Mate 8 by Cengage

Mate 8 Nueva edición AUFMANN • LOCKWOOD • ALEXANDER KOEBERLEIN • JOHNSON • KUBY MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

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Richard N. Aufmann 3DORPDU &ROOHJH

Geralyn M. Koeberlein

0DKRPHW 6H\PRXU +LJK 6FKRRO

Joanne S. Lockwood

1DVKXD &RPPXQLW\ &ROOHJH

Robert Johnson

0RQURH &RPPXQLW\ &ROOHJH

Daniel C. Alexander 3DUNODQG &ROOHJH

Patricia Kuby

0RQURH &RPPXQLW\ &ROOHJH

Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes

Adaptación Patricia Idalid Betancourt Baquero Revisión pedagógica Andrea Constanza Perdomo Pedraza

Javier León Cárdenas Víctor Campos Olguín

MEN - 2024 ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

&ROHJLR &DPSRDOHJUH

Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández &ROHJLR $QJOR $PHULFDQR

Revisión técnica Cindy Carolina Hernández Cruz &ROHJLR /LFHR 1DYDUUD

$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &DQDG£ ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU

Mate 8 Primera edición 5LFKDUG 1 $XIPDQQ -RDQQH 6 /RFNZRRG 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Directora Higher Education Latinoamérica: /XF¯D 5RPR $ODQ¯V Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: $EULO 9HJD 2UR]FR Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada: )ODYLDQR )UHJRVR 5RMDV Imagen de portada: kɋEHUJDPRQWɋ ɋ6KXWWHUVWRFN Diseño de interiores: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV Composición tipogr£ȴca: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV

k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD &RPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ ΖQF $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ &RORQLD $PSOLDFLµQ 6LQDWHO 'HOHJDFLµQ Ζ]WDSDODSD &LXGDG GH 0«[LFR & 3 &HQJDJH /HDUQLQJp HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGU£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DS¯WXOR ΖΖΖ $UW¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO (VWD HV XQD DGDSWDFLµQ GH ORV OLEURV Álgebra Elemental D (G $XIPDQQ 5LFKDUG 1 -RDQQH 6 /RFNZRRG Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Beginning Algebra (LJKWK (GLWLRQ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 Geometría D HGLFLµQ $OH[DQGHU 'DQLHO & *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Elementary Geometry for College Students )LIWK (GLWLRQ 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 Estadística elemental D HG (GLFLµQ UHYLVDGD 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Elementary Statistics H 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD $XIPDQQ 5LFKDUG 1 -RDQQH 6 /RFNZRRG 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Mate 8 3ULPHUD HGLFLµQ Ζ6%1 0 5 9LVLWH QXHVWUR VLWLR ZHE HQ KWWS ODWDP FHQJDJH FRP Publicad Mxico

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

Mate

ara la realización de la nueva edición de la serie editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo), Ron Larson y David C. Falvo (Precálculo) y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES).

Mate

Mate 8 Nueva edición

P ROPUESTA CURRICULAR

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso), lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

CAPÍTULO

FUNDAMENTOS DE CONJUNTOS NUMÉRICOS

LO QUE DEBE SABER

RETO DEL CAPÍTULO Las temperaturas bajas diarias en grados Celsius, durante una semana, se registraron como sigue: 28°, 2°, 0°, 27°, 1°, 6°, 21°. Calcule la temperatura promedio diaria durante la semana.

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? 1. ¿Qué es 127,1649 redondeado a la centésima más cercana? 2. Sume: 49.147 1 596 3. Reste: 5.004 2 487

OBJETIVOS 1. Establecer relaciones de orden. 2. Realizar operaciones básicas con números enteros y racionales.

5. Divida: 456 4 19

7. ¿Cuál es el número más grande que divide igualmente tanto 16 como 20?

y operaciones básicas.

8. Sin utilizar el 1, exprese 21 como un producto de dos números naturales.

CONTENIDO Sección 1.1 Introducción a los números enteros

4. Multiplique: 407 3 28

6. ¿Cuál es el número más pequeño en el cual tanto 8 como 12 se dividen igualmente?

3. Resolver operaciones con números racionales. 4. Resolver operaciones usando exponentes

9. Represente como una fracción la parte sombreada de la figura.

Sección 1.2 Operaciones con números enteros 7 Sección 1.3 Números racionales

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones 24

PRESENTACIÓN DE LA SERIE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

E STRUCTURA DE LA SERIE (n eVta nXeYa eGLcLµn Ge Mate 8 encontUaU£ Xn amSlLo GeVaUUollo Ge laV matem£tLcaV SaUtLenGo Gel SlanteamLento \ VolXcLµn Ge VLtXacLoneV en conte[to enIocaGaV en GatoV UealeV \ VLtXacLoneV atUactLYaV SaUa loV eVtXGLanteV. /a oEUa cXenta con

RETO DEL CAPÍTULO 0eGLante Xn eMemSlo Ve LntUoGXcen loV conceStoV TXe Ve tUaEaMaU£n a lo laUgo Gel caS¯tXlo con la ȴnalLGaG Ge motLYaU la LnYeVtLgacLµn \ el GeVaUUollo Ge contenLGoV SaUa UeVolYeU el Ueto.

OBJETIVOS 6e SUoSonen metaV TXe Ve GeEen alcan]aU meGLante el GeVaUUollo Ge conceStoV SaUa lo cXal Ve aSoUta Xn eVEo]o geneUal Ge aVSectoV eVSec¯ȴcoV TXe loV eVtXGLanteV GeEen teneU en cXenta SaUa aSUenGeU \ aSlLcaU caGa LGea o conceSto TXe Ve SUeVenta.

OBJETIVOS 1. Establecer relaciones de orden. 2. Realizar operaciones básicas con números enteros y racionales.

3. Resolver operaciones con números racionales. 4. Resolver operaciones usando exponentes y operaciones básicas.

CONTENIDO

CONTENIDO (l contenLGo SUeVenta en Getalle loV temaV geneUaleV TXe Ve aEoUGan en el te[to con lo cXal eV SoVLEle oUganL]aU \ SlaneaU el tUaEaMo SaUa alcan]aU el aSUenGL]aMe SUoSXeVto.

LO QUE DEBE SABER $ SaUtLU Ge Xn gUXSo Ge SUegXntaV Ve EXVca TXe Ge maneUa aXtµnoma loV eVtXGLanteV mLGan VXV conocLmLentoV SUeYLoV \ algXnoV UeTXLVLtoV SaUa el GeVaUUollo conceStXal Ge caGa caS¯tXlo.

Sección 1.1 Introducción a los números enteros

Sección 1.2 Operaciones con números enteros 7 Sección 1.3 Números racionales 15 Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones 24

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? 1. ¿Qué es 127,1649 redondeado a la centésima más cercana? 2. Sume: 49.147 1 596 3. Reste: 5.004 2 487 4. Multiplique: 407 3 28 5. Divida: 456 4 19 6. ¿Cuál es el número más pequeño en el cual tanto 8 como 12 se dividen igualmente? 7. ¿Cuál es el número más grande que divide igualmente tanto 16 como 20? 8. Sin utilizar el 1, exprese 21 como un producto de dos números naturales.

DESARROLLO CONCEPTUAL 6e EaVa en loV aVSectoV m£V UeleYanteV \ ¼tLleV Ge laV tem£tLcaV SUoSLaV Ge caGa gUaGo. (VtoV aVSectoV Ve mXeVtUan a SaUtLU Ge VLtXacLoneV en conte[to GemoVtUacLoneV IoUmaleV Ge SUoSLeGaGeV \ GeȴnLcLoneV claUaV KacLenGo «nIaVLV en el ULgoU Ge laV matem£tLcaV \ el EXen XVo Gel lengXaMe \ el SenVamLento lµgLco acoUGe a caGa eGaG. $Gem£V Ve GeVtacan loV conceStoV Ge ma\oU UeleYancLa SaUa TXe loV eVtXGLanteV LntX\an VX LmSoUtancLa.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo es el número mismo. El valor absoluto de cero es cero. El valor absoluto de un número negativo es el opuesto del número negativo. EJEMPLOS

1. Z 6 Z 5 6

Z0Z50

Z26Z56

EJEMPLOS RESUELTOS 6e eMemSlLȴca la VolXcLµn Ge SUoElemaV con VXV UeVSectLYoV SUoceGLmLentoV. (n caGa eMemSlo Ve mXeVtUa el comSonente algoU¯tmLco aV¯ como la aSlLcacLµn Ge conceStoV TXe lleYan a la VolXcLµn Gel SUoElema GentUo Ge conte[toV UealeV cX\o nLYel Ge comSleMLGaG LncUementa Ge IoUma gUaGXal.

EJEMPLO

Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto de enteros negativos mayores o iguales que 2 6. SOLUCIÓN A 5526, 2 5, 2 4, 2 3, 2 2, 2 16

• Un conjunto se designa con una letra mayúscula. El método por extensión o enumeración encierra entre llaves una lista de elementos.

PUNTO DE INTERÉS 6e SUoSoUcLonan KecKoV o GatoV UeleYanteV SaUa enIatL]aU aVSectoV LmSoUtanteV o LnIoUmacLµn e[tUa en toUno al tema SaUtLcXlaU TXe Ve eVt£ aEoUGanGo. (n algXnoV caVoV Ve Kace UeIeUencLa a SeUVonaV o acontecLmLentoV KLVtµULcoV TXe Kan VLGo IXnGamentaleV en el GeVaUUollo Ge laV matem£tLcaV.

PUNTO de INTERÉS El griego Ptolomeo comenzó utilizando ómicron, , la primera letra de la palabra griega que significa “nada”, como símbolo del cero en el año 150 a. C. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XIII que Fibonacci introdujo el 0 al mundo occidental como un marcador de posición en el que podríamos distinguir, por ejemplo, 45 de 405.

vii

APLIQUE LO APRENDIDO (n eVta VeccLµn Ve SUeVenta Xna amSlLa VeleccLµn Ge eMeUcLcLoV GonGe el eVtXGLante SoGU£ UeaȴUmaU VX GomLnLo Ge loV conceStoV \ el maneMo algoU¯tmLco Ge loV temaV Ge caGa caS¯tXlo meGLante VX aSlLcacLµn en conte[toV UealeV.

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones

EJERCICIOS 1.4

APLIQUE LO APRENDIDO

Reescriba cada expresión como una expresión con exponentes.

5325(

1. Nueve a la quinta potencia.

532

)

• Realice la multiplicación y la división.

2. Nueve a la cuarta potencia. 3. Siete a la n potencia.

4. b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b

• Simplifique las expresiones con exponentes.

• Realice la suma y la resta.

Indique si la expresión es verdadera o falsa.

Simplifique utilizando el orden de las operaciones.

5. (25)2, 252 y 2(5)2 representan todas el mismo número.

29. 4 2 8 4 2

30. 3 ? 22 2 3

6. La expresión 94 está en forma exponencial.

31. 2(3 2 4) 2 (23)2

32. 16 2 32 4 23

33. 24 2 18 4 3 1 2

34. 8 2 (23)2 2 (22)

35. 16 1 15 4 (25) 22

36. 14 2 22 2 0 4 2 7 0

7. Evaluar la expresión 6 1 7 ? 10 significa determinar a qué es igual un número. 8. El orden o jerarquía de las operaciones se utiliza para números naturales, números enteros, números racionales y números reales. ? y 2 se 9. En la expresión (25)2, 25 se llama el ? . Para evaluar (25)2, calcule el producto llama el ? . ( ? )( ? ) = ? potencia de ? ” 10. La expresión 42 se lee “la ? ”. Para evaluar 43, calcule el producto o “cuatro ? . ( ? )( ? )( ? ) =

37.

16 2 4 12102 1 1222 4 0 2 2 4 0 38. 6 1 22 1 2 2 2 62 2 30

39. 222 1 4316 4 (3 2 5)4

40. 0,3(1,7 2 4,8) 1 (1,2)2

41. 96 4 2312 1 (6 2 2)4 2 33 42.

3 2 5 4 ` 1 ` 8 6 3

43. 4 ? 316 2 (7 2 1)4 4 10

44. 18 4 0 9 2 23 0 1 (23)

45. 16 4 2 2 42 2 (23)2

46. 16 2 3(8 2 3)2 4 5

EJERCICIOS DE REPASO (Vta VeccLµn al conclXLU caGa caS¯tXlo Ue¼ne Xn conMXnto Ge eMeUcLcLoV VoEUe loV temaV tUataGoV a ȴn Ge comSUoEaU el GomLnLo \ la aSUoSLacLµn Ge conceStoV.

CAPÍTULO

EJERCICIOS DE REPASO

1. Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto de los números naturales menores que 7. 2. Exprese como porcentaje 58 . 3. Evalúe: 2Z 24 Z 4. Reste: 16 2 (230) 242 5. Encuentre el opuesto de 24. 6. Reste: 16 2 30 7. Exprese como porcentaje 0,672.

23. Exprese como porcentaje 2 9 . Redondee a la décima más cercana de un porcentaje. 24. Exprese como decimal 240%. 25. Evalúe: Z 23 Z 2

1 8. Exprese como fracción 79 2%.

26. Exprese como porcentaje 13 . Exprese el residuo como fracción.

9. Divida: 272 4 8

27. Dado que C 5 5212, 28, 21, 76, encuentre:

10. Exprese como decimal 17 . 20 5 5 11. Divida: 4 a2 b 12 6 12. Simplifique: 32 2 4 1 20 4 5 13. Multiplique: (25)(26)(3)

viii

19. Sume: 13 1 (216) 20. Encuentre el complemento de un ángulo de 56°. 2 7 21. Sume: 2 1 5 15 22. Evalúe: (233) ? 22

a. El opuesto de cada elemento del conjunto C. b. El valor absoluto de cada elemento del conjunto C. 7 . Coloque una barra arriba de 28. Exprese como decimal 11 los dígitos periódicos del decimal.

