VBTL 5/6 D-gevorderde wiskunde - Leerboek Analyse 3 en verloop van functies - inkijk methode (materi

Analyse 3 i Verloop van functies

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye LEERBOEK

Dit boek bevat zes hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur.

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

In dit boek bestuderen we eerst het verloop van algebraïsche functies (veelterm-, rationale en irrationale functies) en leren we een functievoorschrift opstellen vanuit de grafiek van een functie. Daarna onderzoeken we het verloop van exponentiële, logaritmische, hyperbolische, goniometrische en cyclometrische functies. Om een duidelijk beeld te krijgen van de grafieken van die functies moeten we meer weten over stijgen en dalen, extreme waarden, holle en bolle gedeelten, buigpunten en asymptoten. Zo kunnen we beter analyseren in welk interval we de grafiek moeten tekenen of wanneer we beter ICT gebruiken. Hierbij maken we gebruik van de differentiaalrekening, waarmee we in analyse 2 al kennismaakten.

Voor sommige architecten is dit stukje analyse onontbeerlijk, zo ook voor Calatrava, die onder andere het Ciudad de las Artes y las Ciencias in Valencia ontwierp. Of zoek eens op waarom Zaha Hadid de ‘queen of the curve’ wordt genoemd ...

Analyse 3 I Verloop van functies

1

2

en

3

Verloop van algebraïsche functies 1

Een astroïde is geen asteroïde. Je verkrijgt die mooie figuur door volgende stappen (bv. met behulp van ICT) te doorlopen.

Teken een cirkel met straal 4. Teken een inwendig rakende cirkel met straal 1.

In het raakpunt van beide cirkels plaats je een verfkwastje, dat je laat vasthangen aan de kleine cirkel.

Laat nu de kleine cirkel bewegen in de grote zodat ze elkaar blijven raken. De baan die de verfkwast heeft afgelegd, bepaalt een astroïde, een woord dat afgeleid is van het Griekse woord voor ‘ster’.

Met welk symbool van het klassieke kaartspel heb je hier te maken?

Verloop van algebraïsche functies

1Even herhalen

1Limieten

in a ∈ R in +∞ of in –∞

Veeltermfunctie Bereken de functiewaarde van de veeltermfunctie voor x = a

Rationale

functie f met f (x )= T(x ) N(x )

Irrationale functie f waarbij x in een noemer voorkomt

• Is a ∈ dom f , dan is lim x →a f ( x ) = f (a )

• Is T( a ) ≠ 0 en N( a ) = 0, dan is lim x →a f ( x ) =+∞ of −∞

Het tekenonderzoek van f ( x ) in een omgeving van x = a geeft uitsluitsel.

• Is T( a ) = N( a ) = 0, deel dan T( x ) en N( x ) door x – a en bepaal de limiet van de vereenvoudigde uitdrukking.

• Is a ∈ dom f , dan is lim x →a f ( x ) = f (a ).

• Is T ( a ) ≠ 0 en N ( a ) = 0, dan is lim x →a f ( x ) =+∞ of −∞.

Het tekenonderzoek van f ( x ) in een omgeving van x = a geeft uitsluitsel.

• Is T( a ) = N( a ) = 0, vermenigvuldig dan met en deel dan door de gepaste toegevoegde uitdrukking van de teller en (of) de noemer. Deel de teller en noemer dan door x – a en bepaal de limiet van de vereenvoudigde uitdrukking.

Bereken de limiet van de hoogstegraadsterm.

Bereken de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen in T( x ) en N( x ).

Irrationale functie f waarbij x niet in een noemer voorkomt

Goniometrische en cyclometrische functies

• Als a ∈ dom f , dan is lim x →a f ( x ) = f (a )

• Als a ∈ dom f , dan is lim x →a f ( x ) = f (a )

In sommige gevallen ∞ ∞ kunnen we als volgt te werk gaan :

breng in de teller en noemer van f ( x ) de hoogste macht van x voorop en vereenvoudig; hou er rekening mee dat

√ x 2 = x ( x → +∞)

√ x 2 = x ( x →−∞)

√ x 4 = x 2 ( x →±∞)

3 √ x 3 = x ( x →±∞)

In sommige gevallen (∞–∞) kunnen we als volgt te werk gaan :

vermenigvuldig en deel door de toegevoegde uitdrukking; het geval herleidt zich tot het vorige.

Insommigegevallen 0 0 bijgoniometrische encyclometrischefuncties kunnenwe alsvolgttewerkgaan:wevereenvoudigen deuitdrukkingmetbehulpvangoniometrischeformulesen(of)wehouden rekeningmet

lim x →0 sin x x = 1;lim x →0 tan x x = 1;

lim mx →0 sin(mx ) mx = 1;lim mx →0 tan(mx ) mx = 1;

lim x →0 Bgsin x x = 1

2Asymptoten

Verticale asymptoot

y x O x = c

y = f ( x )

Horizontale asymptoot

y = f ( x ) O x y y = c

y = mx + q

Schuine asymptoot

• De rechte l ↔ x = c ( ∈ R) is een verticale asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x )

lim x → < c f ( x )= ±∞ oflim x → > c f ( x )= ±∞

• Eigenschap : de grafiek van een rationale functie heeft een V.A. met vergelijking x = c als c een nulwaarde is van de noemer van het voorschrift van de functie die geen nulwaarde is van de teller.

• Ligging van de kromme t.o.v. een V.A. : onderzoek het teken van f ( x ) in een omgeving van c .

• De rechte l ↔ y = c ( ∈ R) is een horizontale asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x )

lim x →+∞ f ( x )= c oflim x →−∞ f ( x )= c

• Eigenschap : de grafiek van een rationale functie heeft een H.A. met vergelijking y = c als in het voorschrift van de functie gr T ⩽ gr N.

• Ligging van de kromme t.o.v. een H.A. : onderzoek het teken van f ( x ) – c voor x → –∞ respectievelijk x →+∞.

• De rechte l ↔ y = mx + q ( m ∈ R0 en q ∈ R) is een schuine asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x ) definitie lim x →+∞ [ f ( x ) (mx + q )]= 0oflim x →−∞ [ f ( x ) (mx + q )]= 0

• De rechte l ↔ y = mx + q ( m ∈ R0 en q ∈ R) is een schuine asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x ) formulesvanCauchy m = lim x →±∞ f ( x ) x en q = lim x →±∞[ f ( x ) mx ]

• Eigenschap : de grafiek van een rationale functie heeft een S.A. als in het voorschrift van de functie gr T = gr N + 1. De vergelijking van de schuine asymptoot vind je door het quotiënt van de euclidische deling van T door N te bepalen.

• Ligging van de kromme t.o.v. een S.A. : onderzoek het teken van f ( x ) – ( mx + q ) voor x → –∞ respectievelijk x →+∞.

3Afgeleiden

gemiddelde verandering van een functie

• De gemiddelde verandering van een functie f over een interval [ a , a +Δx ] wordt gegeven door het differentiequotiënt

∆ y

∆ x = ∆ f ( x ) ∆ x = f (a + ∆ x ) f (a ) ∆ x

•Het is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn s = rechte PQ.

•Dit is een benadering van de ogenblikkelijke verandering

Die benadering wordt steeds beter als Δx → 0 (als Q → P)

afgeleide van een functie in een punt

t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel geldt : f (a )= tan α met α =( x , t )

•Stel a is een inwendig punt van dom f ( a ∈ B(a, ε) ⊂ dom f ). Als het differentiequotiënt een eindige limiet heeft in a , dan noemen we dat getal de afgeleide van f in a

We noteren: f (a )= df dx x =a = lim ∆ x →0

f (a + ∆ x ) f (a ) ∆ x ∈ R (1)

•Het is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P( a , f ( a )) aan de grafiek van f

• De afgeleide van een functie f in een punt a is een maat voor de ogenblikkelijke verandering van f voor x = a

Opmerkingen :

1 Andere notatie voor f ′( a ):

Stel: a + ∆ x = x =⇒ ∆ x = x a

∆ x → 0 =⇒ x → a

(1) wordt: f (a )= lim x →a f ( x ) f (a ) x a (2)

2 Als de afgeleide f ′( a ) bestaat, zeggen we dat de functie f afleidbaar of differentieerbaar is in a . Het woord ‘afleiden’ betekent in het Engels: ‘to differentiate’.

3 Omdat a een inwendig punt van het domein moet zijn, bestaat er dus geen afgeleide in de randpunten van het domein.

De vergelijking van de raaklijn t in het punt P(a, f( a )) aan de grafiek van f wordt bepaald door : y – f( a ) = f ′( a ) · ( x – a ).

afgeleide functie

De afgeleide functie van een functie f is de functie f ′ die elke x waarin f afleidbaar is, afbeeldt op de afgeleide van f in x .

Het verband tussen afleidbaarheid en continuïteit: als f afleidbaar is in a , dan is f continu in a . Het omgekeerde geldt niet.

niet-afleidbare functies

Er zijn verschillende redenen waarom een functie f niet afleidbaar is in een inwendig punt a van het domein.

• f is niet continu in a

• f is continu in a , maar de linker- en rechterafgeleide van f in a zijn niet gelijk. In het punt P ( a , f ( a )) zijn er twee raaklijnen aan de grafiek van f .

• f is continu in a , maar er is een verticale raaklijn in P( a , f ( a )) aan de grafiek van f

D (sin x )= cos x

D (cos x )= − sin x

D (tan x )= 1

cos2 x

D (cot x )= −1 sin2 x

D (Bgsin x )= 1

D (sin x )= cos x

D (cos x )= − sin x

D (tan x )= 1 cos2 x

D [sin f (x )]= cos f (x ) D [ f (x )]

D [ f (x )]= cos f (x ) · D [f (x )]

D [cos f (x )]= sin f (x ) D [ f (x )]

D [cos f (x )]= − sin f (x ) D [f (x )]

D (cot x )= 1 sin2 x

D [tan (x )]= D [f (x )] cos2 f (x )

D [cot x )]= D [f (x )] sin2 f (x )

D [tan f (x )]= D [ f (x )] cos2 f (x )

D [cot f (x )]= D [ f (x )] sin2 f (x )

D (Bgsin x )= 1 √1 x 2

√1 − x 2 D [Bgsin f (x )]= D [f (x )] 1 [f (x )]2

D (Bgtan x )= 1

1 + x 2

D (Bgcot x )= 1 1 + x 2

D (Bgcos x )= 1 √1 x 2

D (Bgcos x )= 1 √1 − x 2 D [Bgcos f (x )]= −D [f (x )] [f (x )]2

D (Bgtan x )= 1 1 + x 2

D (Bgcot x )= 1 1 + x 2

D [Bgsin f (x )]= D [ f (x )] 1 − [ f (x )]2

D [Bgcos f (x )]= D [ f (x )] 1 [ f (x )]2

D [Bgtan f (x )]=

D [ f (x )] 1 +[ f (x )]2

Dc = 0

Dx = 1

Dx n = n x n 1 (n ∈ Q0 )

D 1 x = 1 x 2

D √ x = 1 2√ x

D 3 √ x = 1 3 3 √ x 2

D [Bgtan f ( D [f (x )] (x )]2

D [Bgcot (x )]

D [Bgcot f (x )]=

−D [ f (x )] 1 +[ f (x )]2

D (f + g )= Df + Dg

D (f − g )= Df Dg

D (f g )= f · Dg + g · Df

D (c · f )= c · Df

D f g = g · Df f · Dg g 2

D 1 f = Df f 2

Df m = mf m 1Df (m ∈ Q0)

dy dx = dy du du dx met u = f (x )

→ kettingregel

5Eigenschappen van functies in r

A Stijgen en dalen

Als f continu is in [ a , b ] en f ′( x ) > 0 voor elke x ∈ ]a , b [ , dan is f stijgend in [ a , b ].

Als f continu is in [ a , b ] en f ′( x ) < 0 voor elke x ∈ ]a , b [ , dan is f dalend in [ a , b ].

B Absolute en relatieve extrema extrema

f bereikt een relatief maximum minimum in a ∈ dom f

∃ Ba ⊂ dom f : ∀ x ∈ Ba \{a } : f ( x ) < > f (a )

stelling

f ′( x ) +–

f ( x ) ↗↘

f bereikt een absoluut maximum minimum in a ∈ dom f

∀ x ∈ dom f : f ( x ) f (a )

Als f continuisin a en ∃ Ba ⊂ dom f : ∀ x ∈ Ba : x < a =⇒ f ( x ) > < 0 x > a =⇒ f ( x ) < > 0 dan bereikt f een relatief maximum minimum in a

x a x a

f ′( x )

f ( x ) + ↗ max || f ( a ) –↘

f ′( x )

f ( x ) –↘ min || f ( a ) + ↗

Om de grafiek van de functie f te construeren, is de raaklijn t in het punt P ( a , f ( a )) van belang. We doen een beroep op de resultaten die we al in het boek ‘Analyse 2’ verkregen hebben. We geven een overzicht.

f ′( a ) = 0 ⟺ t // x

f iscontinuin a lim x →a f ( x )= ±∞ ⟹ t // y

f iscontinuin a linkerafgeleide = rechterafgeleide ⟹ er zijn twee verschillende raaklijnen t 1 en t 2 O x y P t a O x y P = keerpunt t a O x y

y P = knikpunt t1 t1 a O x y P a t2 t2 P = knikpunt

P = keerpunt t a O x y P t a O

Tweede afgeleide – test voor extrema

Als f continuisin Ba , f (a )= 0en f (a ) > < 0 dan bereikt f een relatief minimum maximum in a .

C Holle en bolle zijde – buigpunten f ′( x ) ↗ max ↘

f ( x ) hol bol buigpunt

Definities :

hol & bol

De grafiek van f is hol in [ a, b ] ⟺

f ′ is stijgend in [ a, b ]

buigpunt

f ′( x )

f ″( x ) 0 + 0 –f ( x ) minimummaximum

De grafiek van f is bol in [ a, b ]

f ′ is dalend in [ a, b ]

De grafiek van f heeft een buigpunt in a

f ′ bereikt een extremum in a en er is een raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a , f ( a ))

eigenschappen

1 Alsvoorelke x ∈ [a , b ] f continuisen f ( x ) > < 0, dan is de grafiek van f hol bol in [ a , b ]

2 Als f continu is in a en f ″ van teken verandert in a en er bestaat een raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a , f ( a )), dan heeft de grafiek van f een buigpunt in a

x a

f ″( x ) +–f ′( x ) ↗↘ f ( x ) ∪ hol buigpunt ( a , f ( a )) ∩ bol

De vergelijking van de buigraaklijn in het punt P ( a , f ( a )) is : y – f ( a ) = f ′( a ) ( x – a )

In een tabel, die het verloop van f ( x ) aangeeft, gebruiken we de volgende symbolen : f ′( x ) ++ f ″( x ) +–+–f ( x ) ⤴

hol stijgend ⤵ bol stijgend ⤷ hol dalend ⤵ bol dalend

stelling van Rolle

Als een functie f continu is in [ a , b ], afleidbaar is in ]a , b [ en f ( a ) = f ( b ), dan bestaat er minstens één punt c ∈ ]a , b [ zodat f ′( c ) = 0.

middelwaardestelling van Lagrange

Als een functie f continu is in [ a , b ] en afleidbaar is in ]a , b [ , dan bestaat er minstens één punt c ∈ ]a , b [ zodat f ( c )= f ( b ) f (a ) b a regel van de l’Hôpital

Als lim x →a f ( x )= lim x →a g ( x )= 0oflim x →a f ( x )= lim x →a g ( x )= ±∞, f en g afleidbaar zijn in Ba \{a } met g ( x ) = 0 en lim x →a f ( x ) g ( x ) bestaat, dangeldt:lim x →a f ( x ) g ( x ) = lim x →a f ( x ) g ( x )

Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661 – 1704)

Je las in het vorige boek al over deze markies, een Franse wiskundige uit Parijs wiens beroemde regel eigenlijk van de hand van zijn leermeester Johan Bernoulli zou zijn. De markies werd geboren in een (dat kon je al raden) adellijke familie. Hij ambieerde eerst een militaire loopbaan (net als zijn vader), maar door zijn bijziendheid was dat onmogelijk en stapte hij over naar de wiskunde. Op vijftienjarige leeftijd loste hij al een probleem op aangereikt door Blaise Pascal. Enkele jaren later hoorde hij al bij een club wiskundigen van Parijs, waar hij in 1691 de zes jaar jongere Johan Bernoulli leerde kennen, en de rest van dat verhaal kennen jullie ...

In 1693 werd hij lid van de Académie des sciences in Parijs, een vereniging die trouwens nog steeds bestaat. We situeren ook nog de andere twee wiskundigen van deze pagina (beiden Fransen ook): Michel Rolle (1652 – 1719) leefde in dezelfde periode als de markies en was ook 30 jaar lang lid van de Académie; Joseph-Louis Lagrange (van Italiaanse afkomst, 1736 – 1813) was iets later actief.

2Algemene werkwijze

Om het verloop van een functie f te bestuderen, doen we het volgende onderzoek :

1Domein

We bepalen dom f om te weten welke x -waarden een beeld hebben.

2Continuïteit

We onderzoeken in welke punten van dom f de functie continu is.

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

We bepalen de snijpunten van de grafiek van f met de x -as en de y -as. We onderzoeken het tekenverloop van f ( x )

4Symmetrie

We onderzoeken of de functie eventueel even of oneven is.

(on)even functie

f is even ⟺∀x ∈ dom f : f ( –x ) = f ( x )

De grafiek van f is symmetrisch om de y -as. f is oneven ⟺∀x ∈ dom f : f ( –x ) =–f ( x )

De grafiek van f is symmetrisch om de oorsprong O.

5Asymptoten

We stellen de vergelijkingen op van eventuele verticale (V.A.), horizontale (H.A.) of schuine asymptoten (S.A.) en onderzoeken de ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoten.

6Eerste afgeleide

We berekenen f ′( x ) en onderzoeken het tekenverloop. Zo bepalen we het stijgen en dalen van de functie f en zo vinden we de eventuele extrema van f .

7Tweede afgeleide

We berekenen f ″( x ) en onderzoeken het tekenverloop. Zo bepalen we de holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten. In de buigpunten kunnen we ook de buigraaklijn bepalen.

8Samenvattende tabel

We brengen de gevonden informatie over in een overzichtelijke tabel. Hierin nemen we onder andere op : tekenverloop van f ′( x ) en van f ″( x ), stijgen en dalen van f, extrema, buigpunten …

9Bereik

Hier bepalen we ber f om te weten voor welke y -waarden er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ).

10Grafiek

Als we de grafiek tekenen met ICT, dan moet het eindresultaat uiteraard ook overeenstemmen met alle gevonden resultaten over symmetrie, stijgen en dalen enz.

3Verloop van een veeltermfunctie

Voorbeeld :

Beschouw de veeltermfunctie f met f ( x ) = x 3 + x 2 – 8x + 6.

1Domein

dom f = R

2Continuïteit

f is een continue functie want elke veeltermfunctie is continu in R.

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f (x )

snijpunten met de x -as :

snijpunten met de y -as : Stel f ( x ) = 0

f ( x ) = x 3 + x 2 –8x + 6 ⟺

x = 0 ⟹ f ( 0) = 6 x 3 + x 2 – 8x + 6 = 0 (1)

11 –8 6

1 12 –6

12 –6 0

(1) ⇐⇒ ( x 1) · ( x 2 + 2 x 6)= 0

snijpunt met de y -as: ( 0, 6)

snijpuntenmetde x -as: (1,0) ; (√

1,0) tekenverloop van f ( x ):

f ( x ) –grafiek onder de x-as

4Symmetrie

f ( x ) = x 3 + x 2 – 8x + 6

f ( –x ) =–x 3 + x 2 + 8x + 6

f ( –x ) ≠ f ( x )

f ( –x ) ≠–f ( x )

f is dus noch even noch oneven.

5Asymptoten

V.A. : geen (dom f = R)

H.A. : lim x →+∞ f ( x )= lim x →+∞ x 3 =+∞ lim x →−∞ f ( x )= lim x →−∞ x 3 = −∞

Er zijn geen horizontale asymptoten.

S.A. : geen

grafiek snijdt de x-as

grafiek onder de x-as

grafiek snijdt de x-as

grafiek boven de x-as

6Eerste afgeleide

f ( x )= D ( x 3 + x 2 8 x + 6)= 3 x 2 + 2 x 8

f ( x )= 0

3 x 2 + 2 x 8 = 0

D = 4 + 96 = 100

8Samenvattende tabel

Vergelijking van de buigraaklijn t in het punt P

t ↔ y 236

t ↔ 27 y 236 = 225 x 75

t ↔ 225 x + 27 y 161 = 0

9Bereik

Uit punt 8 volgt dat ber f = R.

10Grafiek

Bijkomende vraag : Bewijs dat het buigpunt P een middelpunt van symmetrie is voor de grafiek van f

Bewijs :

P 1 3 , 236 27 is een symmetriemiddelpunt van de grafiek van f

7Tweede afgeleide

4Verloop van een rationale functie

Voorbeeld :

Beschouw de rationale functie f met f ( x )= x 3 x 2 4

1Domein

x 2 – 4 = 0 ⟺ x = 2 of x =–2 dom f = R \ {–2, 2}

2Continuïteit

f is continu in haar domein, dus f is continu in R \ {–2, 2}.

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : f ( x )= 0 x 3 = 0 x = 0 x = 0 f ( x )= 0

snijpunt met de x -as: ( 0, 0)

snijpunt met de y -as: ( 0, 0) tekenverloop van f ( x ):

4Symmetrie

f ( x )= x 3 x 2 4 f ( x )= x 3 x 2 4 = f ( x ) ⇒ f isonevenDegrafiekvan f isdussymmetrischomO.

5Asymptoten

V.A. : x = 2 en x =–2 zijn de vergelijkingen van de verticale asymptoten, want : lim x → < 2 f ( x )= −∞ lim x → < 2 f ( x )= −∞ lim x → > 2 f ( x )=+∞

→ > 2 f ( x )=+∞

Merk op dat –2 en 2 polen van de functie zijn.

H.A. : lim x →±∞ f ( x )= lim x →±∞ x 3 x 2 4 = ±∞

Ligging van de grafiek t.o.v. V.A. :

Er zijn geen horizontale asymptoten. x y –2 0 2

S.A. : De graad van de teller is één meer dan de graad van de noemer. Er is dus een schuine asymptoot. formules van Cauchy euclidische deling

m = lim x →±∞ f ( x )

= lim

q = lim x →±∞[ f ( x ) mx ]= lim

x 3 x 2 – 4

–( x 3 – 4x ) x

4x

=⇒ x 3 x 2 4 = x + 4 x x 2 4

Besluit: y = x is de vergelijking van de S.A.

Ligging van de grafiek van f t.o.v. de S.A. :

6Eerste afgeleide

7Tweede afgeleide

f

x 4 12 x 2 ( x 2 4)2

= ( x 2 4)2 · (4 x 3 24

= 4 x ( x 2 4)( x 2 6) 4 x (

3

= 4 x · [ x 4 6 x 2 4 x 2 + 24 x 4 + 12 x 2 ] ( x 2 4)3

= 8 x ( x 2 + 12) ( x 2 4)3

f ( x )= 0 ⇐⇒ x = 0 of x 2 + 12 = 0(geenoplossing)

x = 0

f ′′( x ) is niet gedefinieerd in –2 en 2. D f g = g Df f Dg g 2

x –∞–2 02 +∞

f ″( x ) –|+ 0 –|+

f ( x ) ∩∪buigpunt∩∪

8Samenvattende tabel

Vergelijking van de buigraaklijn t in het punt O ( 0, 0) is : rico( t ) = f ′( 0) = 0 dus y = 0 is de vergelijking van de buigraaklijn t ( = x -as) in O ( 0, 0).

9Bereik

5Opstellen van functievoorschriften

Bij de aanleg van wegen, bij het ontwerp van machines of bruggen en bij heel wat andere problemen komt het er vaak op aan een kromme te tekenen die aan welbepaalde voorwaarden moet voldoen. Meestal zoeken we een functie waarvan de grafiek zo goed mogelijk aan de gestelde voorwaarden voldoet.

Dat is het omgekeerde van de vorige nummers. We krijgen nu inlichtingen over de grafiek (bepaalde punten, extreme waarden, buigpunten …) en moeten daarmee het functievoorschrift bepalen.

Voorbeeld 1 :

Bepaal het voorschrift van een derdegraadsfunctie f die aan de volgende voorwaarden voldoet :

• f bereikt een relatief maximum voor x =–2;

• de grafiek van f heeft een buigpunt P voor x = 2 3 ;

• de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn in P 2 3 ,... is 16 3 ;

• –3 is een nulwaarde van f.

Oplossing :

De gevraagde functie heeft als voorschrift: f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d .

