op 1 eindigt.

VWO 2022 eerste ronde, vraag 24 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In een vaas zitten 10 ballen die genummerd zijn met de getallen 1 tot en met 10. Dennis neemt lukraak drie ballen uit de vaas, in volgorde en zonder terugleggen. Wat is de kans dat het getal op de derde bal het gemiddelde is van de getallen op de eerste twee ballen?

(A)

In een doos zitten dubbel zoveel rode ballen als witte ballen. Als we lukraak twee ballen uit de doos nemen, is de kans dat ze een verschillende kleur hebben gelijk aan 7 15 . Hoeveel witte ballen zitten in de doos?

IJkingstoets

Je beschikt over een speciale dobbelsteen met 10 (in plaats van 6) vlakken. Op elk vlak staat een verschillend getal (1, 2, …, 10) en elk vlak heeft evenveel kans om geworpen te worden. Als je 5 keer gooit met die dobbelsteen, wat is dan de kans dat je precies 3 keer een 7 gooit ?

(A)0,00081

(B)0,0021

(C)0,0081

(D)0,021

51

52

We gooien met drie identieke, niet-vervalste kubusvormige dobbelstenen met op elke zijde van de dobbelsteen een verschillend aantal ogen van 1 tot en met 6. Noem N het aantal ogen van de dobbelsteen met het grootste aantal ogen. Wat is de kans dat N gelijk is aan 5 ?

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2021, oefening 19

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 6.15 50

Jef gooit vier keer met een niet-vervalste kubusvormige dobbelsteen. Elke zijde van de dobbelsteen bevat een verschillend aantal ogen van 1 tot en met 6. Wat is de kans dat hij na vier worpen evenveel keer even als oneven ogen gooide ?

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 3.23

Bij een dobbelspel wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Indien op de dobbelsteen 1 of 2 ogen zichtbaar zijn, dan ontvang je hiervoor een negatieve score van –0,25. Indien op de dobbelsteen een 5 of 6 tevoorschijn komt, dan krijg je hiervoor een positieve score van +1,0. Voor een 3 of een 4 krijg je een score van 0,0. De score van het spel is de som van de scores behaald in de 5 worpen samen. Wat is de kans dat je een score hebt die minstens 3 punten bedraagt ?

1.2 Kruistabellen en voorwaardelijke kansen

1Kruistabellen

Voorbeeld 1 :

In een school werd aan de leerlingen gevraagd of ze soms met de fiets naar school komen of niet.

Dit waren de resultaten :

• In de eerste graad (G1) komen 72 leerlingen soms met de fiets (F), 94 nooit (F).

• In de tweede graad (G2) komen 88 leerlingen soms met de fiets, 76 nooit.

• In de derde graad (G3) komen 67 leerlingen soms met de fiets, 103 nooit.

We kunnen die gegevens mooi weergeven in een tabel. G1G2G3

F 728867227

F 9476103273

totaal 166164170500

Die voorstelling noemen we een kruistabel

De getallen op de randen noemen we marginale waarden van de tabel.

Zo een tabel is handig bij het berekenen van kansen.

Een leerkracht spreekt willekeurig een leerling van de school aan. Wat is de kans dat :

• die leerling per fiets komt ?

aantal mogelijkheden: 500

aantal gunstige: 227

P(F) = 227 500 = 45,4%

• die leerling een leerling uit de tweede graad is ?

aantal mogelijkheden: 500

aantal gunstige: 164

P(G2) = 164 500 = 32,8%

• die leerling een leerling uit de derde graad is die nooit met de fiets komt ?

aantal mogelijkheden: 500

aantal gunstige: 103

P(G3 ∩ F)= 103

500 = 20,6%

Voorbeeld 2 :

Bij een nachtelijk bosspel krijgen de deelnemers drie attributen. Elke deelnemer krijgt een kompas (K), een stafkaart (S) of gps (G) en een zaklamp (Z) of walkietalkie (W).

De verdeling van de attributen vind je in volgend tabel. KSG totaal

Z 32151360

W 16 63 25

totaal 48211685

Een wandelaar in het bos komt een deelnemer van het bosspel tegen. Wat is de kans dat :

• de deelnemer een stafkaart bij zich heeft ?

P(S) = 21 85 = 24,7%

• de deelnemer een zaklamp bij zich heeft ?

P(Z) = 60 85 = 70,6%

• de deelnemer een walkietalkie en gps bij zich heeft ?

P(W ∩ G) = 3 85 = 3,5%

• de deelnemer geen kompas bij zich heeft ?

P (K)= 21 + 16 85 = 37 85 = 43,5%

• de deelnemer een kompas of gps bij zich heeft ?

P(K ∪ G) = 48 + 16 85 = 64 85 = 75,3%

• de deelnemer een zaklamp en walkietalkie bij zich heeft ?

P(Z ∩ W) = 0 85 = 0,0%

• de deelnemer een zaklamp of stafkaart bij zich heeft ?

P(Z ∪ S) = 32 + 15 + 13 + 6 85 = 66 85 = 77,6%

• de deelnemer geen stafkaart maar wel een zaklamp bij zich heeft ?