14. Reste: 6.039 2 12.92

29. Divida: 0,2654 4 (20,023). Redondee a la décima más cercana.

15. Dado que A 5 525, 23, 06, ¿cuáles elementos del conjunto A son menores o iguales que 23?

30. Simplifique: (7 2 2)2 2 5 2 3 ? 4

16. Exprese como decimal 7%. 3 1 22

32 Sume:

31. Sume: 212 1 8 1 (24) 5 1 1

PRUEBA SABER 3aUa eVta nXeYa eGLcLµn Ve GLVe³aUon nXeYaV 3UXeEaV 6aEeU. (Vta SUXeEa eYal¼a laV comSetencLaV Ge loV eVtXGLanteV SaUa enIUentaU VLtXacLoneV TXe SXeGen UeVolYeUVe con el XVo Ge KeUUamLentaV matem£tLcaV. 7anto laV comSetencLaV GeȴnLGaV Ge la SUXeEa como loV conocLmLentoV matem£tLcoV TXe el eVtXGLante UeTXLeUe SaUa UeVolYeU laV VLtXacLoneV SlanteaGaV Ve EaVan en laV GeȴnLcLoneV Ge loV eVt£nGaUeV E£VLcoV Ge comSetencLaV en matem£tLcaV Gel 0LnLVteULo Ge (GXcacLµn 1acLonal Ge &olomELa. 'e eVta maneUa Ve LntegUan comSetencLaV \ contenLGoV en GLVtLntaV VLtXacLoneV o conte[toV en loV cXaleV laV KeUUamLentaV matem£tLcaV coEUan VentLGo \ Von Xn LmSoUtante UecXUVo SaUa la comSUenVLµn Ge VLtXacLoneV la tUanVIoUmacLµn Ge la LnIoUmacLµn la MXVtLȴcacLµn Ge aȴUmacLoneV \ la VolXcLµn Ge SUoElemaV. /aV 3UXeEaV 6aEeU eVt£n GLVe³aGaV SaUa no UeTXeULU el XVo Ge la calcXlaGoUa.

PRUEBA SABER MATE 8 t CAPÍTULO 1

La Prueba Saber evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Esta prueba cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma: R Razonamiento y argumentación

Para visualizar más preguntas tipo Prueba Saber de manera digital ingrese al código QR.

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación

on fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

(n el mLVmo aSaUtaGo Ge laV 3UXeEaV 6aEeU en la SaUte LnIeULoU notaU£ TXe Ve LnclX\e Xn cµGLgo 45 al eVcaneaUlo SoGU£ YLVXalL]aU SUegXntaV comSlementaULaV Ge maneUa GLgLtal. &omo aSo\o aGLcLonal a loV SUoIeVoUeV TXe aGoSten la oEUa Ve leV SUoSoUcLonaU£n laV 5eVSXeVtaV Ge laV 3UXeEaV 6aEeU. &onVXlte t«UmLnoV \ conGLcLoneV con VX UeSUeVentante &engage.

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA $l ȴnal Gel lLEUo Ve LnclX\en Xn gloVaULo \ Xna ELElLogUaI¯a a ȴn Ge enULTXeceU el aSUenGL]aMe.

GLOSARIO A Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Para sumar o restar fracciones algebraicas en las que los denominadores son iguales, sume o reste los numeradores. El denominador de la suma o la diferencia es el común denominador.

Ejes coordenados. Los dos ejes se llaman ejes coordenados o simplemente ejes. Por lo general, el eje horizontal se designa como eje x y el vertical se designa eje y. Elementos del conjunto. Son los objetos en un conjunto. Evaluación de la expresión algebraica. Es el reemplazo de la variable o variables en una expresión algebraica

BIBLIOGRAFÍA Aufmann, Richard N. y Joanne S. Lockwood Álgebra Elemental, 8.ª edición. ISBN: 978-607-481-908-3a

Johnson, Robert y Patricia Kuby Estadística Elemental, 11.ª edición revisada. ISBN: 978-607-522-835-8

Alexander, Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein. Geometría, 5.ª edición. ISBN: 978-607-481-889-5

Mate 8

/o LnYLtamoV a conoceU \ XtLlL]aU Xn te[to TXe le GaU£ a loV eVtXGLanteV la conȴan]a neceVaULa SaUa aSlLcaU laV matem£tLcaV a tUaY«V Ge Xn lLEUo Ge te[to SeGagµgLco \ acceVLEle.

AGRADECIMIENTOS $gUaGecemoV el aSo\o \ colaEoUacLµn en la UeYLVLµn Ge eVta oEUa a loV SUoIeVoUeV Sandra Janneth Gallo Moncada &olegLo 6an 7aUVLcLo &olomELa

Duván Felipe Pérez Pico /Lceo 0atoYelle &olomELa

Alexis Valencia Muñoz

&olegLo (mmanXel G $l]on &olomELa

Erick Daniel Camacho Montero &entUo (GXcatLYo +oUL]onteV &oVta 5Lca

Edgar Solano Solano

&omSleMo (GXcatLYo &Ζ7 &oVta 5Lca

Flor de María Herrera Reyes

3UoIeVoUaGo en (nVe³an]a 0eGLa en 0atem£tLca \ )¯VLca *Xatemala

NOTA En algunos países de América Latina se utiliza el punto o la coma baja para la notación de los números decimales. En esta serie de libros de encontrará que los números decimales se separan mediante coma baja.

Mate

AGRADECIMIENTOS MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO BREVE CAPÍTULO

1 FUNDAMENTOS DE CONJUNTOS NUMÉRICOS 1

CAPÍTULO

2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 33

CAPÍTULO

3 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 77

CAPÍTULO

4 FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 107

CAPÍTULO

5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 131

CAPÍTULO

6 FUNCIÓN LINEAL

CAPÍTULO

167

7 CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 203

CAPÍTULO

8 ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACIÓN DE DATOS

227

GLOSARIO 257 BIBLIOGRAFÍA 260

CONTENIDO BREVE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO DETALLADO CAPÍTULO

FUNDAMENTOS DE CONJUNTOS NUMÉRICOS

SECCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS 2 DEFINICIÓN DE LOS SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD 3 VALOR ABSOLUTO 4

EJERCICIOS 1.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 7 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 7

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 9 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CERO Y UNO EN LA DIVISIÓN

EJERCICIOS 1.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.3 NÚMEROS RACIONALES 15 EJERCICIOS 1.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.4 EXPONENTES Y EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 24 EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

EJERCICIOS 1.4 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 1 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

xii

CONTENIDO DETALLADO MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CAPÍTULO

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 33 SECCIÓN 2.1 EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 34 EJERCICIOS 2.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.2 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 37 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN 37 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN 37 PROPIEDAD DEL NEUTRO ADITIVO 38 PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN POR CERO 38 PROPIEDAD DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO 38 PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO 38 PROPIEDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO 38 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA 39

EJERCICIOS 2.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.3 CONVERTIR EXPRESIONES VERBALES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS 45 PALABRAS O FRASES PARA LA ADICIÓN

PALABRAS O FRASES PARA LA SUSTRACCIÓN

PALABRAS O FRASES PARA LA MULTIPLICACIÓN 45 FRASES PARA LA DIVISIÓN

FRASES PARA LA POTENCIA

EJERCICIOS 2.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 51 EJERCICIOS 2.4 APLIQUE LO APRENDIDO

xiii

SECCIÓN 2.5 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS 54 REGLA PARA MULTIPLICAR EXPRESIONES CON EXPONENTES

REGLA PARA SIMPLIFICAR LAS POTENCIAS DE EXPRESIONES CON EXPONENTES 55 REGLA PARA SIMPLIFICAR LAS POTENCIAS DE PRODUCTOS

EJERCICIOS 2.5 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.6 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 57 SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

CUADRADO DE UN BINOMIO 60

EJERCICIOS 2.6 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.7 EXPONENTES CON NÚMEROS ENTEROS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 63 EL CERO COMO EXPONENTE

DEFINICIÓN DE EXPONENTES NEGATIVOS

REGLA DE LA DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON EXPONENTES REGLAS PARA LOS EXPONENTES

EJERCICIOS 2.7 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.8 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 70 EJERCICIOS 2.8 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

xiv

CAPÍTULO

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 77 SECCIÓN 3.1 FACTOR COMÚN 78 EJERCICIOS 3.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.2 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE LA FORMA x 2 + bx + c 82 PUNTOS QUE DEBE RECORDAR AL FACTORIZAR x 2 1 bx 1 c

PUNTOS QUE DEBE RECORDAR AL FACTORIZAR ax 2 1 bx 1 c

EJERCICIOS 3.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.3 FACTORIZACIÓN ESPECIAL 95 REGLA PARA FACTORIZAR LA DIFERENCIA DE CUADRADOS 95 REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

EJERCICIOS 3.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.4 FACTORIZAR COMPLETAMENTE POLINOMIOS 99 ESTRATEGIA GENERAL DE FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS 3.4 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 3 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

100

101

103

CAPÍTULO

FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 107 SECCIÓN 4.1 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 108 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 110 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 111

EJERCICIOS 4.1 APLIQUE LO APRENDIDO

112

SECCIÓN 4.2 FRACCIONES ALGEBRAICAS EN TÉRMINOS DEL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR (mcd) 114

EJERCICIOS 4.2 APLIQUE LO APRENDIDO

116

SECCIÓN 4.3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 117 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS 4.3 APLIQUE LO APRENDIDO

117

120

SECCIÓN 4.4 FRACCIONES COMPLEJAS 122 EJERCICIOS 4.4 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 4 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

xvi

124

125

127

CAPÍTULO

ECUACIONES Y DESIGUALDADES 131 SECCIÓN 5.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES 132 PROPIEDAD ADITIVA O DE LA SUMA DE LAS ECUACIONES 133 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA O DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES 134

EJERCICIOS 5.1 APLIQUE LO APRENDIDO

136

SECCIÓN 5.2 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE LA FORMA ax = b 137 ECUACIÓN BÁSICA DEL PORCENTAJE

138

EJERCICIOS 5.2 APLIQUE LO APRENDIDO

141

SECCIÓN 5.3 ECUACIONES GENERALES 142 EJERCICIOS 5.3 APLIQUE LO APRENDIDO

144

SECCIÓN 5.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 145 PROPIEDAD DEL PRODUCTO CERO

145

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS 5.4 APLIQUE LO APRENDIDO

147

148

SECCIÓN 5.5 ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES 149 EJERCICIOS 5.5 APLIQUE LO APRENDIDO

153

SECCIÓN 5.6 DESIGUALDADES 153 PROPIEDAD ADITIVA O DE LA SUMA DE LAS DESIGUALDADES 154 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA O DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES: REGLA 1 156 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA O DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES: REGLA 2 156

EJERCICIOS 5.6 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

159

161

163

xvii

CAPÍTULO

FUNCIÓN LINEAL

167

SECCIÓN 6.1 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 168 EJERCICIOS 6.1 APLIQUE LO APRENDIDO

169

SECCIÓN 6.2 GRÁFICAS DE RECTAS 171 EJERCICIOS 6.2 APLIQUE LO APRENDIDO

176

SECCIÓN 6.3 PENDIENTES DE RECTAS 177 FÓRMULA DE LA PENDIENTE RECTAS PARALELAS

178

180

RECTAS PERPENDICULARES 181 FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN DE UNA RECTA 182

EJERCICIOS 6.3 APLIQUE LO APRENDIDO

184

SECCIÓN 6.4 ECUACIONES DE RECTAS 185 FORMA PUNTO-PENDIENTE

186

EJERCICIOS 6.4 APLIQUE LO APRENDIDO

188

SECCIÓN 6.5 FUNCIONES 189 EJERCICIOS 6.5 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 6 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

xviii

193

195

197

CAPÍTULO

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 203 SECCIÓN 7.1 TRIÁNGULOS CONGRUENTES 204 DEFINICIÓN 204 POSTULADO 206 POSTULADO 207 DEFINICIÓN 207 POSTULADO 208 TEOREMA

209

ESTRATEGIA PARA UNA DEMOSTRACIÓN DE QUE DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES 209

EJERCICIOS 7.1 APLIQUE LO APRENDIDO

210

SECCIÓN 7.2 DEMOSTRACIÓN DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 213 POSTULADO 213 COROLARIO 213 DEMOSTRACIÓN DE QUE DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES 214 LCTSP

214

ACTSC 214 DEMOSTRACIÓN DE UNA PROPORCIÓN TEOREMA

214

215

DEMOSTRACIÓN DE PRODUCTOS DE LONGITUDES IGUALES TEOREMA (LAL=)

216

TEOREMA (LLL=)

216

215

LEMA 217

EJERCICIOS 7.2 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 7 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

218

222

224

xix

CAPÍTULO

ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACIÓN DE DATOS 227 SECCIÓN 8.1 GRÁFICAS, DIAGRAMAS DE PARETO Y DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJAS 228 GRÁFICAS DE PASTEL (GRÁFICAS CIRCULARES) Y GRÁFICAS DE BARRAS 228 DIAGRAMA DE PARETO 230 DISTRIBUCIÓN

230

GRÁFICA DE PUNTOS

230

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

231

EJERCICIOS 8.1 APLIQUE LO APRENDIDO

234

SECCIÓN 8.2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS 235 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 235 HISTOGRAMA 239 SIMÉTRICO 240 NORMAL 240 UNIFORME (RECTANGULAR)

240

SESGADO 240 FORMA DE J 240 BIMODAL

240

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS 240 OJIVA

241

EJERCICIOS 8.2 APLIQUE LO APRENDIDO

242

SECCIÓN 8.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 244 MEDIA (MEDIA ARITMÉTICA) 244 MEDIANA 245 MODA 246 MEDIO RANGO

247

REGLA DE REDONDEO

248

EJERCICIOS 8.3 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 8 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

248

249

253

GLOSARIO 257 BIBLIOGRAFÍA 260

CAPÍTULO

FUNDAMENTOS DE CONJUNTOS NUMÉRICOS

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? 1. ¿Qué es 127,1649 redondeado a la centésima más cercana? 2. Sume: 49.147 1 596 3. Reste: 5.004 2 487

OBJETIVOS 1. Establecer relaciones de orden. 2. Realizar operaciones básicas con números enteros y racionales.

5. Divida: 456 4 19 6. ¿Cuál es el número más pequeño en el cual tanto 8 como 12 se dividen igualmente?

3. Resolver operaciones con números racionales. 4. Resolver operaciones usando exponentes

7. ¿Cuál es el número más grande que divide igualmente tanto 16 como 20?

y operaciones básicas.

