Pensamiento matemático II by Cengage

Pensamiento

matemático II Patricia Ibáñez Carrasco

PROPUESTA

NEM MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.22/12/2023

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MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.22/12/2023

Pensamiento matemático II

Autores de propuesta pedagógica Verónica Flores Cortés Arturo Flores Cortés

Pensamiento matemático II Patricia Ibáñez Carrasco Autores de propuesta pedagógica: Verónica Flores Cortés Arturo Flores Cortés

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

Pensamiento matemático II,

Primera edición

una Compañía de Cengage Learning, Inc.

Patricia Ibáñez Carrasco Directora Higher Education Latinoamérica: Lucía Romo Alanis

Av. Andrés Molina Enríquez 354, Primer piso, Oficina “A”, Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón

Editor: Alejandro Nava Alatorre

Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en

Propuesta pedagógica:

cualquier forma o por cualquier medio, ya sea

Verónica Flores Cortés

gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,

Arturo Flores Cortés

pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,

Coordinador de manufactura:

reproducción, escaneo, digitalización,

Rafael Pérez González

grabación en audio, distribución en internet,

Diseño de portada y diseño de

almacenamiento y recopilación en sistemas

interiores:

distribución en redes de información o de información a excepción de lo permitido

Punto 5

en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal

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del Derecho de Autor, sin el consentimiento

Jiris / Punto 5

por escrito de la Editorial.

Composición tipogrĽɫca: Punto 5

Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia Pensamiento matemático II Primera edición ISBN: 9786075701950 Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com

Publicad

Contenido

Contenido Unidad 1. Lenguaje algebraico y operaciones básicas ......................2 Diagnóstico ....................................................................... 4 Activación ......................................................................... 6 Introducción ........................................................................................ 6 Desarrollo ............................................................................................ 7 Tema 1. La representación matemática de nuestro entorno ............................. 12 Tema 2. Introducción a los conjuntos........................................................16 Tema 3. Los números naturales ............................................................. 25 Tema 4. Los números enteros................................................................ 27 CIERRE ............................................................................. 35 Valoración ........................................................................ 37 Progreso .......................................................................... 41

Unidad 2. Números enteros ......................................................... 42 Diagnóstico ...................................................................... 44 Activación ........................................................................ 46 Introducción ...................................................................................... 46 Desarrollo .......................................................................................... 47 Tema 1. Los polinomios: una estructura algebraica similar a la de los enteros .......................................................... 48 Tema 2. Divisibilidad........................................................................... 54 Tema 3. Números primos ..................................................................... 59

CIERRE .............................................................................70 Valoración ........................................................................ 71 Progreso .......................................................................... 73

Unidad 3. Resolviendo situaciones ............................................... 74 Diagnóstico ...................................................................... 76 Activación ........................................................................ 78 Introducción ...................................................................................... 78 Desarrollo .......................................................................................... 79 Tema 1. Los números racionales ............................................................. 82 Tema 2. Números reales ...................................................................... 93 Tema 3. Proporciones ......................................................................... 98 CIERRE ............................................................................109 Valoración ....................................................................... 110 Progreso ......................................................................... 113

Pensamiento matemático II

Unidad 4. Geometría ................................................................. 114 Diagnóstico ..................................................................... 116 Activación ....................................................................... 118 Introducción ......................................................................................118 Desarrollo ..........................................................................................119 Tema 1. Áreas y perímetros ...................................................................121 Tema 2. Congruencia y semejanza de triángulos ........................................ 128 Tema 3. Teoremas de geometría plana .................................................... 139 CIERRE ........................................................................... 145 Valoración ...................................................................... 147 Progreso ......................................................................... 151

Unidad 5. Aplicaciones de la geometría analítica .......................... 152 Diagnóstico .................................................................... 154 Activación ...................................................................... 156 Introducción ..................................................................................... 156 Desarrollo ......................................................................................... 157 Tema 1. Conceptos de geometría analítica ................................................ 159 Tema 2. Áreas y perímetros ................................................................. 170 Tema 3. %ráïcas de ecuaciones............................................................ 176 CIERRE ........................................................................... 183 Valoración ...................................................................... 184 Progreso ........................................................................ 187

Unidad 6. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones .......................................................... 188 Diagnóstico .....................................................................190 Activación .......................................................................192 Introducción ..................................................................................... 192 Desarrollo ......................................................................................... 193 Tema 1. Sistemas de ecuaciones ........................................................... 194 Tema 2. Inecuaciones y teorema fundamental de la programación lineal ......................................................... 201

CIERRE ........................................................................... 219 Valoración ...................................................................... 220 Progreso ........................................................................ 222

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Conoce tu libro

CONOCE TU LIBRO Unidad 1 Lenguaje algebraico y operaciones básicas

7HPD (VSHF®ƬFR Manejo de números enteros y su representación algebraica.

Progresiones: 6. Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad.

7. Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra buscamos la expresión adecuada al problema que se pretende À Ã³¨Û À ƪËÈ ¨ çv³Ã ¨v á½À Ã ´® Ã ½¨ ï v vƜ ¨v expresión desarrollada de un número, la expresión factorizada, productos notables, según nos convenga).

Progresiones:

Entrada de unidad. Conocerás las progresiones de aprendizaje que serán abordadas en la unidad correspondiente.

8. Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas en los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y expresiones del lenguaje simbólico del álgebra.

La evaluación diagnóstica será útil para ®È ï vÀ ÈËÃ ³®³ ®È³Ã ½À Û ³Ãƛ

Encontrarás varias actividades donde tendrás ¨ Ã½v ³ ÃËï ®È ½vÀv escribir tus respuestas o realizar tus operaciones.

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Pensamiento matemático II

Podrás orientarte con los ejemplos.

Las actividades PARA PRACTICAR serán útiles para reforzar tus conocimientos adquiridos y descubrir lo que todavía no tienes claro respecto a algún concepto.

La sección CONEXIÓN puntualiza la interacción con otras áreas del conocimiento, es decir, lo que se denomina transversalidad.

Conoce tu libro

Responder las preguntas de la sección VALORACIÓN te ayudará a valorar lo que has aprendido para aprovecharlo mejor durante tu proceso educativo.

Registrar en la sección PROGRESO lo que consideras que has aprendido, te ayudará a vËÈ³ Ûv¨ËvÀÈ â ï® À ¨³Ã vÃ½ È³Ã ³® puedes mejorar. Recuerda que compartir tus valoraciones permitirá que obtengas retroalimentación para entender mejor cómo va tu aprendizaje.

Habilidades socioemocionales En estas actividades se exponen aspectos socioemocionales acerca del trabajo realizado, ³® ¨ ï® À ÈÀ³v¨ ®ÈvÀ ¨ v½À ® çv¦ considerando la diversidad de ideas, equidad de género y otros aspectos importantes que fomentan un aprendizaje integral y humanista.

