Cálculo integral

CÁLCULO INTEGRAL

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The Pennsylvania State University

The Behrend College

University of Florida

Traducción

Javier León Cárdenas

Adaptación y Revisión técnica

Joel Ibarra Escutia

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Toluca

Revisión técnica

Instituto Politécnico Nacional CECyT 9 Juan de Dios Bátiz

Gilberto Gamaliel Díaz Monroy

Sergio Ramírez Espinosa

Tecnológico Nacional de México, campus León

Luz María Trinidad Pérez Alvarado

Tecnológico Nacional de México, campus Morelia

Nancy Cambrón Muñoz

Fabián Ortega Vargas

Gerardo Sepúlveda Valdés

Tecnológico Nacional de México, campus Pachuca

Luis García González

José Alejandro Monroy Gómez

Tecnológico Nacional de México, campus Puebla

Oscar del Ángel Cid Turcott

Alfredo Rivas de Lucio

Tecnológico Nacional de México, campus Tepic

Víctor Manuel Lamas Huízar

Jovita Romero Islas

Timoteo Talamantes Rosales

Universidad Politécnica de Pachuca

Armando Silva Castillo

Cálculo integral. Primera edición Directora Higher Education Latinoamérica:

Gerente editorial Latinoamérica:

Editora:

Coordinador de manufactura:

Diseño de portada:

Imagen de portada:

Composición tipográfica:

Contenido detallado

Unidad 1

La integral y el teorema fundamental del cálculo 1

1.1 Área 2

1.2 Sumas de Riemann y la integral definida 14

1.3 La antiderivada (o la integral indefinida) 25

1.4 Teorema fundamental del cálculo 35

Ejercicios de repaso 50

Solución de problemas 53

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 54

Exámenes de práctica 58

Unidad 2

Métodos de integración 61

2.1 Reglas básicas de integración indefinida 62

2.2 Integración por sustitución (cambio de variable) 69

Proyecto de trabajo: Probabilidad 81

2.3 Integración por partes 82

2.4 Integración de funciones logarítmicas, trigonométricas básicas y exponenciales 91

2.5 Otras integrales trigonométricas 107

Proyecto de trabajo: El producto de Wallis 115

2.6 Integración por sustitución trigonométrica 116

2.7 Integración por fracciones parciales 125

2.8 Integración de funciones trigonométricas inversas 134

2.9 Integración de funciones hiperbólicas 142

Proyecto de trabajo: Mapa de Mercator 148

2.10 Integración numérica 149

2.11 Integración por tablas y otras técnicas de integración 156

2.12 Integrales impropias 162

Ejercicios de repaso 173

Solución de problemas 177

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 178

Exámenes de práctica 186

Unidad 3

Aplicaciones de la integral 189

3.1 Área de una región entre dos curvas 190

3.2

3.3

Volumen: método de los discos 200

Volumen: método de las capas 211

Proyecto de trabajo: Saturno 219

3.4 Longitud de arco y superficies de revolución 220

3.5 Trabajo 231

Proyecto de trabajo: Pirámide de Khufu 239

3.6 Momentos, centros de masa y centroides 240

3.7

Presión y fuerza de un fluido 251

Ejercicios de repaso 257

Solución de problemas 260

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 261

Exámenes de práctica 271

Unidad 4

Series infinitas 273

4.1 Sucesiones 274

4.2 Series y convergencia 285

Proyecto de trabajo: La mesa que desaparece de Cantor 294

4.3 Criterio de la integral y series p 295

Proyecto de trabajo: La serie armónica 301

4.4 Comparación de series 302

4.5 Series alternantes 309

4.6 El criterio de la razón y de la raíz 317

4.7 Polinomios de Taylor y aproximaciones 326

4.8 Series de potencias 337

4.9 Representación de funciones por series de potencias 347

4.10 Series de Taylor y Maclaurin 354

Ejercicios de repaso 366

Solución de problemas 370

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 371

Exámenes de práctica 374

Apéndices A1

Respuestas a ejercicios seleccionados R1

Índice analítico I1

Formularios básicos y tablas de integración T1

Prefacio

Bienvenidos a esta nueva edición de Cálculo integral. Nos enorgullece ofrecerle esta nueva edición revisada y mejorada de nuestro clásico y exitoso libro de texto.

Esta obra forma parte de una serie de libros elaborados para cubrir de manera específica planes y programas de estudio de los principales cursos a nivel superior.

Cálculo integral, de Ron Larson y Bruce Edwards, proporciona instrucciones claras, matemáticas precisas y la amplia cobertura que usted espera de su curso.

La obra le ofrece acceso gratuito a LarsonCalculus.com— Un sitio web complementario con recursos para apoyar la enseñanzaaprendizaje (disponible solo en inglés).

Usted tiene acceso a videos en los que se explican los conceptos o las pruebas del libro, explorar ejemplos, ver gráficas tridimensionales, descargar artículos de revistas especializadas y mucho más.

Este material está basado en la obra completa en inglés, pero cuenta con material disponible que le ayudará en sus clases.

LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN

NUEVO Las grandes ideas del cálculo

Hemos añadido una nueva característica para ayudarlo a descubrir y entender las Grandes ideas del cálculo. Esta característica, que se denota por el icono , tiene cuatro partes.

Grandes ideas del cálculo ofrecen una visión general de los principales conceptos de la unidad y cómo se relacionan con los conceptos que ha estudiado previamente. Estas notas aparecen casi al principio y también en el repaso de la unidad.

Repaso de conceptos y los de Exploración de conceptos. Estos le ayudarán a desarrollar su conocimiento del cálculo con mayor profundidad y claridad. Trabaje en estos ejercicios para desarrollar y fortalecer su comprensión de los conceptos.

Construcción de conceptos al terminar y repasar cada unidad. Estos ejercicios no solamente le ayudarán a expandir su conocimiento y uso del cálculo, sino que lo prepararán para aprender los conceptos de capítulos posteriores.