8. Sin utilizar el 1, exprese 21 como un producto de dos números naturales.

CONTENIDO Sección 1.1 Introducción a los números enteros

4. Multiplique: 407 3 28

9. Represente como una fracción la parte sombreada de la figura.

Sección 1.2 Operaciones con números enteros 7 Sección 1.3 Números racionales

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones 24

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

SECCIÓN 1.1

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS

Objetivo 1

Establecer relaciones de orden

Relaciones de orden Parece que una característica humana es agrupar objetos similares. Por ejemplo, un botánico asigna plantas con características similares a grupos llamados especies. Los matemáticos asignan objetos con propiedades similares a grupos llamados conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos en un conjunto se llaman elementos del conjunto. El método de escribir conjuntos por extensión o enumeración incluye una lista de los elementos entre llaves. El conjunto de secciones dentro de una orquesta se expresa {metales, percusión, cuerdas, maderas}. Cuando se enumeran los elementos de un conjunto, cada elemento se enumera solo una vez. Por ejemplo, si la lista de números 1, 2, 3, 2, 3 se colocara en un conjunto, el conjunto sería {1, 2, 3} Los números que utilizamos para contar objetos, como el número de estudiantes en un aula o el número de personas que viven en un edificio de apartamentos, son los números naturales. Números naturales 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} Los tres puntos suspensivos significan que la lista de números naturales continúa interminablemente y que no hay un número natural más grande. Aunque existe cierto debate en cuanto a la inclusión del 0 dentro de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro. El número cero se utiliza para describir datos como el número de personas que han corrido una milla en dos minutos y el número de estudiantes menores de 10 años en un colegio. Así, los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... incluido el cero. Números naturales:

5 {0, 1, 2, 3, ...}

Los números naturales no proporcionan todos los números que son útiles en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números inferiores a cero. Números enteros:

5 {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Cada número entero se puede mostrar en una recta numérica. Los números enteros en la recta numérica a la izquierda de cero se llaman números enteros negativos. Los enteros a la derecha de cero se llaman números enteros positivos o números naturales. El cero es un número entero que no es positivo ni negativo. Números enteros

–5

–4

–3

–2

–1

Números enteros negativos

Números enteros positivos

Cero

La gráfica de un número se muestra al colocar un punto grueso en la recta numérica directamente arriba del número. Las gráficas de 2 3 y 4 se muestran en la recta numérica siguiente. –5 –4 –3 –2 –1

Sección 1.1 Introducción a los números enteros

Considere los siguientes enunciados. El quarterback lanzó el balón y el receptor lo atrapó. Un estudiante compró una computadora y la usó para redactar documentos de inglés y de historia.

RECUERDE QUE...

En el primer enunciado, lo se utiliza para significar el balón; en el segundo enunciado, la significa la computadora. En el lenguaje, las palabras lo o la se pueden referir a muchos objetos diferentes. De manera similar, en matemáticas, una letra del alfabeto se puede utilizar para significar un número. Una letra así se llama una variable.

• Mayor que • Menor que

• Mayor o igual que

• Menor o igual que

DEFINICIÓN DE LOS SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD

Si a y b son dos números y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se expresa como a , b. EJEMPLOS

1. 2 4 , 2 1

menos 4 es menor que menos 1. –5 –4 –3 –2 –1

2. 2 16 , 2 6 menos 16 es menor que menos 6. Si a y b son dos números y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se expresa como a . b. EJEMPLO

3. 5 . 0

5 es mayor que 0. –5 –4 –3 –2 –1

También hay símbolos de desigualdad para menor o igual que # y mayor o igual que $. 7 # 15

EJEMPLO

7 es menor o igual que 15. Esto es verdadero porque 7 , 15.

6#6

Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto de enteros negativos mayores o iguales que 2 6. SOLUCIÓN A 5526, 2 5, 2 4, 2 3, 2 2, 2 16

EJEMPLO

6 es menor o igual que 6. Esto es verdadero porque 6 5 6.

• Un conjunto se designa con una letra mayúscula. El método por extensión o enumeración encierra entre llaves una lista de elementos.

Dado que A 5 526,2 2, 06, ¿cuáles elementos del conjunto A son menores o iguales que 2 2? SOLUCIÓN 2 6 , 2 2 22522

• Encuentre la relación de orden entre cada elemento del conjunto A y 2 2.

0.22 Los elementos 2 6 y 2 2 son menores o iguales que 2 2.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

Opuestos y valor absoluto Los números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en lados opuestos de este, son números opuestos. El opuesto de un número también se llama su inverso aditivo. El opuesto o inverso aditivo de 5 es 25.

–5 –4 –3 –2 –1

El opuesto o inverso aditivo de 2 5 es 5. El signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.

EJEMPLO

2 (2) 5 22

El opuesto de 2 es 2 2.

2 (22) 5 2

El opuesto de 2 2 es 2.

Encuentre el número opuesto.

B. 251

A. 6

SOLUCIÓN A. El opuesto de 6 es 2 6. B. El opuesto de 251 es 51.

El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica. Por consiguiente, el valor absoluto de un número es un número positivo o cero. El símbolo del valor absoluto es dos barras verticales, Z Z. 3

La distancia de 0 a 3 es 3. Por consiguiente, el valor absoluto de 3 es 3.

PUNTO de INTERÉS La definición de valor absoluto que se da en el recuadro está escrita en lo que se llama estilo retórico. Es decir, está escrita sin utilizar variables. Así es como se escribían todas las matemáticas antes del Renacimiento. Durante ese periodo, del siglo XIV al siglo XVI, se desarrolló la idea de expresar simbólicamente una variable. En términos de ese simbolismo, la definición de valor absoluto es x, x . 0 0x0 5 0, x 5 0 2x, x , 0

EJEMPLO

–5 –4 –3 –2 –1

Z3Z53 La distancia de 0 a 23 es 3. Por consiguiente, el valor absoluto de 23 es 3.

3 –5 –4 –3 –2 –1

Z23Z53

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo es el número mismo. El valor absoluto de cero es cero. El valor absoluto de un número negativo es el opuesto del número negativo. EJEMPLOS

1. Z 6 Z 5 6

Evalúe.

A. Z 2 4 Z

Z0Z50

Z26Z56

B. 2 Z 2 10 Z

SOLUCIÓN A. Z 2 4 Z 5 4 B. 2 Z 2 10 Z 5 2 10

• El símbolo del valor absoluto no afecta al signo negativo frente al símbolo del valor absoluto. Puede leer 2 Z 2 10 Z como “el opuesto del valor absoluto de 10 negativo”.

Sección 1.1 Introducción a los números enteros

EJERCICIOS 1.1

APLIQUE LO APRENDIDO

Determine si la expresión es siempre verdadera, en ocasiones verdadera, o nunca verdadera. 1. El valor absoluto de un número es positivo.

Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto.

2. El valor absoluto de un número es negativo. 3. Si x es un número entero, entonces Z x Z .22.

23. Los números naturales menores que 9.

4. El opuesto de un número es un número positivo.

24. Los números naturales menores o iguales que 6.

5. Clasifique cada número como un número entero positivo, un número entero negativo o ninguno. a. 212

b. 18

c. 27

d. 0

e. 3 4

f. 365

22. Utilice el símbolo de desigualdad “#” para reescribir la relación de orden expresada por la desigualdad 22$25.

25. Los números enteros positivos menores o iguales que 8. 26. Los números enteros positivos menores que 4. 27. Los números enteros negativos mayores que 2 7.

6. Coloque en el espacio seleccionado el símbolo correcto, , o ..

28. Los números enteros negativos mayores o iguales que 2 5. Resuelva.

a. 0

cualquier número positivo.

b. 0

cualquier número negativo.

29. Dado que B 55252, 246, 0, 39, 586, ¿cuáles elementos del conjunto B son menores o iguales que 0?

7. ¿En qué forma difieren los números enteros de los números naturales?

30. Dado que C 55223, 217, 0, 4, 296, ¿cuáles elementos del conjunto C son mayores o iguales que 217?

8. Explique la diferencia entre los símbolos , y # . 9. La desigualdad 2 5 , 2 1 se lee “menos cinco menos uno”. 10. La desigualdad 0 $ 2 4 se lee “cero cuatro”.

menos

Coloque entre los números el símbolo correcto, , o . . 11. 216

12. 0

13. 21

14. 2131

101

15. 22

16. 8

18. 127

2150

17. 53

246

234 0

19. Un número n está a la derecha del número 5 en la recta numérica. ¿Cuál de los siguientes es verdadero? a. n es positivo.

b. n es negativo.

c. n es 0.

d. n puede ser positivo, negativo, o 0. 20. Un número n está a la izquierda del número 5 en la recta numérica. ¿Cuál de los siguientes es verdadero? a. n es positivo.

b. n es negativo.

c. n es 0.

d. n puede ser positivo, negativo, o 0. 21. ¿Las desigualdades 6 $ 1 y 1 # 6 expresan la misma relación de orden?

31. Dado que el conjunto A son los números enteros positivos menores que 10, ¿cuáles elementos del conjunto A son mayores o iguales que 5? 32. Dado que el conjunto B son los números enteros positivos menores o iguales que 12, ¿cuáles elementos del conjunto B son mayores que 6? 33. Dado que el conjunto D son los números enteros negativos mayores o iguales que 210, ¿cuáles elementos del conjunto D son menores que 24? 34. Dado que el conjunto C son los números enteros negativos mayores que 28, ¿cuáles elementos del conjunto C son menores o iguales que 2 3? 35. La ecuación Z 25 Z 5 5 se lee “el es cinco”.

del menos cinco

36. Exprese en símbolos la expresión “el opuesto del menos nueve es nueve”. Encuentre el número opuesto. 37. 22 38. 288 39. 2168 40. 450

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

Coloque entre los dos números el símbolo correcto, * o +.

Evalúe. 41. 2(49)

42. 2(67)

43. Z 212 Z

53. Z 283 Z

Z 58 Z

54. Z 22 Z

44. Z 222 Z

45. 2 Z 214 Z

46. 2 Z 218 Z

55. Z 43 Z

Z 2 52 Z

56. Z 2 71 Z

47. 2 Z 34 Z

48. 2 Z 245 Z

Z 219 Z Z 292 Z

57. Z 2 68 Z

Z 2 42 Z

58. Z 12 Z

Z 2 31 Z

Resuelva.

59. Z 2 45 Z

Z 2 61 Z

60. Z 2 28 Z

Z 43 Z

49. Dado que, A 5528, 25, 22, 1, 36 encuentre:

Escriba los números dados ordenándolos de menor a mayor.

a. El opuesto de cada elemento del conjunto A.

61. Z 25 Z , 6, 2 Z 28 Z, 219

b. El valor absoluto de cada elemento del conjunto A.

62. 24, Z 2 15 Z, 2 Z 2 7 Z, 0

50. Dado que, B 55211, 27, 23, 1, 56 encuentre:

63. 2 ( 23), 2 22, Z 225 Z , Z 214 Z 64. 2 Z 226 Z, 2 ( 2 8), Z 2 17 Z, 2 (5)

a. El opuesto de cada elemento del conjunto B. b. El valor absoluto de cada elemento del conjunto B. 51. ¿Verdadero o falso? El valor absoluto de un número negativo n es mayor que n. 52. Un número n es positivo. Con el fin de hacer que la ? ” sea verdadera, ¿qué símbolo expresión “ Z n Z debe reemplazar al signo de interrogación? a. .

b. ,

c. #

d. 5

Velocidad del viento (en mph) 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Meteorología Un meteorólogo puede reportar una temperatura de viento helado. Esta es la temperatura equivalente, incluidos los efectos del viento y la temperatura que una persona sentiría en condiciones de aire en calma. La tabla siguiente proporciona la temperatura de viento helado para varias velocidades y temperaturas del viento. Por ejemplo, cuando la temperatura es 5 °F y el viento está soplando a 15 mph, la temperatura de viento helado es –13 °F. Utilice esta tabla para resolver los ejercicios 65 y 66.

Factores del viento helado Lectura del termómetro (en grados Fahrenheit) 25 19 15 13 11 9 8 7 6 5

20 13 9 6 4 3 1 0 21 22

15 7 3 0 22 24 25 27 28 29

10 1 24 27 29 2 11 2 12 2 14 2 15 2 16

5 25 2 10 2 13 2 15 2 17 2 19 2 21 2 22 2 23

0 2 11 2 16 2 19 2 22 2 24 2 26 2 27 2 29 2 30

25 2 16 2 22 2 26 2 29 2 31 2 33 2 34 2 36 2 37

65. ¿Cuál de las siguientes condiciones del clima se siente más fría? a. Una temperatura de 5 °F con un viento de 20 mph o una temperatura de 210 °F con un viento de 15 mph. b. Una temperatura de 225 °F con un viento de 10 mph o una temperatura de 215 °F con un viento de 20 mph. 66. ¿Cuál de las siguientes condiciones de clima se siente más cálida?

2 10 2 22 2 28 2 32 2 35 2 37 2 39 2 41 2 43 2 44

2 15 2 28 2 35 2 39 2 42 2 44 2 46 2 48 2 50 2 51

2 20 2 34 2 41 2 45 2 48 2 51 2 53 2 55 2 57 2 58

2 25 2 40 2 47 2 51 2 55 2 58 2 60 2 62 2 64 2 65

2 30 2 46 2 53 2 58 2 61 2 64 2 67 2 69 2 71 2 72

2 35 2 52 2 59 2 64 2 68 2 71 2 73 2 76 2 78 2 79

2 40 2 57 2 66 2 71 2 74 2 78 2 80 2 82 2 84 2 86

2 45 2 63 2 72 2 77 2 81 2 84 2 87 2 89 2 91 2 93

67. Localice en una recta numérica los números 25 y 3. Utilice la gráfica para explicar por qué 25 es menor que 3 y por qué 3 es mayor que 25. 68. Localice en una recta numérica los números 1 y 2 2. Utilice la gráfica para explicar por qué 1 es mayor que 22 y por qué 22 es menor que 1. Convierta y evalúe. 69. El opuesto del inverso aditivo de 7.

a. Una temperatura de 5 °F con un viento de 25 mph o una temperatura de 10 °F con un viento de 10 mph.

70. El valor absoluto del opuesto de 28.

b. Una temperatura de 25 °F con un viento de 10 mph o una temperatura de 215 °F con un viento de 5 mph.

71. El opuesto del valor absoluto de 8. 72. El valor absoluto del inverso aditivo de 2 6.

Sección 1.2 Operaciones con números enteros

SECCIÓN 1.2

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Objetivo 2

Realizar operaciones básicas con números enteros y racionales

RECUERDE QUE...