P (S ∩ Z)= 32 + 13 85 = 45 85 = 52,9%

2Voorwaardelijke kansen

Voorbeeld 1 :

Van 500 leerlingen uit het laatste jaar van het secundair onderwijs zijn twee zaken geregistreerd : hun geslacht ( J of M) en of ze al dan niet een bril dragen ( B of B)

De resultaten staan in de volgende tabel.

We nemen uit die groep studenten lukraak een persoon.

– We berekenen de kans dat het een meisje is.

P (M)= #M #U = 200 500 = 40%

– We berekenen nu de kans dat het gekozen meisje een bril draagt. Door de extra informatie (een meisje) verandert het aantal gunstige uitkomsten evenals het totale aantal uitkomsten.

Er zijn 200 meisjes, waaronder 68 met een bril. De kans dat het lukraak gekozen meisje een bril draagt, is 68

200 = 34%

We noemen die laatste kans een voorwaardelijke kans en noteren die als volgt :

P (B | M)

(Lees : de kans dat een student een bril draagt op voorwaarde dat het om een meisje gaat)

MerkopdatP (B | M)= 68 200 = 68

Analoogvindje:P (B | J)= 184 300 = P (B ∩ J)

Bij het berekenen van een kans waarbij we ons moeten beperken tot een bepaalde groep, deel je door de totale frequentie van die groep. Zo’n kans heet een voorwaardelijke kans.

We kunnen de tabel herschrijven tot een kansentabel.

De kansen in de rand (blauwe vakjes) noemen we de marginale kansen van de kruistabel.

voorwaardelijke kans

Beschouw een kansexperiment met universum U.

A en B zijn gebeurtenissen met P( A) ≠ 0.

De kans op een gebeurtenis B als een gebeurtenis A zich heeft voorgedaan, noemen we een voorwaardelijke kans en noteren we als

P (B | A) metP (B | A)= P (A ∩ B) P (A)

Opmerking :

Let op: P( B | M) ≠ P( M | B)

P( M | B) betekent immers de kans dat de student een meisje is op voorwaarde dat ze een bril draagt

P (M | B)= P (M ∩ B)

Voorbeeld 2 :

Een urne bevat 12 identieke balletjes, genummerd van 1 tot 12. We trekken volledig willekeurig een balletje uit de urne en richten onze aandacht op de volgende gebeurtenissen :

B1 : een nummer trekken groter dan 6 ;B1 = { 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

B2 : een oneven nummer trekken ;B2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

A: een nummer trekken dat een viervoud is ;A = { 4, 8, 12 }

Aangezien de kansverdeling uniform is, weten we dat :

P (B1 )= 6 12 = 1 2 enP (B2 )= 6 12 = 1 2 enP (A)= 3 12 = 1 4

Wat worden die kanswaarden als de bijkomende inlichting wordt gegeven dat het getrokken nummer een viervoud is ?

• P (B1 | A)= P (B1 ∩ A) P (A) = 2 12 3 12 = 2 3

We kunnen het vorige resultaat gemakkelijk begrijpen: de verzameling telt drie viervouden waarvan er twee groter zijn dan 6.

• P (B2 | A)= P (B2 ∩ A) P (A) = 0 3 12 = 0

Voorbeeld 3 :

Op een zomersportkamp kiest elke deelnemer een watersport (surfen (S), zeilen (Z) of waterskiën (W)) en een racketsport (badminton (B), tennis (T) of padel (P)). De aantallen van de gemaakte keuzes staan in de volgende tabel.

Bereken de kans dat een deelnemer:

• badmintont.

P(B) = 55 135 = 40,7%

• niet zeilt.

P (Z)= 68 + 19 135 = 64,4%

• padelt en surft.

P (P ∩ S)= 8 135 = 5,9%

• tennist als je weet dat hij ook waterskiet.

P (T | W)= P (T ∩ W) P (W) = 8 19 = 42,1%

• waterskiet als je weet dat hij ook tennist.

P (W | T)= P (W ∩ T) P (T) = 8 44 = 18,2%

• zeilt of niet padelt.

P (Z ∪ P)= 55 + 44 + 23 135 = 90,4%

• badmintont en niet surft.

P (B ∩ S)= 17 + 6 135 = 17,0%

• niet zeilt als je weet dat hij badmintont.

P (Z | B)= P (Z ∩ B) P (B) = 32 + 6 55 = 69,1%

• padelt als je weet dat hij niet zeilt.

P (P | Z)= P (P ∩ Z)

(Z) = 8 + 5 68 + 19 = 14,9%

• niet surft als je weet dat hij niet tennist.

P (S | T)= P (S ∩ T) P (T) = 17 + 6 + 23 + 5 55 + 36 = 56,0%

3Voorwaardelijke kansen en kansbomen

Voorbeeld 1 :

In het bergdorp Oetz in het Oostenrijkse Tirol leven gedurende het toeristische hoogseizoen vier keer zoveel toeristen als autochtonen. 60% van de toeristen draagt een folkloristische hoed, typisch voor de streek. Daarentegen draagt slechts 30% van de plaatselijke bevolking een tirolerhoed. Als je op straat een persoon met een tirolerhoed tegenkomt, wat is dan de kans dat hij een toerist is ?