1Afgeleiden van f

f ( x )= ax 3 + bx 2 + cx + d

f ( x )= D (ax 3 + bx 2 + cx + d )= 3ax 2 + 2 bx + c

f ”( x )= D (3ax 2 + 2 bx + c )= 6ax + 2 b

2Nodige voorwaarden

• f bereikt een relatief maximum voor x =– 2

f ( 2)= 0

of 12a 4 b + c = 0 (1)

• de grafiek van f heeft een buigpunt voor x = 2 3

f ” 2 3 = 0

of 4a + 2 b = 0 (2)

• de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn in P 2 3 ,... is 16 3

f 2 3 = 16 3

of 12 9 a 4 3 b + c = 16 3 (3)

• –3 is een nulwaarde van f

f ( 3)= 0

of 27a + 9 b 3 c + d = 0 (4)

3 Oplossing van het stelsel gevormd door (1), (2), (3) en (4)

 12a 4 b + c = 0

4a + 2 b = 0 12

9 a 4 3 b + c = 16 3 27a + 9 b 3 c + d = 0 ICT ⇐⇒

a = 1 b = 2 c = 4 d = 3

Een mogelijke oplossing is dus: f ( x ) = x 3 + 2x 2 – 4x – 3.

4Zijn de voorwaarden ook voldoende?

• Voor de voorwaarden (3) en (4) is dat in orde.

• We onderzoeken nu of de voorwaarden (1) en (2) ook voldoen.

f ′( x ) = 3x 2 + 4x – 4 = ( x + 2)( 3x – 2)

De grafiek van f heeft dus een buigpunt P 2 3 , 7 27

5Besluit

De gevraagde derdegraadsfunctie f heeft als voorschrift

f ( x ) = x 3 + 2x 2 – 4x – 3.

6Controle met ICT

Voorbeeld 2 :

Gegeven : Eenrationalefunctie f met f ( x )= ax x 2 + b met a , b ∈ R

Gevraagd :

Voor welke waarde(n) van a en b bereikt f een relatief extremum als x =–2 en heeft de buigraaklijn in P 2√3,... aan de grafiek van f als vergelijking 8 y + x 6√3 = 0 ?

Oplossing :

1Afgeleiden van f

f ( x )= ax x 2 + b

f ( x )= ( x 2 + b ) · D (ax ) (ax ) · D ( x 2 + b ) ( x 2 + b )2

= a ( x 2 + b ) ax 2 x ( x 2 + b )2

= a ( b x 2 ) ( x 2 + b )2

f ( x )= ( x 2 + b )2 ( 2ax ) a ( b x 2 ) 2 ( x 2 + b ) 2 x ( x 2 + b )4

= ( x 2 + b ) ( 2ax ) a ( b x 2 ) 2 2 x ( x 2 + b )3

= 2ax 3 2abx 4abx + 4ax 3 ( x 2 + b )3

= 2ax 3 6abx ( x 2 + b )3

= 2ax ( x 2 3 b ) ( x 2 + b )3

2Nodige voorwaarden

• f bereikt een relatief extremum als x =–2

f ( 2)= 0 of a ( b 4) (4 + b )2 = 0

Hieruit volgt dat b = 4 (1) want a ≠ 0 (als a = 0, dan is f immers constant).

• De vergelijking van de buigraaklijn in P 2√3,... is8 y + x 6√3 = 0

de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn is 1 8

f 2√3 = 1 8

of a (4 12) (12 + 4)2 = 1 8

Hieruit volgt dat a = 4. (2)

3Oplossing van het stelsel gevormd door (1) en (2)

a = 4

b = 4

Een mogelijke oplossing is dus: f ( x )= 4 x x 2 + 4

4Voldoende voorwaarden

• Voorwaarde (2) is duidelijk voldoende.

• We onderzoeken nu of voorwaarde (1) ook voldoende is.

f ( x )= 4(4 x 2 ) ( x 2 + 4)2

f ′( x ) – 0 + 0 –

f ( x ) ↘ min ↗ max ↘

f bereikt dus een relatief maximum voor x =–2.

Controle met behulp van de tweede afgeleide: f ( 2)= 16(4 12) (4 + 4)3 > 0

Taak :

Toon aan dat de grafiek van f een buigpunt heeft als x = 2√3 . Bereken ook de vergelijking van de buigraaklijn.

5Besluit

De gevraagde rationale functie f heeft als voorschrift

f ( x )= 4 x x 2 + 4

De grafiek van f noemen we een serpentine

6Verloop van een irrationale functie

Voorbeeld 1 :

Beschouw de irrationale functie f met f ( x )= x x 4

1Domein

BV: x x 4 0

–∞ 0 4 +∞

x 4 + 0 – | + dom f =] −∞,0] ∪ ]4, +∞[

2Continuïteit

f is continu in haar domein, dus f is continu in dom f =] −∞,0] ∪ ]4, +∞[

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x ) snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : f ( x )= 0

x = 0 x = 0

f ( x )= 0 snijpunt met de x -as: ( 0, 0) snijpunt met de y -as: ( 0, 0)

tekenverloop van f ( x ):

4Symmetrie

f ( x )= x x 4 en f ( x )= x x 4 = x x + 4 f ( x ) = f ( x ) en f ( x ) = f ( x ) f is dus noch even noch oneven.

5Asymptoten

V.A. : x = 4

want lim x → > 4 f ( x )=+∞

Ligging van de grafiek :

x y

x = 4 O

H.A. : lim

y = 1 is de vergelijking van de horizontale asymptoot.

Ligging van de grafiek van f t.o.v. de H.A.

We onderzoeken het tekenverloop van :

S.A. : er is geen schuine asymptoot.

6Eerste afgeleide

f ′( x ) is gedefinieerd als x < 0 of x >

f ′ heeft geen nulwaarden x

7Tweede afgeleide

f ″heeft geen nulwaarden want 1 ∉ dom f .

f ″( x ) is gedefinieerd als x < 0 of

8Samenvattende tabel

9Bereik ber f = R+ \ {1}

10Grafiek

Voorbeeld 2 :

Beschouw de irrationale functie f met f ( x )= 3 3 x

1Domein dom f = R

2Continuïteit f is continu in R

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x ) snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : f ( x )= 0

3 x 2 + x 3 = 0

x 2 (3 + x )= 0

x = 0 of x = 3

x = 0

f ( x )= 0

( 0, 0) en ( –3, 0) zijn de snijpunten met de x -as. ( 0, 0) is het snijpunt met de y -as.

tekenverloop van f ( x ):

x –∞–3 0 +∞

f ( x ) –grafiek onder de x -as 0 grafiek snijdt de x -as + grafiek boven de x -as 0 grafiek snijdt de x -as + grafiek boven de x -as

4Symmetrie

f ( x )= 3 √3 x 2 + x 3 en f ( x )= 3 √3 x 2 x 3

f ( x ) = f ( x ) en f ( x ) = f ( x ); f isdusnocheven,nochoneven.

5Asymptoten

V.A. : Er zijn geen verticale asymptoten.

H.A. : lim x →±∞

3 √3 x 2 + x 3 = ±∞ Er zijn geen horizontale asymptoten.

S.A. : m = lim x →±∞

q = lim x →±∞

= lim x →±∞

3 √3 x 2 + x 3 x = lim x →±∞ 3 3 x + 1 = 1

3 3 x 2 + x 3 x

3 x 2 + x 3 x 3

3 (3 x 2 + x 3 )2 + x 3 3 x 2 + x 3 + x 2 = lim x →±∞

3 x 2 x

=

y = x + 1isdusdevergelijkingvandeschuineasymptoot.

We onderzoeken nu de ligging van de grafiek t.o.v. de S.A. Snijpunten van de grafiek met de S.A.

3 √3 x 2 + x 3 = x + 1

✟✟

DegrafieksnijdtdeS.A.inhetpunt

Bij ingewikkelde vormen neem je proefgetallen om het teken te bepalen. Voor x →+∞ neem je bv. 100, voor x →–∞ bijvoorbeeld –100.

3

6Eerste afgeleide

7Tweede afgeleide

3 √ x (3 + x )2 ( x + 2) [(3 + x )2 + x 2(3 + x )]

f ( x )= D x + 2 3 x (3 + x )2 =

3 3 x 2 (3 + x )4 3 x 2 (3 + x )4

= 3 3 √ x 3 (3 + x )6 ( x + 2)(3 + x )(3 + x + 2 x )

3 3 x 4 (3 + x )8

= 3 x (3 + x )2 3( x + 2)( x + 3)( x + 1) 3 x (3 + x )2 3 x (3 + x )2 = 3( x + 3)[ x ( x + 3) ( x + 2)( x + 1)] 3 x (3 + x )2 3 x (3 + x )2

= x 2 + 3 x x 2 3 x 2 x (3 + x ) 3 x (3 + x )2 = 2 x (3 + x ) 3 x (3 + x )2

f ″( x ) is gedefinieerd als x ∈ R \{0, –3} f ″ heeft geen nulwaarden.

x –∞–3 0 +∞

f ′′( x ) +|– | –

f ( x ) ∪ buigpunt ∩∩

8Samenvattende tabel

x –∞–3 –2 0 +∞

f ′( x ) + | + 0 – | +

f ″( x ) + | | –

f ( x ) –∞⤴ 0 buigpunt ( –3, 0) ⤵ 3 √4 maximum ⤵ 0 || minimum keerpunt ( 0, 0)

⤵+∞

De functie is niet differentieerbaar in –3 en 0. Ze is wel continu in die punten zodat uit lim x → > < 0 f ( x )= ±∞ en lim x →−3 f ( x )=+∞ volgt dat de raaklijnen in ( 0, 0) en ( –3, 0) evenwijdig aan de y -as zijn.

De vergelijking van de buigraaklijn in ( –3, 0) is dus x =–3.

De vergelijking van de raaklijn in ( 0, 0) is dus x = 0.  9Bereik ber f = R 10Grafiek

( x )= 3 √3 x 2 + x 3

Voorbeeld 3 :

Onderzoek van de kromme met vergelijking y 2 = 3x 2 – x 3

y 2 = 3 x 2 x 3

y = ±√3 x 2 x 3

y1 = √3 x 2 x 3 en y2 = √3 x 2 x 3

Zoontstaanertweeirrationalefuncties f 1 en f 2 met f 1 ( x )= √3 x 2 x 3 en f 2 ( x )= √3 x 2 x 3 waarvan decorresponderendegrafiekenelkaarsspiegelbeeldzijnomde x -as.Daaromishetvoldoendealleen defunctie f 1 met f 1 ( x )= √3 x 2 x 3 tebestuderen.

1Domein

BV : 3x 2 – x 3 ⩾ 0 ⟺ x 2 ( 3 –x ) ⩾ 0

dom f 1 = ]–∞, 3]

2Continuïteit

De functie is continu in ]–∞, 3].

x –∞ 0 3 +∞

3x 2 – x 3 + 0 + 0 –

3Snijpunten met de assen en tekenverloop van f1 ( x )

snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : f 1( x ) = 0 ⟺ x = 0 of x = 3 x = 0 ⟹ f 1(x ) = 0 ( 0, 0) en ( 3, 0) zijn de snijpunten met de x -as. ( 0, 0) is het snijpunt met de y -as

4Symmetrie

5Asymptoten

6Eerste afgeleide

f 1 ( x )=

Om f 1 ′( x ) verder te herleiden moeten we twee gevallen onderscheiden.

0 < x < 3 x < 0

Danis | x | = x en f 1 ( x )= 3(2 x )

Hieruitvolgt:lim x → > 0 f 1 ( x )= √3

Danis | x | = x en f 1 ( x )= 3(2 x ) 2√3 x

Hieruitvolgt:lim x → < 0 f 1 ( x )= √3

• Voor x = 0 is f 1 ′( x ) niet gedefinieerd. In het punt 0 is de linkerafgeleide √3 en de rechterafgeleide √3 In de oorsprong heeft de grafiek twee raaklijnen t en t ′ met respectievelijk vergelijking y = √3 x en y = √3 x Ga na dat deze raaklijnen respectievelijk een hoek van –60° en van 60° met de x -as vormen. Het punt 0 is een knikpunt van de grafiek van f 1.

• Voor x = 3 is f ′1( x ) ook niet gedefinieerd. Omdat lim x → < 3 f 1 ( x )= −∞ is de raaklijn in het punt ( 3, 0) evenwijdig met de y -as.

7Tweede afgeleide

Berekenen we f ″1( x ) uit (1), dan vinden we : (ga dit na)

0 < x < 3: f 1 ( x )= 3( x 4)

4(3 x ) · √3 x

x < 0: f 1 ( x )= 3( x 4)

4(3 x ) √3 x

Voor x < 0 is de grafiek hol, voor 0 < x < 3 is de grafiek bol. Het punt 0 is echter geen buigpunt omdat de functie in dat punt niet afleidbaar is en de grafiek in 0 dus geen bepaalde raaklijn bezit. We hebben het punt 0 een knikpunt genoemd.

8Samenvattende tabel

9Bereik

ber f 1 = R+

De boven de x -as gelegen kromme is de grafische voorstelling van de beschouwde functie f 1

Onder de x -as werd bovendien de grafische voorstelling getekend van f 2 met f 2 ( x )= √3 x 2 3 x 3

De vereniging van de twee delen is de grafische voorstelling van y 2 = 3x 2 –x 3 .

Het gaat om een kromme van de derde graad. Het punt O wordt een knooppunt of dubbelpunt van deze lusvormige lijn genoemd.

Newton gaf in 1704 niet minder dan 72 soorten van krommen van de derde graad.

Isaac Newton (1643 – 1727)

Newton, de belangrijkste natuurkundige uit de 17e eeuw, werd geboren op 4 januari 1643 in het Engelse dorpje Woolsthorpe-by-Colsterworth (Lincolnshire). Zijn vader, een welvarende boer, stierf drie maanden voor de geboorte van zijn zoon. Zijn oom, zelf oud-student van Cambridge, zond hem in 1661 naar het Trinity College van de befaamde universiteit, waar hij in 1665 zijn ‘bachelor degree’ behaalde. Daar kreeg hij wiskunde van Isaac Barrow, wiskundige en theoloog. Door de pest werd de universiteit in de jaren 1665–1666 gesloten. Newton trok zich terug in zijn ouderlijk huis en beleefde er de vruchtbaarste periode uit zijn carrière. Hij legde er de grondslagen van zijn briljante ontdekkingen: de binomiaalformule, de gravitatietheorie, de theorie van de samenstelling van het licht en de theorie van de fluxies (afgeleiden). In 1667 keerde hij terug naar Cambridge en werd hij er staflid. In 1669 volgde hij Isaac Barrow op als hoogleraar.

De belangrijkste bijdrage van Newton op het gebied van de wiskunde was zeker De Analysi per Equationes Numero

Terminorum Infinitas (1669), waarin hij een methode gaf om algebraïsche functies te benaderen via een reeks. Die publicatie bevatte ook resultaten van zijn integraal- en differentiaalrekening. Een andere belangrijke bijdrage was zijn classificatie van kubische krommen in 72 soorten.

Een andere wetenschap waarvoor hij al vroeg interesse toonde, was de optica. Hij ontdekte in 1665 de kleurschifting door wit licht door een prisma te laten vallen. Newton hield zich ook bezig met de bewegingsleer van lichamen en de sterrenkunde. Met zijn voornaamste werk Philisophiae naturalis principia mathematica (1687) werd hij de grondlegger van de klassieke mechanica.

In 1671 werd Newton lid van de Royal Society, waarvan hij vanaf 1703 tot aan zijn dood president was. In 1705 sloeg Koningin Anna hem tot ridder en werd hij Sir Isaac Newton. Hij stierf op 20 maart 1727 en werd begraven in Westminster Abbey.

7 Het verloop van een functie bepalen aan de hand van de grafieken van de eerste en tweede afgeleide functie

Voorbeeld:

Gegeven:

• de grafieken van de functies g en h met g ( x) = f ′( x) en h ( x) = f ″( x);

• de nulwaarden van de functie g : –2, 1 en 3;

• de nulwaarden van de functie h : –2; –0,22 en 2,22.

Gevraagd:

Is de grafiek van de functie f in het punt P met x-waarde a stijgend of dalend? Is de grafiek hol of bol? En bereikt ze in het gegeven punt een extremum? Zo ja, is dat een minimum of maximum? Of is het gegeven punt een buigpunt?

P(a, …) stijgend, dalend, extremum hol, bol, buigpunt a a =–3

b a =–2

c a =–1

d a =–0,22

e a = 0

f a = 1

g a = 2

h a = 2,22

i a = 3

j a = 4

Oplossing:

a Voor x =–3 is de eerste afgeleide positief en de tweede afgeleide negatief.

De grafiek van de functie is dus bol stijgend.

b Voor x =–2 is de eerste afgeleide nul maar ze kent geen tekenverandering. De tweede afgeleide is nul.

De grafiek van de functie heeft voor x =–2 geen extremum, ze stijgt in een buigpunt.

c Voor x =–1 is zowel de eerste als de tweede afgeleide positief.

De grafiek van de functie is dus hol stijgend.

d Voor x =–0,22 is de eerste afgeleide positief en is de tweede afgeleide nul met tekenverandering.

De grafiek van de functie is stijgend in een buigpunt.

e Voor x = 0 is de eerste afgeleide positief en de tweede afgeleide negatief.

De grafiek van de functie is dus bol stijgend.

f Voor x = 1 is de eerste afgeleide nul. Ze verandert van positief naar negatief.

De tweede afgeleide is negatief. De grafiek van de functie bereikt een maximum.

g Voor x = 2 is de eerste afgeleide negatief en is ook de tweede afgeleide negatief.

De grafiek van de functie is dus bol dalend.

h Voor x = 2,22 is de eerste afgeleide negatief en is de tweede afgeleide nul met tekenverandering.

De grafiek van de functie is dalend in een buigpunt.

i Voor x = 3 is de eerste afgeleide nul. Ze verandert van negatief naar positief. De tweede afgeleide is positief.

De grafiek van de functie bereikt een minimum.

j Voor x = 4 is de eerste afgeleide positief en is ook de tweede afgeleide positief.

De grafiek van de functie is dus hol stijgend.

Samengevat:

P(a, …) stijgend, dalend, extremum hol, bol, buigpunt

a a =–3 stijgend bol

b a =–2 stijgend buigpunt

c a =–1 stijgend hol

d a =–0,22 stijgend buigpunt

e a = 0 stijgend bol

f a = 1 maximum bol

g a = 2 dalend bol

h a = 2,22 dalend buigpunt

i a = 3 minimum hol

j a = 4 stijgend hol

8Onderzoek van een algebraïsche functie met GeoGebra

We onderzoeken het verloop van de functie f met f ( x )=

1Domein

We berekenen met de CAS van GeoGebra de wortels van de noemer. dom f = R

.

2Continuïteit

f is continu in haar domein, dus f is continu in R

3 Snijpunten met de assen en 4Symmetrie tekenverloop van f ( x )

Er is geen symmetrie.

5Asymptoten

Er zijn geen verticale asymptoten. Ligging van de grafiek t.o.v. de horizontale asymptoot :

y = 1 is de vergelijking van een

Er zijn geen schuine asymptoten. horizontale asymptoot.

6Eerste afgeleide

7Tweede afgeleide

8Bereik van f ber f = [ –1, 9]

9Grafiek van f

9Samenvatting

• Je kunt het verloop van een functie bepalen door achtereenvolgens de volgende zaken te onderzoeken.

– domein

– continuïteit

– snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

– symmetrie

– asymptoten

– eerste afgeleide (stijgen en dalen van de functie en bepalen van eventuele extrema)

– tweede afgeleide (holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten)

– samenvattende tabel

– bereik

– grafiek

• Je kunt het functievoorschrift van een functie f opstellen met behulp van informatie over de grafiek van f.

• Je kunt het verloop van een functie bepalen aan de hand van de grafieken van de eerste en tweede afgeleide functie.

• Je kunt een algebraïsche functie onderzoeken met behulp van ICT.

2 3 4

10Oefeningen

Bereken volgende afgeleiden.

a D 4 x 3 √ x 5 √ x e D 2 x 2 1 x 2 + x + 4

b D 4 x 3 2 x + 1

c D sin2 x

f D (2 x 3) sin2 x 2 x 2 6 x 1 cos2 x

g D 4 x 1 (3 x 2)2

d D (3 x + 2) √ x + 5 h D 2 x + 3 x 2 + x 2

Bereken volgende afgeleiden van hogere orde.

a D 2 1 x 3 g D 3 1 3 x + 2

b D 2 √3 x 2 h D 5 1 + 3 x 2 + 5 x 4

c D 2 [sec2 x ] i D 5 x 5

d D 2 cos2 3 x j D 6 x 5

e D 2 x 2 x 1 x 2 k D 14 [sin x ]

f D 2 2 x 1 x 2 + x

l D 14 [sin2 x ]

Bepaal het domein, het tekenverloop en de asymptoten van volgende functies.

a f ( x )= 2 x 1 x + 5

e f ( x )= x 2 4 x

b f ( x )= 3 x + 1 2 x 2 + x 3 f f ( x )= x 2 + 2

c f ( x )= 2 x 2 x 10 x 2

g f ( x )= x 2 + 2 x 8 x

d f ( x )= 6 x 2 x 2 x + 1 h f ( x )= 3 x 3 x

Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de gegeven functie in het gegeven punt

a f ( x )= x 3 4 x + 1

b f ( x )= 4 x 3 + 6 x 2 x + 5

c f ( x )= sin2 x

d f ( x )= 2 x + 3 x 1 P(2,... )

Pishetbuigpunt

P(a ,... ) iseenbuigpunten a ∈ ]0, π[

deraaklijninPisevenwijdigmet r ↔ y + 5 x + 17 = 0

Gegeven:De functie f met functievoorschrift f ( x )= 6 x 2 + x 3 x 4 4

Gevraagd:

a Het domein van de functie.

b De nulwaarden van de functie.

c Het gedrag op oneindig van de functie.

d Het tekenverloop van de functie.

e De eerste afgeleide.

f De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt P(–1, …).

g De coördinaat van de punten op de grafiek van de functie waarbij de raaklijn aan die grafiek een hoek van 70°01’01” maakt met de positieve x-as.

h Waar stijgt de grafiek? Waar daalt de grafiek? Bepaal de coördinaat van de (relatieve) extrema.

i Bepaal de tweede afgeleide.

j Waar is de grafiek van de functie hol? Waar is de grafiek van de functie bol? Bepaal de coördinaat van de buigpunten van de grafiek.

Onderzoek het verloop van de veeltermfuncties met :

8 9

* 10 11

Onderzoek het verloop van de rationale functies met :

a f ( x )= x 2 6 x + 5

x 2

b f ( x )= 4 x 2

x 2 2 x + 2

c f ( x )= 4 ( x 2 2 x + 1)

x 2 2 x 3

g f ( x )= x 4 2 x 2 + 1 x 2

h f ( x )= x 3 3 x 2

x 3 8

i f ( x )= x + 1 x 2 2 x

d f ( x )= ↓ x 3 x 1 j f ( x )= x 3 x 2 1 Newtonnoemdein1704degrafiekvan dezefunctieeen‘drietand’(trident)

e f ( x )= x 3 3 x 2 k f ( x )= x 2 + x 2 x 2 x

f f ( x )= x 3 2 ( x + 1)2

l f ( x )= 2 3 3 x + 2

Een fabrikant wil een profiel vervaardigen van de vorm zoals op de tekening. De breedte is 6cm en de hoogte

4 cm. De kromme is geen parabool en kan dus niet de grafiek van een kwadratische functie zijn.

Zoek een derdegraadsfunctie die deze kromme als grafiek heeft.

Bewijs dat de functie f met f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (met a ≠ 0) in twee verschillende punten een extreme waarde bereikt enkel en alleen indien b 2 – 3ac > 0. Toon aan dat de grafiek van f steeds één buigpunt heeft.

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad die een extreme waarde bereikt voor x = 1 en x = 2 en waarvoor f ( 0) = 1 en f ( 3) =– 6.

Controleer nadien je antwoord met ICT.

a Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie van de vierde graad die voor x = 2 als relatief minimum – 2 heeft en wiens grafiek P 2√3 3 , 2 9 als buigpunt heeft en die voor x = 1 een raaklijn heeft met richtingscoëfficiënt – 3.

b Schets de grafiek van de gevonden functie en ga na of alle voorwaarden vervuld zijn.

a Bepaal een veeltermfunctie van de vierde graad in x : – waarvan het voorschrift deelbaar is door x – 2 en door x + 2 ; – die voor x =–1 de extreme waarde – 27 aanneemt ; – wiens grafiek in het punt met abscis 1 een raaklijn heeft die evenwijdig is met de rechte a ↔ 2y – 16x + 3 = 0.

b Schets de grafiek van die veeltermfunctie en ga na of alle voorwaarden vervuld zijn.