Adición de números enteros

Adición y sustracción de números enteros

Un número se puede representar por una flecha en cualquier parte a lo largo de la recta numérica. Un número positivo está representado por una flecha que apunta hacia la derecha y un número negativo está representado por una flecha que apunta hacia la izquierda. El tamaño del número está representado por el largo de la flecha.

Si suma un número positivo, se desplaza hacia la derecha en la recta numérica.

Si suma un número negativo, se desplaza hacia la izquierda en la recta numérica. Si resta un número positivo, se desplaza hacia la izquierda en la recta numérica. Si resta un número negativo, se desplaza hacia la derecha en la recta numérica.

–4

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sumar es el proceso de encontrar el total de dos números. Los números que se están sumando se llaman sumandos. El total se llama la suma. La suma de enteros se puede mostrar en la recta numérica. Para sumar dos enteros, encuentre el número en la recta numérica correspondiente al primer sumando. A partir de ese punto, trace una flecha representando el segundo sumando. La suma es el número directamente debajo de la punta. +2 41256 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –2 2 4 1 (2 2) 5 2 6

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 +2

2412522

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –2

4 1 (2 2) 5 2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

El patrón para la suma que se muestra en las rectas numéricas anteriores se resume en las siguientes reglas para sumar enteros.

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Números enteros con el mismo signo Para sumar dos números con el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Después añada el signo de los sumandos. EJEMPLOS

1. 2 1 8 5 10

2 2 1 (2 8) 5 2 10

Números enteros con signos diferentes Para sumar dos números con signos diferentes, encuentre el valor absoluto de cada número. Después reste el menor de esos valores absolutos del mayor. Añada el signo de número con el valor absoluto mayor. EJEMPLOS

3. 2 2 1 8 5 6

2 1 (2 8) 5 2 6

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

EJEMPLO

A. 162 1 ( 2247)

Sume.

B. 2 14 1 ( 247)

C. 2 4 1 ( 26) 1 ( 28) 1 9

SOLUCIÓN A. 162 1 ( 2247) 5 2 85

• Los signos son diferentes. Reste los valores absolutos de los números. Añada el signo del número con el valor absoluto mayor.

B. 2 14 1 ( 247) 5 2 61

• Los signos son los mismos. Sume los valores absolutos de los números. Añada el signo de los sumandos.

C. 2 4 1 ( 26) 1 ( 28) 1 9

• Para sumar más de dos números, sume los dos primeros números. Después súmele el tercero. Continúe hasta que se hayan sumado todos los números.

5 2 10 1 ( 28) 1 9 5 2 18 1 9 529

Sustracción de números enteros Restar es el proceso de encontrar la diferencia entre dos números. La resta de un número entero se define como la suma del número entero opuesto. Reste 8 2 3 utilizando la suma del opuesto. Resta S Suma del opuesto c T 8 2 1132 5 8 1 c Opuestos

1232 c

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para restar un número entero de otro, sume el opuesto del segundo número entero al primer número entero. EJEMPLOS

1. 2. 3. 4.

EJEMPLO

Reste:

Primer número

Segundo número

5 número 1

Primer

40 2 40 2 40 40

2 2 2 2

60 60 (260) (260)

5 5 5 5

40 240 240 40

1 1 1 1

SOLUCIÓN 212 2 8 5 212 1 (28)

Reste:

( 260) ( 260) 60 60

5 220 5 2100 5 20 5 100

212 2 8 5 2 20

EJEMPLO

El opuesto del segundo número

• Reescriba la resta como suma del opuesto. • Sume.

2 8 2 30 2 (212) 2 7 2 (214)

SOLUCIÓN 28 2 30 2 12122 2 7 2 12142 5 28 1 12302 1 12 1 1272 1 14 5 238 1 12 1 1272 1 14 5 226 1 1272 1 14 5 233 1 14 5 219

• Reescriba cada resta como suma del opuesto. • Sume los dos primeros números. Después súmele el tercer número. Siga hasta que haya sumado todos los números.

Sección 1.2 Operaciones con números enteros

Multiplicar números enteros PUNTO de INTERÉS

Multiplicar es el proceso de encontrar el producto de dos números.

La cruz 3 fue utilizada como símbolo de multiplicación por primera vez en 1631 en un libro titulado La clave de las matemáticas. En ese mismo año, otro libro, La práctica del arte del análisis, agregó el uso de un punto para indicar multiplicación.

Se utilizan varios símbolos diferentes para indicar la multiplicación. Los números que se multiplicarán se llaman factores; por ejemplo, 3 y 2 son factores en cada uno de los ejemplos a la derecha. El resultado se llama el producto. Observe que cuando se utilizan paréntesis y no hay un símbolo de operaciones aritméticas, la operación es una multiplicación.

33256 3#256 132 122 5 6 3 122 5 6 132 2 5 6

Cuando 5 se multiplica por una secuencia de números enteros decrecientes, cada producto disminuye 5.

152 132 5 15 152 122 5 10 152 112 5 5 152 102 5 0 152 1212 5 25 152 1222 5 210 152 1232 5 215 152 1242 5 220

El patrón desarrollado puede continuar de manera que 5 se multiplique por una secuencia de números negativos. Los productos resultantes deben ser negativos con el fin de mantener el patrón de disminuir 5. Esto ilustra que el producto de un número positivo y un número negativo es negativo. Cuando 25 se multiplica por una secuencia decreciente de números enteros, cada producto se incrementa 5.

1252 132 5 215 1252 122 5 210 1252 112 5 25 El patrón desarrollado puede continuar de manera que 25 se multiplique 1252 102 5 0 por una secuencia de números negativos. Los productos resultantes deben 1 2 1212 5 5 25 ser positivos con el fin de mantener el patrón de incrementar 5. 1252 1222 5 10 Esto ilustra que el producto de dos números negativos es positivo. 1252 1232 5 15 El patrón para la multiplicación se resume en las siguientes reglas para 1252 1242 5 20 multiplicar números enteros.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Números enteros con el mismo signo Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique los valores absolutos de los números. El producto es positivo. EJEMPLO

1. 4 ? 8 5 32

( 24) ( 28) 5 32

Números enteros con signos diferentes Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique los valores absolutos de los números. El producto es negativo. EJEMPLOS

3. 24 ? 8 5 232

EJEMPLO

Multiplique. A. 2 42 ? 62

(4) ( 28) 5 232

B. 2 (23) (25) (27)

SOLUCIÓN A. 2 42 ? 62

• Los signos son diferentes. El producto es negativo.

5 2 2.604 B. 2 (23) (25) (27) 5 2 6 ( 2 5) ( 2 7) 5 30 ( 2 7)

• Para multiplicar más de dos números, multiplique los dos primeros. Después multiplique el producto por el tercer número. Continúe hasta que haya multiplicado todos los números.

5 2 210

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

Dividir números enteros Para cada problema de división, hay un problema de multiplicación relacionado. División:

8 54 2

Multiplicación relacionada: 4 ? 2 5 8

Este hecho se puede utilizar para ilustrar las reglas para dividir números con signo. El cociente de dos números con el mismo signo es positivo.

12 # 3 5 4 porque 4 3 5 12.

El cociente de dos números con signo diferente es negativo.

12 1 2 23 5 24 porque 24 23 5 12.

212 1 2 23 5 4 porque 4 23 5 212.

212 # 3 5 24 porque 24 3 5 212.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Números enteros con el mismo signo Para dividir dos números con el mismo signo, divida los valores absolutos de los números. El cociente es positivo. EJEMPLOS

1. 30 4 6 5 5

(230) 4 (26) 5 5

Números enteros con signos diferentes Para dividir dos números con signos diferentes, divida los valores absolutos de los números. El cociente es negativo. EJEMPLOS

3. (230) 4 6 5 25

Observe que

4. 30 4 (26) 5 25

212 12 12 3 5 24, 23 5 24 y 2 3 5 24. Esto sugiere la siguiente regla.

a a Si a y b son dos números enteros, y b 2 0, entonces 2b 5 2a b 5 2b .

Lea b ? 0 como “b no es igual a 0”. La razón por la cual el denominador no debe ser igual a 0 se explica en la siguiente discusión de 0 y 1 en la división. CERO Y UNO EN LA DIVISIÓN

Cero dividido entre cualquier número distinto de cero es cero.

0 a 5 0, a 2 0

porque 0 # a 5 0.

porque 1 # a 5 a.

a 1 5a

porque a # 1 5 a.

4 0 5?

?3054 No hay un número cuyo producto con cero sea 4.

Cualquier número distinto de a 5 1, a 2 0 cero dividido entre sí mismo es 1. Cualquier número dividido entre 1 es el mismo número. La división entre cero no está definida.

T OME NOTA Cero dividido entre cero tampoco está definida. 0 5? 0

EJEMPLOS

1. 3.

0 50 7 29 5 29 1

2. 4.

22 51 22 8 no está definida. 0

Sección 1.2 Operaciones con números enteros

EJEMPLO

Divida.

A. 121202 4 1282

95 25

C. 2

SOLUCIÓN A. 121202 4 1282 5 15 95 B. 5 219 25 281 C. 2 5 2 12272 5 27 3

281 3

• Los dos números tienen el mismo signo. El cociente es positivo. • Los dos números tienen diferentes signos. El cociente es negativo.

Problemas de aplicación En muchos cursos su calificación depende del promedio de todas las calificaciones de sus exámenes. El promedio lo calcula al sumar las calificaciones de todos sus exámenes y después dividir ese resultado entre el número de exámenes. Los expertos en estadística llaman a este promedio media aritmética. Además de su aplicación para determinar el promedio de las calificaciones de sus exámenes, la media aritmética se utiliza en muchas otras situaciones.

EJEMPLO

Las temperaturas bajas diarias en grados Celsius, durante una semana, se registraron como sigue: 2 8°, 2°, 0°, 27°, 1°, 6°, 21°. Calcule la temperatura promedio diaria durante la semana. ESTRATEGIA Para calcular la temperatura baja promedio diaria: s 3UME LAS LECTURAS DE LAS SIETE TEMPERATURAS s $IVIDA LA SUMA ENTRE SOLUCIÓN 28 1 2 1 0 1 1272 1 1 1 6 1 1212 5 26 1 0 1 1272 1 1 1 6 1 1212 5 26 1 1272 1 1 1 6 1 1212 5 213 1 1 1 6 1 1212 5 212 1 6 1 1212 5 26 1 1212 5 27 27 4 7 5 21 La temperatura baja promedio diaria fue 2 1 °C.

EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

Indique si la expresión es siempre verdadera, en ocasiones verdadera, o nunca verdadera.

4. Para encontrar el opuesto de un número, multiplique el número por 21.

1. La suma de dos números enteros es más grande que los números enteros que se están sumando.

5. Si x es un número entero y 4x 5 0, entonces x 5 0.

2. La suma de dos números enteros, diferentes de cero, con el mismo signo, es positiva. 3. El cociente de dos números enteros con diferentes signos es negativo.

Determine si cada signo de “ 2 ” es un signo de menos o un signo negativo. 6. 2 2 (27) 7. 2 6 2 1

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

8. 24 2 (23) 9. Explique cómo sumar dos números enteros con el mismo signo. 10. Explique cómo sumar dos números enteros con diferentes signos. 11. En la ecuación de suma 8 1 (23) 5 5, los sumandos ? y ? , y la suma es ? . son 12. Utilice el diagrama de abajo para completar esta ecuación de suma: +5

? 1 ? 5 ? . –5 –4 –3 –2 –1

Sume.

13. 23 1 (28)

14. 212 1 (21)

15. 212 1 (212)

16. 6 1 (29)

17. 26 1 7

18. 212 1 6

19. 7 1 (22) 1 (28)

20. 23 1 (212) 1 (215)

21. 217 1 (23) 1 29

22. 13 1 62 1 (238)

23. 227 1 (242) 1 (218)

24. 13 1 (222) 1 4 1 (25)

Resuelva los ejercicios 25 y 26 sin determinar realmente las sumas. 25. ¿La suma de 812 1 (2537) es positiva o negativa? 26. ¿La suma de 257 y 231 es positiva o negativa?

Resuelva los ejercicios 47 y 48 sin determinar realmente la diferencia. 47. ¿La diferencia 225 2 52 es positiva o negativa? 48. ¿La diferencia 8 menos 2 5 es positiva o negativa? 49. Nombre la operación en cada expresión. Justifique su respuesta. a. 8 (27)

b. 8 27

c. 8 2 (27)

d. 2xy

e. x (2y)

f. 2x 2y

50. Nombre la operación en cada expresión. Justifique su respuesta. a. (4) (26)

b. 4 2 (6)

c. 4 2 (26)

d. 2ab

e. a (2b)

f. 2a 2b

51. En la ecuación (210) (7) 5 270, los factores son ? y ? , y el producto es ? . 52. En la ecuación 15(23) 5 245, 15 y 23 se llaman ? , y 245 se llama ? . 53. Para el producto (24) (212), los signos de los factores ? . El son los mismos. El signo del producto es ? . producto es 54. Para el producto (10) (210), los signos de los factores ? . El proson diferentes. El signo del producto es ? ducto es . Multiplique.

Reste números enteros. 27. Explique el significado de las palabras menos y negativo.

55. 28(27) (24)

56. 21(4) (29)

28. Explique cómo reescribir 6 2 (29) como una suma del opuesto.

57. 5 (24)

58. 2 9(3)

59. (27) (0)

60. 19 (27)

Reste.

61. 2 4 (235)

62. 8 (26) (21) 64. 6 (23) (22)

29. 16 2 8

30. 12 2 3

63. 25 (8) (23)

31. 7 2 14

32. 7 2 (22)

33. 3 2 (24)

34. 26 2 (23)

65. ¿El producto de tres números enteros negativos es positivo o negativo?

35. 2 4 2 (22)

36. 6 2 (212)

37. 2 12 2 16

38. 2 4 2 3 22

39. 4 2 5 212

40. 12 2 (27) 28

41. 212 2 (23) 2 (215)

42. 4 2 12 2 (28)

43. 13 2 7 215

44. 26 1 19 2 (231)

45. 2 30 2 (2 65) 229 2 4 46. 42 2 (2 82) 265 2 7

66. ¿El producto de cuatro números positivos y tres números negativos es positivo o negativo? 67. Escriba la expresión de división 215 utilizando el sím3 bolo de división: ?