Oplossing :

T: toerist

T H

: geen toerist

toeris

H: draagt hoed

: draagt geen hoed

Antwoord : als je op straat in Oetz een persoon met een tirolerhoed tegenkomt, dan is de kans 8 op 9 dat die persoon een toerist is.

Voorbeeld 2 :

Twee vazen bevatten paarse (P) en oranje (O) bollen. Vaas A bevat 3 paarse en 7 oranje bollen. Vaas B bevat 6 paarse en 4 oranje bollen. Je kiest volledig willekeurig een van de vazen en daarna neem je twee bollen (zonder teruglegging) uit die vaas. Beide bollen blijken paars te zijn (PP). Wat is de kans dat je vaas A gekozen had ?

Antwoord : de kans dat je vaas A koos, is 1 op 6.

Voorbeeld 3 : lichaamslengte

In een tennisclub is de lichaamslengte van 15% van de mannen en van 5% van de vrouwen groter dan 185 cm. 60% van de leden zijn mannen. Een lid van de club wordt willekeurig uitgekozen. Bereken de kans dat het om een vrouw gaat, als we weten dat diegene die gekozen werd meer dan 185 cm meet.

Oplossing :

De kansboom ziet eruit als volgt :

P (V | L185 )=

Op dezelfde manier vinden we :

P

M |

Voorbeeld 4 : een kankertest

Veronderstel dat een test voor kanker de eigenschap heeft dat 90% van de mensen die kanker hebben positief reageren en 5% van de mensen die geen kanker hebben ook positief reageren.

Veronderstel bovendien dat in een bepaald ziekenhuis 1% van de patiënten kanker heeft.

Kies willekeurig een patiënt in dat ziekenhuis en laat hem de test ondergaan.

Als hij positief reageert op de test, wat is dan de kans dat hij kanker heeft ?

Oplossing :

K: een persoon van het ziekenhuis heeft kanker.

K: een persoon van het ziekenhuis heeft geen kanker.

T: een getest persoon van het ziekenhuis reageert positief.

T: een getest persoon van het ziekenhuis reageert niet positief.

We stellen een kansboom van het probleem op.

Uit de boom lezen we af dat de kans dat een getest persoon positief reageert gelijk is aan

P (T)= P (K ∩ T)+ P (K ∩ T)= 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,05

De kans dat een persoon kanker heeft en positief reageert op de test is gelijk aan

P(T ∩ K) = 0,01 · 0,9

De kans dat iemand kanker heeft als hij positief reageert, is gelijk aan

Dit is een verrassend resultaat.

Enerzijds is de diagnosetest zeer betrouwbaar want in 90% van de gevallen waarin kanker aanwezig is, zou de test dit aan het licht brengen.

Anderzijds zou slechts in 15,4% van de gevallen waarin de test kanker aanwijst, werkelijk kanker aanwezig zijn. Dit relativeert heel sterk de betekenis van de testuitslag.

Opmerking :

In plaats van een kansboom op te stellen, kunnen we het probleem ook oplossen aan de hand van een kanstabel.

4Productwet van de kansrekening

Als voorwaardelijke kansen rechtstreeks bepaald kunnen worden, dan levert de definitie een goed middel om de kans op de doorsnede van 2 gebeurtenissen te bepalen.

UitP (B | A)= P (A ∩ B)

P (A) metP (A) = 0volgtimmersdat

P (A ∩ B)= P (A) P (B | A) ofP (AenB)= P (A) P (B | A)

Voorbeeld :

In een bak zitten drie witte, vier zwarte en drie rode knikkers. We nemen lukraak een eerste knikker, leggen die niet terug en nemen dan lukraak een tweede knikker.

De kansboom van dit experiment ziet er als volgt uit :

2 P(W2 | W1) = 9

4 P(Z2 | W1) = 9

3 P(W1) = 10

3 P(Z2 | Z1) = 9

4 P(Z2

W1 : 1e knikker is wit ;W2 : 2e knikker is wit ; analoog voor R1, R2, Z1, Z2

Merk op dat in een kansboom vanaf de tweede vertakking altijd voorwaardelijke kansen op de takken staan. De kans van elke uitkomst wordt dan gevonden door toepassing van de productregel op de getallen, vermeld op de ‘boomtakken’.

Opmerkingen :

1 OmdatP (A | B)= P (A ∩ B) P (B) metP (B) = 0,geldtdusookdatP (A ∩ B)= P (B) · P (A | B)

2 De productregel kan ook uitgebreid worden voor 3 of meer gebeurtenissen.

P (A ∩ B ∩ C)= P [(A ∩ B) ∩ C]

= P (A ∩ B) · P (C | A ∩ B)

= P (A) · P (B | A) · P (C | A ∩ B)

Algemeen : P (A1 ∩ A2 ∩ ∩ An )= P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (An | A1 ∩ A2 ∩ ∩ An 1 )

Voorbeeld :

We zoeken de kans om met één rooster winnaar van rang 1 (6 nummers juist) te worden bij de lotto.