13

* 14 15

* 16 17 18 19 20

a Beschouw de functie f met f ( x ) = 2x 3 – mx + m – 2. Bereken m zodat de grafiek van f de x -as raakt (er zijn 2 oplossingen).

b Teken voor de gevonden waarden van m de grafiek van f en ga na of de grafiek de x -as raakt.

a Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met f ( x ) = ( x – 1)3 ( x + 3) met de rechte die de twee buigpunten van de grafiek verbindt.

b Controleer je oplossingen met behulp van ICT.

Gegeven is de familie functies f p met f p( x ) = x 3 + 2x 2 + x + p

a Bereken voor welke waarden van p de grafiek van f p een top T( …, 6) heeft. Teken voor de gevonden waarden van p de grafiek van f p met behulp van ICT en ga na of de gestelde voorwaarde vervuld is.

Gevraagd : Bereken a , b , c , p en q als je weet dat de grafiek van f raakt aan de rechte y = 1 in het punt ( 3, 1) en de rechten met vergelijking x = 1 en y =– 3 de enige asymptoten van de grafiek zijn. 12

b Bereken voor welke waarden van p de raaklijn in het punt A( – 3, …) door de oorsprong gaat. Teken voor de gevonden waarden van p de grafiek van f p met behulp van ICT en ga na of de gestelde voorwaarde vervuld is.

a Bepaal a en b zodat de functie f met f ( x )= 4 x 2 + ax 3 x 2 + bx + 3 haar extreme waarden bereikt voor x = 0 en x = 3 2 .

b Schets de grafiek van de gevonden functie.

Beschouw de functie f met f ( x )= 4 x x 4 + 4 .

a Teken de grafiek van f (die grafiek noemen we de serpentine).

b Toon aan dat een van de buigpunten een symmetriemiddelpunt van de grafiek van f is.

a Bepaal m zodat de grafiek van f met f ( x )= x 2 16 x 2 + 4m een buigpunt heeft met abscis 2.

b Schets de grafiek van f voor de gevonden m -waarde.

a Bepaal a als de waarde van x waarvoor de functie f met f ( x )= x + 1 x + a haar minimum bereikt, het dubbele is van die waarvoor ze haar maximum bereikt.

b Schets voor de gevonden a -waarde de grafiek van f en ga na of alle voorwaarden vervuld zijn.

Gegeven : f ( x )= ax 2 + bx + c x 2 + px + q

Gegeven:

• de grafieken van de functies g en h met g( x) = f ′( x) en h( x) = f ″( x);

• de nulwaarden van de functie g : –2,5 en 2;

• de nulwaarden van de functie h : –1 en 2.

Gevraagd:

Is de grafiek van de functie f in het punt P met x-waarde a stijgend of dalend? Is de grafiek hol of bol? En bereikt ze in het gegeven punt een extremum? Zo ja, is dat een minimum of maximum? Of is het gegeven punt een buigpunt?

a a = 3c a = 2e a = 0g a = 3

b a = 2,5 d a = 1f a = 2

Gegeven:

• de grafieken van de functies g en h met voorschriften g ( x) = f ′( x) en h ( x) = f ″( x);

• de nulwaarden van de functie g : –0,68 en 1;

• de nulwaarden van de functie h : 0 en 3.

•••• AB C D

•••• AB C D

Gevraagd:

Is de grafiek van de functie f in het punt P met x-waarde a stijgend of dalend? Is de grafiek hol of bol? En bereikt ze in het gegeven punt een extremum? Zo ja, is dat een minimum of maximum? Of is het gegeven punt een buigpunt?

a a = 2c a = 0,5 e a = 0,5 g a = 2i a = 4

b a = 0,68 d a = 0f a = 1h a = 3

Gegeven:

• de grafieken van de functies g en h met voorschriften g ( x) = f ′( x) en h ( x) = f ″( x);

• de nulwaarden van de functie g : –4, 0 en 4;

• de nulwaarden van de functie h : 2

Gevraagd:

Is de grafiek van de functie f in het punt P met x-waarde a stijgend of dalend? Is de grafiek hol of bol? En bereikt ze in het gegeven punt een extremum? Zo ja, is dat een minimum of maximum? Of is het gegeven punt een buigpunt?

a a = 5d a = 2√2g a = 1j a = 4

b a = 4e a = 1h a = 2√2k a = 5

c a = 3f a = 0i a = 3

Gegeven: de functies f, g en h met: Gevraagd:

f ( x )= 2 x 1 3 x + 1 a h (1)

g ( x )= 5 f ( x ) b h ( 1) h ( x )= g ( x )

Gegeven: de functies f, g en h met: Gevraagd:

f ( x )= √4 x + 3a h ( 1)

g ( x )= f ( x ) 2 1b h (0)

h ( x )= 1 4 g

Gegeven: de functies f en g met:

Gevraagd:

f ( x )= 2√3 x 2a D ( f + g )(1)

g ( x )= 2 x x + 3

Gegeven: de functies f en g met:

b D ( f · g )(2)

c D f 2 (4)

d D f g (9)

e D g 2 ( 1)

Gevraagd:

f ( x )= √2 x + 1a D ( f ◦ g )(4)

g ( x )= 1 x + 2

b D (g ◦ f )(0)

c D g ◦ g ( 3)

d D f ◦ f 3 2

f a met f a ( x )= 8 √ 4ax x 2 met a ∈ R+ stelt een familie van irrationale functies voor.

a Onderzoek van f a het domein, de nulwaarden, de asymptoten en de extrema.

b Teken de grafieken van f 1, f 2 en f 3

c Op welke kromme liggen de extrema van f a ?

d Onderzoek of twee grafieken voor verschillende waarden van a een snijpunt hebben.

e Voor welke waarde(n) van a is f a ( 1)= 8√3 9 ?

Onderzoek het verloop van de volgende irrationale functies met a f

d

e

Onderzoek het verloop van de irrationale functies met behulp van ICT als :

a

Onderzoek de krommen met onderstaande vergelijkingen.

a y 2 = 2x vergelijking van een parabool

b y 2 = x 3 vergelijking van een semikubische parabool ; deze kromme werd bestudeerd door de Engelse wiskundige William Neile (1637–1670)

c x 2 9 + y 2 4 = 1 vergelijking van een ellips

d x 2 4 y 2 9 = 1 vergelijking van een hyperbool

e y 2 = x 2 (1 x ) 1 + x

f y 2 = x 3 2 x

g x 2 3 + y 2 3 = 8 2 3

h y 2 = 8x 2 – x 4

vergelijking van een strofoïde ; deze kromme werd onderzocht door de Engelse wiskundige Isaac Barrow (1630–1677), een leraar van Newton

vergelijking van een cissoïde ; deze kromme werd al bestudeerd door Diocles (100 na Christus)

vergelijking van een regelmatige astroïde

vergelijking van een achtkromme ; deze kromme werd in 1647 onderzocht door de Vlaming Gregorius van St-Vincent (1584–1667)

Het aantal bezoekers dat zich op een zonnige dag in de maand juli in een dierenpark bevindt, zou je kunnen benaderen door de functie n met voorschrift :

n ( t ) = 100t + 140t 2 – 15t 3

met n ( t ): het aantal bezoekers

t : de tijd in uren met 0 ⩽ t ⩽ 10

t = 0 is het tijdstip dat het dierenpark voor het publiek opengaat, namelijk om 9 uur.

a Wanneer sluit het dierenpark ?

b Schets de grafiek van de functie.

c Toon met behulp van de afgeleide van n ( t ) aan dat het aantal bezoekers om 3 uur in de namiddag nog steeds toeneemt.

d Bereken algebraïsch het maximale aantal bezoekers. Wanneer wordt dat maximum bereikt ?

e Toon aan dat de toename van het aantal bezoekers het grootst is op de middag. Wanneer precies ?

Een duikboot vertrekt woensdagnacht om 2 uur vanuit zijn thuisbasis voor een speciale missie naar een geheime haven. De boot zal dan ook langer dan een etmaal onder water verdwijnen. De functie die de diepte van de boot beschrijft in functie van de tijd heeft als voorschrift :

d ( t )= t 4 250 9 t 3 25 + 48 t 2 5 84 t met d ( t ): de diepte in meter t : de tijd in uren.

a Schets de grafiek van de functie die het verband weergeeft tussen de diepte van de duikboot en de tijd.

b Wanneer komt de boot weer aan de oppervlakte ?

c Wanneer bevond de duikboot zich op zijn diepste punt en hoe diep was dat ?

d Op welk moment op woensdag tussen 10 en 20 uur steeg de duikboot het snelst ?

e Was de duikboot donderdagochtend om 8 uur aan het dalen of aan het stijgen? Aan welk tempo deed hij dat ?

Een gewonde krijgt op de spoedopname via een injectie een bepaalde stootdosis (ongeveer 4mg/liter) van een geneesmiddel toegediend. De concentratie van dit geneesmiddel in het lichaam bereikt na enige tijd een maximum om daarna geleidelijk weer af te nemen. Deze concentratie C ( t ) in mg/liter voldoet vrij goed aan het functievoorschrift :

C ( t )= 21 t

2 t 2 + 3 met t in uren.

a Toon aan dat na verloop van tijd de concentratie van het medicijn in het bloed naar nul evolueert. Na hoeveel uur is deze concentratie kleiner dan 0,5 ?

b Na hoeveel uur is de concentratie in het bloed maximaal ?

c Hoe groot is de snelheid waarmee het geneesmiddel in het bloed wordt opgenomen direct na de injectie ?

d De patiënt moet extra worden geobserveerd gedurende de tijdspanne waarin de concentratie van het medicijn vermindert aan een tempo van meer dan 0,5mg/liter. Hoelang en van wanneer tot wanneer moet de patiënt extra worden geobserveerd ?

Een containerschip vertrekt vanuit Panama voor een zeereis van 5000 km en heeft 24 bemanningsleden aan boord. De personeelskosten bedragen 10euro per dag per bemanningslid. De brandstofkost per uur is recht evenredig met het kwadraat van de snelheid van het schip. De evenredigheidsconstante is 0,1.

a Toon aan dat de functie k die de kosten in functie van de snelheid weergeeft, als voorschrift heeft :

k ( v )= 500 v + 1200000 v

b Schets de grafiek van die functie.

c Bereken de totale kosten bij een snelheid van 20 km per uur en bij een snelheid van 40 km per uur.

d De kosten moeten onder de 70000euro blijven. Tussen welke snelheden kan het schip dan varen ?

e Bij welke snelheid zijn de kosten minimaal? Hoe groot zijn de minimale kosten? Hoelang is de boot dan onderweg ?

37

e In welke maand zijn de bladeren van de plantensoort het grootst ? Hoe groot zijn de bladeren van de plant dan ? 36

Wanneer je een druppel olie in een bakje water laat vallen, verspreidt die zich tot een cirkel. Van een bepaalde oliesoort wordt de straal (incm) van een oliedruppel na t seconden gegeven door de formule :

r ( t )= 1 + k √ t

a Als na 25seconden de straal van de oliedruppel 11cm bedraagt, bereken dan de waarde van k van de oliesoort.

b Schets de grafiek.

c Met welke gemiddelde snelheid verandert de straal van de cirkel tussen t = 4 en t = 9 ?

d Met welke snelheid in cm/s neemt de straal toe op het tijdstip t = 4 en op t = 9 ?

e Bepaal een formule die de oppervlakte, bedekt door die oliedruppel, geeft in functie van de tijd.

f Hoe groot is de bedekte oppervlakte op het tijdstip t = 9? Hoe snel neemt de bedekte oppervlakte toe op dat tijdstip ?

Bij een eenjarige subtropische plant constateerde een bioloog een zeker verband tussen de grootte van de bladeren van de planten en hun ouderdom. Het verband wordt benaderd door de functie S met

S ( t )= 2√3 t t

met S ( t ): de grootte van de bladeren t : de tijd in maanden.

a Schets de grafiek van de functie.

b Wat is het domein van de functie ?

Wat is het praktische domein van de functie ?

c Kun je uit het domein van de functie aflezen dat het om een eenjarige plant gaat? Hoe ?

d Neemt de bladoppervlakte van een blad van de plant toe of neemt ze af in de vierde maand ?

Met welke snelheid gebeurt dat ?

Welke van onderstaande grafieken is de grafiek van de functie met voorschrift f ( x )= x 2 + 4 3 x 3 6 en domein R \ 3 √2 ?

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2023, vraag 29

Ik

Ik

Verloop van algebraïsche functies

Verloop van exponentiële en logaritmische functies 2

Misschien hoorde je al eens eerder volgend vrij eenvoudig maar daarom niet minder klassiek raadseltje. De waterlelies in een vijver verdubbelen dagelijks in oppervlakte. Op dag 20 is de vijver volledig bedekt met waterlelies. Na hoeveel dagen was een vierde van de vijver dan bedekt? In dit hoofdstuk leer je de afgeleide berekenen en het verloop maken van exponentiële en logaritmische functies. Een voorbeeld van exponentiële groei vind je op die vijver. De eerste dag is er één waterlelie op het oppervlak, de volgende dag zijn er twee, de dag erna vier en de dag daarna acht. Logaritmische functies zullen ontstaan als de omgekeerde bewerking van de exponentiële functies.

Verloop van exponentiële en logaritmische functies

1Even herhalen

Het verschil tussen lineaire en exponentiële groei

Bij lineaire groei ontstaat de volgende waarde Bij exponentiële groei ontstaat de volgende waarde uit de vorige door optelling met een getal. Dat getaluit de vorige door vermenigvuldiging met een getal. is constant als de tijdsintervallen even groot zijn.Dat getal heet de groeifactor

Grafiek : Grafiek : f ( x ) = ax + b f ( x ) = b · a x + a + a x y + 1 + 1 b O . a a x y + 1 + 1 b O

exponentiële functie

Is a ∈ R + 0 \{1}, dan noemen we de functie f met f ( x ) = a x de exponentiële functie met grondtal of groeifactor a

Eigenschappen van f met f ( x )= a x en a ∈ R + 0 \{1}

a > 1 (positieve groei)

• Grafiek:

0 < a < 1 (negatieve groei)

• Grafiek:

1 x2 f (x) = a x O

• dom f = R

• ber f = R + 0 =]0, +∞[

• f is strikt stijgend in R: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) < f ( x 2)

• nulwaarden: geen

• snijpunt met de y -as: ( 0, 1)

• ( 0, 1) ∈ f en ( 1, a ) ∈ f

• lim x →−∞ a x = 0 : de x -as ( y = 0) is een horizontale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ a x =+∞

• waardeverloop:

–∞ 0 1 +∞

0 1 a +∞

• dom f = R

• ber f = R + 0 =]0, +∞[

• f is strikt dalend in R: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) > f ( x 2)

• nulwaarden: geen

• snijpunt met de y -as: ( 0, 1)

• ( 0, 1) ∈ f en ( 1, a ) ∈ f

• lim x →+∞ a x = 0 : de x -as ( y = 0) is een horizontale asymptoot van de grafiek

• lim x →−∞ a x =+∞

• waardeverloop:

logaritmen

De logaritme met grondtal a ∈ R + 0 \{1} van een strikt positief reëel getal is de exponent van de macht waartoe we a moeten verheffen om dat getal te krijgen.

Er geldt dus: ∀a ∈ R + 0 \{1}, ∀ x ∈ R + 0 : loga x = y ⟺ x = a y x1 x2 1 O y x f (x) = a x 1 y x

–∞ 0 1 +∞ f ( x ) +∞ 1 a 0

∀a , b ∈ R + 0 \{1}, ∀ x , y ∈ R + 0 , ∀n ∈ R :

Eigenschappen van de logaritmische functie f met f ( x ) = loga x en a ∈ R + 0 \{1} :

logaritmische functie

hoofdeigenschap

1.loga x = y ⇐⇒ x = a y

2.loga a y = y ; x = a loga x

3.loga ( x · y )= loga x + loga y

4.loga x y = loga x loga y

5.loga 1 x = loga x

6.loga x n = n loga x

7.log b x = loga x loga b

8.log b a = 1 loga b a > 1

LETOP : erbestaatgeeneigenschap voorloga ( x ± y )

Is a ∈ R + 0 \{1}, dan noemen we de reële functie f met f ( x ) = loga x de logaritmische functie met grondtal a .

De logaritmische functie met grondtal a is de inverse functie van de exponentiële functie met grondtal a .

• Grafiek:

0 < a < 1

• Grafiek:

• dom f = R + 0

• ber f = R

• f is strikt stijgend in R + 0

• nulwaarde: 1

• snijpunt met de y -as : geen

• ( 1, 0) ∈ f en ( a , 1) ∈ f

• lim x → > 0 loga x = −∞ : de y -as ( x = 0) is een verticale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ loga x =+∞

• waardeverloop:

0 1 a +∞

• dom f = R + 0

• ber f = R

• f is strikt dalend in R + 0

• nulwaarde: 1

• snijpunt met de y -as : geen

• ( 1, 0) ∈ f en ( a , 1) ∈ f

• lim x → > 0 loga x =+∞ : de y -as ( x = 0) is een verticale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ loga x = −∞

• waardeverloop:

2 Groeisnelheid bij exponentiële functies – getal e

In deze paragraaf gaat het over groeisnelheid bij exponentiële groei. We keren eerst even terug naar de lineaire groei.

– In onderstaande figuur vind je de grafieken van twee veulens die lineair groeien.

a Hoe kun je aan de grafieken zien welk veulen het snelst groeit ?

b Hoeveel kg komt veulen A per maand bij? En veulen B ?

Wat is het verband met de richtingscoëfficiënt van de grafiek (helling) ?

massa (in kg) leeftijd (in maanden)

Bij lineaire groei is de groeisnelheid constant. Meetkundig is het de rico van de grafiek (rechte).

– Hoe kun je de helling meten van een kromme lijn ?

Kijk nog eens terug naar de groeifunctie f met f ( x ) = 2x , zoals bij de groei van waterplanten.

Het voorschrift f ( x ) = 2x wil zeggen dat de bedekte oppervlakte per tijdseenheid verdubbelt. De wekelijkse groeifactor is dus 2.

De groeisnelheid is de helling van de grafiek.

Bij exponentiële groei is de groeisnelheid niet constant. Hoe steiler de grafiek, hoe groter de groeisnelheid. In Analyse 2 heb je geleerd dat de helling in een punt van een kromme gemeten kan worden met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt van de kromme. Daartoe bereken je de afgeleide van de functie in dat punt.

We plotten met behulp van ICT de grafieken van y 1 = 2x en van y 2, dat is de numerieke afgeleide van y 1

Het lijkt erop dat de grafiek van y 2 kan ontstaan uit de grafiek van y 1 door een uitrekking t.o.v. de y -as met factor c , dus dat y 2 = c y 1

De groeisnelheid lijkt evenredig met de aanwezige hoeveelheid. We gaan dit nu algebraïsch onderzoeken.

Df ( x )= definitie afgeleide

In het bijzonder geldt : f (

Dus : f ′( x ) = 2x f ′( 0)

Om f ′( x ) te berekenen moeten we dus lim

Met de gewone rekenregels kunnen we die limiet niet berekenen. Die limiet bestaat omdat hij gelijk is aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P( 0, 1) (zie ‘meetkundige betekenis van de afgeleide in een punt’ blz.11).

Met ICT kunnen we benaderingen berekenen van de limiet in 5 decimalen.

Besluit : Als f ( x ) = 2x, dan is f ′( x ) = c 2x met c =

We gaan nu aantonen dat in het algemeen geldt: f ( x ) = a x ⟹ f ′( x ) = a x f ′( 0) met a ∈ R + 0 \{1}

Is f ( x ) = a x met a ∈ R + 0 \{1}, dan is

In het bijzonder geldt :

f (0)= lim ∆ x →0 a ∆ x 1 ∆ x = richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt P(0, 1).

Hiermee is bewezen dat bij elke functie f met f ( x ) = a x een constante c bestaat zodat f ′( x ) = c a x

De waarde van de constante c hangt af van de groeifactor a . Bij f ( x ) = 2x vonden we dat f ′( x ) = 0,693 · 2

De volgende tabel geeft voor nog enkele andere waarden van de groeifactor a , de afgeronde waarden van c in vier decimalen nauwkeurig.

– Alleen voor a = 1 is c = 0. Kun je dat verklaren ?

– Voor a = 0,5 is c negatief.

Waarom ?

Het lijkt aannemelijk dat ‘ergens’ tussen de groeifactorwaarden 2,5 en 3 de evenredigheidsconstante c gelijk zal zijn aan 1.

–

–

–

Dat is interessant, want dan is de afgeleide functie gelijk aan de functie zelf. De groeifactor (grondtal) waarbij c = 1 noemen we e

De letter e is de eerste letter van Euler, die de notatie voor het eerst gebruikte in 1731.

Hieronder vind je de waarden voor c bij enkele groeifactoren a tussen 2,5 en 3.

Het getal e ligt ergens in de buurt van 2,718.

We zoeken nu een benadering voor het getal e . Omdat f (0)= lim ∆ x →0 e ∆ x 1 ∆ x = 1

zou dus moeten gelden dat e ∆ x 1 ∆ x ≈ 1 voor Dx ≈ 0.

Of ook : e Dx – 1 ≈ Dx voor Dx ≈ 0.

Uit e Dx – 1 ≈ Dx volgt dat e Dx ≈ 1 + Dx Dus : e ≈ (1 + ∆ x ) 1

We vermoeden dus (en bewijzen later) : e = lim ∆ x →0 (1

Met ICT vinden we :

2,71814592683

2,71826823717

2,71828046932

2,71828169255

2,71828181487

2,71828182832

2,71828182846

We onthouden: e = 2,718281828… Het voorschrift van de afgeleide functie van de exponentiële functie f met f ( x ) = e x is f ′( x ) = e x

of : D ( e x) = e x

Andere notatie : e x = exp( x )

De functie f met f ( x ) = e x is een functie die gelijk is aan haar afgeleide, een unicum in de wiskunde! Dat maakt het getal e zo bijzonder. Het getal speelt ook een belangrijke rol in allerlei vakgebieden waar wiskunde gebruikt wordt.

We bewijzen nu de eigenschap die we in het vorige nummer aanvaard hebben.

e = lim ∆ x →0 (1 + ∆ x ) 1 ∆ x

Bewijs :

Stellen we dat ∆ x = 1 x , dan moeten we bewijzen dat

Eerste geval : x ∈ N0

Stel x = n , dan moeten we bewijzen dat lim

We passen het binomium van Newton toe :

e = lim x →±∞ 1 + 1 x x

( x →±∞⇐⇒ ∆ x → 0)

met n ∈ N0

Het tweede lid bevat n + 1 positieve termen, waarvan de eerste twee constant zijn. Hieruit volgt dat voor n > 1

geldt: 1 + 1 n n > 2 terwijl elke term vanaf de derde term groter wordt als n toeneemt. Omdat ook het aantal termen stijgt als n toeneemt, is de rij met algemene term u n = 1 + 1 n n een monotoon stijgende rij. Als we in (1) elk verschil 1 1 n ,1 2 n ,... vervangen door 1, dan vergroot het rechterlid. We bekomen :

1 + 1 n <

1 3!

Vervangen we in p ! alle factoren die groter zijn dan 2 door 2, dan vergroot het rechterlid opnieuw. We bekomen :

of

somvandeeerste n termenvaneen meetkundigerij: sn = u 1 1 q n 1 q

of

of

Dus: 1 + 1 n < 3

Besluit : De rij met algemene term u n = 1 + 1 n n is monotoon stijgend en naar boven begrensd. De rij is dus convergent en u n heeft een eindige limiet die we door de letter e voorstellen.

lim n →+∞ 1 + 1 n n = e met n ∈ N0

Tweede geval : x ∈ R0 +

We stellen

Als x → +∞, dan: n → +∞

Dus : lim n →+∞ 1 + 1 n = (1) e enlim n →+∞ 1 + 1 n n 1 + 1 n = e 1 = e

Als x → +∞, dan: n + 1 → +∞

Dus : lim n +1→+∞ 1 + 1 n + 1 n +1 1 + 1 n + 1 1 (1) = e 1 = e

Volgens de insluitstelling van de limieten (zie Analyse 2) volgt uit (3) dat :

lim x →+∞ 1 + 1 x x = e

Derde geval : x ∈ R0 –

Stel x =–x ′

Besluit :

lim x →±∞ 1 + 1 x x = e met x ∈ R

Als we 1 x = z stellen, dan volgt hieruit een andere vorm voor de formule: lim z →0 (1 + z ) 1 z = e

Het getal e

Euler bewees in 1737 dat e een irrationaal getal is. Een irrationaal getal is een getal dat niet als een breuk te schrijven is. De decimalen van zo’n getal vertonen geen enkele regelmaat. √2, 3 √5 en p zijn ook irrationale getallen.

In 1873 bewees de Franse wiskundige Hermite (1822–1901) dat het getal e geen oplossing kan zijn van een vergelijking met rationale coëfficiënten. Zo’n getal wordt transcendent genoemd. Naar het model van zijn betoog toonde de Duitse wiskundige F. Lindemann in 1882 op zijn beurt aan dat ook p een transcendent getal is. De benaming ‘transcendent’ is afkomstig van Leibniz.