68. Escriba la expresión de división 8 4 (24) como una fracción: ?? . El cociente es

Sección 1.2 Operaciones con números enteros

Escriba el problema de multiplicación relacionado. 69.

236 53 212

70.

28 5 24 27

71.

255 5 25 11

72.

220 52 210

Divida. 73. (272) 4 (29)

74. 249 4 0

75. 236 4 4

76. 240 4 (25)

77. 2 60 4 5

78. 84 4 (2 7)

79. 2114 4 (2 6)

80. (2280) 4 8

90. Química La temperatura a la cual hierve el radón es 262 °C. El radón se congela a 271 °C. Calcule la diferencia entre la temperatura a la cual hierve y a la que se congela el radón. Geografía La elevación, o altura, de los lugares en la Tierra se mide en relación con el nivel del mar o el nivel promedio de la superficie del océano. La siguiente tabla muestra la altura por encima del nivel del mar como un número positivo y la profundidad más abajo del nivel del mar como un número negativo. (Fuente: Information Please Almanac).

Continente

Elevación más alta (en metros)

Elevación más baja (en metros)

Realice los ejercicios 81 y 82 sin utilizar una calculadora.

África

Monte Kilimanjaro 5.895

Lago Assal

2156

81. Determine si el cociente 2 520 es positivo o negativo.

Asia

Monte Everest

8.850

Mar Muerto

2411

Europa

Monte Elbrus

5.642

Mar Caspio

228

América del Norte

Monte Denali

6.194

Valle de la Muerte 286

América del Sur

Monte Aconcagua 6.960

Península Valdés 240

213

82. Determine si cada cociente es positivo, negativo, cero o no está definido. a. 261 4 0

b. 0 4 85

c. 2172 4 (24)

d. 296 4 4

83. A las 2:00 p. m., la temperatura era de 85 °F. Para las 10:00 p. m., la temperatura había bajado 20 °F. ¿Qué expresión se puede utilizar para calcular la temperatura, en grados Fahrenheit, a las 10:00 p. m.? a. 85 1 20

b. 85 2 20

c. 20 2 85

d. 85 4 20

84. Después de tres exámenes, el promedio de un estudiante era 82. Después del cuarto examen, su promedio era 84. ¿La calificación del estudiante en el cuarto examen fue más alta o más baja de 82? 85. Temperatura Calcule la temperatura después de un aumento de 9 °C desde 26 °C. 86. Temperatura Calcule la temperatura después de un aumento de 7 °C desde 218 °C. 87. Temperatura La temperatura alta durante el día fue de 10 °C. La temperatura baja fue de 24 °C. Calcule la diferencia entre las temperaturas alta y baja durante el día.

Ejercicios 91-95

91. Utilice la tabla para encontrar la diferencia en la elevación entre el Monte Elbrus y el Mar Caspio. 92. Utilice la tabla para encontrar la diferencia en la elevación entre el Monte Aconcagua y la Península Valdés. 93. Utilice la tabla para encontrar la diferencia en la elevación entre el Monte Kilimanjaro y el Lago Assal. 94. Utilice la tabla para encontrar la diferencia en la elevación entre el Monte Denali y el Valle de la Muerte. 95. Utilice la tabla para encontrar la diferencia en la elevación entre el Monte Everest y el Mar Muerto. 96. Temperatura La fecha del recorte de "EN las NOTICIAS" de la siguiente página es 2 de abril de 2010. a. Calcule la diferencia entre las temperaturas alta y baja en Estados Unidos en ese día. b. ¿Cuál fue la diferencia entre las temperaturas alta y baja en los 40 estados contiguos ese día?

88. Temperatura La temperatura baja durante el día fue de 22 °C. La temperatura alta fue de 11 °C. Calcule la diferencia entre las temperaturas alta y baja durante el día.

97. Temperatura Las temperaturas bajas diarias en grados Celsius, durante una semana, se registraron como sigue: 4°, 25°, 8°, 0°,29°, 211°, 28°. Calcule la temperatura baja promedio diaria para la semana.

89. Química La temperatura a la cual hierve el mercurio es 360 °C. El mercurio se congela a 239 °C. Calcule la diferencia entre la temperatura a la cual hierve y a la que se congela el mercurio.

98. Temperatura Las temperaturas altas diarias en grados Celsius, durante una semana, se registraron como sigue: 28°, 29°, 6°, 7°, 22°, 214°, 21°. Calcule la temperatura alta promedio para la semana.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

E N las NOTICIAS

99. Temperatura El 22 de enero de 1943, la temperatura en Spearfish, Dakota del Sur, aumentó de 24 °F a 45 °F en dos minutos. ¿Cuántos grados aumentó la temperatura durante esos dos minutos?

Estados Unidos experimenta temperaturas extremas

100. Temperatura En un periodo de 24 horas en enero de 1916, la temperatura en Browning, Montana, bajó de 44 °F a 256 °F. ¿Cuántos grados bajó la temperatura durante ese tiempo?

La temperatura más alta en Estados Unidos hoy fue 93 °F, registrada en Laredo, Texas. En el otro extremo estuvo Buckland, Alaska, que registró la temperatura más baja en todo Estados Unidos, de –14 °F. La temperatura más baja en Estados Unidos contigua fue de –7 °F, registrada en Yellowstone Lake, Wyoming.

Aviación La tabla de abajo muestra las temperaturas promedio de diferentes altitudes de crucero para los aviones. Utilice la tabla para resolver los ejercicios 101 y 102. 101. ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura promedio a 12.000 pies y la temperatura promedio a 40.000 pies? 102. ¿Qué tanto más fría es la temperatura promedio a 30.000 pies que a 20.000 pies?

Fuente: National Weather Service

103. Puntuaciones de golf En el golf, la anotación de un jugador en un hoyo es 0 si completa el hoyo en un par. Par es el número de golpes en los cuales un golfista debe completar un hoyo. Las anotaciones se dan tanto como un número total de golpes dados en todos los hoyos y como un valor relativo al par, como 2 4 (“4 bajo par”) o 1 2 (“2 sobre par”).

Ejercicio 96

E N las NOTICIAS Mickelson gana el blazer verde

En 2010, las anotaciones diarias de Phil Mickelson en el Masters Tournament fueron 25, 21, 25 y 25. Su total de 216 se calcula al sumar los cuatro números. Utilice la tabla de la izquierda para determinar los totales de otros jugadores en el mismo torneo.

En el Masters Tournament de este año, Phil Mickelson ganó su tercer título Masters por tres tiros sobre el subcampeón Lee Westwood. Fuente: www.masters.com Ejercicio 103

Total

Altitud del crucero (en pies)

Temperatura promedio (en °F)

12.000

20.000

Jugador

Día 1

Día 2

Día 3

Día 4

Lee Westwood

30.000

Anthony Kim

40.000

K. J. Choi

50.000

Ejercicio 103

Ejercicios 101 y 102

Resuelva. 104. 32.844 es divisible entre 3. Reordenando los dígitos, encuentre el número más grande posible que todavía sea divisible entre 3. 105. 4.563 no es divisible entre 4. Reordenando los dígitos, encuentre el número más grande posible que no sea divisible entre 4. 106. ¿Cuántos números de tres dígitos de la forma 8 divisibles entre 3?

4 son

En cada ejercicio, determine cuál expresión es falsa. 107. a. 0 3 1 4 0 5 0 3 0 1 0 4 0

b. 0 3 2 4 0 5 0 3 0 2 0 4 0

c. 0 4 1 3 0 5 0 4 0 1 0 3 0

d. 0 4 2 3 0 5 0 4 0 2 0 3 0

108. a. 0 5 1 2 0 5 0 5 0 1 0 2 0

b. 0 5 2 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0

c. 0 2 1 5 0 5 0 2 0 1 0 5 0

d. 0 2 2 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0

Determine cuál expresión es verdadera para todos los números reales. 109. a. 0 x 1 y 0 # 0 x 0 1 0 y 0

b. 0 x 1 y 0 5 0 x 0 1 0 y 0

c. 0 x 1 y 0 $ 0 x 0 1 0 y 0 110. a. 7 x 0 2 0 y 7 # 0 x 0 2 0 y 0

b. 7 x 0 2 0 y 7 5 0 x 0 2 0 y 0

c. 7 x 0 2 0 y 7 $ 0 x 0 2 0 y 0 111. Si 24x es igual a un número entero positivo, ¿x es un número entero positivo o negativo? Explique. 112. ¿La diferencia entre dos números enteros es siempre más pequeña que cualquiera de los números enteros? De no ser así, proporcione un ejemplo para el cual la diferencia entre dos números enteros es mayor que cualquiera de los enteros.

Sección 1.3 Números racionales

Ilustre en la recta numérica cada una de las siguientes sumas. 113. 1 1 (26) 5 25

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

114. 23 1 (24) 5 27

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

115. 22 1 (25) 5 27

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

116. Hay un número de modelos para la suma de números enteros. Utilizar flechas sobre la recta numérica es solo uno de ellos. Otro modelo es verificar la cuenta. Si hay un saldo de $25 en una cuenta de cheques y hay un cheque expedido por $30, la cuenta estará sobregirada por $5 (25). Un modelo alterno utiliza dos colores de fichas de plástico, digamos azul para el positivo y rojo para el negativo y la idea de que un par azul/rojo es igual a cero. Para sumar 28 1 3, coloque 8 fichas rojas y 3 fichas azules en un círculo. Forme tantos pares de fichas rojas y azules como sea posible y elimine los pares de la región. Hay 5 fichas rojas restantes. Para modelar (28) 1 (23) coloque 8 fichas rojas en la región y después 3 rojas más. No hay pares de fichas

SECCIÓN 1.3

rojas y azules, de manera que hay 11 fichas rojas. Por consiguiente, la respuesta es 211. Utilice el modelo anterior para modelar 27 1 4, 22 16 y 25 1 (23). 117. Invente tres situaciones de adición de manera que cada problema involucre un sumando positivo y uno negativo, y que cada problema tenga la suma de 23. Después formule una estrategia para escribir estos problemas. 118. Invente tres situaciones de sustracción de manera que cada problema involucre un número negativo menos un número negativo, y que cada problema tenga una diferencia de 28. Después formule una estrategia para escribir estos problemas.

NÚMEROS RACIONALES

Objetivo 3

Resolver operaciones con números racionales

PUNTO de INTERÉS

Expresar como decimales los números racionales

Desde una época tan antigua como 630 d. C., el matemático indio Brahmagupta escribía una fracción como un número arriba de otro, separado por un espacio. El matemático árabe Al Hassar (alrededor de 1050 d. C.) fue el primero en mostrar una fracción con la barra horizontal separando el numerador y el denominador.

Un número racional es el cociente de dos números enteros. Por consiguiente, un número racional es un número que se puede escribir en la forma a/b donde a y b son números enteros y b es diferente de cero. Un número racional escrito de esta manera se llama comúnmente una fracción. Debido a que un número entero se puede escribir como el cociente del número entero y 1, cada número entero es un número racional. Un número escrito en notación decimal también es un número racional. Un número racional escrito como una fracción se puede escribir en notación decimal.

a d Un número entero b d Un número entero diferente de cero 2 24 18 4 Rational Números , , , f racionales 3 9 25 1 numbers

5 1

23 5

23 1

Tres décimas 0,3 5

3 10

Treinta y cinco centésimas 0,35 5 Menos cuatro décimas

35 100

20,4 5 2

4 10

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

EJEMPLO

Exprese como decimal 5 . 8

SOLUCIÓN

T OME NOTA La barra de la fracción se puede leer “dividido entre” 5 5548 8 Observe que el número que divide al numerador entre el denominador resulta en un residuo de 0. El decimal 0,625 es un resultado en forma decimal.

EJEMPLO

5 5 0,625 8

4. Exprese como decimal 11

SOLUCIÓN

T OME NOTA No importa qué tan lejos llevemos la división, el residuo nunca es cero. El decimal 0,36 es un decimal periódico.

0,625 d Esto se llama resultado en forma decimal. 8q5,000 24 8 20 216 40 240 0 d El residuo es cero.

0,3636... 11 q4,0000 23 3 70 266 40 233 70 266 4 4 5 0,36 11

d Esto se llama decimal periódico.

d El residuo nunca es cero. d La bar ra ar r iba de los dígitos 3 y 6 se utiliza para indicar que estos dígitos se repiten.

Los números racionales se pueden expresar como fracciones, por ejemplo 267 o 83 , en las cuales el numerador y el denominador son números enteros. Pero cada número racional también se puede escribir como un decimal periódico (por ejemplo, 0,25767676...) o como resultado en forma decimal (por ejemplo, 1,73). Esto se ilustró en los ejemplos 1 y 2. Los números que no se pueden escribir como decimal periódico o como resultado en forma decimal se llaman números irracionales. Por ejemplo, 2,45445444544445... es un número irracional. Dos ejemplos son !2 y p. !2 5 1,414213562...

p 5 3,141592654...

Los tres puntos significan que los dígitos continúan interminablemente, sin que sean periódicos o últimos. Aun cuando no podemos escribir un decimal que sea exactamente igual a !2 o a p, podemos dar una aproximación de esos números. El símbolo < se lee “aproximadamente igual a”. A continuación se muestran !2 redondeada a la milésima más cercana y p redondeado a la centésima más cercana. !2 < 1,414

p < 3,14

Los números racionales y los números irracionales tomados juntos se llaman números reales.

Multiplicar y dividir números racionales Las reglas de los signos para multiplicar y dividir números enteros aplican a la multiplicación y la división de números racionales. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.3 Números racionales

El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores dividido entre el producto de los denominadores. Una fracción está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1. La fracción 38 está en su forma más simple debido a que 3 y no está en su forma más simple 8 no tienen divisores comunes distintos de uno. La fracción 15 50 debido a que el numerador y el denominador tienen un divisor común de 5. Para escribir 15 en 50 su forma más simple, divida el numerador y el denominador entre el factor común 5. 1

15 5#3 3 5 # # 5 50 5 5 2 10

EJEMPLO

3 12 Multiplique: # 8 17 3 # 12 SOLUCIÓN 3 # 12 5 # 8 17 8 17 1

T OME NOTA

El método para dividir fracciones en ocasiones se expresa “Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se multiplica por el dividendo". Invertir el divisor significa escribir su recíproco.

EJEMPLO

• Multiplique los numeradores. Multiplique los denominadores.

3#2#2#3 2 # 2 # 2 # 17 1

• Escriba los factores primos de cada factor. Divida entre los factores comunes.