Li = de i -de getrokken bal is de goede

P (winnaar rang 1)

= P (L1 ∩ L2 ∩ L3 ∩ L4 ∩ L5 ∩ L6 )

= P (L1 ) · P (L2 | L1 ) · P (L3 | L1 ∩ L2 )

5Afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen

Voorbeeld 1 : dragen van een bril

We keren terug naar het voorbeeld van blz. 37: het onderzoek naar het dragen van een bril bij 500leerlingen van het laatste jaar secundair.

We vinden :

P (B)= 184 500 = 36,8%

P (B | M)= 68 200 = 34%

De twee kansen zijn verschillend van elkaar. De kans op het dragen van een bril wordt blijkbaar gewijzigd als we weten dat de onderzochte proefpersoon een meisje is. We zeggen daarom dat in de groep van 500 leerlingen de gebeurtenissen B en M afhankelijk zijn.

Merk op dat : P(B ∩ M) = 68 500 = 0,136

P(B) = 184 500

P(M) = 200 500

Hieruit volgt dat: P(B) · P(M) = 184 500 · 200 500 = 0,1472

VoordeafhankelijkegebeurtenissenBenMisP(B ∩ M) = P(B) P(M)

Voorbeeld 2 : gooien met dobbelstenen

Josefien gooit met een witte en een zwarte dobbelsteen. We beschouwen de volgende gebeurtenissen :

A : een even aantal ogen gooien met de witte dobbelsteen. B : het werpen van 5 of 6 ogen met de zwarte dobbelsteen.

We vinden : P(A) = 18 36 = 1 2

P(A | B)= 6 12 = 1 2

P(A) = P(A | B)

P(B) = 12 36 = 1 3

P(B | A)= 6 18 = 1 3

P(B) = P(B | A)

Hieruit blijkt dat het optreden van B geen invloed heeft op de kans van A en is ook het optreden van A zonder invloed op de kans van B. We noemen de gebeurtenissen A en B onafhankelijke gebeurtenissen.

MerkopdatP(A ∩ B) = 6 36 = 1 6 ,P(A) = 1 2 enP(B) = 1 3 ,zodatP(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Algemeen :

• IndiengeldtdatP(A) = P(A | B)noemenwedegebeurtenissenAenBonafhankelijk. HetoptredenvangebeurtenisBheeftgeenenkeleinvloedopdekansvangebeurtenisA.

Volgensdeproductregelgeldt:P(A ∩ B) = P(B) P(A | B)

ZijnAenBonafhankelijk,dangeldt:P(A | B) = P(A),zodatP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Bovendiengeldt:P(B | A) = P(A ∩ B) P(A) = P(A) P(B) P(A) = P(B)

• IndiengeldtdatP(A) = P(A | B)ofP(B) = P(B | A),dannoemenwedegebeurtenissenAenBafhankelijk. HetoptredenvandegebeurtenisBheeftwelinvloedopdekansvangebeurtenisA.

Indatgevalgeldt:P(A ∩ B) = P(A) P(B)

6Toepassing

Gegeven : Voor drie gebeurtenissen A, B, C (schematisch voorgesteld) geldt :

Gevraagd :

1 Bereken : aP (A\ (B ∪ C))

bP A ∩ B ∩ C

cP (B | A)

dP (A ∪ B) ∩ C

2 Welke van volgende uitspraken zijn waar? Verklaar.

e A en B zijn disjunct

f A en C zijn disjunct

g B en A zijn onafhankelijk h B en C zijn onafhankelijk

Oplossing :

Stel de kansen visueel voor op het venndiagram.

P(A \ B) =

P(B \ A) =

aP (A\ (B ∪ C)) =

gP(A ∩ B) = P(A)

7Samenvatting

• Je weet wat een voorwaardelijke kans betekent.

P (B | A)= P (A ∩ B)

P (A) alsP (A) = 0

P (A | B)= P (A ∩ B)

P (B) alsP (B) = 0

• Je kent de productwet van de kansrekening.

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B | A) P(C | A ∩ B)

P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) ... P(An | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An 1 )

• Je kan kansen berekenen met behulp van kansbomen en kruistabellen.

• Je weet wat de betekenis is van marginale kans.

• Je weet wanneer gebeurtenissen afhankelijk of onafhankelijk zijn.

AenBzijnonafhankelijkalsP (A)= P (A | B) ofP (B)= P (B | A).

Indatgevalgeldt:P (A ∩ B)= P (A) · P (B)

AenBzijnafhankelijkalsP (A) = P (A | B) ofP (B) = P (B | A)

Indatgevalgeldt:P (A ∩ B) = P (A) P (B)

8Oefeningen

De ouders van firma Q mogen voor hun kinderen voor het komend kerstfeestje een geschenk kiezen. De keuze bestaat uit een blokkendoos (BD), een boerderij (BO), een poppenset (PS) of een trein (TR). Al die keuzes bestaan in twee uitvoeringen: in hout (H) of in kunststof (K).

De keuzes zijn als volgt :

Als de kerstman een kind aanspreekt, wat is de kans dat het kind :

a een blokkendoos heeft gekozen ?

b houten speelgoed heeft gekregen ?

c een trein in kunststof heeft gevraagd ?

d geen poppenset heeft gekozen ?

e een boerderij of een trein heeft gekregen ?

f een blokkendoos uit hout of een trein uit hout heeft gevraagd ?

g geen houten speelgoed en geen boerderij heeft gekozen ?

h houten speelgoed of een blokkendoos heeft gekregen ?