Habilidades Socioemocionales

Pensamiento matemático II

Introducción Agrupar objetos en conjuntos de acuerdo con ciertas características que comparten es una actividad que realizamos días tras día, en este caso, en las matemáticas, es algo que también se realiza. Hay conjuntos de números, de expresiones algebraicas, de rectas, de polígonos, de funciones, entre otros. Y el poder coleccionarlos nos permite hacer un estudio más organizado de sus elementos. En este libro estudiarás diferentes conjuntos, sus propiedades, los algoritmos de las operaciones suma y multiplicación, las diferentes formas en las que puedes representarlos y cómo cambiar de una forma de denotarlos a otra. De esta manera creemos que te será más fácil pasar de una rama de las matemáticas a otra, porque el contenido de este texto irá desde la aritmética hasta la geometría analítica pasando por el álgebra y la geometría plana. Estudiando algunos de los teoremas más importantes, como el teorema fundamental de la aritmética y el teorema fundamental de la programación lineal. A la par de estudiar la teoría matemática también estudiarás sus aplicaciones en el pasado y en el presente con miras en el futuro. Desde saber cómo gracias a la geometría se han construido túneles que nos permiten transportar el agua o construir edificios que nos protegen de los fenómenos naturales, hasta saber cómo el álgebra nos sirve para optimizar procesos y saber las ganancias máximas que puede tener una empresa al vender un producto. Parte del contenido girará en torno al concepto de abstraer, queremos que ejercites esta capacidad innata del ser humano, que te permita comprender las matemáticas no solo superficialmente, sino que desarrolles el pensamiento matemático para aplicarlo a cualquier situación o problema, no sólo de esta área sino de otras materias y actividades que realices. Que te motive a querer conocer más del mundo que te rodea, que te provoque a cuestionar, a indagar y a investigar. Que sea un impulso para querer crear. Te recomendamos reforzar tu aprendizaje mediante aplicaciones o sitios web con prácticas y simuladores. Algunas sugerencias son: Geogebra, Geometry mathematics, Arloon Geometry, Euclidea, Microsoft math, Khan Academy, Rey de las matemáticas y Phet.colorado.edu

1 En este libro, las progresiones que dirigirán tu aprendizaje durante es te semestre son: 1. Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad. 2. Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra buscamos la expresión v Ëv v v¨ ½À³ ¨ v ¿Ë Ã ½À È ® À Ã³¨Û À ƪËÈ ¨ çv³Ã ¨v á½À Ã ´® Ã ½¨ ï v vƜ ¨v á½À Ã ´® ÃvÀÀ³¨¨v v Ë® número, la expresión factorizada, productos notables, según nos convenga). 3. Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas en los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y expresiones del lenguaje simbólico del algebra. 4. Explica algunas relaciones entre números enteros utilizando conceptos como el de divisibilidad, el de número primo o propiedades generales sobre este conjunto numérico, apoyándose del uso adecuado del lenguaje algebraico. 5. Conceptualiza el máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números enteros y los aplica en la resolución de problemas. 6. Revisa desde una perspectiva histórica al conjunto de los números reales, comenzando con la consideración de números decimales positivos hasta llegar a la presentación de la estructura de campo ordenado de los números reales. 7. L ÃË ¨Û Ã ÈËv ³® Ãư½À³ ¨ v Ã ® ï vÈ ÛvÃ ½vÀv ¨ ÃÈË v®Èv ³ ¿Ë ®Û³¨Ë À ® ¨ ÃÈË ³ ½À³½³À ³®v¨ v tanto directa como inversa, así como también el estudio de porcentajes, empleando la estructura algebraica de los números reales. 8. Ã ËÈ ¨v ³® ³Àv ´® Ë® ½À³â È³ Û v ³®Ã Àv® ³ ¨ ®È³Ã wÃ ³Ã ¨v vÈ wÈ v ï®v® Àv Èv¨ Ã como interés simple y compuesto, ahorros y deudas a través de la aplicación de la estructura algebraica de los ®Ì À³Ã À v¨ Ã â ³® ¨v ï®v¨ v ½À³³Û À ¨v È³v Ã ³® Ã wÃ Àvç³®v vÃƛ 9. ³® ½ÈËv¨ çv ¨ wÀ v Ë®v ÃË½ Àï â Ë ´ÀË¨vÃ ½vÀv v¨ Ë¨vÀ wÀ vÃ ï ËÀvÃ ³ ÈÀ vÃ Ã ½¨ Ã ³³ rectángulos, triángulos, trapecios, etc., utilizando principios y propiedades básicas de geometría sintética. 10. Revisa el teorema del triángulo de Napoleón, considerándolo como un problema-meta en el que se aplican resultados de la geometría euclidiana como: Teorema de Pitágoras, criterios de congruencia y semejanza de triángulos, caracterizaciones de cuadriláteros concíclicos, entre otros. 11. Emplea un sistema de coordenadas y algunos elementos básicos de geometría analítica como la distancia entre dos ½Ë®È³Ã ® ¨ ½¨v®³ ½vÀv v¨ Ë¨vÀ wÀ vÃ ï ËÀvÃ ³ ÈÀ vÃ wÃ vÃ â ³½vÀv ÃÈ³Ã À ÃË¨Èv ³Ã ³® ¨³Ã w¨ Ë¨³Ã obtenidos empleando principios básicos de geometría sintética. 12. 9³ ¨v Ã ÈËv ³® Ã â À ÃË ¨Û ½À³ ¨ vÃ Ã ® ï vÈ Û³Ã ½vÀv ¨ ÃÈË v®Èv ³ Èv®È³ v® Àv v¨ Àv v ³³ geométrica al aplicar propiedades básicas de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales. 13. Resuelve problemáticas provenientes de las áreas del conocimiento que involucren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y considera una interpretación geométrica de estos sistemas 14. Modela situaciones y resuelve problemas en los que se busca optimizar valores aplicando el teorema fundamental de la programación lineal y combinando elementos del lenguaje algebraico que conciernen al estudio de desigualdades y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Unidad 1 Lenguaje algebraico y operaciones básicas

7HPD (VSHF®ƬFR Manejo de números enteros y su representación algebraica.

Progresiones: 1. Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad.

2. Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra buscamos la expresión adecuada al problema que se pretende À Ã³¨Û À ƪËÈ ¨ çv³Ã ¨v á½À Ã ´® Ã ½¨ ï v vƜ ¨v expresión desarrollada de un número, la expresión factorizada, productos notables, según nos convenga).

Progresiones: 3. Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas en los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y expresiones del lenguaje simbólico del álgebra.

Pensamiento matemático II

Diagnóstico Para iniciar a estudiar y aprender los conceptos de esta unidad es importante que tanto el estudiante como el docente valoren sus aprendizajes previos, en particular, aquellos ¿Ë ¨ Ã Ã Àw® ® ÃvÀ ³Ã ½vÀv ³½À ® À ¨vÃ ï® ³® ÃƜ È ³À vÃ â ½À³ ¨ vÃ ¿Ë Ã verán a lo largo de esta unidad.

De forma individual realiza la evaluación diagnóstica, haz uso de tus conocimientos previos, de tu observación y de tu creatividad para responder correctamente. Después, en parejas y con ayuda de su docente evalúense. 1. ¿Para qué crees que sirve un sistema de numeración?

2. ¿Qué sistemas de numeración conoces?

3. ¿Sabes cuál o cuáles son los que utilizamos en la actualidad?

4. ¿Qué conjuntos de números conoces?

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

5. Si no recuerdas sus nombres, escribe al menos cinco ejemplos de números.

6. ƣ À Ã ¿Ë È³ ³Ã ¨³Ã ³®¦Ë®È³Ã Ã³® ï® È³ÃƢ À Ë ®Èv ÈË À Ã½Ë ÃÈvƛ

7. ¿Qué formas de representación de conjuntos conoces?