Voorbeelden :

Stel:

Stel: 2 x 4 =

Als x → 2, dan gaat

3Natuurlijke logaritmen

Zoals alle exponentiële functies heeft ook f met f ( x ) = e x = exp( x ) een inverse: de logaritmische functie met grondtal e . Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of neperiaanse logaritmen genoemd. In de notatie laten we e weg en schrijven we ln in plaats van loge

Dus loge 3 wordt geschreven als ln 3.

Je rekenmachine heeft er een speciale toets voor: LN . Druk LN 3 en je bekomt 1,098612289.

Verband tussen briggse logaritmen (met grondtal 10) en neperiaanse logaritmen (met grondtal e)

Uitlog b x = loga x loga b volgtlog x = ln x ln10

Dus:ln x = log x · ln10of ln x = log x · 2,302585093

enlog x = ln x ln10 of log x = ln x 0,4342944819

In het algemeen geldt : ∀ x ∈ R + 0 : y = ln x ⟺ x = e y

Hieruit volgt: e ln x = x enln e y = y

Met behulp van het getal e en de eigenschappen van de natuurlijke logaritmen kunnen we alle exponentiële functies afleiden.

Logaritme

Het woord ‘logaritme’ is afkomstig van de Schotse wiskundige Napier (1550–1617). De benaming ‘natuurlijke logaritme’ (logarithmus naturalis) komt van de Duitse wiskundige Nicolaus Mercator (1620–1687).

4Afgeleide van exponentiële functies

We hebben al aangetoond dat D ( e x) = e x

Met de kettingregel (zie blz. 12: rekenregels voor afgeleiden) vinden we : D [ e f ( x )] = e f ( x ) Df ( x )

Uit e ln x = x volgt dat e ln a = a en dus kan elke a -macht als een e -macht geschreven worden :

a x = ( e ln a )x = e x ln a

Daaruit volgt :

D ( a x ) = D ( e x ln a ) = e x ln a D ( x ln a ) = e x ln a ln a = a x ln a

Dus : D ( a x ) = a x ln a (1)

Op blz. 56 hebben we aangetoond dat de afgeleide van een exponentiële functie evenredig is met de functie zelf.

Uit (1) volgt dat de evenredigheidsfactor c gelijk is aan ln a

D ( 2x ) = 2x ln 2metln 2 = 0,6931471806

Met de kettingregel vinden we : D [ a f ( x )] = a f ( x ) · ln a · Df ( x )

Voorbeelden :

D ( e x 2 +1 )= e x 2 +1 · D ( x 2 + 1)= 2 x · e x 2 +1

D (3sin √ x )= 3sin √ x ln3 D (sin √ x )= 3sin √ x ln3 cos √ x 1 2√ x

= 3sin √ x ln3 cos √ x 2√ x

overzicht

D ( e x ) = e x D [ e f ( x )] = e f ( x ) · Df ( x )

D ( a x ) = a x ln a D [ a f ( x )] = a f ( x ) ln a Df ( x )

Gevolg :

Uit het voorgaande blijkt dat de afgeleide van f met f ( x ) = a x bestaat voor alle x ∈ R.

Dus is f continu in R volgens de eigenschap: f is afleidbaar in a ⟹ f is continu in a

Dus : exponentiële functies f met f ( x ) = a x zijn continu in elk punt van hun domein.

5 Functies waarvoor geldt dat de afgeleide recht evenredig is met de functiewaarde

f ′ = k · f ⟺ f ( x ) = b e kx met b ∈ R

1 ⟸

f ( x )= b e kx

f ( x )= b De kx

f ( x )= b k e kx

f ( x )= k b e kx

f ( x )= k f ( x )

Toepassing: bacteriën kweken

Probleemstelling :

Stel je voor dat je de groei van een cultuur bacteriën bestudeert. De groei hangt af van de tijd t in uren. De groeisnelheid verloopt volgens de vergelijking

N ′( t ) = 0,34 N ( t )

waarbij N ( t ) het aantal bacteriën na t uren voorstelt.

Stel dat voor t = 0 het aantal bacteriën 100 bedraagt.

a Bereken N ( t )

b Bereken de verdubbelingstijd.

Oplossing :

a N ′( t ) = 0,34 · N ( t ) ⟹ N ( t ) = b · e 0,34t

Verder is N ( 0) = b = 100.

Dus is N ( t ) = 100 e 0,34t

b Dat is de tijd waarin het aantal bacteriën verdubbelt.

We hebben : 200 = 100 · e 0,34 t

2 = e 0,34 t

ln2 = 0,34 · t

t = ln2 0,34

t ≈ 2,039

De verdubbelingstijd is dus ongeveer 2 uur.

2 ⟹

Df ( x )= k · f ( x )

D f ( x ) e kx = e kx Df ( x ) f ( x ) De kx e 2kx

= e kx k f ( x ) f ( x ) k e kx e 2kx

= 0

Dus: f ( x ) e kx = b (constantefunctie)

of: f ( x )= b e kx met b ∈ R

6Afgeleide van logaritmische functies

De grafieken van f met f ( x ) = ln x en g met g ( x ) = e x staan hieronder afgebeeld. De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte met vergelijking y = x

De rechte t raakt aan de grafiek van g in het punt P( 1, e)

De rechte t ′ raakt aan de grafiek van f in het punt P′(e, 1). Bereken de rico van t en leid hieruit de rico van t ′ af. Gebruik de symmetrie van de figuur. Wat kun je vermoeden voor D ( ln x )?

De afgeleide van f met f ( x ) = ln x f ( x ) = ln x met x ∈ R + 0 ⟺ x = e f ( x )

Aan deze (strikt positieve) afgeleide kun je onmiddellijk zien dat de natuurlijke logaritmische functie f met f ( x ) = ln x een stijgende functie is. Omdat de afgeleide functie f ′ met f ( x )= 1 x een dalende functie is, wordt die stijging steeds minder groot. Het hellingsgetal blijft positief, maar wordt steeds kleiner.

Taak : toon aan dat t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel geldt dat de raaklijn aan de grafiek van f met f ( x ) = ln x in het punt ( 1, 0) evenwijdig is met de eerste bissectrice.

Met de kettingregel vinden we: D ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

De afgeleide van f met f ( x ) = loga x

Omdat f ( x )= loga x = ln x ln a met a ∈ R + 0 \{1} en x ∈ R + 0 is f ( x )= 1 x ln a

Dus : D (loga x )= 1 x ln a

Met de kettingregel vinden we : D [loga f ( x )]= Df ( x ) f ( x ) ln a

Je kunt aan deze afgeleide nog eens zien dat er voor de logaritmische functie twee mogelijkheden zijn.

– Als a > 1, dan is ln a > 0 en f ′( x ) > 0 op het domein van de logaritmische functie. Zo’n logaritmische functie is daarom stijgend en continu.

f ( x ) = loga x met a > 1 f ′( x ) = 1 x ln a met a > 1

– Als 0 < a < 1, dan is ln a < 0 en f ′( x ) < 0 op het domein van de logaritmische functie. Zo’n logaritmische functie is daarom dalend en continu.

f ( x ) = loga x met0 < a < 1

Voorbeelden :

1 D [ln(kx )]= k kx = 1 x

2 D (ln x n )= D (n ln x )= n x

3 D [log(cos x )]= D cos x cos x · ln10 = sin x cos x · ln10 = tan x ln10

4 D (ln | x |)

Beschouw de functie f met f ( x ) = ln | x |. Het domein van die functie is R0 Er zijn dus voor het argument x twee mogelijkheden.

• x ∈ R + 0 : | x | = x =⇒ D ( ln | x | )= D ( ln x )= 1 x

• x ∈ R 0 : | x | = x =⇒ D ( ln | x | )= D ln( x ) = D ( x ) x = 1 x

Dus, voor de twee gevallen geldt : D (ln | x |)= 1 x

Bij het berekenen van afgeleiden maakt het geen verschil uit als we van het argument van een logaritmische functie al of niet de absolute waarde nemen.

Met de kettingregel vinden we : D (ln | f ( x ) |)= Df ( x ) f ( x )

5 D ln √2 x 1 ( x + 3)2 = D ln √2 x 12 ln ( x + 3)2

= D 1 2 ln (2 x 1) 2ln ( x + 3)

= 1 2 2 2 x 1 2 1 x + 3

= 1 2 x 1 1 x + 3

= x + 4 (2 x 1)( x + 3)

6 D (ln | x + √ x 2 + k |) met k ∈ R

D (ln | x + √ x 2 + k |)= D ( x + √ x 2 + k ) x + √ x 2 + k = 1 + ✁ 2 x ✁ 2√ x 2 + k x + √ x 2 + k = ✘✘✘✘✘✘ √ x 2 + k + x √ x 2 + k · ✭✭✭✭✭✭ ( x + √ x 2 + k ) = 1 √ x 2 + k

Bijgevolg : D (ln | x + √ x 2 + k |)= 1 √ x 2 + k

een overzicht

D (ln x )= 1 x D ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

D (loga x )= 1 x ln a D loga f ( x ) = Df ( x ) f ( x ) ln a

D (ln | x |)= 1 x D ln | f ( x ) | = Df ( x ) f ( x )

D (ln | x + x 2 + k |)= 1 x 2 + k

D ln | f ( x )+ [ f ( x )]2 + k | = Df ( x ) [ f ( x )]2 + k

Uit het voorgaande volgt dat de afgeleide van f met f ( x ) = loga x bestaat voor elke x ∈ R + 0

Dus is f met f ( x ) = loga x continu in R + 0 = dom f .

Besluit :

Logaritmische functies f met f ( x ) = loga x zijn continu in elk punt van hun domein.

7Afgeleide van de functie h met h(x) = [f (x)]g (x)

De functie h is noch een exponentiële functie noch een machtsfunctie omdat zowel in het grondtal als in de exponent een onbekende voorkomt. Voor deze functie gaan we ervan uit dat f ( x) > 0 voor alle beschouwde waarden van x. Het grondtal van een macht met reële exponenten moet immers strikt positief zijn. We zoeken de afgeleide door h ( x )= f ( x ) g ( x ) te schrijven als een macht met grondtal e.

voorbeeld 1 :

D ( x x ) = D e ln x x

eigenschaplogaritmen

= D e x ln x kettingregel

= e x ln x D ( x ln x )

afgeleidevaneenproduct

= e ln x x ln x + x 1 x

eigenschaplogaritmen

= x x · (ln x + 1)

algemeen :

D f ( x )g ( x ) = D e ln f ( x )g ( x )

= D e g ( x ) ln f ( x )

= e g ( x ) ln f ( x ) D g ( x ) ln f ( x )

voorbeeld 2 :

D (sin x cos x ) = D e ln sin x cos x eigenschaplogaritmen

= D e cos x lnsin x kettingregel

= e cos x lnsin x D (cos x sin x )

afgeleidevaneenproduct

= e ln sin x cos x sin x lnsin x + cos x 1 sin x cos x eigenschaplogaritmen

= sin x cos x · sin x · lnsin x + cos2 x sin x

= e ln f ( x )g ( x ) · Dg ( x ) · ln f ( x )+ g ( x )

· 1 f ( x ) · Df ( x )

= f ( x )g ( x ) Dg ( x ) ln f ( x )+ g ( x ) Df ( x ) f ( x )

andere notatie :

D ( f g ) = f g ln f Dg + g f g –1 Df

8Toepassing: limieten berekenen

Standaardlimieten van exponentiële en logaritmische functies (zie blz. 53–54).

We beschikken over formules voor de afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies. Het wordt dus mogelijk met de regel van de l’Hôpital limieten te bepalen van functies die nog niet eerder behandeld zijn. Vaak blijken er dan in de opgave voorlopig onbepaalde vormen van nieuwe types voor te komen, symbolisch voorgesteld als 1∞ , ∞0, 00, …

In dit opzicht mogen we niet uit het oog verliezen dat de regel van de l’Hôpital alleen geldt voor onbepaaldheden van het type 0 0 of ∞ ∞

)

Voorbeelden :

Na tekenonderzoek van e x 2 x in een omgeving van 0 vinden we :

2lim

4 lim

→a f ( x )= f (a )= f ( lim x →a x )

6

op dat we deze oefening ook anders kunnen oplossen met behulp van de definitie van het getal e (zie blz. 58).

9 Volledig verloop van een exponentiële en een logaritmische functie

Voorbeeld 1 :

In de statistiek maken onderzoekers veel gebruik van (kans)dichtheidsfuncties, in het bijzonder van de functie f met f ( x )= 1 √2π e x 2 2

1Domein dom f = R

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x ) snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : geen, want e x 2 2 > 0 voor elke x ∈ R. x = 0 =⇒ f ( x )= 1 √2π . Het snijpunt is 0, 1 √2π . tekenverloop van f ( x ): x –∞+∞ f ( x ) + ↓ grafiekbovende x -as

3Symmetrie

f ( x )= 1 √2π e ( x )2 2 = 1 √2π e x 2 2 = f ( x )

De functie is dus even en de y -as is een symmetrieas van de grafiek van f

4Asymptoten

V.A. : geen, want er bestaat geen a zodat

De x -as is dus een horizontale asymptoot. De grafiek zal volledig boven de horizontale asymptoot gelegen zijn, omdat ∀ x ∈ R : f ( x ) > 0.

S.A. : geen

5Eerste afgeleide

6Tweede afgeleide

7Continuïteit

Uit punt 5 volgt dat f overal afleidbaar is, dus is f continu in R

8Samenvattende tabel

x –∞–

9Bereik

10Grafiek

De grafiek van f noemen we de klokkromme van Gauss. Ze komt voor bij een zogenaamde ‘normale verdeling’ van grootheden.

Taak :

In welk punt van de grafiek is de helling maximaal ?

In welk punt is de helling minimaal ?

Voorbeeld 2 :

Beschouw de functie f met f ( x )= x ln e + 1 x

1Domein

BV : e + 1 x > 0 ⇐⇒ ex + 1 x > 0 (1)

We maken een tekenverloop van ex + 1 x :

Hieruit volgt: (1) ⇐⇒ x ∈ −∞, 1 e ∪ ]0, +∞[

dom f = −∞, 1 e ∪ ]0, +∞[

ex + 1 x + 0

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x ) snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : geen, want x ≠ 0 tekenverloop van f ( x ):

f ( x )= 0 ⇐⇒ x · ln e + 1 x = 0

⇐⇒ ✘✘✘ x = 0 (0 / ∈ dom f ) of ln e + 1 x = 0

⇐⇒ e + 1 x = 1

⇐⇒ x = 1 1 e ≈−0,58

Het snijpunt is dus: 1 1 e ,0 . x –∞ 1 1 e 1 e 0 +∞ f ( x ) –grafiek onder de x -as 0 grafiek snijdt

3Symmetrie

f ( x )=( x ) ln e 1 x

Toon aan dat het domein van f ( –x ) niet gelijk is aan het domein van f ( x ) De functie is noch even, noch oneven.

4Asymptoten

V.A. : lim x → < 1 e x ln e + 1 x = 1 e (−∞)=+∞ lim x → > 0

· ln e + 1

1

De grafiek heeft dus één verticale asymptoot, nl. x = 1 e

H.A. : lim x →−∞ x ln e + 1 x = −∞

lim x →+∞ x ln e + 1 x =+∞

De grafiek van f heeft dus geen horizontale asymptoten. x –∞ 1 e 0

S.A. : We onderzoeken of de grafiek van f schuine asymptoten heeft met behulp van de formules van Cauchy (zie blz. 10).

m = lim x →±∞

f ( x ) x = lim x →±∞

x ln e + 1 x x = 1

q = lim x →±∞[ f ( x ) mx ]= lim x →±∞ x · ln e + 1 x x

= lim x →±∞

ln e + 1 x 1 1 x

H = ( 0 0 ) lim x →±∞ 1 e + 1 x · 1 x 2 1 x 2 = 1 e

De grafiek van f heeft dus een schuine asymptoot met vergelijking y = x + 1 e

Ligging van de grafiek van f t.o.v. de S.A. : We onderzoeken het teken van f ( x ) x 1 e = x ln e + 1 x x 1 e :

x –∞ 1 e 0 +∞

f (x ) x 1 e + grafiek boven S.A. ||–grafiek onder S.A.

5Eerste afgeleide

f ( x )= D x ln e + 1 x

= ln e + 1 x + x · 1 x 2 e + 1 x

= ln e + 1 x 1 ex + 1 x –∞ 1 e 0+∞

6Tweede afgeleide

f ( x )= D ln e + 1 x 1 ex + 1

= 1 x 2 e + 1 x + e ( ex + 1)2

= 1 x ( ex + 1) + e ( ex + 1)2

= ( ex + 1)+ ex x ( ex + 1)2

7Continuïteit

f ′( x ) +||+

f ( x ) ↗||↗

= 1 x ( ex + 1)2 x –∞ 1 e 0+∞ f ′( x ) +||–f ( x ) ∪||∩

Uit punt 5 volgt dat f afleidbaar is voor elke x ∈ −∞, 1 e ∪ ]0, +∞[ .

Dus : f is continu in −∞, 1 e ∪ ]0, +∞[ y x

8Samenvattende tabel

Merk op dat de grafiek geperforeerd is in het punt O ( 0, 0)

10Verloop van een logaritmische functie met GeoGebra

We onderzoeken het verloop van de functie f met f ( x ) = ln( 1 + x 2).

1Domein

1 + x 2 > 0, dus dom f = R.

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f

3Symmetrie

De grafiek ligt symmetrisch om de y -as.

4Asymptoten

Er zijn geen asymptoten.

5Eerste afgeleide

6Tweede afgeleide

7Bereik van f ber f = [ 0, +∞[

8Grafiek van f y

11 Toepassingen

Toepassing 1 : afkoelingswet van Newton

Experimenteel werd vastgesteld dat de snelheid waarmee de temperatuur van een voorwerp verandert (bij afkoeling of opwarming) evenredig is met het verschil tussen de constant veronderstelde omgevingstemperatuur A en de ogenblikkelijke temperatuur T van het voorwerp.

Insymbolen: dT ( t ) dt = k ( A T ( t )) (1) met T ( t ) :detemperatuurvanhetvoorwerpinfunctievandetijd

Insymbolen: dT ( t ) dt = k ( A T ( t )) (1) met T ( t ) :detemperatuurvanhetvoorwerpinfunctievandetijd

A :deomgevingstemperatuur

A :deomgevingstemperatuur

k :eenconstante

k :eenconstante

De oplossingen van deze differentiaalvergelijking worden gegeven door:

Voorbeeld:

T ( t )= A + (T0 A ) e kt met T0 debegintemperatuurvanhetvoorwerp

T ( t )= A + (T0 A ) · e kt met T0 debegintemperatuurvanhetvoorwerp

Je drinkt een kopje thee in de keuken. Stel dat de begintemperatuur van de thee 90 °C is. De temperatuur in de keuken is 20 °C en k = 0,1.

a Na hoeveel minuten bedraagt de temperatuur van de thee dan 50 °C?

b Wat is de afkoelingssnelheid op dat ogenblik?

Oplossing:

a A = 20 ◦ C

T0 = 90 ◦ C

k = 0,1

(1) wordt:

Antwoord: na 8,47 minuten is de thee afgekoeld tot 50 °C.

b dT ( t ) dt = k ( A T ( t ))

⇒ dT ( t ) dt t =8,47 = 0,1 (20 50) = 3

Antwoord: de afkoelingssnelheid is op dat ogenblik 3 °C per minuut.

Toepassing 2 : logistische groei

Logistische groei beschrijft het verloop van een populatie N( t ) in functie van de tijd t als de verandering van de populatieomvang evenredig is met de huidige omvang N( t ) enerzijds en de nog voorhanden zijnde groeiruimte

c – N( t ) anderzijds, waarbij c de grenswaarde voorstelt die de populatie kan bereiken.

Dat leidt tot de differentiaalvergelijking:

dN ( t ) d ( t ) = k · N ( t ) · ( c N ( t ))

met als oplossing een functie N( t ) van de vorm:

N ( t )= c 1 + b · a t (1)

Voorbeeld:

De groei van een populatie muizen wordt beschreven door een logistisch model.

Bij aanvang zijn er 40 muizen.

De grenswaarde van de populatie is 800 muizen.

Na 1 week zijn er al 60 muizen.

a Bepaal de constanten a, b en c (nauwkeurigheid 2 decimalen) en stel het logistisch model op voor het aantal muizen op een bepaald tijdstip.

b Hoeveel muizen telt de populatie na 4 weken?

c Wat is de groeisnelheid van het aantal muizen op dat ogenblik?

Oplossing:

a De grenswaarde is 800 muizen, dus: c = 800.

N ( t )= c 1 + b · a t (1)

Bij aanvang zijn er 40 muizen:

N (0)= 40

⇒ 800 1 + b = 40

⇒ b = 19

Dus: N ( t )= 800 1 + 19 a t

Na 1 week zijn er al 60 muizen:

N (1)= 60

⇒ 800 1 + 19 · a = 60

⇒ a ≈ 0,65

Dus: N ( t )= 800 1 + 19 · (0,65) t

b Hoeveel muizen telt de populatie na 4 weken?

N (4)= 800

1 + 19 (0,65)4 = 182,17

Antwoord: de populatie telt na 4 weken ongeveer 182 muizen.

c Wat is de groeisnelheid op dat ogenblik?

dN ( t )

dt = D 800

1 + 19 (0,65) t

= 800

1 + 19 · (0,65) t 2 (19 (0,65) t ln(0,65))

= 15200 · ln(0,65) · (0,65) t

1 + 19 · (0,65) t 2

dN ( t )

dt t =4 = 15200 ln(0,65) (0,65)4

1 + 19 (0,65)4 2 = 60,60

Antwoord: de groeisnelheid op dat ogenblik is ongeveer 60 muizen per week.

12Samenvatting

• Met behulp van het getal e (getal van Euler) en de eigenschappen van de natuurlijke logaritmen kun je alle exponentiële en logaritmische functies afleiden.

– e = lim x →±∞ 1 + 1 x x of e = lim z →0 (1 + z ) 1 z

e is een irrationaal en transcendent getal e = 2,718281828…

– Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of neperiaanse logaritmen genoemd. We noteren loge a als ln a

∀a ∈ R + 0 \{1}, ∀ x ∈ R + 0 : y = ln x ⟺ x = e y e ln x = x ln e y = y

– Afgeleiden van exponentiële functies :

D ( e x ) = e x D [ e f ( x )] = e f ( x ) · Df ( x )

D ( a x ) = a x · ln a D [ a f ( x )] = a f ( x ) · ln a · Df ( x )

f ′ = k · f ⟺ f ( x ) = b · e kx met b ∈ R

D ( f r ) = r · f r –1 · Df met r ∈ R

Exponentiële functies f met f ( x ) = a x zijn continu in elk punt van R = dom f .

– Afgeleiden van logaritmische functies :

D (ln x )= 1 x

D (loga x )= 1 x · ln a

D (ln | x |)= 1 x

D (ln | x + √ x 2 + k |)= 1 √ x 2 + k

D ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

D loga f ( x ) = Df ( x ) f ( x ) · ln a

D ln | f ( x ) | = Df ( x ) f ( x )

D ln | f ( x )+ [ f ( x )]2 + k | = Df ( x ) [ f ( x )]2 + k

Logaritmische functies f met f ( x ) = loga x zijn continu in elk punt van R + 0 = dom f

– Afgeleide van de functie h = f g met h ( x ) = [ f ( x )]g ( x ) en f ( x ) > 0.

D ( f g ) = f g ln f Dg + g f g –1 Df

•Je kunt limieten van exponentiële en logaritmische functies bepalen met behulp van de standaardlimieten en (of) de regel van de l’Hôpital.

•Je kunt het volledige verloop maken van een exponentiële en een logaritmische functie. a > 1 0 < a < 1

lim x →−∞ a x = 0

lim x →+∞ a x =+∞

lim x → > 0 loga x = −∞

lim x →+∞ loga x =+∞

lim x →−∞ a x =+∞

lim x →+∞ a x = 0

lim x → > 0 loga x =+∞

lim x →+∞ loga x = −∞

Regel van de l’Hôpital voor onbepaaldheden van het type 0 0 of ∞ ∞ :

lim x →a f ( x ) g ( x ) = lim x →a f ( x ) g ( x )

13Oefeningen

Vereenvoudig.

Verklaar. a

Bereken volgende limieten.

Bereken

Bereken de n -de afgeleide van y = 2–

.