Bij een schooluitstap zorgt de school voor een broodje en een drankje voor elk kind. Bij de broodjes kun je kiezen uit een broodje kaas (K), ham (H), tonijn (T) of veggie (V). Bij de drankjes mag elk kind kiezen uit water (W), frisdrank (F) of appelsap (A).

In de volgende tabel heb je een overzicht van de lunchpakketten die worden klaargemaakt.

Als een leraar een leerling aanspreekt, wat is de kans dat die :

a een broodje met kaas in zijn lunchpakket heeft ?

b water als drankje gekozen heeft ?

c een broodje met ham en frisdrank gekozen heeft ?

d geen tonijn gevraagd heeft ?

e appelsap of frisdrank drinkt ?

f water drinkt of een broodje kaas eet ?

g geen veggiebroodje of water gekregen heeft ?

h geen frisdrank in zijn lunchpakket heeft maar wel een broodje met ham ?

Gegeven is de volgende kruistabel :

Gevraagd: Bereken volgende kansen.

a P (R)

b P (L)

Gegeven is de volgende kruistabel:

Gevraagd: Bereken volgende kansen.

a P (B ∩ F)

b P (A)

c P (E ∪ G)

dP (F ∪ D)

eP (B ∩ E)

fP (G ∩ A)

gP

hP

iP

In een pretpark wordt op het einde van de achtbaan aan de bezoekers gevraagd hoelang ze moesten aanschuiven voordat ze op de attractie konden. De resultaten worden volgens leeftijd bijgehouden. De antwoorden van vandaag vind je in volgende tabel :

a Als je (vandaag) willekeurig iemand aanspreekt, wat is de kans dat hij meer dan een kwartier heeft moeten aanschuiven ?

b Als je willekeurig iemand aanspreekt, wat is de kans dat die persoon jonger is dan 16 jaar ?

c Je spreekt iemand aan ouder dan 50 jaar. Wat is de kans dat die persoon langer dan een half uur heeft moeten aanschuiven ?

d De persoon die je aanspreekt, moest minder dan een kwartier aanschuiven. Wat is de kans dat hij ouder is dan 16 ?

Tijdens de driedaagse in Parijs mogen de leerlingen van de school zelf kiezen welk museum ze willen bezoeken. Ze kunnen kiezen uit Musée Rodin, Musée d’Orsay en Centre Pompidou. De verdeling dit jaar is als volgt :

a Na de reis spreek je (willekeurig) een leerling aan. Wat is de kans dat die leerling Musée d’Orsay bezocht ?

b Aan een van de jongens vraag je welk museum hij heeft bezocht. Wat is de kans dat hij het Centre Pompidou niet heeft bezocht ?

c Je spreekt met een leerling die vol enthousiasme bezig is over het bezoek aan het museum van Rodin. Wat is de kans dat het een meisje is ?

Gegeven is de volgende kruistabel :

Bereken volgende kansen

a

Vul volgende kruistabel aan en bereken de gevraagde kansen.

Vul volgende kruistabel aan en bereken de gevraagde kansen.

a P (K2 | R2)

b P (R2 | K3)

cP (K1 | R1)

dP (R1 | K1)

Vul telkens de kruistabel in aan de hand van de gegevens.

eP (K3 | R2) fP (R3 | K2)

gP (K2 ∩ K4 | R3) hP (R1 | K1 ∪ K3)

• P (K)= 0,3

• P (E)= 0,2

• P (G)= 0,6

• P (K ∩ G)= 0,15

• P (F ∩ L)= P (F)

• P (L ∩ H)= 0,25

• P (E ∩ L)= P (E ∩ K)

• P (Y)= 0,3

• P (U | X)= 0,7

• P (S ∪ T)= P (S ∪ R)= 0,6

• P (R | X)= 0,2

Aan de leerlingen van het vijfde jaar werd gevraagd of ze het boek (B) of de serie (S) Bridgerton gelezen respectievelijk gezien hadden. Hun antwoorden schematisch voorgesteld waren :

• P (Y | R)= 0,6

• P (S | Y)= 0

• P (Z ∩ T)= 0,15

a Herschik die gegevens in tabelvorm.

b Bepaal P(B | S)enP(S | B).

16 17 18 19

Bereken :

aP (∅ | A)

bP (A | U)

cP (U | A)

De kans van een gebeurtenis A is 0,6 en de kans van A ∪ B is 0,8.

a Bepaal P(B) als A en B onafhankelijk zijn.

b Bepaal P(B) als A en B disjunct zijn.

dP (A | A)

Aan de leerlingen van de derde graad werd gevraagd of ze lid zijn van een sportclub (S), muziek beoefenen (M) of lid zijn van een jeugdbeweging (J). De resultaten waren :

Bepaal :

aP (S | J)

b P (M | S)

c P (J | M)

d P (J | S ∩ M)

eP (S | M ∩ J)

Juul, Gijs en Staf gaan schieten op de kermis. Zij doen dit al jaren en hebben hun scores heel goed bijgehouden. Uit hun succes tot nu toe leiden ze af dat de kans om raak te schieten respectievelijk 20%, 25% en 35% bedraagt. Elk vuurt eenmaal naar het doel.

a Wat is de kans dat een van hen raak schiet ?

b In dat geval, wat is de kans dat het de slechtste schutter was ?