8. Menciona tres conjuntos de algo que te interese, por ejemplo, el conjunto de las mejores 10 películas de terror de la actualidad. a) b) c) 9. Menciona tres conjuntos de algo que hayas aprendido en otra materia, por ejemplo, el conjunto de los insectos polinizadores que hay en México. a) b) c) 10. ƣOv Ã ¿Ë Ã Ë® v¨ ³À È³Ƣ *®È ®Èv ï® À¨³ ³® ÈËÃ ½v¨v ÀvÃƛ

Pensamiento matemático II

Activación Estás por iniciar a estudiar la primera unidad del libro Pensamiento Matemático II donde conocerás qué es un sistema de numeración, algunos de los sistemas más conocidos de civilizaciones pasadas como la maya y de su importancia en la antigüedad. Aprenderás a representar algún enunciado del español en el lenguaje matemático e interpretar alguna expresión matemática. Conocerás múltiples conceptos y definiciones que te permitirán resolver operaciones entre conjuntos; así como operaciones entre los elementos de estos conjuntos y otros aprendizajes. Recuerda que el objetivo de esta unidad no es únicamente que aprendas los conocimientos matemáticos, también es de suma importancia el trabajo en equipo, tanto con tu docente como con tus compañeras y compañeros. No siempre es fácil asimilar los nuevos conceptos en solitario. Cuando escuchamos otro punto de vista o se nos explica desde otra perspectiva, donde nos comparten ejemplos que jamás habíamos imaginado, todo esto nutre nuestro aprendizaje. Otro de los objetivos es que seas capaz de aplicar los aprendizajes adquiridos en esta materia a otras áreas del conocimiento, como Cultura Digital y Humanidades. Por ejemplo, considera cómo el conocimiento del sistema binario puede ser útil en Cultura Digital, y siempre ten la confianza de preguntarle a tu docente sobre cualquier duda que tengas.

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

Desarrollo Podemos decir que los números son tan antiguos como la aparición del ser humano en la tierra. Probablemente, una vez que el ser humano empezó a habitar en la tierra fue necesario llevar un registro de lo que tenía o dejaba de tener. Por ejemplo, al principio, cuando era nómada, necesitaba saber cuántas armas tenía, cuántos hombres y mujeres había en su clan, cuántas pieles tenía, etc. Después, cuando se volvió sedentario, tuvo la necesidad de saber cuántos animales poseía, cuántos arados, cuántos hijos e hijas, cuál era la extensión de sus tierras. En un principio este registro se llevó a cabo con métodos muy rudimentarios y diversos, tales como colectar piedras en un costal o marcas en una tablilla de arcilla, métodos que en algún momento se volvieron obsoletos e inadecuados, pues el costal sería muy pesado y la tablilla de arcilla muy grande, razón por las cuales las formas de registro cambiaron; se construyó un conjunto de símbolos para representar una cantidad, en ese momento surgieron los conceptos de dígitos y de sistemas de numeración. Es normal pensar que la representación de números y la creación de sistemas de numeración depende del lugar y el momento en el que se originaron. Como te puedes imaginar, algunos sistemas de numeración son más prácticos que otros, en ocasiones depende incluso de lo que queremos contar, pueden ser las estrellas en una galaxia o los pétalos de una flor. Algunas culturas como la egipcia y la romana tuvieron sistemas de numeración que perduraron durante mucho tiempo, incluso en nuestra época usamos el sistema romano para escribir fechas; en la cultura maya, su sistema de numeración era tan avanzado que incluía al cero en sus dígitos, la numeración arábiga es la base de la numeración decimal, misma que usamos actualmente, el sistema binario es un sistema más actual, consta de sólo dos dígitos y es el sistema con el que los ordenadores trabajan. Una vez establecidos los dígitos y sistemas de numeración nos interesará determinar algoritmos para ejecutar operaciones entre los números, esta necesidad hace que prefiramos unos sistemas por encima de otros. Por supuesto que el objetivo principal de los sistemas de numeración es representar y entender el medio donde vivimos.

Pensamiento matemático II

Como ya mencionamos antes, es posible construir una infinidad de símbolos o dígitos para crear sistemas numéricos distintos, por ejemplo, en el sistema que manejamos actualmente (el decimal), para representar el número dos escribimos: 2, este mismo número en sistema romano es: II y en sistema maya es: ••. Puedes imaginar que no todos los sistemas numéricos sirven para lo mismo y que dependiendo del uso que se les quiera dar se les piden diferentes características, sin embargo, hay un par de ellas que todos los sistemas deberían de cumplir, ¿cuáles son?, los algoritmos para realizar operaciones y que los sistemas puedan representar o modelar el medio que nos rodea. Planteando esto, es conveniente hacernos algunas preguntas, ¿existe un sistema numérico mejor que todos?, ¿qué características son necesarias para garantizar que un sistema sea viable para una tarea en particular?, ¿se puede ir de un sistema a otro?, ¿todos los sistemas permiten algoritmos para hacer operaciones? Por supuesto que, inicialmente, tener sistemas de numeración distintos dependió de las civilizaciones, del lugar geográfico donde se desarrollaron, de las necesidades de cada civilización o incluso de las cosas que se querían entender. Actualmente, los distintos sistemas de numeración que existen se crearon dependiendo de las cantidades que se quieren representar, por ejemplo, es diferente representar la distancia entre dos galaxias o la cantidad de dinero que gana una persona en una jornada laboral. En algunos casos, es mejor idea usar el sistema binario que el decimal, o bien el sistema sexagesimal (base 60, con la que se mide el tiempo) en vez del decimal. En la actualidad, usamos distintos sistemas que nos ayudan a representar, estudiar o modelar nuestro medio ambiente. Cada sistema tiene algoritmos específicos para realizar operaciones con cantidades escritas con el mismo sistema.

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

ACTIVIDAD 1. Observa a tu alrededor y describe al menos cinco situaciones en la que sea necesario el uso de sistemas de numeración. Situación

Descripción

2. ¿Existe otra forma de representar numéricamente las situaciones que describiste?, ¿cuáles? Escríbelas a continuación.

Pensamiento matemático II

continuación 3. Desarrolla un sistema de numeración y, de ser posible, un algoritmo para ejecutar operaciones. Dibuja los símbolos que representarán tus dígitos (puedes elegir símbolos como este: -) y muestra la representación de los números del uno al diez.

4. Utiliza tu sistema de numeración para representar una suma cuyo resultado sea 18.

5. Comparte tus símbolos en plenaria e intenten entender los distintos sistemas sin previa explicación. Después, respondan lo siguiente.

a) ¿Cuáles son las diferencias entre sus sistemas de numeración?

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

continuación

b) ¿Les fue difícil entender el otro sistema?, ¿por qué?

c) ¿Todos expresaron de forma similar la suma de la actividad 4?, ¿cuáles fueron las principales diferencias y similitudes?

6. vÃw® ³Ã ® ÃËÃ ®Û ÃÈ v ³® Ã ½À Û vÃ â ® ¨ ÃvÀÀ³¨¨³ ¨vÃ v È Û v Ã v®È À ³À ÃƜ À ð á ³® ® ® ½¨ ®vÀ v Ã³ À ¨vÃ ½³Ã ¨ Ã ï Ë¨Èv Ã ¿Ë ® À ®ÈvÀ³® ¨³Ã ÃÈ³À v ³À Ã v¨ ÈÀvÈvÀ Ã ÀvÀ ¨³Ã sistemas de numeración antiguos.

7. Piensen en el sistema de numeración decimal (el que usan actualmente) y recuerden los algoritmos de las operaciones básicas que aprendieron. ¿Creen que se pueda crear algún algoritmo para operaciones básicas con su sistema? Descríbelo a continuación.

8. Si tu respuesta fue negativa, describe el por qué no es posible crear esos algoritmos.

Pensamiento matemático II Progresión 1

Tema 1. La representación matemática de nuestro entorno Piensa en la cantidad de satélites naturales que tiene el planeta tierra; es decir, solo podemos mencionar uno y ese es la Luna. Sabemos que el número que representa a esta cantidad es 1, ahora bien, piensa en la cantidad de corazones que tiene el ser humano, sabemos que el número que representa esta cantidad también es 1. Como puedes notar, el número 1 representa la cantidad uno, y esta puede cualquier cosa que deseemos: la cantidad de tareas que tiene una estudiante, la cantidad de hijos que tiene una persona, la cantidad de deportes que practica un ser humano, y así sucesivamente. De esta forma, el número 1 es una representación de la cantidad uno, por supuesto que en este caso estamos usando el sistema decimal, en el sistema que tú construiste en la actividad anterior puede tener otra representación. Quizá lo anterior te parece un poco obvio y es porque representar cosas por medio de símbolos gráficos es algo que hacemos cotidianamente, por ejemplo, cuando nos tomamos una fotografía aseguramos que somos nosotros, sin embargo, en realidad, la fotografía es una representación gráfica de nosotros. Según la RAE la definición de abstracción es “separar por medio de una operación intelectual una cualidad de la cosa en la que existe y considerarla aisladamente de esta cosa”, con esta definición podemos decir que asociarle un número a una cantidad es abstraer el concepto de cantidad por medio de un número, entonces, lo que hacemos al representar cantidades por medio de números es abstraer. Otros ejemplos son los mapas o planos para construir una casa u otra construcción, estos representan a ciudades, caminos o edificios. ¿En qué otro ejemplo piensas? ¿Te resulta complicado el concepto de abstraer?