Construcción de conceptos

96. (a) Dibuje el semicírculo dado por y 4 x 2

(b)Explique por qué

integral.

Conjuntos de ejercicios ACTUALIZADOS

más. (Fuente: Petersons Field Guide: Eastern Birds)

98. La siguiente suma es una serie finita de Fourier f (x) N

ix

a1 sen x a2 sen 2 x a3 sen 3x aN sen Nx

(a) Utilice el ejercicio 97 para demostrar que el enésimo coeficiente an es

Los conjuntos de ejercicios han sido examinados de manera cuidadosa y extensa para asegurar que sean rigurosos, relevantes y que incluyan los tópicos que los lectores nos han sugerido. Los ejercicios han sido nombrados y organizados a fin de que usted vea las relaciones entre los ejemplos y los ejercicios. Los ejercicios de la vida real, desarrollados paso a paso, refuerzan las habilidades de solución de problemas y el dominio de conceptos al darle la oportunidad de aplicarlos en situaciones cotidianas.

Proyectos de trabajo

En secciones específicas aparecen proyectos que le ayudarán a explorar las aplicaciones relacionadas con los tópicos que se encuentre estudiando. Todos estos proyectos ofrecen características interesantes y atractivas para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera colaborativa.

Aperturas de unidad ACTUALIZADAS

Cada apertura de unidad destaca aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios.

Objetivos de sección

Las listas con viñetas al inicio de cada sección señalan los objetivos de aprendizaje para que usted sepa qué contenidos se presentarán a continuación.

Teoremas

Los teoremas proporcionan el marco conceptual para el cálculo. Estos se enuncian claramente y están separados del resto de la unidad mediante recuadros que contribuyen visualmente a una lectura más dinámica. Por lo general se acompañan de pruebas que también aparecen en el sitio LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés).

Definiciones

Como en el caso de los teoremas, las definiciones se destacan mediante recuadros que contribuyen a una mejor referencia visual y están enunciadas claramente a través de una redacción precisa y formal.

Exploraciones

Las exploraciones proporcionan desafíos únicos para estudiar conceptos que no se han abordado formalmente en el libro y que le permiten aprender mediante el descubrimiento, así como introducir otros tópicos relacionados con los que se estudian en cada sección. Explorar los temas de esta manera lo alienta, como se dice comúnmente, a pensar fuera de la caja.

Comentarios ACTUALIZADOS

Estas pistas y consejos refuerzan o expanden los conceptos, le enseñan cómo estudiar matemáticas, lo previenen acerca de errores comunes, abordan casos especiales o muestran soluciones alternativas a un ejemplo. Hemos añadido algunos Comentarios para ayudar a los estudiantes que necesitan una tutoría más profunda en álgebra.

Notas históricas y biografías ACTUALIZADAS

Las notas históricas dan información acerca de los fundamentos del cálculo. Las biografías le presentan personajes que crearon e hicieron contribuciones a esta disciplina. En LarsonCalculus.com (solo en inglés) están disponibles muchas más.

PROYECTO DE TRABAJO

Pirámide de Khufu

La pirámide de Khufu (también conocida como la Gran Pirámide de Giza) es la más antigua de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo. También es la más alta de las tres pirámides de Giza en Egipto. La pirámide tomó 20 años para construirse, terminando alrededor de 2560 a.C. Cuando se construyó, tenía una altura de 481 pies y una base cuadrada con longitudes laterales de 756 pies. Suponga que la piedra que se usó para construirlo pesaba 150 libras por pie cúbico.

1.1 Área

(a) ¿Cuánto trabajo se requirió para construir la pirámide? Considere solo distancia vertical.

(b) Suponga que los constructores de pirámides trabajaron 12 horas cada día durante 330 días al año durante 20 años y que cada trabajador hizo 200 pies-libra de trabajo por hora. Aproximadamente, ¿cuántos trabajadores se necesitaron para construir la pirámide?

Emplear la notación sigma para escribir y calcular una suma. Entender el concepto de área. Aproximar el área de una región plana. Determinar el área de una región plana usando límites.

Notación sigma

En esta unidad se estudia un problema histórico del cálculo: encontrar el área de una región en el plano. Luego, en las secciones 1.2 y 1.3 se estudiarán los conceptos de integral definida e integral indefinida. Y finalmente, en la sección 1.4 se descubrirá que todos estos conceptos están estrechamente relacionados por medio de un teorema muy importante conocido como teorema fundamental del cálculo.

Iniciamos introduciendo una notación utilizada para sumas. Esta notación recibe el nombre de notación sigma debido a que utiliza la letra griega mayúscula sigma, ∑

Notación sigma

La suma de n términos a1 a2 a3 an se escribe como

∑ n 1 ai a1 + a2 + a3 + + an donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n

COMENTARIO Los límites superior e inferior de la suma deben ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es válido.

EJEMPLO 1 Ejemplos con la notación sigma

COMENTARIO En el ejemplo 1(e), note que k es la variable y el factor 1/n se mantiene constante. ¿Qué factor es constante en el ejemplo 1(f )?

En los incisos (a) y (b), observe que la misma suma puede representarse de maneras diferentes utilizando la notación sigma.

Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i j y k. Observe en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la suma desarrollada.

Tecnología

A lo largo del libro se muestran recuadros sobre la tecnología que le enseñan cómo utilizarla para resolver problemas. Estos consejos también le advierten sobre las posibles trampas en el uso de la tecnología.

Ejercicios del tipo ¿Cómo lo ve?

Un ejercicio de este tipo en cada sección presenta un problema que deberá resolver mediante una inspección visual aplicando los conceptos aprendidos durante la lección.

Aplicaciones ACTUALIZADAS

Para responder la pregunta: “¿Cuándo podría aplicar este conocimiento?”, se han incluido en el libro ejercicios cuidadosamente seleccionados. Estas aplicaciones provienen de diversas fuentes, ya sea eventos de la actualidad, datos sobre el mundo, aplicaciones en la industria y más, todos ellos relacionados con un amplio abanico de intereses. Entender qué es o qué puede llegar a ser el cálculo favorece un entendimiento más completo del material.