9 5 34

• Multiplique los números restantes en el numerador. Multiplique los números restantes en el denominador.

El recíproco de una fracción es la fracción con el numerador y el denominador invertidos. Por ejemplo, el recíproco de 23 es 32 , y el recíproco de 254 es 245 . Para dividir fracciones, multiplique el dividendo por el recíproco del divisor.

18 3 4 a2 b 10 25 18 3 18 3 4 a2 b 5 2a 4 b SOLUCIÓN 10 25 10 25 Divida:

• Los signos son diferentes. El cociente es negativo.

5 2a

3 # 25 b 10 18

• Cambie la división a multiplicación e invierta el divisor.

5 2a

3 # 25 b 10 # 18

• Multiplique los numeradores. Multiplique los denominadores.

3#5#5 5 2a # # # # b 2 5 2 3 3 1

5 52 12 Para multiplicar decimales, hágalo igual que en la multiplicación de números enteros. Escriba el decimal en el producto, de manera que el número de posiciones decimales en el producto sea igual a la suma de las posiciones decimales en los factores.

EJEMPLO

Multiplique: (26,89) (0,00035) SOLUCIÓN

6,89 2 posiciones decimales 3 0,00035 5 posiciones decimales 3445 2067 0,0024115 7 posiciones decimales 126,892 10,000352 5 20,0024115

• Multiplique los valores absolutos. • Los signos son diferentes. El producto es negativo.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

Para dividir decimales, mueva la coma decimal en el divisor para hacer que sea un número entero. Mueva el decimal el mismo número de posiciones hacia la derecha en el dividendo. Coloque la coma decimal en el cociente, directamente arriba del decimal en el dividendo. Después divida como en la división de números enteros.

EJEMPLO

Divida:

20,394 4 1,7. Redondee a la centésima más cercana.

SOLUCIÓN 1,7,q20,3,940

• Mueva la coma decimal una posición hacia la derecha en el divisor y en el dividendo. Coloque la coma decimal en el cociente.

T OME NOTA

0,231 < 0,23 método usual • El símbolo se utiliza para indicar que el cociente es un valor aproximado que se ha 17 q 203,940 20,394 1,7 redondeado. 23 4 20,39 17 • Los signos son diferentes. El cociente es 54 23940 1700 negativo. 251 5400 2 0,23 30 3000 217

Mover el decimal en el numerador y el denominador es lo mismo que multiplicar por el mismo número el numerador y el denominador. Para el problema de la derecha, tenemos 0,394 1,7 0,394 # 10 52 1,7 10 3,94 52 17

13 20,394 4 1,7 < 20,23

20,394 4 1,7 5 2

Adición y sustracción de números racionales Las reglas del signo para sumar números enteros aplican a la suma de números racionales. Para sumar o restar números racionales escritos como fracciones, primero reescriba las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador. Un común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. El mcm de los denominadores también se llama común denominador.

EJEMPLO

Sume:

SOLUCIÓN Factores primos de 6 y 10:

T OME NOTA

6 5 2 # 3 10 5 2 # 5

Puede encontrar el mínimo común múltiplo al multiplicar los denominadores y después dividirlos entre el máximo divisor común de los dos denominadores. En el caso de 6 y 10, 6 ? 10 5 60. Ahora divida entre 2 el máximo divisor común de 6 y 10. 60 4 2 5 30 En forma alterna, puede utilizar como común denominador el producto de los denominadores, que en este caso es 60. Exprese cada fracción con un denominador de 60. Sume las fracciones. Después simplifique la suma. 5 3 50 18 2 1 52 1 6 10 60 60 250 1 18 5 60 232 5 60 8 52 15

5 3 2 1 6 10

mcm 5 2 ? 3 ? 5 5 30 3 25 9 5 52 1 2 1 6 10 30 30

• Encuentre el mínimo común múltiplo de los denominadores 6 y 10. • Reescriba las fracciones como fracciones equivalentes, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores como el común denominador. • Sume los numeradores y coloque la suma arriba del común denominador.

225 1 9 30

216 30

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

8 15

8 8 Los números 215 , 28 15 y 215 representan todos el mismo número racional. 8 , con el signo Observe que en el ejemplo 7 escribimos la respuesta como 215 negativo enfrente de la fracción. En este libro, esta es la forma en la cual escribiremos las respuestas que son fracciones negativas.

Sección 1.3 Números racionales

EJEMPLO

1 5 3 Simplifique: 2 1 2 4 6 8 1 5 18 4 15 3 SOLUCIÓN 2 1 2 5 2 1 2 4 6 8 24 24 24 218 4 215 5 1 1 24 24 24

• El mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es 24. • Sume los numeradores y coloque la suma encima del común denominador.

218 1 4 1 12152 24 229 5 24 5

29 24

CÓMO se USA La suma de decimales positivos y negativos se utiliza en la optometría. Las dioptrías, que se utilizan para medir la intensidad de los lentes, se dan como decimales positivos o negativos: un lente con una dioptría negativa corrige la miopía y un lente con una dioptría positiva corrige la presbicia. Para corregir más de un aspecto de la visión de una persona, un optometrista diseña anteojos que combinan dos o más intensidades.

EJEMPLO

Observe que dejamos la respuesta al ejemplo 8 como la fracción impropia 229 24 5 en lugar de escribirla como el número mixto 2124 . En este libro, normalmente dejamos las respuestas como fracciones impropias y no las cambiamos a números mixtos. Para sumar o restar decimales, exprese los números de manera que los decimales estén en una línea vertical. Después proceda igual que en la suma o resta de números enteros. Escriba el decimal en la respuesta, directamente debajo de los decimales en el problema.

Sume: 14,02 1 137,6 1 9,852 SOLUCIÓN

14, 02 137,6 1 9,852 161,472

• Escriba los decimales de manera que los decimales estén en una línea vertical. • Escriba el decimal de la suma directamente debajo de la fila que corresponde.

Sume: 2114,039 1 84,76 SOLUCIÓN

114,039 2 84,76 29,279 2114,039 1 84,76 5 229,279

• Los signos son diferentes. Reste el valor absoluto del número con el valor absoluto menor del valor absoluto del número con el valor absoluto mayor. • Añada el signo del número con el valor absoluto mayor.

Convertir porcentajes, fracciones y decimales “Una tasa de crecimiento de la población de 3%”, “el descuento de un fabricante de 25%” y “un incremento de 8% en la remuneración” son ejemplos típicos de las muchas formas en las cuales se utiliza el porcentaje en problemas de aplicación. Porcentaje significa “partes de cada 100”. Por consiguiente, 27% significa 27 partes de 100. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

En los problemas de aplicación que implican un porcentaje, por lo general es necesario ya sea reescribir el porcentaje como fracción o como decimal, o bien, reescribir como porcentaje una fracción o un decimal. 27 1 27% 5 27a b5 Para escribir 27% como fracción, elimine el signo de porcen100 100 1 . taje y multiplique por 100 Para escribir un porcentaje como decimal, elimine el signo de porcentaje y multiplique por 0,01. Para escribir 33% como decimal, elimine el signo de porcentaje y multiplique por 0,01.

Observe que 100% 5 1.

EJEMPLO

SOLUCIÓN 130% 5 130a

1 130 3 51 b5 100 100 10

0,33 c

• Para escribir un porcentaje como fracción, elimine el signo de porcentaje y multiplique 1 por . 100 • Para escribir un porcentaje como decimal, elimine el signo de porcentaje y multiplique por 0,01.

Escriba como fracción 33 13% . 1 1 1 100 1 b5 a b SOLUCIÓN 33 % 5 33 a 3 3 100 3 100 5

EJEMPLO

33(0,01)

Recorra la coma decimal dos posiciones hacia la izquierda y elimine el signo de porcentaje.

Escriba 130% como fracción y como decimal.

130% 5 130 10,012 5 1,30

EJEMPLO

33%

1 3

1 • Escriba el número mixto 33 como la 3 100 . fracción impropia 3

Escriba como decimal 0,25%. SOLUCIÓN 0,25% 5 0,25(0,01) 5 0,0025

• Elimine el signo de porcentaje y multiplique por 0,01.

Una fracción o un decimal se pueden escribir como porcentaje multiplicando por 100%. Recuerde que 100% 5 1 y que la multiplicación de un número por 1 no cambia el valor del número. 5 5 1 500 Para escribir 58 como porcentaje, mul5 1100%2 5 % 5 62,5% or o 62 % 8 8 8 2 tiplique por 100%.

EJEMPLO

0,82 c

Para escribir 0,82 como porcentaje, multiplique por 100%.

0,82(100%)

Recorra dos posiciones hacia la derecha la coma decimal. Después escriba el signo de porcentaje.

82% c

Exprese como porcentaje. A. 0,027 B. 1,34 SOLUCIÓN A. 0,027 5 0,027(100%) 5 2,7%

• Para expresar como porcentaje una fracción, multiplique por 100%.

B. 1,34 5 1,34(100%) 5 134%

Sección 1.3 Números racionales

EJEMPLO

Exprese como porcentaje 56 . Redondee a la décima más cercana de un porcentaje. SOLUCIÓN

EJEMPLO

500 5 5 5 1100%2 5 % < 83,3% 6 6 6

• Para expresar como porcentaje una fracción, multiplique por 100%.

Exprese como porcentaje 7 . Exprese el residuo como fracción. 16

SOLUCIÓN

EJERCICIOS 1.3

7 3 700 7 5 1100%2 5 % 5 43 % 16 16 16 4

• Multiplique la fracción por 100%.

APLIQUE LO APRENDIDO

Determine si la expresión es siempre verdadera, en ocasiones verdadera o nunca verdadera.

15.

5 11

16.

10 11

17.

7 12

1. Para multiplicar dos fracciones, primero debe reescribir las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador.

18.

8 15

19.

7 16

20.

15 16

21.

9 40

22.

21 40

23. 15 22

2. Un número racional se puede escribir como resultado en forma decimal.

24. ¿

3. Un número irracional es un número real.

!2 es un número racional o uno irracional? 2

37 son tres números que tienen el mismo 4. 37%, 0,37 y 100 valor.

25. El producto de 1,726 y 28,4 tendrá decimales.

5. Para escribir como porcentaje un decimal, multiplique 1 . el decimal por 100

26. El recíproco de 4 es

6. 212 es un ejemplo de un número que es tanto un número entero como un número racional. ? entre 7. Para escribir 23 como decimal, divida ? . El cociente es 0,6666... , que es un decimal ? . 8. Un número como 0,74744744474444..., cuya representación decimal no es finita ni periódica, es un ejemplo ? . de un número Exprese como decimal. En caso de ser un decimal periódico, coloque la barra sobre los dígitos periódicos. 9.

1 4

10.

3 4

11.

2 5

12.

5 6

13.

1 8

14.

7 8

posiciones

. Para encontrar el cociente

2 223 4 49 , se calcula el producto 23

223 4 49 es

. El cociente

Simplifique. 2 3 27. 2 a2 b 9 14

3 4 28. a2 b a2 b 8 15

1 3 5 29. a b a2 b a2 b 2 4 8

30. a

31. 5 4 a2 3 b 6 4

32. 2 5 4 15 12 32

33. 2 4 4 a2 2 b 9 3

34. 2 6 4 4 11 9

35. 120,82 16,22

36. 121,892 122,32

37. 11,062 123,82

38. 122,72 123,52

5 8 1 b a2 b a2 b 12 15 3

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

39. Determine si cada producto o cociente es positivo o negativo. No simplifique.

a. 1 2 1 5 2

b. 221,765 1 15,1

9 3 d. 2 1 4 10 72. Estime cada suma al número entero más cercano. c. 0,837 1 (20,24)

a. a2 11 b a2 5 b a2 1 b 12 4 2 b. 21,572 4 28,4 Simplifique. Redondee a la centésima más cercana. 40. 224,7 4 0,09

41. 9,07 4 (23,5)

42. 21,27 4 (21,7)

43. 2354,2086 4 0,1719

b. 1 1 a2 1 b 3 2

c. 20,125 1 1,25

d. 21,3 1 0,2

73. a. Explique cómo convertir una fracción en porcentaje. b. Explique cómo convertir un porcentaje en una fracción.

44. El mínimo común múltiplo de los denominadores de las ? . fracciones 58 , 2 16 y 92 es 3 como una fracción equivalente 45. Exprese la fracción 14 con el denominador 28: 3 ? 5 14 28

a. 7 1 4 8 5

74. a. Explique cómo convertir un decimal en porcentaje. b. Explique cómo convertir un porcentaje en decimal. 75. Explique por qué la multiplicación de un número por 100% no cambia el valor del número.

Simplifique. 46. 2 1 1 3 4 4

47. 7 2 3 8 8

48. 2 5 2 1 6 6

49. 2 5 2 5 6 9

50. 2 6 1 17 13 26

51. 2 7 1 5 12 8

52. 1 1 5 2 2 3 6 9

53. 1 2 2 1 1 2 3 6

54. 2 3 2 5 2 3 8 12 16 3 7 7 56. 2 a2 b 2 4 12 8

55.

3 1 1 2 2 a2 b 2 8 4

57. 1 2 1 2 1 3 4 5 59. 5 2 a2 5 b 1 1 8 12 3

58. 5 1 1 2 1 16 8 2 1 1 11 60. 2 1 8 12 2 62. 232,1 2 6,7

Exprese como fracciones y como decimales. 76. 75%

77. 40%

78. 64%

79. 88%

80. 19%

81. 87%

82. 450%

83. 380%

Exprese como fracción. 1 1 85. 37 % 84. 11 % 2 9 3 Exprese como decimal.

86. 1 % 2

3 87. 5 % 4

88. 7,3%

90. 9,1%

91. 121,2%

89. 9,15%

Exprese como porcentaje. 92. 0,15

93. 0,37

94. 0,175

61. 1,09 1 6,2

95. 0,125

96. 0,008

97. 0,004

63. 5,13 2 8,179

Exprese como porcentaje. Redondee a la décima más cercana de un porcentaje.

64. 2,54 2 3,6

65. 5,43 1 7,925

98.

66. 216,92 2 6,925

67. 6,9027 2 17,692

68. 16,4 1 3,09 2 7,93

69. 19 2 (23,72) 2 82,75

70. 23,09 2 4,6 2 27,3

27 50

99.

83 100

100.

4 9

101.