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

De aquí en adelante podemos hacer una abstracción aún mayor, cuando nos refiramos a un número el cual no es necesario decir específicamente su valor, simplemente lo representaremos con una letra, digamos la letra a o alguna otra letra, pueden ser minúsculas o mayúsculas; sin embargo, se acostumbra que sean letras minúsculas. Esta idea de abstraer los números con letras, es decir, que ahora las letras representan números de los cuales no es necesario especificar, sirve para representar, abstraer, cantidades de nuestro entorno y así poder representarlo en lenguaje matemático, por ejemplo, si queremos escribir en lenguaje matemático la frase “ dos salarios mínimos son iguales a la renta que paga un trabajador”, lo primero que hay que hacer es determinar cuáles son las cantidades a las que se está refiriendo, la primera es clara, dos, la representamos con 2, la segunda es el salario mínimo, esta cantidad como no está especificada la representaremos con una letra, digamos la letra s y la tercer cantidad es el costo de la renta que paga el trabajador, de igual forma como no está especificada la representaremos con la letra r. De esta forma la frase queda representada en términos matemáticos de la siguiente forma:

2s r Es importante notar que la expresión matemática anterior también puede representar la frase “dos veces la edad de Saúl es igual a la edad de Roberto”. Por ello, podemos afirmar que este tipo de expresiones constituye una abstracción aún más amplia, dado que una misma frase puede representar expresiones distintas.

Pensamiento matemático II

Ejemplo Practiquemos con otro ejemplo, queremos escribir en términos matemáticos la frase: Brenda pagó cuatrocientos pesos por tres libretas y dos estuches de lápices de color.

* ®È ï¿Ë ³Ã ¨vÃ v®È v Ã ¿Ë v½vÀ ® ® ¨v ÀvÃ Ɯ ½Ë ® Ã À v®È v Ã ¿Ë v½vÀ ® ³ ®³ Ã½ ï v vÃƛ 4vÃ v®È v Ã ¿Ë v½vÀ ® explícitamente son; cuatrocientos, tres y dos, a estas cantidades las expresamos con los números que conocemos: 400, 3 y 2 respectivamente. Las cantidades que no aparecen explícitamente son: los costos de las libretas y de los estuches de lápices de color, a estas cantidades las expresaremos con las letras l y e respectivamente. Observa que en la frase está implícita una igualdad, se paga el costo de los productos y como se compraron dos cosas hay una suma en los precios de los objetos, por lo que la frase anterior se escribe en términos matemáticos de la siguiente forma: 3l 2e 400

Como te puedes dar cuenta el proceso de abstracción es algo que está en nuestra vida diaria y por lo tanto es algo que usaremos recurrentemente en matemáticas y en otras áreas del conocimiento, como en química, física o biología. Casi todos los conceptos a los que nos vamos a referir son el producto de la abstracción de nuestra realidad. Puede parecerte en un inicio complejo, pero no desesperes, poco a poco va a ser más claro.

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

PARA PRACTICAR Representa los siguientes enunciados con una expresión que los denote en el lenguaje matemático. Siempre puedes consultar los ejemplos del tema como un apoyo para responder los ejercicios de esta sección.Lanzar una moneda y un dado.

Enunciado

Enunciado en lenguaje matemático

a) El producto de dos números consecutivos es 132. b) El producto de tres números consecutivos es 6. ƫ 4v v vÛ Ã Ëv¨ v¨ Ëv Àv ³ ¨v v ÃË ò³ Dominique más 9. d) La esperanza de vida de las mujeres en México es igual a dos veces 30 más 17. e) Un número. f) Seis veces la edad del Sol.

1. Piensa en cinco ejemplos en los que apliques el concepto abstraer y escríbelos. Puede ser de cualquier área del conocimiento, como el arte o las ciencias sociales.

2. ¿Consideras que el concepto de abstraer Ã wÃ ¨vÀ³ ½vÀv È v ³ÀvƢ O ®³ Ã vÃ Ɯ ®È ®Èv ®È ï vÀ qué es lo que no logras comprender del todo y pregúntale a tu docente o a algún amigo o amiga que te ayude a comprender este concepto.

Pensamiento matemático II

Tema 2. Introducción a los conjuntos Siempre que hablamos de los compañeros de clase, de nuestra familia, los átomos que hay en el universo, las mascotas que tenemos, etc. estamos pensando en una colección de personas u objetos; en términos prácticos, a ese tipo de colecciones o agrupaciones de cosas u objetos les llamamos conjuntos. Como podrás imaginar, en matemáticas también existe este concepto. Podemos hablar de todos los símbolos o dígitos que tiene un sistema de numeración, de coleccionar todos los posibles números que existen, o bien de coleccionar todos los posibles triángulos que podemos dibujar. En los ejemplos anteriores se puede determinar que es posible construir conjuntos infinitos (que no terminan) y conjuntos finitos (que en algún momento terminan). Es claro que al referirse a conjuntos infinitos escribir explícitamente sus elementos es imposible, algo que sí es posible con conjuntos finitos. ¿Puedes contar a los integrantes de tu familia?, ¿puedes el número de átomos que hay en el universo? Piensa en otro par de ejemplos de conjuntos finitos e infinitos. Por este motivo es posible definir conjuntos de dos formas distintas, por comprensión y por extensión. De aquí en adelante cuando hablemos de conjuntos los escribiremos con letras mayúsculas, si queremos definir un conjunto nuevo escribiremos la letra mayúscula con la que lo queremos identificar seguido de un signo igual e inmediatamente de corchete, a los elementos que contiene el conjunto los llamaremos elementos del conjunto.

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

En los conjuntos definidos por extensión se tienen que escribir explícitamente los elementos del conjunto.

Ejemplo Supongamos que queremos escribir el conjunto de las vocales del idioma español. Como sabemos, las vocales son cinco, por eso decidimos escribir el conjunto por extensión, quedando de la siguiente forma: A {e,o,i,a,u} De esta forma estamos diciendo que la letra u, por ejemplo, pertenece al conjunto A

En los conjuntos definidos por comprensión debemos decir o describir una cualidad o característica de los elementos del conjunto.

Ejemplo Supongamos que queremos escribir al conjunto de los perros de México, Ã ® ÃÈ ³®¦Ë®È³ Ã ï® È³Ɯ Ã Ë® ³®¦Ë®È³ ³® Ë ³Ã ¨ ®È³ÃƜ Ã estima que en México existen 23 millones de perros, por eso preferimos ï® À ÃÈ ³®¦Ë®È³ ½³À ³½À ®Ã ´® ¨v Ã Ë ®È ³ÀvƝ B {Todos los perros de México} Ã Ɯ ÃÈv³Ã á½À Ãv® ³ ¿Ë Ɯ Ã È ® Ã Ë® ½ ÀÀ³ ³³ vÃ ³ÈvƜ ½ ÀÈ ® ce al conjunto B.