9 10 11 12 13 14 15

Bepaal, met behulp van ICT, A en B zodanig dat y = C 1 · e 2 x · sin(3 x )+ C 2 · e 2 x · cos(3 x )+ A · sin(2 x )+ B · cos(2 x ) voldoet aan y + 4 y + 13 y = sin(2 x ) , onafhankelijk van de waarden van C 1 en C 2

Bepaal A zodanig dat y = ( C 1 + C 2x + Ax 2) e 2x voldoet aan y ″ – 4y ′ + 4y = 4e 2x, onafhankelijk van de waarden van C 1 en C 2

Bereken Df ( x ) als f ( x ) gegeven is door :

aln | 5 3 x | j ln x 2 ln x

bln x 2 k 1 4 · log 1 x 1 + x

clog2 x llog5 (5 x + 4)

dln4 (sin x ) m ( x 1)2 2 · ln( x 1) 1 2

e 2 log 1 x 1 + x nln e x + 3e x e x + 1

f3 · ln( e x + 1) 2 x o √ x 2 + 1 ln 1 x + 1 + 1 x 2 met x > 0

gln tan x 2 pln (2 x + 3)3 ( x + 1)2

hln tan π 4 + x 2 qln 4 x 2 + 3

iln(2 x + 4 x 2 + 1) rln x √ x · e 2 x

Bereken D nf ( x )( n ∈ N0) als f ( x ) gegeven is door :

a ln x b x e x

De grafiek van f met f ( x ) = 3 a x gaat door het punt P( –1, 6). Bepaal de vergelijking van de raaklijn en de normaal aan de grafiek van f in het punt P.

Zoek de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f met f ( x ) = x ln x in het snijpunt met de x -as.

Zoek de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f met f ( x )= ln 3 3 x + 9 x 2 + 1 in het punt P( 0, …)

Gegeven is de functie f met f ( x )= 1 2 x +1 + 1 2 x +2

a Bereken welke waarden f ( x ) kan aannemen.

Controleer je antwoord door de grafiek van f te plotten.

b De rechte t ↔ 4 y = ln2 x + 3 raakt aan de grafiek van f . Bereken de coördinaat van het raakpunt.

Controleer je antwoord aan de hand van de grafieken van f en t .

Zoek a en b als voor iedere x ∈ R + 0 geldtdat y ” + ay 2 + by x = 0met y = ln(ln x )

y = cos x ln tan x + 1 cos x voldoet in 0, π 2 aan een betrekking van de vorm: y ″ + y = α tan x Bepaal α.

Bereken y + 2 xy + 2 y als y = ln(2 x ) e x 2

Bereken y ″ + y ′ – 2y als y = 3e x – 4e –2x + x 2 – 2x + 5.

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 5ln x x .

a De rechte t gaat door O en raakt de grafiek van f in het punt P.

Bereken de coördinaat van P.

b Controleer je antwoord met behulp van ICT.

c Plot nu de grafiek van f met de raaklijn t

Voor welke waarden van m heeft de vergelijking 5ln x x = mx twee oplossingen ?

Bereken Df ( x ) als f ( x ) gegeven is door :

a x ln x e (ln x ) x * i x x 2 + x

b x 1 x f (tan x )sin2 x * j (sin x ) cos x

c x (e x ) * g (cos2 x )6 x * k (2 x 1) x 2 +1

d x ( x 1)( x 2) * h x sin x

Bereken de volgende limieten door gebruik te maken van de standaardlimieten en (of) de regel van de l’Hôpital.

Onderzoek telkens het volledige verloop van de functie f . Controleer met ICT.

a f ( x )= e x x k f ( x )= | e x e 2 x |

b f ( x )= x 4 e x l f ( x )= x ln x

c f ( x )= x 2 e x 2 m f ( x )= ln x x

d f ( x )= x 2 3 2 x e x n f ( x )= ln2 x + ln x 2

e f ( x )= e 1 x x o f ( x )= ln 1 + x 1 x

f f ( x )= e (ln x )2 p f ( x )= x + ln ( x 2 1)

g f ( x )= e sin x q f ( x )= log (2 x + 1)

h f ( x )= e x 1 x 2 r f ( x )= 3 ln ( e x + 1) 2 x

i f ( x )= e 2 x 2 1 x 2 s f ( x )= lncos x

j f ( x )= 1 2 x 2 2 x t f ( x )= ln ( x 2 + 1)

Onderzoek het volledige verloop van de functie f met ICT als :

a f ( x )= x 2 e 1 x 1 + x 2

b f ( x )= e 1 x √ x ( x + 2)

c f ( x )= x · ln x + 1 x

d f ( x )= 2ln x 1 + k x met0 < k < 1

e f ( x )= Bgtan (ln x )

f f ( x )= ln (1 + x ) 3 x 1

a Bestudeer de functie f met f ( x ) = x x en schets de grafiek van f

b Voor welke voorwaarden van k heeft de vergelijking x x = k geen oplossingen ?

Voor welke voorwaarde is er één oplossing? Voor welke voorwaarden zijn er twee oplossingen ?

De grafiek van de functie f met f ( x )= ln( e ax + b ) heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 2x voor x →+∞ en een horizontale asymptoot met vergelijking y = 1 voor x →–∞ (zie figuur).

a Bepaal de parameters a en b

b In welk punt c heeft de raaklijn aan de grafiek van f een richtingscoëfficiënt die gelijk is aan 1 ?

Vraag uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur

Radioactieve isotopen hebben een vervalsnelheid die van isotoop tot isotoop sterk kan verschillen. Een maat hiervoor is de halveringstijd, de tijd die nodig is om het aantal kernen van die isotoop tot de helft terug te brengen. Het aantal aanwezige radioactieve kernen N( t ) op tijdstip t voldoet aan de functie met functievoorschrift:

N ( t )= N0 e kt met k : de vervalconstante

N0 : het aantal radioactieve isotopen op het tijdstip t = 0 Meestal stellen we dat N0 = 100%.

a De vervalconstante van 61 29 Cu is 0,20327 per uur. Bepaal de halveringstijd van die isotoop van koper.

b De halveringstijd van 60 29 Cu is 23 minuten. Bepaal de corresponderende vervalconstante.

c De halveringstijd van 90 37 Rb is gelijk aan 158 seconden. Na hoeveel tijd is er nog slechts 20% van het oorspronkelijke aantal rubidiumkernen radioactief?

d De halveringstijd van 31 14 Si is gelijk aan 157 minuten. Hoeveel % van het oorspronkelijke aantal siliciumkernen is na 3 uur nog radioactief?

e De vervalconstante van 233 92 U is gelijk aan 0,436 10–5 per jaar. Hoeveel jaar duurt het om het aantal radioactieve uraankernen met 10% te verminderen?

f De halveringstijd van 212 82 Pb is gelijk aan 10,6 uur. Na hoeveel tijd is er nog slechts 10% van het oorspronkelijke aantal loodkernen radioactief?

g De halveringstijd van 210 82 Pb is gelijk aan 22,3 jaar. Hoeveel % van het oorspronkelijke aantal loodkernen is na 10 jaar nog radioactief?

Het verval van de radioactieve isotoop radium-228 verloopt volgens de vergelijking m ′( t ) = –0,00043 m ( t )

met t : tijd in jaren m ( t ): massa in gram

voor t = 0 bedraagt de massa 260 gram

a Bereken m ( t ).

b Bereken de halveringstijd.

c Op welk tijdstip is nog 10% van de beginmassa aanwezig ?

d Bereken de vervalsnelheid in gram/jaar na 10 jaar.

Voor een insectenpopulatie is de omvang N ( t ) gegeven door

N ( t ) = 500 · e 0,2t met t : tijd in dagen vanaf een bepaald moment.

a Hoeveel insecten waren er op het tijdstip t = 10 ?

b Bereken hoeveel insecten er bijkomen tussen t = 10 en t = 11.

c Geef de formule voor de groeisnelheid van de insectenpopulatie.

d Wat is de groeisnelheid op het tijdstip t = 10 ? Wat is de betekenis van dat getal? Vergelijk met opgave b.

De relatieve toename van een kapitaal dat uitgezet wordt tegen een samengestelde intrest verloopt volgens de vergelijking

K ′( t ) = 0,0693 K ( t ) met t : de tijd in jaren K ( t ): het kapitaal in euro Stel dat voor t = 0 het kapitaal 5000 euro bedraagt.

a Bereken K ( t ).

b Hoelang duurt het voordat het kapitaal verdubbeld is ?

Onder bepaalde omstandigheden verloopt de afname van de luchtdruk volgens de vergelijking dp dh = λ · h

met p : luchtdruk in hectopascal h : hoogte in km boven de zeespiegel

De luchtdruk op zeeniveau is 1000 hectopascal en op 1 km boven de zeespiegel 869 hectopascal.

a Schrijf p in functie van h .

b In een luchtballon kun je echter eenvoudiger de luchtdruk meten dan de hoogte. Zoek de formule die h uitdrukt in functie van p .

c Toon aan dat de snelheid waarmee de hoogte (afhankelijk van p ) verandert, negatief is.

Een parachutespringer opent zijn valscherm op het moment ( t = 0) dat hij 700 m boven de grond is. De valweg wordt gegeven door :

s ( t ) = 30 + 6t – 30 ( 0,223)t met s ( t ): valweg in m na t seconden

a Geef de formule voor de snelheid van de parachutist.

b Welke snelheid (in m/s) had de parachutist op het moment dat zijn parachute openging ? Hoeveel km/h is dit ?

c Geef de formule voor de vertraging van de parachutist.

d Wat is de vertraging (in m/s2) na 1 seconde ?

En na 3 seconden ?

e Beredeneer dat de snelheid van de parachutist afneemt tot ongeveer 6 m/s.

Soms raakt drinkwater door menselijke of dierlijke afvalstoffen besmet met colibacteriën. Omdat het drinken van besmet water uiterst gevaarlijk is, zal het drinkwaterbedrijf in zo’n geval het water extra zuiveren. Als er bij het begin van de extra zuivering per liter water 1800 colibacteriën zijn, geldt de formule : N ( t ) = 1800 e –0,15t

met N ( t ): het aantal colibacteriën per liter water na t uren.

a Bereken de groeisnelheid van het aantal bacteriën op het moment dat t = 2.

b Zodra het aantal colibacteriën met 99% is afgenomen, stopt de extra zuivering. Bereken in uren nauwkeurig hoelang de extra zuivering zal duren.

(Examen VWO A, Nederland)

De buitentemperatuur van afgelopen nacht kan benaderd worden door de functie T met

T ( t )= e 3 2 ( t 2) e 1 2 ( t 2)

met T ( t ): buitentemperatuur in graden Celsius t : tijd in uren

t = 0 komt overeen met 11 uur ’s avonds (= 23 u.) vorige nacht.

a Schets de grafiek van de functie.

b Wanneer begon het te vriezen ?

c Wanneer begon de temperatuur weer te stijgen ?

d Wanneer steeg de temperatuur het snelst ?

e Hoe koud was het om 7 uur ’s ochtends ?

De grootte van een populatie dinosaurussen wordt gegeven door

P ( t ) = 8000 t 3–t

met t : tijd uitgedrukt in duizenden jaren

a Teken de grafiek van P ( t ) met ICT.

b Hoe groot is de maximale populatie dinosaurussen ?

c Na verloop van tijd begint de populatie uit te sterven. Op welk tijdstip gebeurt dat het snelst ?

De concentratie van alcohol in het bloed van een persoon op een feestje kan beschreven worden door

C ( t ) = e –t – e –3t

met t : tijd in uren

C ( t ): concentratie alcohol in het bloed, uitgedrukt in promille

Onderzoek het verloop van C ( t ) en toon aan dat de alcoholconcentratie in het bloed het snelst afneemt op het tijdstip 2t 0 met t 0 het tijdstip waarop de concentratie het grootst is.

Bij het verwachte verloop van een griepepidemie wordt het volgende model gehanteerd :

N = 80 e 0,04( t 10)2

met N : het geschatte aantal nieuwe besmettingen op dag t met t ⩾ 1

a Hoeveel besmettingen komen er de zesde dag bij ?

b Op welke dag is het aantal besmettingen maximaal ?

c Een epidemie is op haar hoogtepunt wanneer de toename van het aantal nieuwe gevallen het grootst is. Wanneer is dat ?

d Na hoeveel dagen worden er geen feitelijke besmettingen meer verwacht ?

Een ei wordt op t = 0 uit kokend water gehaald en onder een straal water van 12 °C gehouden. Na 20 seconden is de temperatuur van het ei gedaald tot 87 °C.

a Stel een dynamisch model (functievoorschrift) op voor de temperatuur T in °C van het ei. Op t = 0 heeft het ei een temperatuur van 100 °C.

b Wat is de temperatuur van het ei na 30 seconden?

c Na hoeveel seconden bedraagt de temperatuur van het ei 76 °C?

d Wat is de afkoelingssnelheid van het ei na 1 minuut?

Een pizza wordt vanuit kamertemperatuur (20 °C) in een pizzaoven geplaatst die 300 °C warm is. De pizza bereikt na 15 seconden al een temperatuur van 121,5 °C.

a Stel een dynamisch model (functievoorschrift) op voor de temperatuur T in °C van de pizza.

b Wat is de temperatuur van de pizza na 25 seconden?

c Na hoeveel seconden bedraagt de temperatuur van de pizza 200 °C?

d Wat is de snelheid waarmee de pizza opwarmt na 50 seconden?

Een bioloog stelde vast dat de massa van een pompoen beschreven kan worden door een logistisch groeimodel (zie Analyse 1b blz. 108).

M ( t )= 2750

1 + 10 e 0,5 t met t : de tijd uitgedrukt in maanden

M ( t ): de massa uitgedrukt in gram

a Plot de grafiek van M ( t ) en toon door berekening aan dat de massa van de pompoen schommelt tussen 250 gram en 2750 gram.

b Bereken na hoeveel maanden de massa 1840 gram is.

c Toon aan dat M ( t )= dM ( t ) dt = 0,5 M ( t ) 10 e 0,5 t 1 + 10 e 0,5 t

d Bereken de snelheid waarmee de massa van de pompoen toeneemt na 4 maanden.

e Leid uit c af dat M ( t )= 1 2 · M ( t ) 1 5500 · M ( t ) 2

f Bereken M ( t )= d 2 M ( t ) dt 2 door de betrekking uit e opnieuw te differentiëren.

g Toon aan dat M ″( t ) = 0 voor M ( t ) = 1375.

h De grafiek van M ( t ) heeft een buigpunt. Bepaal de coördinaat van het buigpunt en rond af op 2 decimalen. Leg uit welke betekenis het buigpunt heeft in deze situatie.

i Hoe kun je aan de grafiek zien dat de pompoen uiteindelijk vrijwel niet meer groeit ?

In een kweekvijver voor zalm is er plaats voor maximaal 2400 vissen. Momenteel zwemmen er in de vijver 300 zalmen. De groei van het aantal zalmen verloopt logistisch. Na twee maanden telt de vijver al 542 vissen.

a Stel het voorschrift op van de logistische functie die bij het groeiproces hoort. Bepaal dus de constanten a, b en c (nauwkeurigheid 2 decimalen) en stel het logistisch model op voor het aantal zalmen op een bepaald tijdstip.

b Na hoeveel maanden telt de vijver ongeveer 1700 vissen?

c Wat is de groeisnelheid van het aantal zalmen in de vierde maand?

De verspreiding van paardenbloemen tijdens de zomermaanden verloopt logistisch. In een tuin staan er momenteel 20 paardenbloemen. Volgens de omvang van de tuin kunnen er maximaal 1400 paardenbloemen staan.

a Stel het logistisch model op voor het aantal paardenbloemen in de tuin als je weet dat er na drie weken al 88 paardenbloemen in de tuin aanwezig zijn.

b Hoeveel paardenbloemen telt de tuin na vijf weken?

c Hoe groot bedraagt de groeisnelheid bij aanvang?

Ga algebraïsch na of de logistische functie f ( x )= 4 1 + 2 x het snelst stijgt wanneer de functiewaarde de helft van de grenswaarde heeft bereikt.

48

Beschouw de functie f : ]1, +∞[ → R : x → f ( x )= e √ln x . Bepaal de afgeleide f ′( e )

(A) f ′( e) = 1 2 (B) f ′( e) = 1 (C) f ′( e) = e 2

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 1.26

Beschouw de functie f : R → R : x → f ( x )= e (e ex ) . Bepaal de afgeleide f ′( 0 )

(A) f ′( 0 ) = 0 (B) f ′( 0 ) = 1 (C) f ′( 0 ) = e

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 1.27

(D) f ′( e) = e

(D) f ′( 0 ) = e 2

Gegeven is de functie f : R → R : x → ln x 2 2 x + 2 . Bepaal het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( 0, f (0)) met de x-as.

(A) ( 0, 0) (B) ( ln 2, 0) (C) ( 1, 0) (D) ( 2, 0)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2021, oefening 18

Gegeven is de functie f : R → R : x → f ( x )= e x x . De raaklijn in het punt ( a, f ( a)) aan de grafiek van f gaat door de oorsprong. Bepaal de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.

(A) 1 (B) e – 1 (C) e (D)1 + e Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 4.2

Zoals gebruikelijk stelt e het grondtal van de natuurlijke logaritme voor.

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f ( x )= ln ( e x + 2). Bepaal het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x-coördinaat ln( 2) , en de rechte met vergelijking y = ln( 2).

(A) ( –ln( 2), ln( 2)) (B) ( ln( 2), ln( 2)) (C) ( ln( 2), –ln( 2)) (D) ( 2ln( 2), ln( 2))

Toelatingsexamen arts 2020, vraag 8

49

Gegeven zijn de functies f en g met voorschrift: f ( x )= x 2 ln x en g ( x )= 2 x 2 5 x + 1.

De raaklijn in het punt P( a, g( a)) aan de grafiek van g staat loodrecht op de raaklijn in het punt Q( 1, f ( 1)) aan de grafiek van f. Bepaal g( a)

(A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 8

Toelatingsexamen arts 2020, vraag 9

50

Beschouw de functie f met functievoorschrift f ( x )= x 3ln( x 1) met x > 1. In welk van de onderstaande intervallen is de functie f monotoon stijgend?

(A) 3 2 , 5 2

Toelatingsexamen arts 2022, vraag 7

51

52

(A) 5ln3

(B) 2ln3

5ln3

Beschouw de functie f : R → R : x → ax + b als x < ln3 ln e 2 x 6 als x ln3 waarbij a en b reële getallen zijn zodat f continu en afleidbaar is in het punt met x-coördinaat ln 3. Bepaal f ( 0).

IJkingstoets

(B) 5 2 , 7 2 (C) 7 2 , 9 2

(A) 5ln3

(D) 9 2 , 11 2

(B) 2ln3

(B) 2ln3

(C) 2 3 ln3

(C) 2 3 ln3

(D) 4 3 ln3

De functie f : R → R : x → f ( x )= e | x 2| bereikt in het punt ( a, f ( a)) een absoluut minimum. Bepaal f ( a)

(C) 2 3 ln3

(A) 0 (B) 1 (C) e (D) e 2

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 1.18

(D) 4 3 ln3

53

(A) g ( x )= x · e x 1 e x

(A) g ( x )= x e x 1 e x

(B) g ( x )= e x 1 e x

(A) g ( x )= x · e 1 e x

(B) g ( x )= e x 1 e x

(C) g ( x )= e x + 1 e x

(B) g ( x )=

e 1 e x

(C) g ( x )= e x + 1

e x

(D) g ( x )= e x 1 e 2 x

Welke van de onderstaande functies is de afgeleide van de functie met voorschrift f ( x )= x e x + 1 e x ?

(A) g ( x )= x e x 1 e x

(B) g ( x )= e x 1 e x

(C) g ( x )= e x + 1 e x

(D) g ( x )= e x 1 e 2 x

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 1.28

(B) g ( x )= e x 1 e x

54

55

56

57

(E) g ( x )=

e 2 x 1 e 2 x

(C) g ( x )= e x + 1 e x

(D) g ( x )= e x 1 e 2 x

(E) g ( x )= e 2 x 1 e 2 x

Beschouw de functie f met voorschrift f ( x )= ln x 2 + x . Voor welke waarde(n) van x is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( x, f ( x)) horizontaal?

(C) g ( x )= e x + 1 e x

(D) g ( x )= e x 1 e 2 x

(E) g ( x )= e 2 x 1 e 2 x

(A) –2 (B) 1 2 (C) –1 en 1 (D)er bestaat zo geen x

(D) g ( x )= e x 1 e 2 x

(E) g ( x )= e 2 x 1 e 2 x

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2020, vraag 23

(E) g ( x )= e 2 x 1 e 2 x

De raaklijn aan de grafiek van de functie f met voorschrift f ( x )= e px in het punt x = 1 gaat door de oorsprong … (A)voor alle p > 0(B)alleen voor p = 1(C)alleen voor p = –1(D)voor alle p < 0

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2021, vraag 26

Welke van onderstaande figuren toont de grafiek van de functie f : R → R met f ( x )= ln x 2 + e ? (A) (C)

(B) (D)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2023, oefening 10

Beschouw de functie f : R + 0 → R met voorschrift f ( x )= x ln x . Waaraan is f ( e ) f (1) gelijk?

(A) 1 e (B) 1 2 (C) 2 (D) e+ 1

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2023, oefening 4

Verloop van exponentiële en logaritmische functies 2

Hyperbolische functies 3

Deze kathedraal van Brasilia (de hoofdstad van Brazilië) steunt op 16 betonnen pilaren. De meeste bezoekers herkennen er een doornenkroon in, alhoewel de pilaren ook handen zouden voorstellen die naar de hemel reiken. De wiskunde erachter is minder dubieus: de pilaren vormen een mooie hyperboloïde. Zo’n figuur bekom je als je een hyperbool(tak) laat draaien om haar as. In het voorbeeld van de kathedraal is de hyperboloïde eenbladig, net als de vorm van een koeltoren. Hoewel de oppervlakken er ingewikkeld uitzien, zijn ze niet zo moeilijk te maken. Door elk punt kun je immers twee rechten tekenen die volledig in het oppervlak zitten verwerkt.

1Definities

Met behulp van de e -functie kunnen functies gedefinieerd worden waarvoor formules bestaan die sterk lijken op goniometrische formules. Volg even mee.

We definiëren de hyperbolische cosinus, sinus, tangens en cotangens van een reëel getal x en noteren cosh x , sinh x , tanh x en coth x :

hyperbolische goniometrische functies

cosh x = e x + e x 2

sinh x = e x e x 2

tanh x = e x e x e x + e x

coth x = e x + e x e x e x

x 2+y 2 =1

De functies met voorschrift f ( x ) = cosh x f ( x ) = sinh x f ( x ) = tanh x f ( x ) = coth x noemen we hyperbolische functies

Hyperbolische functies

Deze functies werden ingevoerd door de Italiaanse wiskundige Riccati (1707-1775). De naam ‘hyperbolicus’ is afkomstig van het feit dat deze functies op dezelfde manier verband houden met de orthogonale hyperbool met vergelijking x2 – y2 = 1 als de goniometrische functies met cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1.

2Eigenschappen

Hier volgt een beperkte lijst van eigenschappen. Die is lang niet volledig. In feite mag je stellen dat elke eigenschap uit de goniometrie een tegenhanger heeft bij de hyperbolische functies.

∀x ∈ R : cosh x ⩾ 1

∀x ∈ R :–1 < tanh x < 1

Bewijs : 1 2 cosh x 1

1

0

1 < tanh x < 1

1 < e x e x e x + e x < 1

e x e x < e x e x < e x + e x e x < e x en e x < e x

1 < 1en 1 < 1

Die laatste ongelijkheid is waar voor elke x Die laatste 2 ongelijkheden zijn waar voor elke x

∀x ∈ R : cosh2 x – sinh2 x = 1 hoofdeigenschap

∀x ∈ R : tanh x = sinh x cosh x

∀x ∈ R 0: coth x = cosh x sinh x = 1 tanh x

Bewijs : 1 2

cosh2 x sinh2 x

= e x + e x 2 2 e x e x 2 2

= e 2 x + 2 + e 2 x 4 e 2 x 2 + e 2 x 4

= 4 4 = 1

Taak : bewijs zelf de derde formule.

∀x ∈ R : sinh( – x ) =–sinh x cosh( – x ) = cosh x tanh( – x ) =–tanh x coth( – x ) =–coth x

Bewijs :

tanh x = e x e x e x + e x

= e x e x 2 e x + e x 2

= sinh x cosh x

1 sinh( x )= 1 2 ( e x e ( x ) )= 1 2 ( e x e x )= 1 2 ( e x e x )= sinh x

Taak : bewijs zelf de andere drie formules.

∀x , y ∈ R : sinh( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

cosh( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

sinh( x – y ) = sinh x cosh y – cosh x sinh y

cosh( x – y ) = cosh x cosh y – sinh x sinh y

Bewijs : 3

sinh x · cosh y cosh x · sinh y = 1 4 ( e x e x ) · ( e y + e y )

1 4 ( e x + e x ) · ( e y e y )

= 1 4 ( e x + y + e x y e x + y e x y ) 1 4 ( e x + y e x y + e x + y e x y )

= 1 4 (2e x y 2e x + y )

= 1 2 ( e x y e ( x y ) )

= sinh ( x y )

Taak : bewijs zelf formules 1, 2 en 4.