Urne A bevat 3 zwarte bolletjes en 1 witte, een andere urne B bevat 2 zwarte en 4 witte. We nemen willekeurig een bolletje uit urne A en werpen dit in urne B. We trekken daarna een bolletje uit B en dit blijkt zwart te zijn. Bereken de kans dat het witte bolletje werd verwisseld van vaas.

Op een tafel staan twee vazen. De ene vaas bevat 3 paarse en 5 oranje bollen, de andere vaas 2 paarse en 6 oranje bollen. Je kiest op aselecte wijze een vaas, trekt daaruit een bol en die blijkt paars te zijn. Hoe groot is de kans dat de volgende bol, die je uit dezelfde vaas trekt, ook paars is ?

Op een tafel staan drie vazen. Vaas A bevat 3 paarse en 2 oranje bollen, vaas B 3 paarse en 4 oranje bollen en vaas C 3 paarse en 3 oranje bollen. We trekken op aselecte wijze een bol uit vaas A én een bol uit vaas B en werpen die in vaas C. Nadien trekken we op aselecte wijze een bol uit vaas C en die blijkt paars te zijn. Wat is de kans dat er zowel uit vaas A als vaas B een paarse bol getrokken was ?

Op een tafel staan drie vazen. Vaas A bevat één paarse en één oranje bol, vaas B bevat twee paarse bollen en vaas C twee oranje bollen. We trekken op aselecte wijze een bol uit vaas A en werpen die in vaas B. Nadien trekken we een bol uit vaas B en werpen die in vaas C. Ten slotte trekken we een bol uit vaas C en die blijkt paars te zijn. Hoe groot is de kans dat de eerste bol die getrokken is uit vaas A oranje was ?

In drie identieke vazen bevinden zich blauwe en groene ballen. Vaas A bevat 24 blauwe en 16 groene ballen, vaas B bevat 32 blauwe en 48 groene ballen en in vaas C bevinden zich 5 blauwe en 15 groene ballen. Een onschuldige hand trekt uit een willekeurige vaas een willekeurige bal. De bal wordt naar een andere plaats gebracht en we stellen vast dat die bal blauw is. Wat is de kans dat die bal uit vaas A komt ?

Bij het verlaten van een feestzaal kun je je laten onderwerpen aan een alcoholtest zodat je kunt nagaan of je mag rijden of niet. De test is echter niet 100% betrouwbaar: ze reageert slechts positief bij 94% van de mensen die te veel gedronken hebben en ze reageert ook bij 8% van de mensen die niet te veel gedronken hebben. Als je weet dat tijdens de avond 40% van de aanwezigen te veel gedronken heeft, bereken dan de kans dat als de test negatief reageert die persoon toch te veel gedronken heeft.

Drie identieke kasten A, B en C hebben elk twee laden. In allebei de laden van A ligt een goudstuk, in allebei de laden van C ligt een zilverstuk. In de ene lade van B ligt een goudstuk en in de andere een zilverstuk. Je opent een lade van een kast en je vindt een goudstuk. Wat is de kans dat je te maken hebt met kast B ?

Op het instrumentenbord van een wagen gaat normaal een rood waarschuwingslampje branden wanneer de oliedruk te laag is. Bij een bepaald model gaat dit lampje, wanneer de oliedruk te laag is, slechts branden in 98% van de gevallen. Anderzijds gaat het in 1% van de gevallen echter ten onrechte (zonder de minste reden) branden. Bovendien is geweten dat er bij dit wagenmodel 4% kans is dat de oliedruk te laag is. Veronderstel dat je op weg bent met zo’n wagen en het waarschuwingslampje gaat branden. Wat is de kans dat de oliedruk werkelijk te laag is ?

Uw buur heeft een nogal verouderd en wispelturig alarmtoestel tegen inbraak. Wanneer er in zijn huis ingebroken wordt, is er 95% kans dat het alarm in werking treedt.

Tijdens de laatste 8 weken is het echter zevenmaal, telkens zonder reden, in werking getreden. Uit politierapporten weet je dat de kans dat er op een dag in een huis in uw wijk ingebroken wordt, 0,0005 is.

Als het alarmtoestel van uw buur morgen in werking treedt, wat is de kans dat er werkelijk ingebroken wordt ?

In een fabriek worden uitlaten voor auto’s geproduceerd. De ervaring heeft geleerd dat er onder de uitlaten geproduceerd door één productielijn juist 3% niet voldoet aan de gestelde normen. Om die uitlaten te ontdekken wordt de volledige productie onderworpen aan een trekproef. We weten dat bij die proef 1% uitlaten die aan de normen voldoen toch worden afgekeurd en 2% uitlaten die niet aan de normen voldoen toch worden goedgekeurd. Een consument heeft een goedgekeurde uitlaat voor zijn wagen. Wat is de kans dat de aangekochte uitlaat niet aan de normen voldoet ?