En el primer ejemplo puedes notar que el conjunto de las vocales también se puede definir por medio de comprensión, en general no hay una regla que nos diga siempre como debemos de definir los conjuntos, sin embargo, como ya se dijo anteriormente, definir un conjunto infinito por extensión es imposible o incluso cuando el conjunto es muy grande preferimos definirlo por compresión.

Pensamiento matemático II

Habrás notado que al igual que los números, los conjuntos también son una abstracción, sólo que estos son abstracción de una colección de objetos. Como los conjuntos son abstracciones de colecciones de elementos de nuestra vida cotidiana también tienen una interacción entre ellos, en matemáticas se les conoce como operaciones entre conjuntos. Definamos algunas de ellas y algunos de los conjuntos más importantes. Unión de conjuntos: Esta es una operación entre conjuntos que se representa con el símbolo F y arroja como resultado a otro conjunto, es decir, la unión de conjuntos es otro conjunto con la siguiente característica. A F B {Los elementos que están en A o están en B}

Ejemplo Supongamos que tenemos los siguientes conjuntos: A {1, a, •,x} y B {1, 2, •,x, p}, entonces la unión de A y B es: A F B {1, 2, a, •, x, p}

Una idea de visualizar este concepto es como si cada conjunto fuera una bolsa con objetos, la vaciamos en otra y esta nueva bolsa será la unión de esos conjuntos, si llegara a repetirse un objeto ya no lo contamos, como en el caso anterior se repiten el 1, •, x, sin embargo, no los escribimos dos veces. La idea de que un conjunto es una bolsa puede perder un poco de sentido cuando consideramos conjuntos infinitos ya que habría que considerar que la bolsa debería de ser infinita, pero como idea intuitiva nos servirá. Intersección de conjuntos: Es una operación entre conjuntos que se representa con el símbolo E y arroja como resultado otro conjunto, es decir, la intersección de conjuntos es otro conjunto con las siguientes características: A E B {Los elementos que están en A y en B}

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

Aunque en apariencia las dos definiciones parecen iguales no lo son, en la unión nos dice qué está en un conjunto o en el otro y en la intersección nos dice qué debe de estar en ambos conjuntos.

Ejemplo Consideremos a los conjuntos: A {a, 5, y z, f} y B={a, 6, y, b} la intersección de estos conjuntos es: A E B {a, y} fv ¿Ë Èv®È³ ¨v ¨ ÈÀv v â ¨v ï ËÀv y son elementos al de A y de B .

Como los conjuntos son objetos que usamos muy a menudo, es natural que intentemos dar interpretaciones que nos sean un poco más familiares. Puedes observar que, en general, cuando hacemos la unión de conjuntos, el nuevo conjunto resultante es más grande (tiene más elementos), mientras que cuando se hace la intersección de conjuntos, resulta un conjunto más pequeño (tiene menos elementos). Esta idea es válida cuando tenemos conjuntos finitos; sin embargo, ya para conjuntos infinitos, esta idea ya no necesariamente es cierta. ¿Qué pasa si unes dos conjuntos infinitos?, ¿qué pasa si intersecas dos conjuntos infinitos?, en cualquiera de los dos casos (aun variando los conjuntos) ¿siempre tendrás el mismo resultado? Es cierto que este libro no intenta profundizar en estos conceptos, sobre todo en el de infinito, pero es interesante que nos demos cuenta de que al hablar de infinitos las cosas ya no son tan predecibles, más adelante abordaremos de nuevo esta idea.

Pensamiento matemático II

Por último, definamos algunos conjuntos particulares que nos servirán en un futuro. Conjunto vacío: Es el conjunto que no tiene elementos. Por ejemplo, si se define A:

A {Elefantes que vuelan}

Es claro que no existen los elefantes que pueden volar, por lo tanto, este conjunto no tiene elementos. A este conjunto lo denotaremos por el símbolo . Conjunto total: Es el conjunto de los objetos que queremos estudiar, por ejemplo, si lo que queremos es estudiar a las personas del mundo, el conjunto serán exactamente las personas del mundo. Subconjunto: Dado un conjunto X , diremos que A es un subconjunto de X si todo elemento de A también es un elemento de X y lo denotaremos de la siguiente forma: A X.

Ejemplo O ï® ³Ã v¨ Ã Ë ®È ³®¦Ë®È³Ɲ X {Planetas del sistema solar} Un subconjunto es: A {Tierra, Saturno} Ã ÀƜ X . Como nos podemos dar cuenta hay más subconjuntos de X , ya que podríamos considerar a los subconjuntos que tienen un solo elemento, los que tienen dos elementos y así hasta llegar al subconjunto que tiene todos los elementos, si consideramos a un conjunto con una v®È v ï® Èv ¨ ®È³ÃƜ v³Ã n , ¿será posible determinar cuántos posibles subconjuntos se pueden construir?, si tenemos un conjunto ®ï® È³Ɯ ƣ Ëw®È³Ã ½³Ã ¨ Ã ÃË ³®¦Ë®È³Ã Ã ½Ë ® ³®ÃÈÀË ÀƢ

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

ACTIVIDAD Considera el sistema de numeración que inventaste al inicio de la unidad y realiza lo que se te indica en cada inciso. a) Ã À ÈË Ã ÃÈ v ®Ë Àv ´® ³³ Ë® ³®¦Ë®È³ ï® ³ ½³À áÈ ®Ã ´® â ½³À ³½À ®Ã ´®ƛ Por extensión:

Por comprensión:

b) Comparte tu sistema con otro estudiante; al conjunto que representa tu sistema llámalo A y al del otro estudiante B . Calcula A F B y A E B en el siguiente recuadro.

c) Escribe explícitamente todos los subconjuntos de tu sistema de numeración.

Complemento: El complemento de un conjunto A , lo denotaremos como Ac, es un subconjunto del conjunto total, que contiene a los elementos que están en X pero que no están en A .

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Ejemplo Consideremos al conjunto total X {Planetas del sistema solar} Y al conjunto A {Tierra, Venus, Urano} , así, el conjunto complemento de A es: Ac {Mercurio, Marte , Jupiter, Saturno, Neptuno}

Hagamos algunas aclaraciones con respecto a la teoría de conjuntos, la lógica es el fundamento de las matemáticas actuales y por lo tanto también lo es de los conjuntos, por esta misma razón es que se pueden asegurar que: todo conjunto es subconjunto de sí mismo, X X ,y el vacío es subconjunto de cualquier conjunto X . Es importante resaltar que para poder calcular el complemento de un conjunto es necesario especificar con respecto a qué conjunto total estamos calculándolo. Si bien el tema de conjuntos es un tema demasiado amplio, lo que aquí se plantea es con la intención de poder definir conceptos más formales en el futuro. Es normal que a esta altura te surjan muchas preguntas, no te sientas mal si en un inicio te cuesta entender los conceptos.

PARA PRACTICAR 1. En ½vÀ ¦vÃ ï®v® ½³À áÈ ®Ã ´® v v Ë®³ ¨³Ã Ã Ë ®È Ã ³®¦Ë®È³Ã ® ÃË Ëv À®³ƛ

a) El conjunto de alumnos que hay en mi salón de clases. b) El conjunto de mascotas que hay en mi casa. c) El conjunto de aplicaciones que tengo en mi celular.

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continuación 2. Escribe tres conjuntos por comprensión:

a) b) c) 3. Menciona tres ejemplos de conjuntos, ya sea por comprensión o por extensión que hayas estudiado en tu materia de Cultura Digital o de Humanidades.

a) b) c) 4. Define si el conjunto es finito o infinito. a) El conjunto de granos de arena en la Tierra. b) El conjunto de estrellas en el Sistema Solar. ƫ ¨ ³®¦Ë®È³ v®ï ³Ã ® 9 á ³ƛ d) El conjunto de números. e) El conjunto de idiomas en México. f) El conjunto de los números pares.