∀x ∈ R : D ( sinh x ) = cosh x

D ( cosh x ) = sinh x

D ( tanh x ) = 1 cosh2 x

D ( coth x ) = 1 sinh2 x x = 0

Bewijs : 1 2

D sinh x = D 1 2 ( e x e x )

= 1 2 ( e x e x ( 1))

= 1 2 ( e x + e x )

= cosh x

Taak : bewijs zelf formules 2 en 3.

Met de kettingregel vinden we :

∀ x ∈ R : D sinh f ( x ) = cosh f ( x ) Df ( x )

D cosh f ( x ) = sinh f ( x ) Df ( x )

D tanh f ( x ) = Df ( x ) cosh2 f ( x )

D coth f ( x ) = Df ( x ) sinh2 f ( x ) f ( x ) = 0

D coth x = D cosh x sinh x

= sinh x D cosh x cosh x D sinh x sinh2 x

= sinh2 x cosh2 x sinh2 x

= 1 sinh2 x

3Hyperbolische cosinusfunctie

Beschouw de functie f met f ( x )= cosh x = 1 2 ( e x + e x ).

1Domein

dom f = R

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x)

snijpunten met de x -as : snijpunten met de y -as : geen, want e x > 0 voor elke x ∈ R, dus ook cosh x > 0 voor elke x ∈ R

x = 0 =⇒ f ( x )= cosh0

f ( x )= 1 2 ( e 0 + e 0 )

f ( x )= 1 2 2

f ( x )= 1

Het snijpunt is ( 0, 1).

tekenverloop van f ( x ): x –∞+∞

cosh x +

3Symmetrie

cosh( –x ) = cosh x , de functie is even. De y -as is dus een symmetrieas van de grafiek van f

4Asymptoten

V.A. : geen, want er bestaat geen a zodat lim x →a f ( x )= ±∞

H.A. : geen, want

S.A. : geen, want

5Eerste afgeleide

f ( x )= D cosh x = sinh x = 1 2 ( e x e

6Tweede afgeleide

f ″( x ) = D 2cosh x = D sinh x = cosh x

7Continuïteit

Uit 5 volgt dat f ′( x ) overal gedefinieerd is. Dus is de functie continu in R

8Samenvattende tabel

9Bereik ber f = [ 1, +∞[

10Grafiek

De grafiek wordt een kettinglijn of koordenkromme genoemd.

f ( x )= cosh

4Toepassing

Kettinglijn :

Degrafiekvandefunctie f met f ( x )= a cosh x a met a ∈ R + 0 wordteen kettinglijn genoemd.Alseenkoordof zwarekettingaandetweeuiteindenwordtopgehangen,danzaldienamelijkonderdeinvloedvandezwaartekrachtdevormaannemenvandegrafiekvandiefunctie.

Merkopdatde y -aseensymmetrieasis.Doordegrafiekverticaalteverschuivenverkrijgenwedewerkelijke positievandekettinglijntenopzichtevandegrond(diewelatensamenvallenmetde x -as).Dealgemenevorm vanhetvoorschriftvandefunctiewaarvandegrafiekeenkettinglijnis,isdus: f ( x )= a cosh x a + d met a ∈ R + 0 , d ∈ R .

Probleemstelling :

In een verlaten dorp ergens in de VS staan nog enkele ongebruikte telegraafpalen (die werden vroeger gebruikt om telegrammen te versturen). Twee van die palen staan op 200 meter van elkaar; de draden zijn aan beide kanten op een hoogte van 24 meter bevestigd. De kortste afstand van de draden tot de grond is 12 meter.

a Bepaal de constanten a en d in de formule van de kettinglijn.

b Hoe hoog bevinden de draden zich op 50 meter van een telegraafpaal ?

Oplossing :

a Vertrekkend van de formule f ( x )= a cosh x a + d kunnen we de gegevens als volgt wiskundig vertalen :

f (0)= 12

f (100)= 24

Uit de eerste vergelijking leiden we af : a cosh 0 a + d = 12 ⇐⇒ a 1 + d = 12 ⇐⇒ d = 12 a

De tweede vergelijking geeft dan: a cosh 100 a + 12 a = 24

Deze transcendente vergelijking in a lossen we op met ICT. Hieruit volgt dat a = 418, 65. Uit de eerste vergelijking volgt dat d =– 406,65.

b De telegraafdraden volgen dus de grafiek van de functie f met f ( x )= 418,65cosh x 418,65 406,65.

y

f ( x )= 418,65 cosh x 418,65 406,65

• (50;14,99)

f (50)= 418,65cosh 50 418,65 406,65 ≈ 14,99

Antwoord : op een afstand van 50 meter van een paal bevinden de draden zich ongeveer 15 meter boven de grond.

5Inverse van de hyperbolische cosinusfunctie

We beschouwen de hyperbolische cosinusfunctie f met f ( x ) = cosh x of y = cosh x . dom f = R en ber f = [ 1, +∞[

Het voorschrift van de omgekeerde relatie f –1 van de hyperbolische cosinusfunctie f is x = cosh y of y = argcosh x met dom f –1 = [ 1, +∞[ en ber f –1 = R.

De omgekeerde relatie noemen we argument cosinus hyperbolicus (argcosh).

De grafiek van f –1, verkregen door spiegeling van de grafiek van f om de eerste bissectrice met vergelijking y = x , maakt duidelijk dat f –1 geen functie in R is: bij een gegeven argument x in [ 1, +∞[ horen twee beelden.

f ( x )= cosh x

f 1 ( x )= argcosh x

Als x ∈ [ 0, +∞[ , dan is de hyperbolische cosinusfunctie f wel omkeerbaar, want geen twee verschillende x -waarden uit [ 0, +∞[ hebben hetzelfde beeld.

De omgekeerde of inverse functie noteren we als : Argcosh (let op de hoofdletter!)

Er geldt dus :

Argcosh x y = Argcosh x ⟺ x = cosh y en y ∈ [ 0, +∞[ dom Argcosh x = [ 1, +∞[ ber Argcosh x = [ 0, +∞[

= Argcosh x

Andere vorm van Argcosh x

y = Argcosh x ⇐⇒ x = cosh y en y ∈ R +

⇐⇒ x = 1 2 ( e y + e y ) en y ∈ R +

⇐⇒ 2 x = e y + e y en y ∈ R +

⇐⇒ 2 x · e y = e 2 y + 1en y ∈ R +

⇐⇒ ( e y )2 2 x · e y + 1 = 0en y ∈ R +

⇐⇒ e y = x ± √ x 2 1en y ∈ R + (1)

Omdat y ⩾ 0 zal e y ⩾ e 0 = 1 en moeten we het minteken in de laatste uitdrukking (1) verwerpen.

Immers voor x > 1 geldt :

x 1 < x + 1 ⇐⇒ ( x 1)2 < x 2 1

⇐⇒ x 1 < √ x 2 1

⇐⇒ x √ x 2 1 < 1

Uit (1) volgt dan: e y = x + √ x 2 1

Bijgevolg: Argcosh x = ln( x + √ x 2 1) met x 1.

Opmerking :

Op dezelfde manier definiëren we de omgekeerde functies van de andere hyperbolische functies, nl.: Argsinh, Argtanh en Argcoth.

6Samenvatting

• Je kent de definitie van een hyperbolische functie

cosh x = e x + e x 2

sinh x = e x e x 2

tanh x = e x e x e x + e x

coth x = e x + e x e x e x

De functies met voorschrift :

f ( x ) = cosh x

f ( x ) = sinh x

f ( x ) = tanh x

f ( x ) = coth x

noemen we hyperbolische functies.

• Je kent de eigenschappen van hyperbolische functies.

∀ x ∈ R :cosh x 1

∀ x ∈ R : 1 < tanh x < 1

∀ x ∈ R :cosh2 x sinh2 x = 1(hoofdeigenschap)

∀ x ∈ R :tanh x = sinh x cosh x

∀ x ∈ R 0 :coth x = cosh x sinh x = 1 tanh x

∀ x ∈ R :sinh( x )= sinh x

∀ x ∈ R :cosh( x )= cosh x

∀ x ∈ R :tanh( x )= tanh x

∀ x ∈ R :coth( x )= coth x

∀ x , y ∈ R :sinh( x + y )= sinh x · cosh y + cosh x · sinh y

∀ x , y ∈ R :cosh( x + y )= cosh x · cosh y + sinh x · sinh y

∀ x , y ∈ R :sinh( x y )= sinh x cosh y cosh x sinh y

∀ x , y ∈ R :cosh( x y )= cosh x cosh y sinh x sinh y

• Je kent de formules voor afgeleiden van hyperbolische functies.

∀ x ∈ R : D (sinh x )= cosh x

∀ x ∈ R : D (cosh x )= sinh x

∀ x ∈ R : D (tanh x )= 1 cosh2 x

∀ x ∈ R 0 : D (coth x )= 1 sinh2 x

• Je kent de vergelijking van een kettinglijn.

Dekettinglijnisdegrafiekvandefunctie f metvoorschrift f ( x )= a cosh x a + d met a ∈ R + 0 en d ∈ R

• Je kent de definitie en de eigenschap van de omgekeerde functie van de hyperbolische cosinusfunctie. y = Argcosh x ⇐⇒ x = cosh y en y ∈ [0, +∞[

domArgcosh x =[1, +∞[ berArgcosh x =[0, +∞[

Argcosh x = ln( x + x 2 1) met x 1

2 3 4 5 6

7Oefeningen

Bewijs de volgende formules :

a ∀ x ∈ R :sinh(2 x )= 2sinh x cosh x

b ∀ x ∈ R :cosh(2 x )= cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x 1 = 1 + 2sinh2 x

c ∀ x ∈ R :1 tanh2 x = 1 cosh2 x

d ∀ x ∈ R :sinh x = 2tanh x 2 1 tanh2 x 2

e ∀ x ∈ R :cosh x = 1 + tanh2 x 2 1 tanh2 x 2

f ∀ x ∈ R :sinh(3 x )= 3sinh x + 4sinh3 x

g ∀ x ∈ R :cosh(3 x )= 4cosh3 x 3cosh x

h ∀ x ∈ R :cosh x + cosh y = 2cosh x + y 2 cosh x y 2

i ∀ x ∈ R :cosh x cosh y = 2sinh x + y 2 · sinh x y 2

Bewijs voor elke x ∈ R + 0 :

asinh(ln x )= x 2 1 2 x bcosh(ln x )= x 2 + 1 2 x ctanh(ln x )= x 2 1 x 2 + 1

Geef het volledige verloop van f als :

a f ( x )= sinh x b f ( x )= tanh x c f ( x )= coth x

Teken met behulp van ICT de grafiek van de functies met onderstaande voorschriften.

a f ( x )= Argsinh x b f ( x )= Argtanh x c f ( x )= Argcoth x

Bereken.

asinh1

bcosh( 2,7)

ctanh(0,6)

dcoth( 1)

esinh(ln4) iArgcosh(2)

fcosh ln 1 4 jArgtanh(0,25)

gtanh(ln6)

hArgsinh( 0,5)

Een hangbrug overspant een 210 meter diepe en 40 meter brede ravijn volgens de grafiek van de functie f met : f ( x )= a cosh x a + da ∈ R + 0 , d ∈ R

a Bepaal de constanten a en d zodat de brug in het midden ongeveer 5 meter dieper is dan aan de rand van de ravijn.

b Een wandelaar die op de brug stapt, doet dit onder een bepaalde hellingshoek. Bepaal die hellingshoek.

8 9

De Gateway Arch is een monument dat tussen 1963 en 1965 werd gebouwd in de Amerikaanse stad Saint Louis. Het bouwwerk heeft de vorm van een kettinglijn, maar dan gespiegeld ten opzichte van een horizontale die raakt aan de top. De boog is 192 meter hoog en aan de basis ook 192 meter breed.

Bepaal de parameters a en d in het voorschrift van de functie f met f ( x )= a · cosh x a + d

zodat de grafiek van f in een georthonormeerd assenstelsel overeenkomt met de gespiegelde kettinglijn van het monument. We nemen daarbij aan dat de x -as op de grond ligt en de y -as de symmetrieas is van de boog.

Bereken volgende afgeleiden.

a D 2 x 2 sinh(2 · ln x ) voor x = 2c D e 2 x · tanh (3 x ) voor x = ln2

b D tanh2 (3 x ) voor x = ln2

Bepaal de asymptoten en de extrema van f met f ( x ) = 2 · cosh ( ln x )

Toon aan.

a ∀ x ∈ R :Argsinh x = ln( x + √ x 2 + 1)

b ∀ x ∈] 1,1[ :Argtanh x = 1 2 ln 1 + x 1 x

Bewijs.

a D Argsinh x = 1 x 2 + 1

b D Argcosh x = 1 x 2 1

c D Argtanh x = 1 1 x 2

dsinh(Argsinh x )= x

c ∀ x ∈ R \[ 1,1]:Argtanh 1 x = 1 2 ln x + 1 x 1

ecosh(Argsinh x )= 1 + x 2

fsinh(Argtanh x )= x 1 x 2

gcosh(2Argtanh x )= 1 + x 2 1 x 2

Wanneer een voorwerp een val uitvoert, zal het aanvankelijk versnellen, maar bereikt het door de luchtweerstand uiteindelijk een maximale valsnelheid. We kunnen aantonen dat de snelheid v van een voorwerp dat vanuit stilstand wordt losgelaten en een val uitvoert, in functie van de tijd t geschreven kan worden als v ( t )= vmax tanh gt vmax .

Hierbij is g de valversnelling, die voor deze vraag benaderd mag worden door 10 m/s2. De maximale valsnelheid vmax voor een mens bedraagt typisch 50 m/s. De functie tanh ( x) wordt de ’tangens hyperbolicus’ genoemd en wordt gedefinieerd als tanh( x )= e x e x e x + e x . Hoeveel seconden duurt het voordat een mens in vrije val 80% van zijn maximale valsnelheid heeft bereikt?

(A) 3 ln( 5) (B) 5 ln( 3) (C) 3 ln( 50) (D) 50 ln( 3)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2022, oefening 20

Verloop van goniometrische functies 4

Geen muziek zonder wiskunde, of die nu uit je gitaar komt of uit een speaker. Een liedje bestaat op zich enkel uit trillingen en frequenties en een geluid is een voorbeeld van een ‘harmonische trilling’ die weergegeven kan worden door een sinusfunctie. Hoe korter de gebruikte snaar (of hoe korter jij hem maakt met je vingers), hoe hoger het aantal keren dat de snaar trilt en hoe hoger ook de toon die je hoort. Voor de verandering illustreren we dit niet met een gewone gitaar, wel met een oed, een peervormig snaarinstrument dat vooral wordt bespeeld in het MiddenOosten. Tamino leerde dit instrument bespelen van een Syrische vluchteling.

1Goniometrische functies

Eigenschappen :

sinusfunctie

domeinverzameling van x -waarden die een beeld hebben R bereik verzameling van de functiewaarden [ –1, 1]

periodekleinste strikt positief reële getal p zodat sin(x ) = sin ( x + p ) met x ∈ R

amplitudegrootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand

nulwaardende eerste coördinaatgetallen van de snijpunten met de x -as

soort functie ∀x ∈ R : sin (–x ) =–sin x oneven functie

symmetrieer is een symmetriemiddelpunt O

tekenverloopwe bekijken het tekenverloop in [ 0, 2p]

waardeverloopwe bekijken het waardeverloop in [ 0, 2

Cosinusfunctie

Grafiek :

Eigenschappen :

cosinusfunctie

domeinverzameling van x -waarden die een beeld hebben R bereik verzameling van de functiewaarden [ –1, 1]

periodekleinste strikt positief reële getal p zodat

cos(x ) = cos ( x + p ) met x ∈ R

amplitudegrootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand 1

nulwaardende eerste coördinaatgetallen van de snijpunten met de x -as π 2 + k p met k ∈ Z

soort functie ∀x ∈ R : cos (–x ) = cos x even functie symmetrieer is een symmetrieas y -as

tekenverloopwe bekijken het tekenverloop in [ 0, 2p]

waardeverloopwe bekijken het waardeverloop in [ 0, 2p]

Eigenschappen :

tangensfunctie

domein R \ π 2 + k π | k ∈ Z

bereik R periode p

nulwaarden k · p met k ∈ Z

soort functieoneven functie

∀x ∈ R : tan( –x ) =–tan x symmetrieO is een symmetriemiddelpunt

tekenverloop

waardeverloop

asymptoten de rechten met vergelijking x =

–∞↗

+ k π (k ∈ Z )

zijn de verticale asymptoten van de grafiek

Cotangensfunctie

Grafiek :

Eigenschappen :

cotangensfunctie

domein R \{k · π | k ∈ Z}

bereik R

periode p

nulwaarden π

2 + k p met k ∈ Z

soort functieoneven functie

∀x ∈ R : cot( –x ) =–cot x symmetrieO is een symmetriemiddelpunt

tekenverloop

waardeverloop

asymptoten de rechten met vergelijking x = k p met k ∈ Z zijn de verticale asymptoten van de grafiek

Afgeleiden :

D (sin x )= cos xD [sin f ( x )]= cos f ( x ) D [ f ( x )]

D (cos x )= sin xD [cos f ( x )]= sin f ( x ) D [ f ( x )]

D (tan x )= 1 cos2 x D [tan f ( x )]= D [ f ( x )] cos2 f ( x )

D (cot x )= 1 sin2 x

D [cot f ( x )]= D [ f ( x )] sin2 f ( x )

2Verloop van een goniometrische functie

Voorbeeld 1 :

f ( x ) = sin 2x + 2sin x

1Domein

dom f = R

De periode van f 1 met f 1 ( x )= sin2 x is 2π 2 = π.

De periode van f 2 met f 2( x ) = sin x is 2p.

De periode van f 1 + f 2 is dus 2p

Het is dus voldoende de functie f te bestuderen in het interval [ 0, 2p]

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as :

f ( x )= 0 ⇐⇒ sin2 x + 2sin x = 0

∗ ⇐⇒ 2sin x cos x + 2sin x = 0

(*)sin2x = 2sinx cosx

⇐⇒ sin x (cos x + 1)= 0

⇐⇒ sin x = 0ofcos x = 1

⇐⇒ x = k · π of x = π + k · 2π met k ∈ Z

snijpunten met de x -as in [ 0, 2p]: ( 0, 0), ( p, 0) en ( 2p, 0)

snijpunten met de y -as :

x = 0 ⟹ f ( x ) = 0

Het snijpunt is dus ( 0, 0).

tekenverloop van f ( x ):

3Symmetrie

f (–x ) = sin( –2x ) + 2sin( –x )

=–sin2x –2sinx

=–f (x )

De functie is dus oneven.

De grafiek van de functie is symmetrisch om de oorsprong.

4Asymptoten

Wegens de periodiciteit zijn er geen horizontale of schuine asymptoten. Omdat dom f = R zijn er ook geen verticale asymptoten.

5Eerste afgeleide

f ( x )= D (sin2 x + 2sin x )= 2cos2 x + 2cos x

∗ = 2(2cos2 x 1)+ 2cos x

(*)1 + cos2x = 2cos2x

= 4cos2 x + 2cos x 2

f ( x )= 0 ⇐⇒ 4cos2 x + 2cos x 2 = 0

⇐⇒ cos x = 1ofcos x = 1 2

6Tweede afgeleide

f ( x )= D (2cos2 x + 2cos x )

= 4sin2 x 2sin x

= 8sin x cos x 2sin x

= 2sin x (4cos x + 1)

f ( x )= 0 ⇐⇒ sin x · (4cos x + 1)= 0

⇐⇒ sin x = 0ofcos x = 1 4 ⇐⇒ x = k · π of x = ±1,82 + k · 2π k

]

7Continuïteit

Omdat f afleidbaar is in R (zie 5) is f continu in R

t : buigraaklijn in (1,82; 1,46) : rico( t ) = f ′( 1,82) =–2,25

t ′ : buigraaklijn in (p, 0) : rico( t ′) = f ′( p) = 0 ⟹ t ′ valt samen met de x-as

t ″ : buigraaklijn in (4,46; –1,46) : rico( t ″) = f ′( 4,46) =–2,25

9Bereik Uit8blijktdatber f =

10Grafiek

Voorbeeld 2 :

Gegeven is de functie f met f ( x )= 1 + 2sin2 x 2 2sin2 x .

Gevraagd :

a Bepaal het domein en de periode van de functie.

b Bepaal de nulwaarden en geef een tekenverloop van de functie over één periode.

c Bepaal de eventuele asymptoten binnen één periode.

d Bereken de eerste afgeleide en bepaal de extrema binnen één periode.

aDomein en periode

Bestaansvoorwaarde:

Deperiodevan f

Deperiodevan

Deperiodevan f 1 f 2 isdus π

Hetisvoldoendedefunctie f tebestudereninhetinterval [0, π] .

bNulwaarden en tekenverloop

f ( x )= 0 1

cAsymptoten

x = π 4 isdevergelijkingvandeverticaleasymptootin [0, π]

lim

x →∞ < f ( x )=+∞

lim x →∞ > f ( x )=+∞

dEerste afgeleide en extrema

f ( x )= D 1 + 2sin2 x 2 2sin2 x

= 4cos2 x (2 2sin2 x ) (1 + 2sin2 x )( 4cos2 x ) (2 2sin2 x )2

= 12cos2 x (2 2sin2 x )2

f ( x )= 0

12cos2 x (2 2sin2 x )2 = 0

cos2 x = 0en2 2sin2 x = 0

2 x = π 2 + k π en x = π 4 + k π

x = π

x =

[0, π] wordtdat x =

3Toepassing: harmonische en gedempte trilling

Periodieke verschijnselen – en meer bepaald trillingen – kunnen beschreven worden door algemene sinusfuncties met een voorschrift van de vorm

f ( x ) = a sin [ b ( x – c )] + d met a en b positief.

Hierbij stelt x de tijd voor en f ( x ) de uitwijking.

In VBTL 5 Analyse 1b leerden we het volgende :

algemene sinusfunctie

In f ( x )= a sin [ b ( x c )] + da , b ∈ R + 0 , c , d ∈ R is:

a de amplitude

2π

b de periode met b de pulsatie

c de horizontaleverschuiving

d de verticaleverschuiving

Derechtemetvergelijking y = d geeftde evenwichtsstand weer.

HetpuntS( c , d ) noemenwehetbeginpuntvaneensinusperiode.

a y y = d x ( c, d )

a 0 S

periode = 2π b

In het dagelijkse leven zijn er nog andere verschijnselen die door algemene sinusfuncties beschreven worden. Denk maar aan de trilling van een stemvork of een gong, de uitwijking van een slinger of een trillende snaar, de duur van de dag en nacht, de waterhoogte bij eb en vloed, het veranderen van de bloeddruk, het ritme van de hartslag, wisselstromen

• De volgende grafiek is een vereenvoudigd model van de wijze waarop de bloeddruk van een mens verandert onder invloed van de hartslag. Op de x -as is de tijd uitgezet (in seconden), op de y -as staat de kwikdruk (in millimeter).

De functiewaarden ‘schommelen’ rond de evenwichtsstand. De grootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand is de amplitude. In de grafiek van de bloeddruk is de evenwichtsstand 110, de amplitude 20 en de periode 1.

• Trillingen zie je bij een trillende snaar, bijvoorbeeld in een piano. De hoogte van de toon hangt af van de lengte van de snaar. Hoe korter de snaar, hoe groter het aantal keer dat de snaar per seconde trilt en hoe hoger de toon.

Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie van de toon.

Die frequentie wordt uitgedrukt in hertz (Hz).

Voor de periode p en de frequentie f geldt: f = 1 p

Een trilling ontstaat doordat de snaar heen en weer beweegt rond een bepaalde evenwichtsstand.

De uitwijking f ( x ) (in cm) van het midden van de snaar hangt af van de tijd x (in s ) die verstreken is sinds het aanslaan van de snaar. De grafiek van f ( x ) is bij benadering een sinusoïde.

Dergelijke trilling noemen we een harmonische trilling. De Fransman Jean Baptiste Fourier ontdekte dat elke trilling kan worden opgebouwd als een som van harmonische trillingen. De fourieranalyse is daarop gebaseerd.

In realiteit werken er op een trillend systeem wrijvings- of weerstandskrachten en wordt bijvoorbeeld in een trillende veer warmte geproduceerd. Hierdoor neemt de energie van het systeem af. Het systeem voert dan een gedempte trilling uit.

Harmonische trillingen doven dus na verloop van tijd uit. Denk maar aan de trillende snaar. Na enige tijd wordt de uitwijking van de snaar kleiner, tot de toon niet langer hoorbaar is. De amplitude neemt daarbij exponentieel af omdat de uitdoving steeds langzamer gaat.