9 20

Exprese como porcentaje. Exprese el residuo como fracción. 5 3 103. 105. 1 5 104. 2 5 14 16 9 8 5 Resuelva los ejercicios 106 y 107 sin determinar realmente el porcentaje. 102.

Resuelva los ejercicios 71 y 72 sin determinar realmente las sumas y las diferencias.

106. ¿ 43 representa un número mayor o menor que 100%?

71. El mínimo común múltiplo de los denominadores de las ? . fracciones 58 , 2 16 y 2 es

107. ¿0,055 representa un número mayor que 1% o menor que 1%?

Sección 1.3 Números racionales

Empleo La gráfica de abajo muestra las respuestas de una encuesta que preguntaba a los participantes, “¿Cómo encontró su empleo más reciente?”. Utilice la gráfica para resolver los ejercicios 108 a 110.

Gobierno La tabla de abajo muestra el superávit o el déficit, en miles de millones de dólares, para años seleccionados desde 1955 hasta 2010. Un signo negativo (2) indica un déficit. Utilice esta tabla para resolver los ejercicios 119 al 123. (Fuente: Oficina de Administración y Presupuesto de Estados Unidos).

Otro 13% Periódico 22%

Internet 40%

Referencia 25%

¿Cómo fue que encontró su empleo actual?

108. ¿Qué fracción de los participantes encontraron en Internet sus empleos más recientes? 109. ¿Qué fracción de los participantes encontraron sus empleos más recientes por medio de una referencia? 110. ¿Más o menos una cuarta parte de los participantes encontraron sus empleos más recientes por medio de un anuncio en el periódico? Clasifique cada uno de los siguientes números como un número natural, un número entero, un número entero positivo, un número entero negativo, un número racional, un número irracional o un número real. Mencione todos los que apliquen. 111. 21 113. 2 9 34

112. 28

115. 5,26

116. 0,171771777...

114. 27,707

Resuelva. 5 3 y . 8 4 118. Temperatura La fecha del recorte de “EN las NOTICIAS” de abajo es 26 de marzo de 2010. 117. Calcule el promedio de

a. Calcule la diferencia entre las temperaturas Fahrenheit extremas. b. Calcule la diferencia entre las temperaturas Celsius extremas.

E N las NOTICIAS Los lugares fríos y cálidos del mundo La temperatura más cálida esta semana fue de 112,1 °F (44,5 °C), registrada en Nawabshah, Pakistán, mientras que la temperatura más fría fue de 287,9 °F (266,6°C), registrada en la estación de investigación Vostok de Rusia en el Antártico. Fuente: www.earthweek.com

Año

Superávit o déﬁcit del presupuesto federal (en miles de millones de dólares)

Año

Superávit o déﬁcit del presupuesto federal (en miles de millones de dólares)

1955

2,993

1995

163,952

1960

0,301

2000

236,241

1965

1,411

2005

318,346

1970

2,842

2006

248,181

1975

53,242

2007

160,701

1980

73,830

2008

458,555

1985

212,308

2009

1.412,686

1990

221,036

2010

1.294,131

Ejercicios 119-123

119. ¿En cuál de los años listados fue mayor el déficit? 120. Calcule la diferencia entre los déficits de 1980 y 1985. 121. Calcule la diferencia entre el superávit en 1960 y el déficit en 1955. 122. ¿Cuántas veces fue mayor el déficit en 1985 que en 1975? Redondee al número positivo más cercano. 123. ¿Cuál fue el déficit promedio por trimestre, en millones de dólares, para el año 1970? 124. Temperatura Observe el recorte de “EN las NOTICIAS” de abajo. ¿Cuál es la temperatura promedio normal en el noreste en febrero?

E N las NOTICIAS Temperaturas cerca de lo normal en el noreste Este año las temperaturas en febrero promediaron cerca de lo normal en el noreste. La temperatura promedio de la región fue de 23,2 °C, que es 0,4 °C arriba de lo normal. Fuente: National Climatic Data Center

125. Supongamos que x representa el precio de un automóvil. Si el impuesto sobre ventas es 6% del precio, exprese en términos de x el total del precio del automóvil y del impuesto sobre ventas. 126. Supongamos que x representa el precio de un traje. Si el traje está en venta a un precio de descuento de 30%, exprese en términos de x el precio del traje después del descuento.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

127. En sus propias palabras, defina:

2 3

130. Un cubo mágico es aquel en el cual los números en cada fila, columna y diagonal suman el mismo número. Complete el cubo mágico de la derecha.

a. Un número racional. b. Un número irracional. c. Un número real.

1 6

5 6 2

1 3

128. Explique por qué se necesita un mínimo común denominador cuando suma dos fracciones y por qué no se necesita cuando multiplica dos fracciones.

131. Encuentre tres números naturales a, b y c de manera

129. Utilice una calculadora para determinar las representa-

132. Cuando se suman dos números naturales, es posible que la suma sea menor que cualquier sumando, mayor que cualquier sumando, o un número entre los dos sumandos. Proporcione ejemplos de cada una de estas ocurrencias.

45 73 ciones decimales de 17 99 , 99 y 99 . Haga una conjetura acerca de la representación decimal de 83 99 .. ¿Su conje33 1 tura da resultado para 99 ? ¿Y para 99 ?

SECCIÓN 1.4

que 1a 1 1b 1 1c sea un número natural.

EXPONENTES Y EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Objetivo 4

Resolver operaciones usando exponentes y operaciones básicas Expresiones con exponentes

PUNTO de INTERÉS René Descartes fue el primer matemático en utilizar de manera recurrente la notación exponencial, como se utiliza hoy. Sin embargo, por alguna razón desconocida, él siempre utilizó xx para x2.

La multiplicación repetida del mismo factor se puede escribir utilizando un exponente. 2 # 2 # 2 # 2 # 2 5 25 d Exponente c Base

a # a # a # a 5 a4 d Exponente c Base

El exponente indica cuántas veces el factor, llamado la base, ocurre en la multiplicación. La multiplicación 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 está en forma factorizada. La expresión con exponente 25 está en forma exponencial. 21 se lee “la primera potencia de dos”, o solo “dos”. 22 se lee “la segunda potencia de dos” o “dos al cuadrado”.

Por lo general el exponente 1 no se escribe.

23 se lee “la tercera potencia de dos” o “dos al cubo”. 24 se lee “la cuarta potencia de dos”. 25 se lee “la quinta potencia de dos”. a5 se lee “la quinta potencia de a”. Existe una interpretación geométrica de las tres primeras potencias de los números naturales.

T OME NOTA Base

Exponente

Positiva Positiva Negativa Negativa

Par Impar Par Impar

Signo del resultado Positiva Positiva Positiva Negativa

Para evaluar una expresión con exponentes, escribimos cada factor tantas veces como lo indique el exponente. Después se multiplica. 3 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243 5

41 = 4 Largo: 4 pies

42 = 16 Área: 16 pies2

23 ? 32 5 (2 ? 2 ? 2) ? (3 ? 3) 5 8 ? 9 5 72

43 = 64 Volumen: 64 pies3

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones

EJEMPLO

T OME NOTA El producto de un número par de factores negativos es positivo. El producto de un número impar de factores negativos es negativo.

B. 242

SOLUCIÓN A. 1242 5 1242 1242 5 16 2 B. 24 5 2 14 # 42 5 216

A. (22)4

Evalúe:

SOLUCIÓN A. 1222 5 1222 1222 1222 1222 5 4 1222 1222 5 28 1222 5 16

A. (23)2 ? 23

Evalúe:

• El 24 se calcula al cuadrado solo cuando el signo negativo está dentro del paréntesis. En (24)2 estamos determinando el cuadrado de 24. En 242, estamos buscando el opuesto de 42.

B. (22)5 5

B. 1222 5 1222 1222 1222 1222 1222 5 4 1222 1222 1222 5 28 1222 1222 5 16 1222 5 232

B. y 1232 3

SOLUCIÓN A. 1232 2 # 23 5 1232 1232 # 122 122 122 5 9 # 8 5 72 2 2 2 2#2#2 8 2 3 B. a2 b 5 a2 b a2 b a2 b 5 2 52 3 3 3 3 3#3#3 27

El orden o jerarquía de las operaciones Evalúe 2 1 3 ? 5. En este problema hay dos operaciones aritméticas, suma y multiplicación. Las operaciones se podrían realizar en órdenes diferentes. Sume primero. 213#5 Multiplique primero. 2 1 3 # 5

EJEMPLO

A. (24)2

Evalúe:

Después multiplique. 5 # 5

Después sume.

EJEMPLO

2 1 15

25 17 Con el fin de impedir que haya más de una respuesta al mismo problema, se ha establecido un orden de las operaciones.

EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Paso 1 Realice las operaciones dentro de símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación son paréntesis 1 2, corchetes 3 4, símbolos de valor absoluto 0 0 y la barra de fracción. Paso 2 Simplifique las expresiones con exponentes. Paso 3 Realice la multiplicación y la división según ocurren de izquierda a derecha. Paso 4 Realice la suma y la resta según ocurren de izquierda a derecha. 6 1 5(1 2 2)4 Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación (paso 1). 5 6 1 5(21)4 5 6 1 5(1) Simplifique las expresiones con exponentes (paso 2). Realice de izquierda a derecha la multiplicación y la división (paso 3). 5 6 1 5 5 11 Realice de izquierda a derecha la suma y la resta (paso 4). EJEMPLO

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

EJEMPLO

Simplifique: 12 2 24(8 2 5) 4 22 SOLUCIÓN 12 2 24 18 2 52 4 2 2 5 12 2 24 132 4 2

5 12 2 24 132 4 4 5 12 2 72 4 4 5 12 2 18 5 26

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice la multiplicación y la división según ocurren de izquierda a derecha. • Realice la suma y la resta según ocurren de izquierda a derecha.

Uno o más de los pasos que se muestran en el ejemplo 4 pueden no ser necesarios para simplificar una expresión. En ese caso, proceda con el siguiente paso en el orden de las operaciones.

EJEMPLO

418 2 03 2 10 1 2 211 418 2 03 2 10 1 2 SOLUCIÓN 211 12 5 2 020 1 2 3

Simplifique:

12 2212 3 542212 5

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación (arriba y abajo de la barra de la fracción y dentro del símbolo del valor absoluto). • Encuentre el valor absoluto de 2. • Realice la multiplicación y la división según ocurren de izquierda a derecha. • Realice la suma y la resta según ocurren de izquierda a derecha.

5212 54

RECUERDE QUE... ( ) [ ] Paréntesis an !

Potencias y raíces

3 4 Multiplicaciones y divisiones 1 2 Sumas y restas

EJEMPLO

Cuando una expresión tiene símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, realice primero las operaciones dentro de los símbolos de agrupación internos siguiendo los pasos 2, 3 y 4 del orden de las operaciones. Después realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación externos, siguiendo en secuencia los pasos 2, 3 y 4.

Simplifique: 6 4 3 4 2 16 2 82 4 1 22 SOLUCIÓN

6 4 3 4 2 16 2 82 4 1 22 5 6 4 3 4 2 1222 4 1 22 5 6 4 6 1 22 564614

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación internos. • Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación externos. • Simplifique las expresiones con exponentes.

• Realice la multiplicación y la división. • Realice la suma.

5114 55

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones

EJERCICIOS 1.4

APLIQUE LO APRENDIDO

Reescriba cada expresión como una expresión con exponentes.

5325(

1. Nueve a la quinta potencia.

532

)

• Simplifique las expresiones con exponentes.

• Realice la multiplicación y la división.

2. Nueve a la cuarta potencia. 5

4. b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b

3. Siete a la n potencia.

• Realice la suma y la resta.

Indique si la expresión es verdadera o falsa.

Simplifique utilizando el orden de las operaciones.

5. (25) , 25 y 2(5) representan todas el mismo número.

29. 4 2 8 4 2

30. 3 ? 22 2 3

6. La expresión 94 está en forma exponencial.

31. 2(3 2 4) 2 (23)2

32. 16 2 32 4 23

7. Evaluar la expresión 6 1 7 ? 10 significa determinar a qué es igual un número.

33. 24 2 18 4 3 1 2

34. 8 2 (23)2 2 (22)

35. 16 1 15 4 (25) 22

36. 14 2 22 2 0 4 2 7 0

8. El orden o jerarquía de las operaciones se utiliza para números naturales, números enteros, números racionales y números reales. ? y 2 se 9. En la expresión (25)2, 25 se llama el ? . Para evaluar (25)2, calcule el producto llama el ? . ( ? )( ? ) = ? potencia de ? ” 10. La expresión 42 se lee “la 3 ? o “cuatro ”. Para evaluar 4 , calcule el producto ? . ( ? )( ? )( ? ) =

37.

16 2 4 12102 1 1222 61 2 22 38. 0 0 4 2 2 4 2 12 62 2 30

39. 222 1 4316 4 (3 2 5)4

40. 0,3(1,7 2 4,8) 1 (1,2)2

41. 96 4 2312 1 (6 2 2)4 2 33 42.

12. 272 1 2 15. a b 2

14. (23)4 17. 2 ? (23)

13. (23)2 16. (0,3)2

18. 2 ? 3 ? (24)

2 2 1 21. a b # # 33 3 4

20. (0,3)3 ? 23

2 2 19. a b # 33 3 3 2 22. a b # 23 # 1242 4

Resuelva los ejercicios 23 y 24 sin encontrar realmente los productos. 23. ¿La quinta potencia de dieciocho negativo es positiva o negativa?

3 5 2 4 ` 1 ` 8 6 3

43. 4 ? 316 2 (7 2 1)4 4 10

44. 18 4 0 9 2 23 0 1 (23)

45. 16 4 2 2 42 2 (23)2

46. 16 2 3(8 2 3)2 4 5

47. 4(28) 4 32 (7 2 3)2 4

3 2 1 3 3 48. a b 2 a b 4 4 2 5

Evalúe. 11. 62

49. 16 2 4 #

33 2 7 2 1222 2 23 1 2

50. 3 2 38 2 (3 2 2)4

51. (1,65 2 1,052)2 4 0,4 1 0,8 52. 24 4

32 2 1252 825

53. ¿Cuál expresión es equivalente a 9 2 22 (1 2 5)? a. 72 (24)

b. 5 (24)

c. 9 2 4 (24)

d. 9 1 4 (24)

54. ¿Cuál expresión es equivalente a 15 1 15 4 3 2 42?