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continuación 5. En parejas, compartan sus respuestas del ejercicio 3 y comenten por qué eligieron esa respuesta. Si el concepto de infinito no les ha quedado claro o tienen algunas dudas, anótenlas para que se las puedan compartir a su docente.

Dudas:

6. Observa los elementos de cada conjunto y realiza las operaciones según corresponda. O v®Ɲ {2, 4, 6, 8, 10} y B {1, 3, 5, 7, 9}

a) A F B b) A E B c) B E A 7. ¿Crees que A F B es igual a B F A? Justifica tu respuesta.

8. ¿A E B será igual a B E A? Justifica tu respuesta.

9. Del conjunto infinito: A {Los números impares}, escribe tres de sus subconjuntos.

10. Del conjunto infinito: B {Los números pares} escribe tres de sus subconjuntos.

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Tema 3. Los números naturales Hasta aquí hemos hablado de cómo se pueden representar las cantidades y expresiones, vimos una introducción a la teoría de conjuntos e hicimos observaciones de ellos. Ahora bien, cuando se tienen conjuntos de cosas, es natural pensar en la cantidad de elementos que los integran y, por lo tanto, es posible asignar un número a dicha cantidad, a este número se le conoce como cardinal y nosotros lo denotaremos por: |A| Cantidad de elementos de A. De la misma forma, dado cualquier número, es posible construir un conjunto que tenga la cantidad de elementos que dicho número indica. Esto se puede hacer de muchas formas. Una forma que no es difícil de imaginar es considerar todos los posibles dibujos que se te ocurran. Técnicamente, esa cantidad es infinita, por lo tanto, si nos dieran un número cualquiera, bastaría con construir un conjunto de dibujos con la misma cantidad que se nos dio. Teniendo en cuenta estos conceptos, es posible interpretar el concepto de suma. Aunque esta interpretación no es la única posible, es una de las más naturales en cierto sentido. Esto nos ayudará a construir el conjunto de los números naturales. Supongamos que se quiere sumar el número dos con el número tres. Podemos construir dos conjuntos que tengan dos y tres elementos respectivamente, la idea de sumarlos la entenderemos como el proceso de unir esos dos conjuntos. Observar el cardinal que tiene el conjunto unión y ésta será la suma de dos y tres. Al inicio, este proceso puede parecerse a los ejercicios que hacías en la primaria y en realidad es básicamente lo que se está haciendo. Para fines prácticos a este proceso de sumar le llamaremos suma natural.

Progresión 2 y Progresión 3

Pensamiento matemático II

Sin abandonar esta idea, interpretemos a la resta. Supongamos que al cuatro queremos restarle dos, construimos un conjunto con cuatro elementos y a este mismo le quitamos dos elementos, al nuevo conjunto que resulta le observamos su cardinal y este número será el resultado de restar cuatro menos dos. A este proceso le llamaremos resta natural. Con esta interpretación nos es posible quitar más elementos de los que tiene un conjunto, esto lo resolveremos más adelante. Nuestro siguiente objetivo es construir el primer conjunto infinito que conocemos: el conjunto de los números naturales. Supongamos que representamos la cantidad uno con el símbolo “1”. De esta manera, podemos construir un conjunto que tenga un elemento. Si partimos de ese número natural para construir el siguiente número natural, basta con sumar naturalmente uno al uno, obteniendo así el dos. Para construir el número que sigue después del dos, simplemente sumamos naturalmente uno al dos. En general, para construir el número que le sigue a un número dado, solo necesitamos sumarle uno de manera natural. Como se puede observar este proceso se puede repetir tantas veces como se quiera. Al conjunto que resulta se le conoce como números naturales y se representa de la siguiente forma: N {1, 2, 3, 4, 5,…} Algunos matemáticos consideran el cero, “0”, como un número natural. Aunque nosotros no lo consideramos natural, es importante saber que algunos textos sí lo hacen.

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Debido a la forma en que se construyen los números naturales, se puede deducir que todos ellos tienen un número que les sigue, llamado sucesor. Todos los números naturales, excepto el 1, tienen un número que precede a ellos, llamado antecesor, o lo que es equivalente, decir que todo número natural es el sucesor de otro natural. Por la misma razón se puede deducir que no hay números naturales entre un número natural y su sucesor. Supongamos ahora que se quiere multiplicar 3 por 2, entonces construimos tres conjuntos, cada uno con dos elementos, los unimos y contamos cuántos elementos tiene el conjunto resultante. Este proceso se conoce como producto o multiplicación natural.

PARA PRACTICAR 1. Determina el cardinal de las siguientes opciones.

a) P {2,3,5,7,11,13}

|P|

b) A {Los estados de México}

Ǳ Ǳ

c) B {Las materias de mi semestre}

|B|

d) C {Los dígitos de la cifra 2586}

|C|

e) D {3,9,27}

|D|

f) E {0}

|E|

Tema 4. Los números enteros Como ya sabemos, si queremos restarle naturalmente 9 al número 5, resulta imposible desde la perspectiva de conjuntos, ya que no se pueden quitar más elementos de los que tiene un conjunto. Para resolver esto, definamos un nuevo conjunto llamado números enteros: Z <NF {0} FN Donde <N {…,<5, <4, <3, <2, <1}. Este conjunto también se conoce como los inversos aditivos de los números naturales, diremos que los naturales son positivos y que sus inversos, negativos.

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Es decir, los números enteros son los números naturales unidos con el cero y con sus inversos aditivos. Con esto, es posible definir dos operaciones dentro del conjunto de los números enteros, esto les dará una estructura algebraica a los enteros, y estos a su vez nos ayudarán a definir otras estructuras más adelante. Llamaremos a estas operaciones suma (representada como a + b) y producto (representada como (a) (b)) y las reglas son las siguientes: Suma: Supongamos que a y b son dos números enteros. Si alguno de ellos es cero, definimos la suma de la misma forma como lo hicimos con los conjuntos. Si ninguno de los dos es cero. tenemos dos opciones: 1) tienen signo distinto, o bien; 2) tienen el mismo signo. a) Mismo signo. Si ambos son positivos, son naturales y, por lo tanto, definimos la suma de la misma forma que la suma natural. Si ambos son negativos, ignoramos su signo, esto hace que, nuevamente, tengamos dos números positivos, los sumamos naturalmente y el resultado será negativo. b) Distintos signos. Ignoramos el signo, al ignorar el signo ambos serán positivos y uno será mayor o igual que el otro, en este caso ya podemos hacer la resta natural, es decir, al mayor le restamos el menor, el resultado tendrá el signo que tenía originalmente el que ahora es mayor.

Ejemplo Si tenemos dos números con el mismo signo, como: 3 8 11 , este es exactamente un caso particular de la suma natural. O ( <3 ) ( -8 ) <11, cuando ignoramos el signo tenemos la suma de 3 8 , pero el resultado es negativo porque inicialmente eran negativos. Si tenemos números con diferente signo, como: ( <3 ) 8 5, al ignorar el signo tenemos a 3 y 8 , como el mayor es el 8, restamos naturalmente 8 menos 3 , el resultado es 5 y como el signo que tenía originalmente el Ŵ Àv ½³Ã È Û³ ¨ À ÃË¨Èv ³ Ã ½³Ã È Û³ƛ ³Àv È ® ³Ã ¨ Ã Ë ®È vÃ³Ɲ 3 ( < 8 ) <5, al ignorar el signo tenemos a 3 y 8, como el mayor es el 8, restamos naturalmente 8 menos 3 y el resultado es 5; como el signo que tenía originalmente el 8 era negativo el resultado es negativo.