Desafíos del Examen Putnam

Este tipo de preguntas aparecen en secciones muy específicas. Estas retarán su entendimiento y aumentarán los límites de su comprensión sobre el cálculo.

Otras características

En esta edición se encontrará:

Evaluación diagnóstica

Con el propósito de repasar los temas que serán de utilidad para el desarrollo satisfactorio del presente curso, se presenta a manera de evaluación diagnóstica la siguiente lista de ejercicios-actividades. Observe que en la mayoría de los casos, los problemas se plantean de un modo general para que el lector realice un estudio profundo de los temas. Queda a libre elección plantear problemas particulares, si el estudiante lo considera necesario, para cubrir los temas propuestos. ¡Mucho trabajo y éxito!

Aritmética

1. Defina los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos).

2. Escriba los números primos menores que 200.

3. Describa los criterios de divisibilidad.

4. Describa el proceso para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de números.

5. Racionalice la expresión a b x c d x

Evaluación diagnóstica

Este material resulta una herramienta de vital importancia porque permite realizar una evaluación inicial de los conocimientos mínimos requeridos para iniciar el estudio del cálculo diferencial y tomar las acciones necesarias.

Álgebra

1. Escriba las leyes de los exponentes y los radicales.

2. Desarrolle los siguientes productos notables.

a) Binomio al cuadrado.

b) Producto de binomios conjugados.

c) Producto de dos binomios con un término común.

d) Binomio al cubo.

e) Trinomio al cuadrado.

3. Desarrolle el triángulo de Pascal.

4. Desarrolle el binomio de Newton.

5. Factorice en general un trinomio cuadrado perfecto, una diferencia de cuadrados, una suma de cubos y una diferencia de cubos.

6. Resuelva la ecuación ax2 bx c 0 por completación de cuadrados.

7. Resuelva un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables por los métodos de suma y resta, igualación, sustitución y determinantes.

8. Resuelva un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables de manera algebraica y por determinantes.

Trigonometría

1. Clasifique los diferentes tipos de ángulos.

2. Defina ángulos suplementarios y complementarios.

3. Clasifique los triángulos con base en sus lados.

4. Clasifique los triángulos con base en sus ángulos.

5. Para cada uno de los diferentes tipos de triángulos, trace el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.

6. Enuncie el teorema de Pitágoras.

7. Trace la gráfica de las seis funciones trigonométricas.

Al final de cada unidad se encuentran dos nuevas secciones llamadas:

SERIE DE EJERCICIOS SELECCIONADOS PARA PREPARAR EXAMEN DE UNIDAD

Encontrar sumas superiores e inferiores para una región En los ejercicios 16 y 17, encuentre las sumas superiores e inferiores para la región acotada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado. Exprese su respuesta en términos del número de subintervalos n Función Intervalo

16. f (x) 3x [0, 4]

17. f (x) 5x2 [0, 1]

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad

Se ha realizado una selección especial de los problemas más representativos de cada sección para todas las unidades y se concentran en una serie final de ejercicios que puede utilizarse para reforzar las evaluaciones de los temas. Se puede disponer de este material de manera digital al escanear el código QR que se incluye al final de cada serie.

una suma En los ejercicios 7 a 10, utilice las propiedades de la notación sigma para evaluar la suma. Utilice la función de suma de alguna herramienta de graficación para comprobar el resultado.

24 1 4

9. ∑ 20 i 1 (i 1)2 10. ∑ 7 1 (i + 3)2

Evaluar una suma En los ejercicios 11 y 12, utilice las fórmulas de suma para reescribir la expresión sin la notación sigma. Use el resultado para determinar la suma correspondiente a n 10, 100, 1000 y 10 000.

11. ∑ i 1

2i + 1 n2 12. ∑ k 1

6k(k 1) n3

Aproximar el área de una región plana En los ejercicios

13 a 15, use los puntos terminales izquierdo y derecho y el número de rectángulos dados para encontrar dos aproximaciones del área de la región entre la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado.

13. f (x) 2x + 5, [0, 2] 4 rectángulos

14. g(x) 2x 2 x 1, [2, 5], 6 rectángulos

15. f (x) cos x 0, p 2 4 rectángulos

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 18 a 22, utilice el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x en el intervalo indicado. Dibuje la región.

18. y 4x + 5, [0, 1]

19. y x 2 + 2, [0, 1]

20. y 25 x 2 [1, 4]

21. y 27 x 3 [1, 3]

22. y x 2 x 3 [ 1, 1]

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 23 a 25, utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje y en el intervalo y indicado. Dibuje la región.

23. f ( y) 4y 0 ≤ y ≤ 2

24. f ( y) y 2, 0 ≤ y ≤ 5

25. g( y) 4y 2 y 3 1 ≤ y ≤ 3

Aproximar el área con la regla del punto medio En los ejercicios 26 a 27, utilice la regla del punto medio con n 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado.

26. f (x) x 2 + 3, [0, 2]

27. f (x) tan x 0, p 4

Sumas de Riemann y la integral definida Evaluar una integral definida como un límite En los ejercicios 28 a 30, evalúe la integral definida mediante la definición de límite.

28. 6 2 8 dx

29. 1 1 x 3 dx

30. 2 1 (x 2 + 1) dx

58 Unidad 1 La integral y el teorema fundamental del cálculo

UNIDAD 1

Examen 1 Resuelva los siguientes problemas.

1. Determine la suma ∑ 1

EXÁMENES DE PRÁCTICA

2i + 1 n2 , para los valores n = 10, 100, 1000, 10 000.