Voorbeeld 1 :

f ( x )= 3 e 2 x π sin4 x met x 0

De factor 3 · e 2 x π en3 · e 2 x π komt overeen met de amplitude. Die is niet constant, maar daalt exponentieel met de tijd. Hoe sneller de amplitude afneemt, hoe sterker de demping is. De functiewaarden schommelen tussen 3 e 2 x π en3 e 2 x π

Voorbeeld 2 :

f ( x )= e x 2 cos (6 x 2) met x 0

Zero 0,0715

Max 0,31950,84942

Zero 0,5951

Min 0,8431 –0,65377

Zero 1,1187

Max 1,36670,50319

Zero 1,6423

Min 1,8903 –0,38728

Zero 2,1659

Max 2,41390,29808

Zero 2,6895

Min 2,9375 –0,22942

Zero 3,2131

Max 3,46110,17658

Zero 3,7367

Min 3,9847 –0,13591

Zero 4,2603

Max 4,50830,1046

Zero 4,7839

Min 5,0319 –0,08051

Zero 5,3075

Max 5,55550,06196

Zero 5,8311

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)

Joseph Fourier, geboren in Auxerre (Frankrijk), had drie grote passies: zijn geloof, de politiek en natuurlijk de wiskunde. In 1787 besloot hij in te treden in een klooster om zich voor te bereiden op het priesterschap. Zijn interesse voor wiskunde deed hem echter twijfelen en uiteindelijk verliet hij het klooster. In 1793 werd hij politiek actief. Hij trad toe tot een revolutionair comité en belandde in de gevangenis. Door toedoen van o.a. Lagrange, Laplace en Monge werd hij vrijgelaten. Ten tijde van Napoleon volgde hij die naar Egypte, waar hij een belangrijke functie kreeg. Bij zijn terugkeer werd hij benoemd tot prefect in Grenoble. Fourier wordt beschouwd als de grondlegger van de mathematische fysica. Zijn belangrijkste werk was ‘Théorie analytique de la chaleur’ (1822), de theorie van de warmetegeleiding bepaald door de partiële differentiaalvergelijking ΔU = kθu θt De methoden die Fourier hierbij gebruikte, waren zo algemeen dat zijn werk het prototype is geworden voor de behandeling van de gehele theorie voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen.

4Verloop van een goniometrische functie met GeoGebra

We onderzoeken het verloop van de functie f met f ( x ) = sin 2x + tan x .

1Domein

dom f = R \ π 2 + k π k ∈ Z

Deperiodevan f 1 met f 1 ( x )= sin2 x is 2π 2 = π.

Deperiodevan f 2 met f 2 ( x )= tan x is π.

Hetisdusvoldoendedefunctie f tebestuderenin [0, π]

2Snijpunten met de assen

3Symmetrie

De functie is dus oneven en de grafiek is symmetrisch om de oorsprong.

4Asymptoten

x = π 2 + k π k ∈ Z zijnV.A.

5Eerste en tweede afgeleide

Er zijn geen extrema want de eerste afgeleide wordt nooit nul.

Er is een buigpunt voor x = π 4 want de tweede afgeleide wordt voor x = π 4 nul.

Weziendatereenbuigpuntisvoor x = π 4 . Webepalenhetbuigpuntendevergelijkingvandebuigraaklijn:

6Bereik ber f = R

7Grafiek

5Samenvatting

• Je kunt het verloop van een goniometrische functie bepalen door achtereenvolgens de volgende zaken te onderzoeken :

– domein ;

– snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x); – symmetrie ;

– asymptoten ;

– eerste afgeleide (stijgen en dalen van de functie en bepalen van eventuele extrema) ;

– tweede afgeleide (holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten) ;

– continuïteit ;

– samenvattende tabel ;

– bereik;

– grafiek.

• Je weet wat een harmonische trilling is.

Voor de periode p en de frequentie f geldt: f = 1 p

• Je kent enkele voorbeelden van een gedempte trilling.

6Oefeningen

Bereken en vereenvoudig volgende afgeleiden

a D [ln (1 cos x )]

b D [sin x ln (1 + sin x )]

c D 1 2 tan2 x ln (sec x ) + 2

d D tan x + 1 3 tan3 x + 9

e D [sec x · tan x + ln (sec x + tan x ) 1]

f D 5 4sin3 2 x

g D 1 cos2 x 1 + sin2 x

h D 2sin x · cos3 x + 3sin x · cos x + 3 x = a · ( )4

i D sin x 3 sin2 x = a ( )3

j D 2 1 9 cos3 x + 3 2 sin2 x 38 3 cos x + 11 2 x 2 =( + )3

Onderzoek het verloop van volgende goniometrische functies met :

a f ( x )= cot x

b f ( x )= sin x + 2cos x

c f ( x )= sin2 x + 2cos x

d f ( x )= 4cos2 x 8cos x + 3

e f ( x )= sin x + cos2 x 1

f f ( x )= tan x sin x cos x

g f ( x )= tan x + cot x

h f ( x )= cos x cos3 x

i f ( x )= 1 + cos x 1 cos x

j f ( x )= sin2 x 1 + sin x

k f ( x )= 4 2 + sin x

l f ( x )= 4cos x 2 + sin x 1 2

Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het gegeven punt P aan de functie f met

f ( x )= √2cos3 x 3 2sin2 x en

P π 4 ,...

Gegeven is de functie f ( x )= 1 cos x 1 + cos x .

a Bepaal het domein en de periode van de functie.

b Bepaal de nulwaarden en geef een tekenverloop van de functie over één periode.

c Bereken de eerste afgeleide en bepaal de extrema binnen één periode.

5

* 6

* 7

Beschouw de functie f met f ( x )= cos

6π x 2 + ax 2

In het punt x = 1 heeft f een nulwaarde en bereikt f ook een maximum.

a Bepaal de parameter a .

b Maak de grafiek van f voor de gevonden waarde van a

Vraag uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur

Gegeven is de familie van functies f met f ( x )= 1 2sin x a + sin x metdom f =[0,2π].

a Teken de grafiek van f voor a = 2.

b Bereken de extrema van f voor a = 2. Controleer je oplossing grafisch-numeriek.

c Heeft de grafiek van f verticale asymptoten voor a = 1 2 ? Leg uit.

d Teken de grafiek van f voor a = 1 2

e Voor welke waarde(n) van a heeft f een uiterste waarde gelijk aan 1 ? Controleer je oplossing grafisch-numeriek.

Onderzoek met ICT het verloop van de volgende functies met

a f ( x )= x sin x

b f ( x )= x · sin x

c f ( x )= sin x x

d f ( x )= e x cos x

e f ( x )= 4 · e x · sin(10π x ) met x 0

f f ( x )= e x 5 · cos x met x 0

9

Een slinger wordt op t = 0 in zijn uiterste stand losgelaten.

De uitwijking f ( t ) van de slinger na t seconden t.o.v. de evenwichtsstand wordt gegeven door f ( t )= 2,5 sin π 2 t π 4 met f ( t ) incmen t inseconden.

met f ( t ): uitwijking in cm t : tijd in seconden f ( t )

a 0 a

a Bereken de amplitude, de periode en de frequentie van de slinger.

b Bereken de snelheid f ′( t ) en de versnelling f ″( t )

c Wanneer en waar zijn de absolute waarden van de snelheid en van de versnelling maximaal ?

Harmonische trillingen met een faseverschil.

Er is sprake van faseverschil bij twee trillingen als de trillingen niet op hetzelfde moment begonnen zijn.

Voorbeeld : gegeven zijn de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) = 2sint en f 2( t ) = 2sin( t – 2)

a Toon aan dat beide trillingen dezelfde amplitude en periode hebben.

Hoeveel seconden na de eerste trilling begon de tweede trilling ?

Hoe ontstaat de grafiek van f 2 uit de grafiek van f 1 ?

b Toon grafisch en algebraïsch aan dat f 3( t ) = f 1( t ) + f 2( t ) = 2 sin t + 2sin( t – 2) opnieuw een harmonische trilling f 3 voorstelt.

Bepaal ook de amplitude, de periode, de horizontale en de verticale verschuiving van f 3

Harmonische trillingen met verschillende amplitudes en/of evenwichtsstand.

Voorbeeld : beschouw de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) f 2( t )

2 sin 2t 1 + sin 2t cos t 1 + 2sin t

a Toon in beide gevallen aan dat f 3 = f 1 + f 2 opnieuw een harmonische trilling oplevert.

Doe dit zowel grafisch als algebraïsch.

b Bereken telkens de amplitude, de periode, de horizontale en de verticale verschuiving van f 3

Een lichaam trilt gedempt. De uitwijking is :

s = f ( t )= 3 · e 2 t π · sin (4 t ) met t : tijd in seconden ( t ⩾ 0)

a Bereken de snelheid f ( t )= ds dt

b Bereken de extreme waarde van de uitwijking.

c Wanneer is de amplitude van de gedempte trilling kleiner dan 0,1? Rond je uitkomst af op een geheel getal.

d Bereken de versnelling f ( t )= d 2 s dt 2

e Bewijs : p2 · f ″( t ) + 4p · f ′( t ) + ( 4 + 16p2) · f ( t ) = 0

a

Een blokje is vastgehecht aan een veer en beweegt op en neer. Voor t ⩾ 0 wordt de hoogte h( t) van het blokje gegeven door h ( t )= e t τ (sin at ) waarbij t en a constanten zijn. De kinetische energie van de massa m is gegeven door E kin ( t )= 1 2 mv 2 waarbij v ( t )= h ( t ) de ogenblikkelijke snelheid van het blokje en m de massa van het blokje voorstelt. Verder is gegeven dat a · τ = 1. Voor welke waarde van t wordt de kinetische energie voor het eerst 0?

(A) π 4a

(B) π 2a

(C) 3π 4a

(A) π 4a (B) π 2a (C)

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 7.8

a

Bij harmonische trillingen waarvan de frequenties (en dus de periodes) verschillend zijn, krijg je in het algemeen geen harmonische trilling als je ze optelt.

Voorbeeld :

(D) π a (A) π 4a (B) π 2a (C) 3π 4a (D) π a

Beschouw de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) = sin t 2 en f 2( t ) = sin t

Na optelling bekomen we f 3 = f 1 + f 2 met f 3( t ) = sin t 2 + sin t

In de volgende figuur wordt dit grafisch weergegeven.

Door gebruik te maken van goniometrische formules vind je : f 3 ( t )= sin t 2 + sin t = 2sin 3 t 4 · cos t 4 .Gaditzelfna.

Het voorschrift van f 3 is niet van de vorm a sin( bt ) met a , b ∈ R + 0 Hieruit volgt dat f 3 geen harmonische trilling is.

Toepassing : kerkorgel

De la-pijp van een kerkorgel veroorzaakt bij het aanblazen een harmonische trilling f 1 met f 1( t ) = sin( 56pt ) . Hierbij stelt t de tijd voor in seconden. In een ander register van datzelfde kerkorgel zit een tweede orgelpijp die dezelfde noot aanblaast. Die pijp is echter onzuiver gestemd en veroorzaakt een harmonische trilling f 2 met f 2( t ) = sin( 54pt ) Jammer genoeg klinkt die toon iets te laag.

a Teken de grafiek van f 1 en f 2. Bereken de frequentie van beide orgelpijpen in hertz.

b Wanneer de beide la-pijpen van het kerkorgel samen aangeblazen worden, brengt dat een trilling f 3 voort met f 3( t ) = sin( 56pt ) + sin( 54pt ). Teken de grafiek van f 3 en toon aan dat f 3 niet meer harmonisch is. Muziekliefhebbers noemen zo’n klank ‘dissonant’.

c Ontbind f 3( t ) in factoren met behulp van de formules van Simpson en stel vast dat de amplitude van die trilling niet steeds even groot is. De amplitude gaat periodiek aanzwellen en afnemen. We noemen dat ook een zweving. Welke factor stelt de wisselende amplitude voor ?

d Teken de grafiek van de amplitudefunctie. Bij amplitude 0 is het geluid niet hoorbaar. Bij een maximale amplitude 2 is het geluid het best hoorbaar. Hoeveel ‘zwevingen’ hoor je per seconde ?

e Bepaal de frequentie van de dissonante toon f 3. Hoe kan die frequentie afgeleid worden uit de frequenties van de afzonderlijke pijpen ?

Verloop van goniometrische functies 4

Cyclometrische functies 5

De wortels van sommige wiskundetakken reiken soms duizenden jaren terug. De geschiedenis van de goniometrische functies begon bijvoorbeeld 4000 jaar geleden. De Babyloniërs benaderden de afmetingen van hoeken en lengtes van zijden bij rechthoekige driehoeken en graveerden op tabletten in spijkerschrift verschillende tabellen met getallen. Dit kleitablet (Plimpton 322, dateert ongeveer van 1900 v.Chr.) zou een eerste secanstabel bevatten.

Andere wiskundigen zoals Ptolemaeus en Brahmagupta gingen verder op onderzoek, maar het was de Indiase wiskundige Bhāskara II die het als een echt studieonderwerp beschouwde.

En nu is het aan jou om de omgekeerde relaties van de goniometrische functies te bestuderen en op zoek te gaan naar eigenschappen van cyclometrische functies.

1 Cyclometrische functies

cyclometrische functies

y = Bgsin x ⇐⇒ x = sin y en y ∈

, π 2

y = Bgcos x ⇐⇒ x = cos y en y ∈ [0, π]

y = Bgtan x ⇐⇒ x = tan y en y ∈

, π 2

y = Bgcot x ⇐⇒ x = cot y en y ∈ ]0, π[

Gevolgen van de definities

∀ x ∈ [ 1,1] :sin (Bgsin x )= x

cos (Bgcos x )= x

∀ x ∈ R :tan (Bgtan x )= x

cot (Bgcot x )= x

2Verloop van een cyclometrische functie

We onderzoeken het verloop van een cyclometrische functie. We nemen als voorbeeld de functie f met f ( x ) =– p + 2Bgtan x

1Domein

dom f = R

2Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x ) snijpunten met de x -as :

f ( x )= 0

π + 2Bgtan x = 0

Bgtan x = π 2

Aangezien π 2 / ∈ π 2 , π 2 , zijn er geen snijpunten met de x -as.

snijpunten met de y -as :

x = 0

f ( x )= π + 2Bgtan0 = π

snijpunt met de y -as = ( 0, –p)

tekenverloop van f ( x ):

x –∞ +∞

f ( x ) –

f ( x ) is steeds negatief want f ( x ) =–p + 2Bgtan x

Aangezien π 2 < Bgtan x < π 2 ,wetenwe: π< f ( x ) < 0.

3Symmetrie

f ( x )= π + 2Bgtan x en f ( x )= π + 2Bgtan( x )= π 2Bgtan x

f ( x ) = f ( x ) en f ( x ) = f ( x ) f isdusnocheven,nochoneven.

4Asymptoten

V.A.:Erisgeenverticaleasymptootwant 2π< f ( x ) < 0.

H.A.:lim x →−∞ ( π + 2Bgtan x )= π + 2 π 2 = 2π

y = 2π iseenhorizontaleasymptoot.

x →+∞ ( π + 2Bgtan x )= π + 2 π 2 = 0

lim

y = 0iseenhorizontaleasymptoot.

Liggingvandegrafiekt.o.v.H.A.:

f ( x ) ( 2π)= f ( x )+ 2π

= π + 2Bgtan x + 2π

= π + 2Bgtan x > 0

(want2Bgtan x ∈] π, π[).

De grafiek ligt boven de H.A.

De grafiek ligt onder de H.A. met vergelijking y = 2p met vergelijking y = 0.

x –∞ +∞ x –∞ +∞

f ( x ) – ( –2p) + f ( x ) – 0 –

S.A. : Er zijn geen schuine asymptoten.

5Eerste afgeleide

f ( x )= D ( π + 2Bgtan x )

D Bgtan x = 1 1+ x 2

f ( x )= 2 1 + x 2 > 0

x –∞ +∞

f ′( x ) +

f ( x ) ↗

6Tweede afgeleide

f ( x )= D 2 1 + x 2

f ( x )= 2(2 x )

(1 + x 2 )2 = 4 x (1 + x 2 )2

x –∞ 0 +∞

f ″( x ) + 0 –

f ( x ) ∪ buigpunt ∩

7Continuïteit

Omdat f afleidbaar is in R (zie 5) is f continu in R.

8Samenvattende tabel x

9Bereik

3Samenvatting

• Je kunt het verloop van een cyclometrische functie bepalen door achtereenvolgens de volgende zaken te onderzoeken :

– domein ;

– snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x);

– symmetrie ;

– asymptoten ;

– eerste afgeleide (stijgen en dalen van de functie en bepalen van eventuele extrema) ;

– tweede afgeleide (holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten) ;

– continuïteit ;

– samenvattende tabel ;

– bereik ;

– grafiek.

• Je kent de definities, de eigenschappen en de afgeleiden van cyclometrische functies.

– cyclometrische functies:

y = Bgcos x ⇐⇒

y = Bgcot

⇐⇒

Eigenschappen:

– Afgeleiden:

3

4Oefeningen

Onderzoek het verloop van de volgende cyclometrische functies met :

a f ( x )= Bgcot x d f ( x )= 2Bgtan(2 x + 1) g f ( x )= Bgsin √1 x

b f ( x )= Bgsin 1 x e f ( x )= 4Bgcos( x 2 ) h f ( x )= Bgtan x 2 1 2 x

c f ( x )= 2Bgsin( x 2 1) f f ( x )= 2 x 4Bgtan x i f ( x )= Bgtan 2 x 1 x 2

Gegeven:De functies f, g en h met:

f ( x )= 1 2 Bgsin2 x

g ( x )= ln f (2 x )

h ( x )= g ( x )

Gevraagd: h( –1)

Gegeven:De functies f, g en h met:

f ( x )= Bgtan 1 1 x

g ( x )= ln f ( x )

h ( x )= g ( x + 1)

Gevraagd: h( 3)

Gegeven:De functies f, g en h met:

f ( x )= Bgtan x 1 x + 1

g ( x )= ln 1 f ( x ) 1

h ( x )= Bgsin g ( x )

Gevraagd: h 1 2

Gegeven:De functies f, g en h met:

f ( x )= Bgtan x

g ( x )= sinh (ln x )

h ( x )= f ( x ) · g ( x )

Gevraagd: h (4)

7

Bereken (en vereenvoudig) volgende afgeleiden.

a D 1 2 Bgtan x 2 + ln ( x 2)2 x + 2 ln 1 x 2 + 4 = ax 3 + bx 2 + c x 4 + d

b D 1 4 x + 1 2 + 3 8 ln x 2 + 2 x + 5 + 1 4 ln( x 1) = ax 2 + x + b x 3 + cx 2 + 3 x + d

c D 7 8 Bgtan x 2 7 16 ln x 2 + 4 1 8 ln( x + 2) = ax 2 + bx + c 8 + dx + ex 2 + x 3

d D 2 5 Bgtan( x 1)+ 1 10 ln (2 x 3)7 x 2 2 x + 2 = x 2 ax b (2 x + c ) x 2 2 x + 2

e D 2sin x cos3 x + 3sin x cos x + 3 x = a ( )4

f D sin x · 3 sin2 x = a · ( )3

g D 2 1 9 cos3 x + 3 2 sin2 x 38 3 cos x + 11 2 x 2 =( + )3

Gegeven de functie f : [ 1,1] → R : x → f ( x )= 6 x 2 3 Bgsin x + 3 x 1 x 2 π x 2 .

Bepaal de afgeleide f √3 2

(A) 2√3π

(B) 3√3π

(C) 9 3√3 + 2√3π

(D) 9 3√3 + 3√3π

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2021, oefening 13

Cyclometrische functies 5

Ik ken het verband tussen een cyclometrische functie en de corresponderende goniometrische functie.

Ik kan de grafiek van een cyclometrische functie schetsen zonder ICT en tekenen met ICT.

Ik ken de kenmerken van een cyclometrische functie: domein, bereik, nulwaarden, tekenverloop, stijgen/dalen,

Ik kan het hol/bol zijn en de buigpunten van een cyclometrische functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de tweede afgeleide functie.

Differentiaal van een functie 6

In de 17e eeuw hebben Newton en Leibniz onafhankelijk van elkaar de differentiaalrekening uitgevonden. Daarmee konden zij raaklijnen aan krommen en grafieken van functies bepalen. Maar Newton ontdekte kort daarna dat het omgekeerde van differentiëren kon worden toegepast op het berekenen van oppervlakten en inhouden van vlakke en ruimtelijke figuren.

Als de fabrikant van puntzakken voor de frituur samenwerkt met de fabrikant van frietjes, dan hebben ze één gemeenschappelijke nood: wiskunde (en mayonaise).

1Definitie

Als de functie f afleidbaar is in een punt a van haar domein, dan wordt de grafiek van die functie in een omgeving van P( a , f ( a )) benaderd door de raaklijn in dat punt P.

y = f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

We mogen in een omgeving van a de functie f benaderen door de lineaire functie g met

g ( x ) = f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

M.a.w. f ( x ) wordt benaderd door f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

⟹ f ( x ) – f ( a ) wordt benaderd door f ′( a ) · ( x – a )

Het verschil x – a is een aangroeiing van het argument en noteren we als Δx

Het verschil f ( x ) – f ( a ) is een aangroeiing van het beeld en noteren we als Δf ( x ) of Δy

⟹Δf ( x ) =Δy wordt benaderd door f ′( a ) · Δx

differentiaal

Als f afleidbaar is in a en als Δx een aangroeiing is van het argument waarvoor a +Δx ∈ dom f , dan noemen we df ( a ) de differentiaal van f in a , met df ( a ): df ( a ) = f ′( a ) · Δx

Door a niet als een gegeven waarde, maar als een veranderlijke te beschouwen, krijgen we de differentiaal van f in x

dy = df ( x ) = f ′( x ) · Δx

Gevolgen :

–

Voor de functie f met f ( x ) = x geldt: f ′( x ) = 1, dus dx = 1 ·Δx =Δx

In bovenstaande definities mag je dus Δx door dx vervangen. Zo verkrijg je de gebruikelijke formules :

df ( a ) = f ′( a ) · dx

dy = df ( x ) = f ′( x ) dx

– Omdat Δx = dx ≠ 0 wordt df ( x ) dx = f ( x ) (notatie van Leibniz voor afgeleiden) of nog :

Df ( x )= df ( x )

dx

2Verband tussen dy en Dy

In het algemeen zijn dy en Δy verschillend, Δy wordt wel benaderd door dy .

Voor f ( x ) = 0geldt:lim dx →0 ∆ y dy = 1

Want : lim ∆ x →0 ∆ y dy = lim ∆ x →0 f ( x + ∆ x ) f ( x ) f ( x )∆ x

= 1 f ( x ) · lim ∆ x →0 f ( x + ∆ x ) f ( x ) ∆ x

= 1 f ( x ) · f ( x )= 1

Dus mogen we voor Δx → 0, Δy bij benadering vervangen door dy als f ′( x ) ≠ 0.

Meetkundige betekenis :

Op de grafiek k van de functie f nemen we de punten A( x , f ( x )) en B( x +Δx , f ( x +Δx ))

Een evenwijdige door A met de x -as snijdt een evenwijdige door B met de y -as in het punt C. Δy =Δf ( x ) is de toename van het tweede coördinaatgetal langs de kromme bij een toename dx =Δx van het eerste coördinaatgetal.

| Δy | = | BC |

De raaklijn t aan k in A snijdt de rechte BC in D. dy = df ( x ) is de toename van het tweede coördinaatgetal langs de raaklijn bij een toename dx =Δx van het eerste coördinaatgetal.

| dy | = | CD |

Bewijs :

Wewetendat:

rico( t )= y D y A x D x A = y D y C ∆ x (1)

rico( t )= f ( x ) (2)

Uit(1)en(2)volgtdat:

f ( x )= y D y C ∆ x

of: y D y C = f ( x ) ∆ x

of: y D y C = df ( x ) y x Dy y = f (x ) dy t O C B D x x + Dx dx = Dx k A

Dus : | CD| = df ( x ) = dy

3 Differentialen van hogere orde

Uitgaand van de differentiaal df ( x ) van f in x hebben we een functie bepaald : df met df ( x ) = f ′ ( x ) dx

We noemen nu de tweede differentiaal van f in x de differentiaal van de functie df in x .

Notatie : d 2f ( x )

d 2 f ( x )= d [df ( x )]= d [ f ( x ) dx ]

= f ( x ) dx dx

= f ( x ) dx dx

= f ( x ) dx 2

dx wordtconstantbeschouwd

Merk op dat we hier dx 2 schrijven voor ( dx )2.