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Producto o multiplicación: si alguno de los números es cero el producto es cero. Si lo pensamos en términos de números naturales, sería como construir cero conjuntos con b elementos. Es normal que, cuando unimos cero conjuntos, la cantidad de elementos siga siendo cero. Así como en la suma, también tendremos dos casos: a) Mismos signos: Ignoramos los signos, multiplicamos naturalmente y el resultado será siempre positivo. b) Signos distintos: Ignoramos los signos, multiplicamos naturalmente y el resultado será siempre negativo.

Ejemplo Efectuaremos el producto de los siguientes números: ( 5 ) ( 6 ) = 30, como ambos son positivos tenemos el caso de la multiplicación natural. Luego, ƪ ǐű ƫ ƪ ǐŲ ƫ Ǔ ůŬƜ v¨ Ëv¨ ¿Ë ® ¨ vÃ³ v®È À ³ÀƜ v ³Ã Ã³® ¨ Ã³ signo, ignorando el signo de ambos tenemos el producto natural de 5 con 6, resultando 30 , y como tienen el mismo signo el resultado es positivo. En el caso del producto de dos números con signos distintos: ( <5 ) ( 6 ) = <30, si ignoramos los signos tenemos 5 y 6, multiplicamos naturalmente resultando 30, como tienen signos distintos el resultado es negativo. Lue ³Ɯ ƪ ű ƫ ƪ ǐŲ ƫ <30, si ignoramos el signo tenemos 5 y 6 , multiplicamos naturalmente resultando 30 , como tienen signos distintos el resultado es negativo.

Pensamiento matemático II

En ocasiones en matemáticas lo que se quiere es tener un lenguaje práctico, reducido y efectivo, por ello en ocasiones se prefiere usar notaciones más cortas, por ejemplo, si a y b representan a dos números enteros, las siguientes expresiones son equivalentes: (<a) + b = <a + b = b +(<a) = b < a (<a) (b) (a)(-b) <ab De aquí en adelante usaremos estas expresiones de forma equivalente, también se puede plantear a partir de las reglas del producto, la famosa regla de los signos:

Operación

Resultado

Positivo (+) por

Positivo (+)

Negativo (-) por

Negativo (-)

Positivo (+)

Positivo (+) por

Negativo (-)

Negativo (-) por

Positivo (+)

Negativo (-)

En los ejemplos puedes ver que hay algunos momentos, sobre todo cuando el número es negativo, en los que usamos paréntesis en la suma, pero siempre el signo + (o bien, el signo -) está en medio de los paréntesis. Un error que se puede cometer es confundir la expresión (8)(-3) con la expresión 8-3, la primera nos indica que debemos multiplicar 8 por -3, la segunda, que debemos sumar 8 con -3 (o equivalentemente al 8 restarle 3). Con la definición de las operaciones suma y producto que definimos para los enteros se puede verificar que cumplen las siguientes condiciones.

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Para la suma, si a y b son dos números enteros, entonces: 1) Es binaria, es decir, la suma se hace de dos en dos. En otras palabras, sí se pueden sumar tres o más números, pero siempre se hace en pares, por ejemplo, si queremos sumar a+b+c primero sumamos a + b y al resultado le sumamos c. 2) Es asociativa, es igual sumar a+b y luego sumarle c, que sumar b+c y luego sumarle a ; es decir ( a b ) c a ( b c ). 3) Es conmutativa, es igual sumar a con b que b con a ; es decir, a b b a. 4) Neutro aditivo, existe un número entero, el 0. Lo llamaremos “neutro aditivo” que cumple que a + 0 a para cualquier entero a. Este número es único. 5) Inverso aditivo, para cada número entero a existe su inverso aditivo que denotaremos con <a, que cumple con a ( <a ) 0, es decir para cada entero existe su inverso aditivo tal que cuando los sumas da como resultado al neutro aditivo, el cero. Para el producto (multiplicación): si a y b son números enteros, entonces: 1) Es binaria, es decir, el producto se hace de dos en dos. Es decir, sí se pueden multiplicar tres o más números, pero siempre se hace en pares, por ejemplo, si queremos multiplicar ( a ) ( b ) ( c ) primero multiplicamos ( a ) ( b ) y al resultado lo multiplicamos por c . 2) Es asociativa, es igual multiplicar ( a ) ( b ) y al resultado multiplicarlo por c que multiplicar ( b ) ( c ) y el resultado multiplicarlo por a, es decir; [( a ) ( b )] ( c ) ( a ) [( b ) ( c )]. 3) Es conmutativa, es igual multiplicar a por b que b por a, es decir, ( a ) ( b ) ( b ) ( a ). 4) Neutro multiplicativo, existe un número entero, el 1, al que le llamaremos “neutro multiplicativo”, que cumple que ( a ) ( 1 ) a, para cualquier entero a. Este número es único.

Pensamiento matemático II

Seguramente has notado que en los números enteros no se requiere que existan inversos multiplicativos. Por ejemplo, ningún número entero multiplicado por 2 da como resultado al neutro multiplicativo. Si bien existen dos enteros que sí tienen inverso multiplicativo, la regla establece (como en la suma) que todos deban tenerlo, excepto el cero. Esto se debe a que cualquier número entero multiplicado por 0 es 0. Más adelante resolveremos este inconveniente. Dadas estas reglas de la suma y del producto, se pueden hacer observaciones casi inmediatas: 0 0 0 , el cero es el único número que es inverso aditivo de sí mismo. O equivalentemente <0 0 . a ( <a ) 0 ( <a ) + a, se deduce que el inverso aditivo de a es <a y por la segunda igualdad también podemos decir que <a es inverso aditivo de a ,y de esto último se concluye que el inverso aditivo del inverso aditivo de a es el mismo a, es decir, <( <a ) = a. En ocasiones pensamos que el resultado anterior, “menos por menos es más”, es una propiedad que se deduce del producto, pero no es así, si se te facilita usarlo de esa manera tampoco afecta el resultado. Desde que se definieron las operaciones naturales nunca hemos relacionado a las dos operaciones entre sí, las definimos por separado, por ello, definiremos otra regla que relaciona a la suma con el producto. Distributividad: Dados tres números enteros a, b y c se cumple que: (a) (b

c) (a) (b)

(a) (c)

¿Alguna vez te preguntaste como hacen esas personas que pueden hacer multiplicaciones mentales de forma tan rápida? Una técnica es usar la distributividad, por ejemplo, si quisiéramos multiplicar ( 18 ) ( 12 ) podemos escribir este producto de la siguiente manera ( 18 ) ( 12 ) ( 18 )( 10 2 ) luego (18) (10 2) (18) (10) (18) (2) 180 36 216.

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ACTIVIDAD 1. De las propiedades que se enunciaron para la suma y el producto en los enteros, ¿cuáles se cumplen para tu sistema numérico?

2. De las propiedades que no cumple tu sistema, ¿se puede cambiar algo para que todas las propiedades se cumplan?

A pesar de que estas propiedades podrían parecer demasiadas, veremos más adelante que, en realidad, los números enteros no son el único conjunto en el que se pueden definir dos operaciones con estas propiedades.

PARA PRACTICAR 1. Según lo que estudiaste, ¿cómo se construyen los números enteros?