2. Utilice 8 rectángulos en el intervalo [1, 3] para encontrar una aproximación del área de la región entre la gráfica de la función f (x) x 1 1 y el eje x

3. Utilice el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función f (x) 27 x 3 y el eje x en el intervalo [1, 3]

4. Evalúe la integral 2 1 (x 2 1 2x 2 1) dx mediante la definición de límite.

5. Formule una integral definida que produzca el área de la región sombreada.

7. Encuentre posibles valores de a y b que hagan correcto el enunciado 1 2 (x) dx 1 5 1 f (x) dx b (x) dx

8. Demuestre que b a x dx 5 1 2 (b2 2 a2).

9. Evalúe la integral indefinida x 1 1 2Ïx dx

10. Encuentre la integral definida 4 0 x 2 4x 1 3 dx

11. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones y 1 1 x x 0, x 8, y 0.

3

12. Determine el valor de c cuya existencia es garantizada por el teorema del valor medio para integrales de la función f (x) x 3 en el intervalo [0, 3]

13. Encuentre el valor medio de la función f (x) 9 x en el intervalo [ 3, 3] y todos los valores de x en el intervalo para los cuales la función es igual a su valor promedio.

14. Utilice el segundo teorema fundamental del cálculo para encontrar F (x) si

(a) F (x) 1

t 2 t 2 l dt

(b) F (x) 2 (4t l) dt

Exámenes de práctica

Al final de cada unidad se incluyen dos exámenes de práctica que tienen la finalidad de generar una situación de evaluación escrita de los temas estudiados a lo largo de la unidad. Al escanear el código QR que aparece al final de dicha sección se pueden visualizar otros más de manera digital.

FORMULARIOS

Ceros y factores de un polinomio del es un entonces un polinomio. Si Sea polinomio y una solución de la ecuación Además,es un factor del polinomio.

x a p x 0. cero a p a 0, p x an x n an 1x n 1 a1x a0

Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos estos ceros pueden ser imaginarios, un polinomio real de grado impar tendrá por lo menos un cero real.

Fórmula cuadrática Si y entonces los ceros reales de son Factores especiales

x b b2 4ac 2a p 0 b2 4ac, p x ax 2 bx c

Formularios

Dada la utilidad del clásico formulario de nuestros autores, en esta edición se incluye al final de la obra como páginas recortables y también en formato digital a través del código QR mostrado.

De manera adicional, en el apéndice B se proporciona un formulario completo de integrales.

x 3 a 3 x a x 2 ax a 2 x 2 a 2 x a x a

x 4 a 4 x a x 2 a 2 x a x 3 a3 x a x 2 ax a 2

x y 2 x 2 2 xy y 2 x y 2 x 2 2 xy y 2

x y 3 x 3 3x 2y 3xy 2 y 3 x y 3 x 3 3x 2y 3xy 2 y 3

x y 4 x 4 4x 3y 6x 2y 2 4 xy 3 y 4 x y 4 x 4 4x 3y 6x 2y 2 4 xy3 y 4

x y x nx 1y n n 1 2! x 2 y 2 nxy 1 y

x y n x n nx n 1y n n 1 2! x n 2 y 2 nxy n 1 y n

a0 r x r s, p p x an x n a n 1x n 1 a1x a0

Teorema del binomio Teorema del cero racional tiene coeficientes enteros, entonces todo Si cero racional de es de la forma donde es un factor de y s es un factor de a Factorización por agrupamiento

acx 3 adx 2 bcx bd ax 2 cx d b cx d ax 2 b cx d

a b a b c a c b c a b c d ad bc bd ab ac a b c

a b c d d c ad bc

a b c a bc

a b c

ac b

ab ac a b c a b c d b a d c a b c ab c

n a a1 a x a y a y a a1 2 a a y a y ab a b a 0 a0 1,

MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Reconocimientos

Queremos agradecer a todas las personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de la producción de nuestro libro Cálculo integral. Su aliento, críticas y sugerencias han sido muy valiosas.

Revisores

Stan Adamski, Owens Community College; Tilak de Alwis; Darry Andrews; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G.Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Denis Bell, University of Northern Florida; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Abraham Biggs, Broward Community College; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Mark Brittenham, University of Nebraska; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Fan Chen, El Paso Community College; Mingxiang Chen, North Carolina A&T State University; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; David French, Tidewater Community College; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Arran Hamm; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Dr. Enayat Kalantarian, El Paso Community College; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Bill Meisel, Florida State College at Jacksonville; Shahrooz Moosavizadeh; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Francis Nkansah, Bunker Hill Community College; Sam Pearsall, Los Angeles Pierce College; Terence H.Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Carson Rogers, Boston College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A.Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; James K. Vallade, Monroe County Community College; Patrick Ward, Illinois Central College; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey; Diane M. Zych, Erie Community College.

Nuestro agradecimiento especial a Robert Hostetler y David Heyd, compañeros profesores de The Behrend College y The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones al libro.

También agradecemos al equipo de Larson Texts, Inc., quienes nos ayudaron en la producción, composición e ilustración del libro y sus complementos. Además, les agradecemos por su ayuda en el desarrollo y mantenimiento de los sitios CalcChat. com, CalcView.com, LarsonCalculus.com, MathArticles.com y MathGraphs.com

A nivel personal, agradecemos a nuestras esposas Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards por su amor, paciencia y apoyo. Asimismo, una nota especial de agradecimiento para R. Scott O’Neill.

Si usted tiene sugerencias para mejorar esta obra, siéntase libre de escribirnos. En nuestra labor académica hemos recibido numerosos comentarios tanto de profesores como de estudiantes y los valoramos muchísimo.