Algemeen :

Als fn maal afleidbaar is in x , geldt: d n f ( x ) = f ( n )( x ) dx n waarbij dx n staat voor ( dx )n

4 Rekenregels

De differentiaal van een functie vinden we door de afgeleide in x te vermenigvuldigen met Δx of met dx (zie definitie). Het berekenen van differentialen verschilt niet wezenlijk van het berekenen van afgeleiden. Reken volgende formules na en onthoud ze.

d ( c )= 0

d ( x n )= nx n 1 dx

d 1 x = dx x 2

d (√ x )= dx 2√ x

d (sin x )= cos xdx

d (cos x )= sin xdx

d (tan x )= dx cos2 x

d (cot x )= dx sin2 x

d (Bgsin x )= dx √1 x 2

d (Bgcos x )= dx √1 x 2

d (Bgtan x )= dx 1 + x 2

d (Bgcot x )= dx 1 + x 2

d (a x )= a x · ln adx

d ( e x )= e x dx

d (ln x )= dx x

d (loga x )= dx x · ln a

d (sinh x )= cosh xdx

d (cosh x )= sinh xdx

d ( f + g )= df + dg

d (a f )= a df (a ∈ R )

d ( f g )= g df + f dg

d 1 f = df f 2

d f g = g df f dg g 2

d ( f g )= f g ln f dg + g f g 1 df

5Toepassingen

Differentialen zijn vooral nuttig bij het berekenen van benaderingen. df ( x ) is een benaderende waarde voor Df ( x ) als f ′( x ) ≠ 0 (zie blz. 140).

Voorbeeld 1 :

Een halfbolvormige koepel met diameter 8 meter wordt langs de buitenzijde belegd met bladgoud van 3 mm dik.

Bereken bij benadering welk volume goud hiervoor nodig is. De soortelijke massa r = 19,3 g/cm3

Oplossing :

Het gevraagde volume is het verschil ΔV van de volumes van twee halve bollen met respectievelijke straal 4m en 4,003m. Omdat het verschil tussen beide stralen klein is, kunnen we ΔV benaderen door de differentiaal dV

V ( r )= 1 2 4 3 π r 3 = 2 3 π r 3

=⇒ dV = V ( r )∆ r = 2π r 2 ∆ r

Met r = 4 en Δr = 0,003 vinden we dV = 0,3016.

Hoeveel goud is er dan nodig? 0,3016 m3 = 301600 cm3

Uitgedrukt in gram: (301600 19,3) g = 5820880 g = 5820,88 kg

Voorbeeld 2 :

Bereken bij benadering √401.

Oplossing :

√401 = √400 + 1

f ( x )= √ x =⇒ df ( x )= 1 2√ x ∆ x

Stelhierin x = 400en ∆ x = 1enjevindt df ( x )= 0,025.

zodat √401 ≈ 20,025.

Hoeveel procent zit je naast de feitelijke uitkomst ?

Voorbeeld 3 :

Bereken bij benadering tan46°.

Oplossing :

tan46 ◦ = tan (45 ◦ + 1 ◦ )= tan π 4 + π 180

f ( x )= tan x =⇒ df ( x )= sec2 x ∆ x

Stelhierin x = π 4 en ∆ x = π 180 enjevindt df ( x )= π 90

zodattan46 ◦ ≈ 1,0349.

Hoeveel procent zit je naast de feitelijke uitkomst ?

Voorbeeld 4 :

Als de absolute fout op x gelijk is aan | Δx |, dan is de absolute fout | Δy | op een functie y van x bij benadering gelijk aan :

| ∆ y |≈| f ( x ) ∆ x | = | dy |

Bereken de absolute fout op de weerstand R als de spanning U 20 volt bedraagt en je voor de stroomsterkte I 4 ampère meet met een absolute fout van 0,2 ampère (dus I = 4 ± 0,2 ampère).

Oplossing :

De formule die het verband geeft tussen spanning, weerstand en stroomsterkte luidt: R = U I

Uit het gegeven volgt dus dat U I = R = 20 4 = 5.

De absolute fout op de weerstand bedraagt dan | ΔR |.

| dR | = | R ( I ) ∆ I | = U I 2 ∆ I

Het invullen van de waarden U = 20, I = 4en | ΔI | = 0,2 geeft | dR | = 0,25.

De absolute fout op de weerstand bedraagt dus (bij benadering) 0,25 ohm.

M.a.w. R = 5 ± 0,25 ohm.

6Samenvatting

• Je kent de betekenis en de definitie van het begrip differentiaal van f in a Als f afleidbaar is in a en als Δx een aangroeiing is van het argument waarvoor a +Δx ∈ dom f , dan noemen we differentiaal van f in a : df ( a) = f ′( a ) ·Δx

Door a niet als een gegeven waarde, maar als een veranderlijke te beschouwen, krijgen we de differentiaal van f (we schrijven x in plaats van a ) in x dy = df ( x ) = f ′( x ) ·Δx of dy = d f( x ) = f ′( x ) · dx

• Je kent het verband tussen Δy en d y.

• Je kent de meetkundige betekenis van Δy en van d y op de grafiek van een functie.

• Je kent de betekenis van een differentiaal van hogere orde. d n f ( x ) = f ( n )( x )dx n

• Je kent de rekenregels voor het berekenen van differentialen.

• Je kunt bij het benaderingsrekenen differentialen toepassen.

2 3 4 5 6 7 8

7Oefeningen

Bereken de differentiaal van f als f ( x ) gelijk is aan:

a x 2 5 √2 x f 3 log √tan x

b 1 3 (2 x 1)2 gln( x + 1 + x 2 + 2 x 1)

ccos3 ( x 2 + 1) h x Bgsin x 2 + √4 x 2

dcsc 3 x iBgtan √2 x 1

e x 2 e x j (sin x )cot x

Een cirkelvormig plaatje zet uit door een stijging van de temperatuur. Geef bij benadering de toename in oppervlakte als de straal wijzigt van 14,5 cm tot 14,6 cm.

Een staaf van 20 cm wordt vastgeklemd tussen twee punten en nadien opgewarmd. De diameter wijzigt van 16 mm tot 17 mm. Geef bij benadering de toename van het volume van de staaf.

Een vliegtuig vliegt rond de aarde langs de evenaar op 2 km hoogte. Hoeveel km legt het vliegtuig meer af dan een globetrotter die op de aarde rondtrekt langs de evenaar ?

Een kubus met zijde 60 cm wordt langs alle zijden beplakt met karton dat 3 mm dik is. Bereken bij benadering het volume karton dat je hiervoor hebt gebruikt.

Een halfbolvormige koepel met diameter 3 m wordt langs de binnenzijde beschilderd met een verflaag van 1 mm dik. Bereken bij benadering welk volume verf hiervoor nodig is.

Een klein frietzakje is kegelvormig, heeft een hoogte van 18 cm en de diameter van de opening bedraagt 14 cm. Hoeveel meer bedraagt het volume van een groot frietzakje bij benadering als de hoogte 20 cm is en de diameter van de opening 14 cm is ?

Bereken bij benadering (op 0,001 nauwkeurig).

a √99 c 3 √1001

bsin31 ◦ dtan44 ◦

De snelheid van een voorwerp dat van op een hoogte h een vrije val maakt, wordt gegeven door de formule :

v = 2gh g = valversnelling = 9,81 m/s2

Men meet voor de hoogte 80 meter met een absolute fout van 0,1 m (dus h = 80 ± 0,1 m).

Hoe groot bedraagt de absolute fout op de snelheid ?

De lengte van een boog wordt gegeven door de formule : s = r α r = straal, α = hoek in radialen

Hoe groot is de fout op de lengte van een boog bij een cirkel met straal 60 cm als de absolute fout op de hoek 0,1 radiaal is ?

Differentiaal van een functie 6

D (a x )= a x ln aD [a f ( x ) ]= a f ( x ) ln a Df ( x )

D ( e x )= e x

D (loga x )= 1 x ln a

D (ln x )= 1 x

D (ln | x |)= 1 x

D [ e f ( x ) ]= e f ( x ) Df ( x )

D [loga f ( x )]= Df ( x ) f ( x ) ln a

D [ln f ( x )]= Df ( x ) f ( x )

D [ln | f ( x ) |]= Df ( x ) f ( x )

D ln | x + √ x 2 + k | = 1 √ x 2 + k (k ∈ R ) D ln | f ( x )+ ( f ( x ))2 + k | =

D [ f ( x )]g ( x ) =[ f ( x )]g ( x ) ln f ( x ) Dg ( x )+ g ( x ) [ f ( x )]g ( x ) 1 Df ( x )

Df ( x )= k f ( x ) ⇐⇒ f ( x )= b e kx

D (sin x )= cos x D [sin f ( x )]= cos f ( x ) D [ f ( x )]

D (cos x )= sin xD [cos f ( x )]= sin f ( x ) D [ f ( x )]

D (tan x )= 1 cos2 x D [tan f ( x )]= D [ f ( x )] cos2 f ( x )

D (cot x )= 1 sin2 x D [cot f ( x )]= D [ f ( x )] sin2 f ( x )

D (Bgsin x )= 1 √1 x 2 D [Bgsin f ( x )]= D [ f ( x )] 1 [ f ( x )]2

D (Bgcos x )= 1 √1 x 2 D [Bgcos f ( x )]= D [ f ( x )] 1 [ f ( x )]2

D (Bgtan x )= 1 1 + x 2 D [Bgtan f ( x )]= D [ f ( x )] 1 +[ f ( x )]2

D (Bgcot x )= 1 1 + x 2 D [Bgcot f ( x )]= D [ f ( x )] 1 +[ f ( x )]2

Df ( x ) ( f ( x ))2 + k

b , k

D ( f + g )= Df + Dg

D ( f − g )= Df Dg

D ( f · g )= f Dg + g · Df

D (c · f )= c Df

D f g = g · Df f Dg g 2

D 1 f = Df f 2

Df m = mf m 1 Df (m ∈ Q0) dy dx = dy du du dx met u = f (x )

D (sinh x )= cosh xD [sinh f (x )]= cosh f (x ) · D [f (x )]

D (cosh x )= sinh xD [cosh f (x )]= sinh f (x ) D [f (x )]

D (tanh x )= 1 cosh2 x D [tanh f (x )]= D [f (x )] cosh2 f (x )

D (coth x )=

−1 sinh2 x D [coth f (x )]= −D [f (x )] sinh2 f (x )

Dc = 0

Dx = 1

Dx n = n x n 1 (n ∈ Q0)

D 1 x = −1 x 2

D √x = 1 2√x

D 3 √x = 1 3 3 √x 2

Oplossingen

1 Verloop van algebraïsche functies (blz. 39)

1a 10

3 6 √ x + 5 2 x 3 e

2 x 2 + 18 x + 1 x 2 + x + 4 2

b 10 (2 x + 1)2 f 4 x 2 12 x sin2 x

c2cos2 x g

d 9 x + 32

12 x 2 (3 x 2)3

2√ x + 5 h 4 x 11

2 x 2 + x + 2 3

2a 2 ( x 3)3

b 9

4 (3 x 2)3

c4 · sec2 2 x · tan2 x + 4sec3 2 x

d 18cos6 x

e 14 ( x 2)3

f 4 x 3 6 x 2 6 x 2

x 2 + x 2

g 162 (3 x + 2)4

h0

i120 j0

k sin x

l 214 · sin2 x

4a y = 8 x 15

b y = 4 x + 9 2

c y = 2 x

d y = 5 x 3; y = 5 x + 17

8 f ( x )= 1 8 x 3 + 3 4 x 2

10 f ( x )= 14 9 x 3 + 7 x 2 28 3 x + 1

11a f ( x )= 1 4 x 4 2 x 2 + 2

12a ( x + 2)( x 2)3

13a6; 3 2

14a (1,0) ; ( 1, 16) ; √5,8 √5 1 ; √5,8 √5 1

15a 166 27 ;6

b 36

16a a = 4, b = 4

18a3

19a 3

20 a = 3, b = 22, c = 35, p = 2, q = 1

21 P( a, …) stijgend, dalend extremum hol, bol buigpunt

a a =–3 dalend hol

b a =–2,5 minimumhol

c a =–2 stijgend hol

d a =–1 stijgendbuigpunt

e a = 0 stijgend bol

f a = 2 horizontale raaklijn buigpunt

g a = 3 stijgend hol

22 P( a, …) stijgend, dalend extremum hol, bol buigpunt

a a =–2 stijgend bol

b a =–0,68 maximumbol

c a =–0,5 dalend bol

d a = 0 dalendbuigpunt

e a = 0,5 dalend hol

f a = 1 minimumhol

g a = 2 stijgend hol

h a = 3 stijgend

i a = 4 stijgend hol

23 P( a, …) stijgend, dalend extremum hol, bol buigpunt

a a =–5 stijgend bol

b a =–4 maximumbol

c a =–3 dalend bol

d a = 2√2

e a =–1 dalend hol

a = 2√2 dalendbuigpunt

f a = 0 horizontale raaklijn buigpunt

26a 27 8

b 54 25 c12

d 29 135

e 3

27a √3 72

b 1 9 c1

d √5 10

28c y = 8 x e1; 7 16

32 a 19.00 uur

d 2446 om 15 h 33 min 36 s

e 12 h 6 min 40 s

33 b vrijdag om 5 h 8 min 17 s

c donderdag 19 h 47 min 35 s; –818,77 m

d 14 h 11 min 24 s

e dalen met een snelheid van 48 m/h

34 a 20 h 55 min 41 s

b 1 h 13 min 29 s

g a = 1 dalend bol

h a = 2√2

a = 2√2 dalendbuigpunt

i a = 3 dalend hol

j a = 4 minimumhol

k a = 5 stijgend hol

24a24

b18

25a 4

b 32 27

c 7 mg/l per uur

d van 1 h 27 min tot 3 h 59 min (2 uur en 32 minuten)

35 c 70000 euro, 50000 euro

d 20 km/h en 120 km/h

e 49 km/h; 48989,79 euro, 102 uur

36a2

c0,4cm/s

d0,5cm/sals t = 4;0,33cm/sals t = 9

e s ( t )= π 1 + 2√ t 2

f49π cm2 ;14,66cm2 /s

37 b dom S = R+; praktisch domein = [ 0, 12]

c 12 maanden

d –0,134 eenheden per maand e derde maand

38 B

2 Verloop van exponentiële en logaritmische functies (blz. 80)

1a 1 8 d 2

b 1 3 e 3 4

c √3 3 f a b

3a 1 5 e 14 d 3 2

b 1 e 3 e e

c 1 e 3 f e

4a 2 · 53 2 x · ln5

b 2 · 7 x · ln7

c2 e sin2 x cos2 x

d 10√ x · ln10

2√ x

e e 3 x (1 + 3 x )

f e x + e x

2 g24 x 32 x 2 +3 ln3

h2 x · e x (1 + ln2)

i (2 · e x ) x · [ln (2 · e x ) + 1]

j 1 x ln a a x

k 4 ( e x + e x )2

l e x (2cos2 x sin2 x )

m | x | x = 1als x > 0 1als x < 0

n x 2 x (ln2)2

a k 4 ( e x + e x )2

l e x (2cos2 x sin2 x )

m | x | x = 1als x > 0 1als x < 0

n x 2 x (ln2)2

o e 2 x 2 x 2 7

p 2 x 2 x 2 1 e 2 x 2 1 x 2 2

q 1 x x 3 · e 1 x

r 3 x ln3 1 32 x

5 e 3 x (7sin4 x + 24cos4 x )

62 2 x ( 2ln2)n + n !

7 5 4 8 A = 9 145 ; B = 8 145

92

10a 3 3 x 5

b 2 x

c 2log x x · ln10

d4ln3 (sin x ) cot x

e 2 x 2 1 · ln2

f e x 2 e x + 1

g 1 sin x h 1 cos x i 2

4 x 2 + 1

j 2 x (2 ln x )2

k 1

4 x 2 1 ln10

l 5 x 5 x + 4

i 2

4 x 2 + 1

j 2

x · (2 ln x )2

k 1

4 x 2 1 · ln10

l 5 x 5 x + 4

m ( x 1) · ln( x 1)

n e x 3e x 6 ( e x + 3e x )( e x + 1)

o x 2 + 1

x p 2 x (2 x + 3)( x + 1)

q x x 2 + 3

r 3 + 4 x 2 x

11a ( 1)n 1 (n 1)!

x n

b e x · ( x + n )

12 t ↔ y + 6ln2 x + 6ln2 6 = 0

n ↔ 6ln2 y x 36ln2 1 = 0

13 y = x 1

14 y = x

15a f ( x ) ∈ √2 2 , +∞

b 0, 3 4

16 a = 1; b = 1

17 –1

18 2 x 2 · ln(2 x )+ 2 x 2 1 x 2

19 2 x 2 + 6 x 10

20a √e , 5 2√e

c m ∈ ]0;0,92[

21a2 x ln x 1 ln x

b x 1 x 2 · ( ln x + 1)

c e x x e x 1 ( x ln x + 1)

d x x 2 3 x +1 · x · ln x (2 x 3)+ x 2 3 x + 2

e (ln x ) x 1 [ln x ln(ln x )+ 1]

f (tan x )sin2 x +1 · 2cos2 x · ln(tan x )+ 1

g (cos2 x )5 x [cos2 x ln(cos2 x )+ 2(6 x ) sin2 x ]

h x sin x cos x ln x + sin x 1 x

i x x 2 + x ((2 x + 1) ln x + x + 1)

jsin x cos x · sin x · lnsin x + cos2 x sin x

k (2 x 1) x 2 +1 · 2 x · ln(2 x 1)+ 2 x 2 + 1 2 x 1

22a −∞ k 1 2

b +∞ als a > 1l 1 2

−∞ als0 < a < 1m1

c −∞ als0 < a < 1n e 0als a > 1o0

d 1 2 p0

e 3 q1 f 1 ln a r 1

g1 s 1 e 2

h 1 (ln3)2 t e 9

i 3ln2 2 u e 3

jln ( e x + 1)

25-geenoplossingen: k < 1 e 1 e

-éénoplossingals k = 1 e 1 e ofals k > 1

-tweeoplossingen: 1 e 1 e < k < 1

26a a = 2; b = e

b 1 2 ;1,693

27 a 3 h 25 min

b 0,03014 per minuut

c 367 seconden

d 45,17%

e 24165 jaar

f 35,21 uur

g 73,28%

28a m ( t )= 260e 0,00043 t b1612jaar

cna5355jaar

d 0,1113g/jaar

29a3694 b817

c N ( t )= 100 · e 0,2 t d739perdag

30a K ( t )= 5000 · e 0,0693 t b10jaar

31a p = 1000 · e 0,1404h

b h = 7,1225 ln p 1000

32a v ( t )= 6 + 45,02 0,223 t

b183,672km/h

c 67,56 (0,223) t

d1seconde: 15,07m/s2

3seconden: 0,75m/s2

33 a –200 per uur

b 31 uur

34 b 1.00 u.

c 2 h 6 min

d 3 h 12 min

e –0,05 °C

35 b 2679

c 1820 jaar

37 a 12

b dag 10

c dag 6

d dag 22

38a T ( t )= 12 + 88 e 0,008 t

b81,22 ◦ C

c39,8seconden

d 0,44 ◦ C

39a T ( t )= 300 280 e 0,03 t b167,74 ◦ C

c34,22seconden d1,87 ◦ C

40b6maanden

d336g/maand

f M ( t )= 1 2 · M ( t ) 2 5500 · M ( t ) · M ( t ) h(4,605;1375)

iH.A.: y = 2750

41a N ( t )= 2400 1 + 7 · (0,7) t b7,94maanden c200

42a N ( t )= 1400 1 + 69 (0,6) t b220

c10

44 A

45 D

46 B

47 B

48 A

49 A

50 D

51 A

52 B

53 B

54 A

55 B

56 B

57 C

3 Hyperbolische functies (blz. 102)

5a 1,1752

f 2,1250

b 7,4735 g 0,9459

c 0,5370

h –0,4812

d –1,3130 i 1,3169

e 1,8750 j 0,2554

6a a = 200; d = 63,5

b 45°14′31″

7 a = 38,92

8a32

b0,35236

c 3711 8450

d = 230,92

9 V.A.: x = 0; S.A.: y = x; min = 2 voor x = 1

12 B

4 Verloop van goniometrische functies (blz. 121)

1a sin x 1 cos x

b cos x sin x 1 + sin x

ctan3 x

dsec4 x

e2sec3 x

f 12 sin2 2 x cos2 x

5 4sin3 2 x

g 2 [sin2 x cos2 x + 1]

(1 + sin2 x )2

ctan x

dsec4 x

e2sec3 x

f 12 sin2 2 x cos2 x

5 4sin3 2 x

g 2 [sin2 x cos2 x + 1]

(1 + sin2 x )2

h a = 8

i a = 3

j (cos x + 2)3

3 y = 3 x + 3π 4 1

4a R \{π + k · 2π} ;2π

b0;2π

c f ( x )= 2sin x (1 + cos x )2 ; min. = 0voor x = 0en x = 2π

5a2

6bmin. = 1 3 voor x = π 2

max. = 3voor x = 3π 2

cneen

e a = 2of a = 4

8aamplitude:2,5;periode:4;frequentie: 1 4

b f ( t )= 5π 4 cos π 2 t π 4

f ( t )= 5π2 8 sin π 2 t π 4

csnelheid: t = 1 2 + 2k

versnelling: t = 3 2 + 2k

9a 2 seconden

b 4 cos 1; periode: 2p; horizontale verschuiving: 1; verticale verschuiving: 0

10bamplitude:3;periode: π;horizontale verschuiving:0;verticaleverschuiving:1

amplitude: √5;periode:2π;horizontale verschuiving: 0,464;verticaleverschuiving:1

11a f ( t )= 6 π · e 2t π [2π cos(4 t ) sin(4 t )]

b t = 0,3532 +k π 4 (k ∈ N )

c5,85seconden

d f ( x )= 12 π2 e 2t π 4π cos(4 t )+ sin(4 t ) 4π2 1

12 A

13a28Hz;27Hz

c2cos (π t ) · sin (55π t )

d 1 2

e frequentievan f 1 + frequentievan f 2 2 = 27,5Hz

5 Cyclometrische functies (blz. 134)

6a a = 4, b = 9, c = 28, d = 16

b a = 1, b = 0, c = 1, d = 5

c a = 1, b = 0, c = 3, d = 4, e = 2

d a = 1, b = 1, c = 3

e a = 8

f a = 3

g (cos x + 2)3

7B

6 Differentiaal van een functie (blz. 144)

1a 11 5 x · 5 √2 xdx

b 4dx

3 3 (2 x 1)5

c 6 x cos2 x 2 + 1 sin x 2 + 1 dx

d 3 x 2 cot 3 x · csc 3 x dx

e 2 x x 2 e x dx

f dx ln3 sin2 x

g dx x 2 + 2 x 1

hBgsin x 2 dx

i ln2dx

2√2 x 1

jsin x cot x · lnsin x + cos2 x sin2 x dx

2 9,11 cm2

3 5,026 cm3

4 12,566 km

5 6480 cm3

6 14,137 dm3

7 102,625 cm3

8a 9,950

b 0,515

c 10,003

d 0,966

9 0,025 m/s

106 cm

Trefwoordenregister

A

achtkromme 46

afgeleide 11

afgeleide functie 11

algemene sinusfunctie 116

amplitude 116

argument cosinus hyperbolicus 99

astroïde 46

asymptoten 10

B bol 14

buigpunt 14

C cissoïde 46

cosinusfunctie 108

cotangensfunctie 110

cyclometrische functie 9, 129

D

de l’Hôpital 15

differentiaal 139

differentiaalvergelijking 76

drietand 41

E e 55, 59

ellips 46

even functie 16

evenwichtsstand 116

exponentiële functie 53

exponentiële groei 53

extrema 13

F

faseverschil 123

Fourier 118

fourieranalyse 117

frequentie 117

functievoorschrift 22

G

gedempte trilling 117

gemiddelde verandering van een functie 11

goniometrische functie 9, 107 groeifactor 53

H

halveringstijd 84

harmonische trilling 117

hol 14

horizontale asymptoot 10

hyperbolische goniometrische functies 93

hyperbool 46

I irrationale functie 9, 26

K

kettinglijn 97, 98

klokkromme van Gauss 70

koordenkromme 97

L Lagrange 15

limieten 9, 67

lineaire groei 53

logaritme 53

logaritmische functie 54

logistische groei 77

M

maximum 13

middelwaardestelling van Lagrange 15

minimum 13

N

natuurlijke logaritme 60

neperiaanse logaritme 60

Newton 33

O

ogenblikkelijke verandering 11

oneven functie 16

P

periode 116

pulsatie 116

R

rationale functie 9

regel van de l’Hôpital 15, 67

Rolle 15

S schuine asymptoot 10

semikubische parabool 46

serpentine 25, 42

sinusfunctie 107

stelling van Rolle 15

strofoïde 46

T

tangensfunctie 109

trident 41

tweede differentiaal 141

V

veeltermfunctie 9

verticale asymptoot 10