29

In een magazijn bevinden zich 4 partijen (A, B, C, D) onderdelen waarvan er respectievelijk 5%, 5%, 8% en 10% defect zijn. De etiketten van de verpakkingen zijn echter verloren geraakt. We kiezen lukraak een van de partijen en nemen hieruit een staal van 10 onderdelen (te beschouwen als aselecte trekkingen met terugleggen, vanwege het grote aantal onderdelen). We stellen vast dat twee daarvan defect zijn. Wat is de kans dat het hier gaat om een partij met 5% defecte onderdelen ?

Vaas A bevat 9 balletjes genummerd van 1 tot en met 9. Vaas B bevat 5 balletjes genummerd van 1 tot en met 5. Er wordt lukraak een balletje getrokken. Bereken de kans dat het balletje uit vaas A komt als het getrokken cijfer even is.

15% van de bevolking van een bepaalde regio in Centraal-Afrika is besmet met het aidsvirus. Een willekeurige persoon uit de regio wordt onderworpen aan een hiv-test. Die test wordt gebruikt om bloed te testen op aanwezigheid van het hiv-virus. In feite detecteert de test antilichamen die worden aangemaakt wanneer het aidsvirus in het bloed aanwezig is. Wanneer er antilichamen in het bloed zitten, is de hiv-test positief met een kans van 0,995 en negatief met een kans van 0,005. Is de persoon niet besmet met het hiv-virus, dan geeft de test toch een positief resultaat in 1% van de gevallen en een negatief (dus correct) resultaat met een kans van 0,99. Hoe groot is de kans dat een persoon daadwerkelijk hiv-besmet is als de test positief uitvalt ?

Hieronder zie je een gedeeltelijk ingevulde kanstabel. De gebeurtenissen B en D zijn onafhankelijk, net als de gebeurtenissen C en E. Onderzoek of de gebeurtenissen A en D ook onafhankelijk zijn.

Voor een groep van 400 personen blijkt iedereen of bloedgroep AB of bloedgroep O te hebben. Van elk van die personen is de resusfactor (Rh+ of Rh–) gekend. Toon op twee manieren aan dat de gebeurtenissen ‘bloedgroep O’ en ‘resusfactor positief’ afhankelijk zijn.

Bij een bepaalde populatie is griep de meest voorkomende ziekte. De kans dat iemand uit die populatie griep heeft is 1%. Mensen met griep hebben 54,5% kans om koorts te hebben. Mensen zonder griep (maar met mogelijk een andere ziekte) hebben 4,5% kans om koorts te hebben. Beschouw een willekeurige persoon uit de populatie. De persoon heeft koorts. Wat is de kans dat de persoon griep heeft?

(A)1%

(B)10,9% (C)45,5% (D)54,5%

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 3.22

Ineenwoonzorgcentrumzijn40%vandebewonersmannelijken60%vrouwelijk.Erbreekteenbesmettingdoor eenvirusuit.Voordevrouwelijkebewonersisdekansopbesmetting 1 4 envoordemannelijkebewoners 1 2 .

Alseenvrouwbesmetis,isdekansopoverlijden 1 3 .Alseenmanbesmetis,isdekansopoverlijden 1 4 Hoegrootisdekansdateenlukraakgekozenbewonervanhetcentrumoverlijdttengevolgevanditvirus? (A)10%

Geschiedenis van de kansrekening

Kansspelen bestaan al duizenden jaren. In de prehistorie werd er al gespeeld en gegokt met een sprongbeen, een voorloper van onze huidige dobbelsteen. In Ur, een stad in het oude Mesopotamië, is een bordspel teruggevonden met dobbelstenen in de vorm van een viervlak. Op Egyptische grafschilderingen uit 3500 voor Christus zijn er mensen te zien die met astralagi of hielbotjes dobbelden. Ook bij de Grieken was het dobbelen een bekend gokspel (de drie broers Zeus, Poseidon en Hades dobbelden zelfs om de heerschappij over het heelal: Zeus won de hemelen, Poseidon de zeeën en Hades, de verliezer, kreeg de onderwereld).

De eerste vraagstukken over telproblemen treffen we aan in India in de 12eeeuw bij Bhaskara II (1114–1185). Toch duurde het tot de 14e eeuw voordat wiskundigen zich echt met gokspelletjes zouden bezighouden. Een eerste belangrijke vraagstuk, het ‘partijenvraagstuk’, vinden we in een Italiaans geschrift van 1380, maar een oplossing kwam er niet. “Twee partijen spelen een balspel waarbij punten gescoord kunnen worden. Ze hebben allebei evenveel kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Wegens slechte weersomstandigheden moet het spel bij de stand 5–3 gestaakt worden. Er wordt besloten om de pot te verdelen. De vraag is hoe dat moet gebeuren.” Twee Italianen onderzochten dit een eeuw later, maar ze kwamen tot een andere oplossing: wiskundige Luca Pacioli (1445–1517) en zijn collega Girolamo Cardano (1501–1576), die eigenlijk arts was van opleiding. Die laatste was de auteur van het boek over kansspelen Liber de ludo alaeae, en dat was de eerste praktische start voor de kansrekening.