Revisores de la edición en español

Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores:

Instituto Politécnico Nacional

CECyT 9 Juan de Dios Bátiz

Jonathan Reyes González

Tecnológico Nacional de México, campus Celaya

Ismael Arriaga Hernández

Miguel Adrián Reyes Mendoza

Tecnológico Nacional de México, campus Ciudad Juárez

René Saucedo Silva

Tecnológico Nacional de México, campus León

Brenda Rosario Hernández Palafox

Tecnológico Nacional de México, campus Nuevo León

Felipe Leal Macías

Tecnológico Nacional de México, campus Roque

Juan Pablo González Morales

Universidad de Monterrey

Escuela de Ingeniería y Tecnología

Ayax Santos Guevara

Evaluación diagnóstica

Con el propósito de repasar los temas que serán de utilidad para el desarrollo satisfactorio del presente curso, se presenta a manera de evaluación diagnóstica la siguiente lista de ejercicios-actividades. Observe que en la mayoría de los casos, los problemas se plantean de un modo general para que el lector realice un estudio profundo de los temas. Queda a libre elección plantear problemas particulares, si el estudiante lo considera necesario, para cubrir los temas propuestos. ¡Mucho trabajo y éxito!

Aritmética

1.Defina los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos).

2.Escriba los números primos menores que 200.

3. Describa los criterios de divisibilidad.

4.Describa el proceso para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de números.

5.Racionalice la expresión a b x c d x

Álgebra

1.Escriba las leyes de los exponentes y los radicales.

2.Desarrolle los siguientes productos notables.

a) Binomio al cuadrado.

b)Producto de binomios conjugados.

c)Producto de dos binomios con un término común.

d)Binomio al cubo.

e)Trinomio al cuadrado.

3.Desarrolle el triángulo de Pascal.

4.Desarrolle el binomio de Newton.

5.Factorice en general un trinomio cuadrado perfecto, una diferencia de cuadrados, una suma de cubos y una diferencia de cubos.

6.Resuelva la ecuación ax2 bx c 0 por completación de cuadrados.

7.Resuelva un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables por los métodos de suma y resta, igualación, sustitución y determinantes.

8.Resuelva un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables de manera algebraica y por determinantes.

Trigonometría

1.Clasifique los diferentes tipos de ángulos.

2.Defina ángulos suplementarios y complementarios.

3. Clasifique los triángulos con base en sus lados.

4.Clasifique los triángulos con base en sus ángulos.

5.Para cada uno de los diferentes tipos de triángulos, trace el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.

6.Enuncie el teorema de Pitágoras.

7.Trace la gráfica de las seis funciones trigonométricas.

8.Escriba la definición de las seis funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal.

9. Escriba la definición de las seis funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo.

10.Determine los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos 0° , 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y 360° .

11.Determine los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

12.Resuelva un problema aplicando la ley de senos.

13.Resuelva un problema aplicando la ley de cosenos.

14.Enuncie las identidades fundamentales de recíprocos, de cociente y de cuadrados.

15.Enuncie las identidades de suma y diferencia de dos ángulos.

16.Enuncie las identidades de argumento doble.

17.Enuncie las identidades de argumento mitad.

18.Enuncie las propiedades de los logaritmos.

Geometría

1.Determine en general la distancia entre dos puntos.

2.Escriba la definición de pendiente de una recta.

3. Describa las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

4.Describa la ecuación de una recta en sus formas punto-pendiente, pendienteordenada, simétrica y general.

5.Determine la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

6.Dado un triángulo con vértices P(x1, y1), Q (x2, y2) y R(x3, y3), determine su área de tres maneras diferentes.

7.Determine de manera analítica el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro de un triángulo con vértices dados P(x1, y1), Q (x2, y2) y R(x3, y3).

8.Escriba las ecuaciones de las cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) en forma canónica y en forma ordinaria. Grafique cada una de ellas.

9.Determine la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos fijos P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3).

10.Describa las condiciones que deben cumplirse para que la ecuación general de segundo grado Ax 2 Cy 2 Dx 2 Ey 2 F 0 represente una recta, una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola.

Cálculo diferencial

En los problemas 1 a 4 resuelva las desigualdades indicadas. 1.

4.Enuncie la definición de límite de una función.

En los problemas 5 a 10 calcule los límites indicados.

8. lím

9. Enuncie la definición de continuidad de una función.

10. Enuncie la definición de derivada.

En los problemas 11 a 15 calcule la derivada de las funciones dadas. 11.

En los problemas 16 a 20 evalúe la derivada implícita de las funciones dadas. 16.

30, determine (a) los máximos y mínimos locales, (b) puntos de inflexión, (c) intervalos de monotonía y (d) grafique.

20. Determine el área del mayor cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo de radio r

La integral y el teorema fundamental del cálculo 1

COMENTARIO En el ejemplo 1(e), note que k es la variable y el factor 1/n se mantiene constante. ¿Qué factor es constante en el ejemplo 1(f )?

Emplear la notación sigma para escribir y calcular una suma. Entender el concepto de área. Aproximar el área de una región plana. Determinar el área de una región plana usando límites.

Notación sigma

En esta unidad se estudia un problema histórico del cálculo: encontrar el área de una región en el plano. Luego, en las secciones 1.2 y 1.3 se estudiarán los conceptos de integral definida e integral indefinida. Y finalmente, en la sección 1.4 se descubrirá que todos estos conceptos están estrechamente relacionados por medio de un teorema muy importante conocido como teorema fundamental del cálculo. Iniciamos introduciendo una notación utilizada para sumas. Esta notación recibe el nombre de notación sigma debido a que utiliza la letra griega mayúscula sigma, ∑

Notación sigma

La suma de n términos a1, a2, a3,…, an se escribe como ∑ n i = 1 ai = a1 + a2 + a3 + + an donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n

COMENTARIO Los límites superior e inferior de la suma deben ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es válido.

con la notación sigma

En los incisos (a) y (b), observe que la misma suma puede representarse de maneras diferentes utilizando la notación sigma.

Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i, j y k. Observe en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la suma desarrollada.

LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS

El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pidió a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro solamente pudo mirarlo con asombro. Esto fue lo que hizo

Gauss:

1 + 2 + 3 + . . . + 100

100 + 99 + 98 + + 1

101 + 101 + 101 + + 101

100 × 101

2 = 5050

Esto se generaliza por medio del teorema 1.1, propiedad 2, donde

100 i = 1 i = 100(101) 2 = 5050

Las siguientes propiedades de la sumatoria empleando la notación sigma se deducen de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y de la propiedad distributiva de la adición en la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

El siguiente teorema lista algunas fórmulas útiles para la suma de potencias.

TEOREMA 1.1 Fórmulas de sumatoria

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para una interpretación geométrica de las fórmulas de suma, consulte el artículo “Looking at ∑ n k = 1 k and ∑ n k = 1 k 2

Geometrically”, de Eric Hegblom, en Mathematics Teacher. Para ver este artículo, visite MathArticles.com (disponible solo en inglés).

Una demostración de este teorema se da en el apéndice A.

Solución Use el álgebra y el teorema 1.1 para simplificar la suma.

Después de esto se puede encontrar la suma sustituyendo los valores apropiados de n, como se muestra en la tabla.

000

En el ejemplo 2, note que en la tabla la suma parece aproximarse a un límite conforme n aumenta. Aunque regularmente los límites al infinito consideran una variable x, donde x puede ser cualquier número real, muchos de los resultados siguen siendo válidos cuando una variable n se restringe a valores enteros positivos. Así, para encontrar el límite de (n + 3)/2n cuando n tiende a infinito, se puede escribir

Para ver las figuras a color, acceda al código

Área

En la geometría euclidiana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo. Aunque la gente a menudo afirma que la fórmula para el área de un rectángulo es

A = bh

resulta más apropiado decir que esta es la definición del área de un rectángulo

A partir de esta definición, se pueden deducir fórmulas para áreas de muchas otras regiones planas. Por ejemplo, para determinar el área de un triángulo, se puede formar un rectángulo cuya área es dos veces la del triángulo, como se indica en la figura 1.1. Una vez que sabe cómo encontrar el área de un triángulo, se puede determinar el área de cualquier polígono subdividiéndolo en regiones triangulares, como se ilustra en la figura 1.2.

h

Triángulo: Figura 1.1

b

Paralelogramo HexágonoPolígono Figura 1.2

Hallar las áreas de regiones diferentes de los polígonos es más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de determinar fórmulas para las áreas de algunas regiones generales (principalmente aquellas delimitadas por las cónicas) mediante el método de agotamiento. La descripción más clara de este método fue dada por Arquímedes. En esencia, el método es un proceso de límite en el que el área se encierra entre dos polígonos (uno inscrito en la región y uno circunscrito alrededor de la región).

ARQUÍMEDES (287-212 a. C.)

Arquímedes utilizó el método de agotamiento para deducir fórmulas para las áreas de elipses, segmentos parabólicos y sectores de una espiral. Se le considera el más grande matemático aplicado de la Antigüedad.

Consulte LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés) para leer más de esta biografía.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para un desarrollo alternativo de la fórmula para el área de un círculo, consulte el artículo “Proof Whitout Words: Area of a Disk is pR2”, de Russell Jay Hendel, en Mathematics Magazine. Para leer este artículo, visite MathArticles.com (disponible solo en inglés).

Por ejemplo, en la figura 1.3 el área de una región circular se aproxima mediante un polígono inscrito de n lados y un polígono circunscrito de n lados. Para cada valor de n el área del polígono inscrito es menor que el área del círculo, y el área del polígono circunscrito es mayor que el área del círculo. Además, a medida que n aumenta, las áreas de ambos polígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones del área del círculo.

n = 6

Método de agotamiento para determinar el área de una región circular

Figura 1.3

n = 12

Un proceso similar al que usó Arquímedes para determinar el área de una región plana se usa en los ejemplos restantes en esta sección.

El área de una región plana

Al recordar que los orígenes del cálculo están relacionados con dos problemas clásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. En el ejemplo 3 se inicia la investigación del problema del área.

EJEMPLO 3 Aproximar el área de una región plana

Use los cinco rectángulos de la figura 1.4(a) y 1.4(b) para determinar dos aproximaciones del área de la región que se encuentra entre la gráfica de

f (x) =−x2 + 5

y el eje x entre x = 0 y x = 2

Solución

a. Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son

2

5 i Extremos derechos.

donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 2 5 , y la altura de cada rectángulo se puede obtener al hallar f en el punto terminal derecho de cada intervalo.

Evalúe f en los extremos de la derecha de estos intervalos. La suma de las áreas de los cinco rectángulos es

Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región parabólica, se puede concluir que el área de la región parabólica es mayor que 6.48.

b. Los extremos izquierdos de los cinco intervalos son

2 5 (i 1) Extremos izquierdos.

donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 2 5 , y la altura de cada uno puede obtenerse evaluando f en el extremo izquierdo de cada intervalo. Por tanto, la suma es

Debido a que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de las cinco regiones rectangulares, es posible concluir que el área de la región parabólica es menor que 8.08.

Combinando los resultados de los incisos (a) y (b), puede concluir que

6.48 < (Área de la región) < 8.08

Al incrementar el número de rectángulos utilizados en el ejemplo 3, puede obtener aproximaciones más y más cercanas al área de la región. Por ejemplo, al utilizar 25 rectángulos, cada uno de ancho 2 25 , puede concluir que

7.1712 < (Área de la

< 7.4912

integral y el teorema fundamental del cálculo

Encontrar el área por definición

Piense en el procedimiento utilizado para encontrar el área en el ejemplo 3. ¿Puede generalizarse este procedimiento para determinar áreas debajo de otras curvas? Considere la región plana mostrada en la figura 1.5. La cota superior de la región es la gráfica de y 5 f (x), la cota inferior es el eje x y los límites izquierdo y derecho son las rectas verticales x 5 a y x 5 b. También considere que la función f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b].