2. Resuelve las siguientes operaciones.

a) ( 10 ) ( <19 )

f) ( 11 ) ( <8 ) ( 5 )

b) ( <10 ) ( 19 )

g) ( 25 ) ( <2 ) ( <2 )

c) ( <10 ) ( <19 ) d) ( <13 ) ( <25 ) e) ( <13 ) ( <10 )

Pensamiento matemático II

CONEXIÓN

Piensa en el sistema decimal, también conocido como sistema base diez ya que cuenta con diez símbo¨³Ãƛ wÃƜ Ã Ë® Ã ÃÈ v ½³Ã ³®v¨ƛ I³À ¦ ½¨³Ɯ ® ¨³Ã ®Ì À³Ã űůŮ â ůűŭƜ ¨ Ûv¨³À ¿Ë È ® ¨ ® ³ es distinto en cada caso. En el primero, su valor es de 5 centenas (500 unidades), y en el segundo, su valor es de 5 decenas (50 unidades). Recordemos cómo es que funciona este sistema de numeración. Volvamos al número 512. Este número consta de 5 centenas (500 unidades), 3 decenas (30 unidades) y 2 unidades, Observa que cuando sumamos todas las unidades, el resultado es precisamente 532. En términos matemáticos es: 532 500 30 2 5 ( 100 ) 3 ( 10 ) 2 ( 1 ) 5 ( 10 Ƃ ) 3 ( 10 ) 2 ( 1 ) Es decir, la primera cifra (de derecha a izquierda), representa su propio valor, la segunda el valor de la cifra multiplicado por 10 Ɓ (decenas) y la tercera el valor de la cifra multiplicado por 10 Ƃ (centenas). Si tuviéramos un número con más cifras habría que ir incrementando el valor de la potencia de diez, de ahí que se dice que su base es diez. Pensemos ahora en el sistema de numeración con base 2 (binario), en este sistema los símbolos que se usan son el 0 y 1 , exclusivamente. Con el mismo razonamiento que en el del sistema base 10 , convirtamos el número 110, escrito en base 2 a un número en base 10. El primer dígito representa su mismo valor en unidades, 0 ( 1 ) = 0, el segundo su valor multiplicado por 2, 1 ( 2 ) 2, el tercer dígito representa su valor multiplicado por 2 Ƃ, 1 ( 2 Ƃ ) 1 ( 4 ) 4, sumando todos los resultados tenemos: 1 (2Ƃ) 1 (2) 0 (1) 4 2 0 6

Lenguaje algebraico y operaciones básicas

(continuación)

Por lo tanto, el número binario 110 es equivalente al número decimal 22 , a este proceso se le conoce como cambio de base, binario a decimal. Este sistema es con el que los ordenadores funcionan. ¿Por qué crees que utilizan el sistema binario y no otro sistema de numeración?

Escribe dos números binarios y por medio de cambio de base escríbelos en base 10. Número 1:

Número 2:

L ð á ³®v v À v ¨ Ã ÃÈ v ®Ë Àv ´® ¿Ë À vÃÈ v¨ ® ³ ÃÈv Ë® v â ½ ®Ãv Ã ¨³ Ëbieras hecho diferente ahora que ya has estudiado y practicado sobre otros temas de las matemáticas.

CIERRE Es probable que a lo largo de este capítulo te hayas encontrado con conceptos que ya conocías, sin embargo, la intención es que cuando repases, si tuviste alguna duda a lo largo de este tiempo, la puedas aclarar. Cuando hablamos de abstracción se nos pueden ocurrir muchos ejemplos de nuestra vida cotidiana. Incluso, cuando compramos con una tarjeta digital, podemos decir que ese dinero no existe físicamente; es una representación o abstracción del mismo.

Pensamiento matemático II

El estudio de conjuntos nos ayudará en casi cualquier momento de nuestra vida, basta con darnos cuenta de que incluso en nuestro lenguaje usamos los conjuntos. Por ejemplo, cuando nos referimos a los miembros de nuestra familia, a las palabras que podemos leer de otro idioma, a los pasatiempos que tenemos, etc. Es importante entender que lo que estamos haciendo al estudiar aritmética y conjuntos, es construir y utilizar un nuevo lenguaje. Al estudiar los números naturales y enteros, y dotarlos de operaciones elementales, lo que hicimos fue construir la base para futuras teorías. En realidad, ese es el trabajo del matemático. Quizá al inicio, los números enteros pueden parecer un conjunto con pocas propiedades y podríamos pensar que son poco útiles, pero esto apenas comienza, más adelante descubriremos todo su poder. Ya lo dijo Carl Frederich Gauss, quizá el más prominente matemático de todos los tiempos: “La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila” Por el momento toma un respiro que aún viene lo mejor.

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Va lo ra ció n Hasta este momento has estudiado, aprendido y compartido saberes con tus compañeras y compañeros, docentes y tu círculo cercano. Seguramente ha sido un trabajo arduo y complicado por ser el inicio de tu semestre. Puedes utilizar este conjunto de ejercicios para saber qué tanto has aprendido y qué conceptos aún no te han quedado totalmente claros. Recuerda que no solo es importante el resultado sino también los procesos de razonamiento que utilizas y aprendes en el camino. 1. Escribe la representación correspondiente en el lenguaje matemático para cada enunciado. Enunciado

Enunciado en lenguaje matemático

a) La edad del Universo b) Dos veces el radio de la Tierra. c) La edad de Tomás es dos veces la de edad de Vero más dos. d) La raíz cuadrada de la suma de un número más 7. e) La temperatura del agua menos un tercio de 9. f) Un número elevado al cuadrado es igual a 64. 2. Con base en la expresión escrita en el lenguaje matemático, escribe dos enunciados que le puedan corresponder.

a) Expresión: 3x Enunciado 1: Enunciado 2: 1 b) Expresión: y 2 Enunciado 1: Enunciado 2: MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.22/12/2023

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c) Expresión: 2t 10 Enunciado 1: Enunciado 2: d) Expresión:

x y

Enunciado 1: Enunciado 2: e) Expresión: 2x 2y 100 Enunciado 1: Enunciado 2: 3. ï® ® ³ v S ³³ ¨v È ½ ÀvÈËÀv ¨ v Ëvƛ Ã À ÃË À ½À Ã ®Èv ´® ® ¨ lenguaje algebraico correspondiente.

a) El doble de la temperatura del agua: b) El triple de la temperatura del agua: c) La mitad de la temperatura del agua: d) La temperatura del agua más uno: e) La temperatura del agua más la temperatura de la glicerina:

f) La temperatura del agua entre diez:

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4. Determina si el elemento pertenece o no pertenece al conjunto dado. Escribe tu respuesta sobre la línea.

a) 2

{1, 3, 5, 7, 9}

b) 5

{2, 4, 6, 8, 10}

c) 3

{x está en N tal que 2 < x < 7}

d) 4

{2, 4, 5, 6, 7}

e) 8

{x está en N tal que 8 < x < 10}

f) 0

g) Europa

{x tal que x es el nombre de un país}

h) 15

i) ǐű

5. Escribe cada conjunto por extensión.

a) {x en los naturales tal que x es un dígito} b) {x en los enteros tal que x < 2 es igual a 5} 6. ï® ½³À áÈ ®Ã ´® ÈÀ Ã ³®¦Ë®È³Ã ³®Ã Àv® ³ ¿Ë V Ã ¨ ³®¦Ë®È³ È³Èv¨ƛ

Sean: U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A {2, 4, 6, 8, 10}, B {1, 2, 3, 4, 5} a) A F B b) B F c) c d) A E B e) B E A f) B F U g) A F U h) ( B F A ) c

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7. Haciendo uso de los resultados del ejercicio anterior, escribe la cardinalidad de las siguientes opciones.

a) A F B b) A E B c) B F U 8. Resuelve las siguientes operaciones, con base en lo aprendido de las sumas y multiplicación de números naturales y números enteros.

a) ( <40 ) ( 26 )

h) ( 30 ) ( 16 )

b) ( <35 ) ( 16 )

i) ( 18 ) ( <40 )

c) ( 180 ) ( 95 )

j) ( 5 ) ( <5 ) ( 5 )

d) ( <180 ) ( <95 )

k) ( 2) ( 18 ) ( <7 )

e) ( <19 ) ( <19 )

l) ( <16 ) ( <13 )

f) ( <68 ) ( <22 )

m) ( <30 ) ( <16 )

g) ( 35 ) ( 35 ) ( <19 )

n) ( 8 ) ( <6 ) ( <3 ) ( 5 )