Halfweg de 17e eeuw kreeg de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623–1662) het bovenstaande partijenvraagstuk voorgelegd door de Franse edelman en verwoed gokker Chevalier de Méré. Die schotelde hem ook andere kansproblemen voor die hij zelf niet kon oplossen. Pascal stortte zich samen met Pierre de Fermat (1601–1665) op de vraagstukken en rond 1655 waren de meeste ervan opgelost. Noem de twee heren dus gerust de grondleggers van de kansrekening zoals we die tegenwoordig nog steeds beoefenen.

Onder invloed van de handel en de ontdekkingsreizen kwamen tussen de 15e en de 17e eeuw in Italië en in Holland de eerste verzekeringsmaatschappijen op. Er ontstond daarbij behoefte aan werken met kansen om de risico’s op uitbetaling te berekenen. De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens (1629–1695) publiceerde in 1657 zijn boek over kansrekening Van rekeningh in Spelen van Geluck. Verscheidene problemen over kansspelen werden in deze publicatie opgelost.

Ook de albekende Duitser Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) deed zijn duit in het zakje met zijn boek De arte combinatoria van 1666; daar voerde hij de benaming variatie in. Raadspensionaris van Holland Johan de Witt (1625–1672) paste Huygens’ ideeën toe op het verzekeringswezen.

In zijn Waerdije van Lijfrenten naar Proportie van Losrenten uit 1671 berekende hij de sterftekansen die gebruikt werden bij het afsluiten van levensverzekeringen.

De Engelse koopman John Graunt (1620–1674) maakte in 1662 voor het eerst schattingen van dergelijke sterftekansen. Dat was een hele prestatie, want systematisch bevolkingsgegevens bijhouden deden ze toen nog niet. Hij zorgde er ook voor dat de eerste firma’s die levensverzekeringen afsloten, gebruik konden maken van zijn statistieken. Zijn gegevens werden ook gebruikt om lijfrenten te berekenen. We kunnen dus stellen dat de eerste systematische behandeling van de kansrekening dateert uit het midden van de 17e eeuw.

In de 18e eeuw werd de theoretische basis gelegd van deze ontluikende wetenschap door de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654–1705) in zijn werk Ars conjectandi Daarin werd voor het eerst gewerkt met kansen tussen 0 en 1. In dit werk is ook het boek van Huygens opgenomen en aangevuld met onder meer een grondige behandeling van de combinatieleer. Aan Bernoulli hebben we ook de benaming permutatie te danken. Ook de Britse wiskundige Abraham de Moivre (1667–1754) zette de studie van Huygens voort in zijn boek Doctrine of Chances, dat hij publiceerde in 1716.

De kansrekening werd een autonome wetenschap dankzij Gauss (1777–1855) en vooral dankzij Pierre-Simon Laplace (1749–1827) met zijn beroemde werk Théorie analytique des probabilités, dat in 1812 het signaal was voor een buitengewone ontwikkeling van de jonge wetenschap. In dit boek wordt de kans ingevoerd via de formule die je ook op blz. 15 vindt.

In de 20e eeuw is tegen deze vorm van de definitie gereageerd door terug te grijpen naar het begrip relatieve frequentie, dat in feite ook al Pascal en Fermat had geïnspireerd.

Tegenwoordig wordt algemeen uitgegaan van een axiomatisch systeem dat we danken aan de Russische wiskundige Andrej Kolmogorov (1903–1987) met zijn werk Grundbegriffe der Warscheinlichkeitsrechnung (1933). Sindsdien werd het wiskundige instrument op punt gesteld ten dienste van andere wetenschappen en van de techniek. De bepaling van risico’s speelt tegenwoordig een belangrijke rol voor bedrijven, vooral voor financiële instellingen zoals banken en verzekeringsmaatschappijen.

Kansrekenen 1

Ik weet wat een kansexperiment is en ik ken de betekenis van gebeurtenis, uitkomst en uitkomstenverzameling.

Ik

de betekenis van de zekere gebeurtenis, de onmogelijke gebeurtenis, elementaire of enkelvoudige gebeurtenis

Beschrijvende statistiek 2

Wiskunde wordt aan de lopende band gebruikt in het dagelijkse leven. Na het plukken van de appelen in de boomgaard worden die verwerkt. Sommige worden ‘premium’ ingepakt per 6, andere worden in bulk aangeboden en de vruchten die te veel afwijken van het ideale profiel verdwijnen in appelsap. Zullen we aan de hand van gezonde Belgische appelen onze tanden zetten in de basisbegrippen van de statistiek ?

De normale verdeling 3

Wiskunde wordt aan de lopende band gebruikt in het dagelijkse leven. Zo ook aan de lopende band … Aan het einde van zo’n band zit een controletoestel dat het gewicht controleert. Als er een afwijking van meer dan 10 gram is, wordt het pakje verwijderd. Statistieken helpen het bedrijf om een antwoord te vinden op vragen als ‘Hoeveel % van de afgeleverde pakken bevat minder dan 1 kg?’. Maar je kunt ook omgekeerd redeneren en je afvragen hoe de machines afgesteld moeten worden opdat slechts één procent van de pakken suiker in de recyclagebak verdwijnt.

De normale verdeling