Para aproximar el área de la región, comience subdividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho

∆ x = b a n Ancho de cada subintervalo.

como se muestra en la figura 1.6. Los extremos de los intervalos son

a + 0(∆ x) < a + 1(∆ x) < a + 2(∆ x) < < a + n(∆ x)

Como f es continua, el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un valor mínimo y uno máximo de f en cada subintervalo.

f

Región bajo una curva. Figura 1.5 b a x

x f (mi) f (Mi ) y

f (mi) = valor mínimo de f en el i-ésimo subintervalo f (Mi) = valor máximo de f en el i-ésimo subintervalo

A continuación defina un rectángulo inscrito que se encuentre dentro de la i-ésima subregión y un rectángulo circunscrito que se extienda fuera de la i-ésima subregión. La altura del i-ésimo rectángulo inscrito es f (mi) y la altura del i-ésimo rectángulo circunscrito es f (Mi). Para cada i, el área del rectángulo inscrito es menor que o igual que el área del rectángulo circunscrito.

Área del rectángulo inscrito = f (mi ) Δ x ≤ f (Mi ) Δ x = Área del rectángulo circunscrito

La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre de suma inferior, y la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos se conoce como suma superior

Suma inferior = s(n) = ∑ n i = 1 f (mi ) ∆ x Área de rectángulos inscritos.

Suma superior = S(n) = ∑ n i 1 f (Mi ) ∆ x Área de rectángulos circunscritos.

En la figura 1.7 se puede observar que la suma inferior s(n) es menor o igual que la suma superior S(n). Además, el área real de la región se encuentra entre estas dos sumas.

s(n) # (Área de la región) ≤ S(n)

Para ver las figuras a color, acceda al código

y = f (x) y

y y = f (x) s (n) ab x

El área de los rectángulos inscritos es menor que el área de la región.

Área de la región

El área de los rectángulos circunscritos es mayor que el área de la región

MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

EJEMPLO 4 Hallar las sumas superior e inferior de una región

Determine la suma superior e inferior de la región delimitada por la gráfica de f(x) = x2 y el eje x entre x = 0 y x = 2.

Solución Para empezar, divida el intervalo [0, 2] en n subintervalos, cada uno de ancho

La figura 1.8 muestra los puntos terminales de los subintervalos y varios de los rectángulos inscritos y circunscritos. Como f es creciente en el intervalo [0, 2], el valor mínimo en cada subintervalo ocurre en el extremo izquierdo, y el valor máximo ocurre en el extremo derecho.

Exploración

Para la región dada en el ejemplo 4, calcule la suma inferior

s n 8 3 4 n 4 3n2 y la suma superior

S n 8 3 4 n 4 3n2

para n = 10, 100 y 1000. Utilice los resultados para determinar el área de la región.

El ejemplo 4 ilustra algunos aspectos importantes acerca de las sumas inferior y superior. Primero, observe que para cualquier valor de n, la suma inferior es menor (o igual) que la suma superior.

S n Suma inferior < suma superior.

Segundo, la diferencia entre estas dos sumas disminuye cuando n aumenta. De hecho, si se toman los límites cuando n → ∞, tanto la suma superior como la suma inferior se aproximan a 8 3

Límite de la suma inferior.

de la suma superior.

El siguiente teorema muestra que la equivalencia de los límites (cuando n → ) de las sumas superior e inferior no es una mera coincidencia. Este teorema es válido para toda función continua no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. La demostración de este teorema es más adecuada para un curso de cálculo avanzado.

TEOREMA 1.2 Límites de las sumas superior e inferior

Sea f una función continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Los límites cuando n → de las sumas inferior y superior existen y son iguales entre sí. Esto es

Límite de la suma inferior.

Límite de la suma superior. donde ∆x = (b – a)@n y f (mi) y f (Mi) son los valores mínimo y máximo de f en el subintervalo.

Para ver la figura a color, acceda al código

En el teorema 1.2 se obtiene el mismo límite tanto con el valor mínimo f (mi) como con el valor máximo f (Mi). Por tanto, a partir del teorema de compresión, se deduce que la elección de x en el i-ésimo intervalo no afecta al límite. Esto significa que está en libertad de elegir cualquier valor de x arbitrario en el i-ésimo subintervalo, como en la siguiente definición del área de una región en el plano.

Definición del área de una región en el plano

Sea f una función continua y no negativa en el intervalo [a, b] (vea la figura 1.9). El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es donde y

Figura 1.9

EJEMPLO 5

Hallar el área mediante la definición de límite

Encuentre el área de la región limitada por la gráfi ca f ( x ) = x 3, el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 1, como se muestra en la figura 1.10.

Solución Comience observando que la función f es continua y no negativa en el intervalo [0, 1]. Después, divida el intervalo [0, 1] en n subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 1yn. De acuerdo con la definición de área, se puede elegir cualquier valor de x en el i-ésimo subintervalo. En este ejemplo, los extremos derechos ci = iyn resultan adecuados.

el límite.

Extremos derechos: ci = i n

Factorice la constante 1 n4 de la suma.

Teorema 1.1, propiedad 4.

Simplifique.

Evalúe el límite.

EJEMPLO 6 Hallar el área mediante la definición de límite

Consulte LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés) para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Determine el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = 4 – x2, el eje x y las rectas verticales x = 1 y x = 2, como se muestra en la figura 1.11.

Solución La función f es continua y no negativa en el intervalo [1, 2]. Por tanto, comience dividiendo el intervalo en n subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 1/n. Eligiendo el extremo derecho

al

Unidad 1

La integral y el teorema fundamental del cálculo

El último ejemplo en esta sección considera una región limitada por el eje y (en vez del eje x).

EJEMPLO 7 Una región limitada por el eje y Encuentre el área de la región limitada por la gráfica de f (y) = y2 y el eje y para 0 # y # 1 como se muestra en la figura 1.12.