24. ¿El producto 2(32)(253) es positivo o negativo?

a. 30 4 3 2 16

b. 15 1 5 2 16

25. ¿Por qué necesitamos un orden de las operaciones?

c. 15 1 5 1 16

d. 15 1 15 4 (21)2

26. Describa cada paso del orden de las operaciones. 27. Simplifique: 2(33) 2(33) 5 2 5

? ?

)

• Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice la multiplicación y la división.

28. Simplifique: 3 2 5(6 2 8)2 3 2 5(6 2 8)2 5 3 2 5 (

)2 • Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación.

55. Utilizando el orden de las operaciones, describa cómo simplificar el ejercicio 54. Coloque entre los dos números el símbolo correcto, * o +. 56. (0,9)3 15

57. (–3)3 (–2)5

58. (–1,1)2 (0,9)2

59. Computadoras Una computadora con un procesador Intel Core i7* puede procesar aproximadamente 76.400 millones de instrucciones por segundo. Al segundo más cercano, ¿cuántos segundos se necesitarían para que esta computadora realizara 1012 operaciones?

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Fundamentos de conjuntos numéricos

60. ¿En cuál columna está el número un millón, en la columna A, en la B o en la C? A B C 1 8 27 64 125 216 . . . . . . . . . 61. Encuentre un número racional, r, que satisfaga la condición. a. r2 , r

b. r2 5 r

c. r2 . r

66. Calculadoras ¿Su calculadora utiliza el orden de las operaciones? Para averiguarlo, intente resolver este problema: 214?7 Si su respuesta es 30, entonces la calculadora utiliza el orden de las operaciones. Si su respuesta es 42, no emplea ese orden. Incluso si su calculadora no utiliza el orden de las operaciones, aun así puede evaluar correctamente las expresiones numéricas. Las teclas de paréntesis y se utilizan para este propósito.

62. La suma de dos números naturales es 41. Cada uno de los dos números es el cuadrado de un número natural. Encuentre los dos números.

Recuerde que 2 1 4 ? 7 significa 2 1 (4 ? 7) debido a que la multiplicación se debe realizar antes de la suma.

Determine los dígitos uno cuando se evalúa la expresión.

a. 3 ? (15 2 2 ? 3) 2 36 4 3

63. 34202

b. 4 ? 22 2 (12 1 24 4 6) 2 5

CAPÍTULO

64. 23502

65. 27622

Evalúe.

EJERCICIOS DE REPASO

19. Sume: 13 1 (216) 20. Encuentre el complemento de un ángulo de 56°. 2 7 21. Sume: 2 1 5 15 22. Evalúe: (233) ? 22 7

23. Exprese como porcentaje 2 9 . Redondee a la décima más cercana de un porcentaje. 24. Exprese como decimal 240%. 25. Evalúe: Z 23 Z

7. Exprese como porcentaje 0,672.

1 8. Exprese como fracción 79 2%.

26. Exprese como porcentaje 13 . Exprese el residuo como fracción.

9. Divida: 272 4 8

27. Dado que C 5 5212, 28, 21, 76, encuentre:

10. Exprese como decimal 17 . 20

5 5 11. Divida: 4 a2 b 12 6 12. Simplifique: 32 2 4 1 20 4 5 13. Multiplique: (25)(26)(3)

a. El opuesto de cada elemento del conjunto C. b. El valor absoluto de cada elemento del conjunto C. 7 28. Exprese como decimal 11 . Coloque una barra arriba de los dígitos periódicos del decimal.

14. Reste: 6.039 2 12.92

29. Divida: 0,2654 4 (20,023). Redondee a la décima más cercana.

15. Dado que A 5 525, 23, 06, ¿cuáles elementos del conjunto A son menores o iguales que 23?

30. Simplifique: (7 2 2)2 2 5 2 3 ? 4

16. Exprese como decimal 7%. 3# 2 142 17. Evalúe: 4 18. Coloque entre los dos números el símbolo correcto, , o .. 22 240

31. Sume: 212 1 8 1 (24) 5 1 32. Sume: 2 1 8 6 33. Dado que D 5 5224, 217, 29, 0, 46, ¿qué elementos del conjunto D son mayores que 219? 34. Exprese como porcentaje 0,002.

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones

41. Temperatura Calcule la temperatura después de un aumento de 14 °C desde 26°C.

1 2 35. Evalúe: 242 # a b 2 36. Sume: 21,329 1 4,89 38. Reste: 25 2 22 2 (213) 2 19 2 (26)

42. Temperatura Las temperaturas bajas diarias en grados Celsius, para un periodo de tres días, se registraron como sigue: 28°, 7°, 25°. Calcule la temperatura baja promedio para el periodo de tres días.

1 4 3 39. Multiplique: a b a2 b a b 3 5 8 40. Coloque entre los dos números el símbolo correcto, , o .. 243 234

43. Temperatura Utilice la tabla para encontrar la diferencia entre la temperatura alta récord y la temperatura baja récord para enero en Bismarck, Dakota del Norte.

37. Evalúe: 2Z 17 Z

Bismarck, Dakota del Norte Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Sept

Oct

Nov

Dic

Alta récord

63 °F (2002)

69 °F (1992)

81 °F (2007)

93 °F (1992)

102 °F (1934)

111 °F (2002)

114 °F (1936)

109 °F (1941)

105 °F (1959)

95 °F (1963)

79 °F (1999)

66 °F (1939)

Baja récord

245 °F (1916)

245 °F (1936)

236 °F (1897)

212 °F (1975)

13 °F (1907)

30 °F (1969)

32 °F (1884)

32 °F (1911)

10 °F (1876)

210 °F (1991)

230 °F (1985)

243 °F (1967)

Fuente: www.weather.com Ejercicio 43

12 2 4 26 32 2 1 5 3 55. Divida: 2 4 a2 b 8 4 3 56. Exprese como porcentaje 13 . Redondee a la décima más cercana de un porcentaje. 54. Simplifique: 8 1

44. Temperatura Calcule la temperatura después de un aumento de 7 °C desde 213 °C. 45. Temperatura La temperatura en la superficie de Venus es 480 °C. La temperatura en la superficie de Plutón es 2234 °C. Calcule la diferencia entre las temperaturas en la superficie de Venus y de Plutón.

57. Exprese como decimal 6,2%. 46. Exprese como fracción 55% .

58. Reste: 13 2 (25) 2 4

47. Dado que B 5 528, 26, 24, 226, ¿cuáles elementos del conjunto B son menores que 25? 2 3 48. Multiplique: a2 b 4 21 49. Divida: 275 4 5 2 3 50. Evalúe: a2 b # 32 3 51. Sume: 27 1 (23) 1 12 4 5 52. Reste: 2 2 9 6 53. Calcule el área de un paralelogramo cuya base es 10 cm y cuya altura es 9 cm.

59. Exprese como decimal 13 . Coloque una barra encima de 30 los dígitos periódicos del decimal. 60. Multiplique: (20,9)(2,7) 61. Encuentre el complemento de un ángulo de 28°. 62. Evalúe: 22 ? (24)2 ? 10 63. Evalúe: 2Z 234 Z 64. Temperatura Calcule la temperatura después de un aumento de 12 °C desde 28 °C. 65. Temperatura Utilice la tabla para calcular el promedio de las temperaturas bajas récord en Fairbanks, Alaska, para los cuatro primeros meses del año.

Fairbanks, Alaska Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Sept

Oct

Nov

Dic

Alta récord

50 °F (1981)

47 °F (1987)

56 °F (1994)

74 °F (1960)

89 °F (1960)

96 °F (1969)

94 °F (1975)

93 °F (1994)

84 °F (1957)

65 °F (1969)

49 °F (1997)

44 °F (1985)

Baja récord

261 °F (1969)

258 °F (1993)

249 °F (1956)

224 °F (1986)

21 °F (1964)

30 °F (1950)

35 °F (1959)

27 °F (1987)

3 °F (1992)

227 °F (1975)

246 °F (1990)

262 °F (1961)

Fuente: www.weather.com Ejercicio 65

66. Recreación El Departamento de recreación de una ciudad está cercando un campo de juego que mide 150 por 200 pies con una nueva cerca que cuesta $6,52 por pie. Calcule el costo de la nueva cerca. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

PRUEBA SABER MATE 8 t CAPÍTULO 1

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

Gato:

5 8

Oveja:

5 6

1 8

Armadillo:

S 2. En una institución educativa se realizó una encuesta sobre los hábitos de uso de Internet de los estudiantes. Una de las conclusiones a las que se llegó después de analizar los datos recolectados indicó que los niños menores de 13 años ingresan a la Red 5,5 h al día, y del tiempo que están en Internet por lo general el 63% lo dedican a revisar redes sociales.

Perezoso:

Elefante 1 asiático: 6

A. El elefante duerme más horas al día que el perezoso, ya que el elefante duerme 6 h y el perezoso 5 h. B. El gato duerme más horas al día que el cerdo, ya que el gato duerme 15 h y el cerdo 12 h. C. El perezoso duerme más horas al día que el elefante, ya que el perezoso duerme 21 h y el elefante 4 h. D. El gato duerme más horas al día que el cerdo, ya que el gato duerme 15 h y el cerdo 13 h.

1 2

De acuerdo con la información podemos afirmar que:

3 4

Gorila:

11 12

Koala:

13 24

Cerdo:

R 1. El descanso es importante para mantener una buena salud. Una forma de descanso es dormir. Para los seres humanos se recomienda dormir, en promedio, 8 h diarias; sin embargo, se ha preguntado, ¿qué cantidad de tiempo duermen los animales? En la imagen de cada animal se muestra la fracción del día que destina para dormir.

¿Qué tiempo dedican los estudiantes menores de 13 años pertenecientes a la institución, para revisar redes sociales? A. Tres horas. B. Menos de tres horas y media. C. Más de tres horas y media. D. Cinco horas y media.

PRUEBA SABER MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

PRUEBA SABER MATE 8 t CAPÍTULO 1

simplifique hasta su mínima expresión.

A. − 1

x 0

−1 −2 −3

D. 49,1 u2

A. 26 dam

S 4. En el estanque de la finca del abuelo hay un caracol que quiere salir de allí. Cada día sube 23 m y en la noche se resbala 29 m. Si la altura del estanque es de 2 m, ¿cuántos días tardará el caracol en llegar a la orilla?

B. 13 dam C. 13 dam2

B. 5 días

C. 30,2 u2

C. 6 días

D. 1 6

D. 7 días

1 R 5. En un curso de séptimo grado, 3 de los estudian1 tes tienen smartphone marca Huawei*, 12 tienen 1 Iphone* y 2 tienen un Samsung*; el resto de los estudiantes no tienen smartphone. Si en el curso hay 36 estudiantes, ¿cuál es la fracción de los estudiantes que no tienen smartphone y a cuántos equivale?

A. La fracción es 11 12 y corresponde a 3 estudiantes. 1 B. La fracción es 12 y corresponde a 1 estudiante. 1 C. La fracción es 12 y corresponde a 3 estudiantes. 2 D. La fracción es 12 y corresponde a 2 estudiantes.

D. 19,5 dam R 8. Notas musicales. Las notas empleadas en la música tienen valores fraccionarios. En la ilustración (a) se muestran sus nombres y los símbolos utilizados para representarlas. En tiempo ordinario, los valores de las notas en cada compás deben sumar 1 para estar completo. Fernando afirma que el compás de la figura (b) está completo. a.

Medio tiempo

Un cuarto

Un octavo

Un dieciseisavo

A. 4 días

B. 36,5 u2

A. 81,6 u2

C. −2

M 7. Fernando compró un lote cuadrado como el de la figura. El número representa su área en decámetros cuadrados. Sin embargo, aún no tiene suficiente dinero para empezar a construir, razón por la cual debe cercarlo con una vuelta de 169 alambre. La cantidad de decá4 metros de alambre que necesita Fernando para cercar el terreno es:

−1

B. − 2

S 6. Resuelva usando propiedades

−2

1 3 2 4 1 2 2 u 3 u 2 2 3 1 5 3 2 u

M 3. El área de la figura sombreada de azul es:

Esta afirmación es: A. Incorrecta porque al sumar los valores de las notas da menor que 1. B. Correcta porque al sumar los valores de las notas da mayor a 1. C. Incorrecta porque al sumar los valores de las 4 notas da igual a 30 . D. Correcta porque al sumar los valores de las notas da igual a 88 = 1.

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

PRUEBA SABER MATE 8 t CAPÍTULO 1

S 11. Un ingeniero utiliza la aplicación Smart Thermometer* para registrar la temperatura de un componente químico. Si la temperatura inicial era de 190 °F a las 3:00 p. m., y al ser refrigerado, su temperatura empezó a bajar 2 °F por minuto hasta las 3:45 p. m., podemos afirmar que la temperatura del componente químico a las 3:45 p. m. es:

R 9. Día sin IVA. Tras la llegada del coronavirus a Colombia en marzo de 2020, casi todos los sectores económicos tuvieron que cerrar como medida de contención para la pandemia que ya afectaba a casi todo el mundo. Con los cierres, las cuarentenas y el miedo al contagio el comercio tuvo una fuerte caída que se extendió todo el primer semestre del año, por lo cual el Gobierno Nacional creó la estrategia de los días sin IVA para incentivar las compras de los colombianos. Francy, desea comprar una nevera el próximo día sin IVA como la que aparece en la imagen y cuenta con $3.000.000. Su esposo afirma que no la puede comprar porque no le alcanza el dinero. La afirmación del esposo es: A. Correcta porque el descuento es de $190.000 únicamente. B. Incorrecta porque sí le alcanza el dinero. C. Correcta porque no le alcanza el dinero. D. Incorrecta porque el descuento es de 600.000.

A. 90 °F

B. −90 °F

C. 100 °F

D. −100 °F

M 12. Tres vacas están comiendo pasto en un terreno rectangular, amarradas cada una a los puntos A, E y F, respectivamente. Si ya se comieron todo el pasto hasta donde el lazo les permitió (vea la imagen), el terreno que cuenta aún con pasto corresponde a: y 7

M 10. El área del triángulo ABC está entre: y

1 C

B −1

−1

A. 48 − 12 u2 C. 40 − 9 u2

B. 48 − 4 u2 D. 48 − 27 u2

A. 10 y 11 u2 B. 5 y 6 u2 C. 9 y 10 u2 D. 6 y 7 u2

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* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.