Solución Cuando f es una función continua y no negativa de y, se puede seguir utilizando el mismo procedimiento básico que se ilustró en los ejemplos 5 y 6. Comience dividiendo el intervalo [0, 1] en n subintervalos, cada uno de ancho ∆y = 1/n. Después utilice los puntos terminales superiores ci = i/n, para obtener

el límite.

Puntos terminales superiores: ci = i n

El área de la región acotada por la gráfica de f, el eje y para 0 ≤ y ≤ 1 es

Figura 1.12 1

Factorice la constante 1 n3 de la suma.

Teorema 1.1, propiedad 3.

Para ver las figuras a color, acceda al código

COMENTARIO En la sección 3.6 se aprenderá acerca de otros métodos de aproximación. Uno de los métodos, la regla del trapecio, es similar a la regla del punto medio.

En los ejemplos 5, 6 y 7 se elige un valor de ci que sea conveniente para el cálculo del límite. Debido a que cada límite da el área exacta para cualquier ci no hay necesidad de encontrar valores que den buenas aproximaciones cuando n es pequeña. Sin embargo, para una aproximación, debe tratar de encontrar un valor de ci que dé una buena aproximación del área de la i-ésima subregión. En general, un buen valor para elegir es el punto medio del intervalo, ci xi xi 1 2, y se aplica la regla del punto medio

Área n i 1 f xi xi 1 2 x

Regla del punto medio.

EJEMPLO 8 Aproximar el área con la regla del punto medio

Utilice la regla del punto medio con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de f (x) = sen x y el eje x para 0 # x # p como se muestra en la figura 1.13.

Solución Para x 4. n 4, A continuación se muestran los puntos medios de las subregiones.

El área de la región limitada por la gráfica de f (x) = sen x y el eje x para 0 # x # p es aproximadamente de 2.052.

Figura 1.13

Así, el área se aproxima por que es aproximadamente 2 052

1.1 Ejercicios

Las respuestas a los ejercicios seleccionados pueden consultarse al final del libro.

1. Identifique el índice de suma, el límite superior de suma y el límite inferior de suma para ∑ 8 i = 3 (i 4)

2. Encuentre el valor n.

(a) ∑ n i = 1 i = 5(5 + 1) 2 (b) ∑ n i = 1 i 2 = 20(20 + 1)[2(20) + 1] 6

4. Explique cómo encontrar el área de una región plana utilizando límites.

Encontrar la suma En los ejercicios 5 a 10, encuentre la suma agregando cada término. Use la función de suma de la herramienta de graficación para comprobar el resultado.

Usar la notación sigma En los ejercicios 11 a 16, use la notación sigma para escribir la suma.

Evaluar una suma En los ejercicios 17 a 24, utilice las propiedades de la notación sigma y el teorema 1.1 para evaluar la suma. Utilice la función de suma de alguna herramienta de graficación para comprobar el resultado.

2i + 1 n

2

n i = 1 7j + 4 n2

n3 28. ∑ n i = 1 2i 3 3i n4

30. f (x) = 9 x, [2, 4], 6 rectángulos

31. g(x) = 2x 2 x 1, [2, 5], 6 rectángulos

32. g(x) = x 2 + 1, [1, 3], 8 rectángulos

33. f (x) = cos x, 0, 2 , 4 rectángulos

34. g(x) = sen x, [0, ], 6 rectángulos

Para ver las figuras a color, acceda al código

Usar sumas superior e inferior En los ejercicios 35 y 36, delimite el área de la región sombreada aproximando las sumas superior e inferior. Utilice rectángulos de ancho 1.

x 12345 1 2 3 4 5 f y 36. x 12345 1 2 3 4 5 f y

37. y = x 38. y = x + 2 x 1 1 y 12 1 2 x 3 y

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39. y = 1 x 40. y = 1 x 2

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 47 a 56, utilice el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x en el intervalo indicado. Dibuje la región.

Encontrar sumas superiores e inferiores para una región En los ejercicios 41 a 44, encuentre las sumas superiores e inferiores para la región acotada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado. Exprese su respuesta en términos del número de subintervalos n.

Función Intervalo

41. f (x) = 3x [0, 4]

42. f (x) = 6 2x [1, 2]

43. f (x) = 5x2 [0, 1]

44. f (x) = 9 x2 [0, 2]

45. Razonamiento numérico Considere un triángulo de área 2 delimitado por las gráficas de y = x, y = 0 y x = 2.

(a)Dibuje la región.

(b) Divida el intervalo [0, 2] en n subintervalos de igual ancho y demuestre que los puntos terminales son

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 57 a 62, utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje y en el intervalo y indicado. Dibuje la región.

(c)Demuestre que

(d)Demuestre que

(e)Encuentre s(n) y S(n) para n 5, 10, 50 y 100.

(f)Demuestre que lím n → s n lím n → S n 2.

46. Razonamiento numérico Considere un trapezoide de área 4 delimitado por las gráficas de y = x, y = 0, x = 1 y x = 3.

(a)Dibuje la región.

(b) Divida el intervalo [1, 3] en n subintervalos de igual ancho y demuestre que los puntos terminales son

Aproximar el área con la regla del punto medio En los ejercicios 63 a 66, utilice la regla del punto medio con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado.

63. f (x) = x 2 + 3, [0, 2]

64. f (x) = x 2 + 4x, [0, 4]

65. f (x) = tan x, 0, 4

66. f (x) = cos x, 0, 2

Para ver las figuras a color de las páginas 12 y 13, acceda al código

Exploración de conceptos

67. Determine qué valor aproxima mejor el área de una región acotada por la gráfica de f (x) 5 4 x2 y el eje x en el intervalo [0, 2]. Haga su selección con base en la gráfica de la región y no por la realización de cálculos. (a) 2 (b) 6 (c) 10 (d) 3 (e) 8

(c)Demuestre que

(d)Demuestre que

(e)Encuentre s(n) y S(n) para n 5, 10, 50 y 100.

(f)Demuestre que lím n → s n lím n → S n 4.

68. Una función es continua, no negativa, cóncava hacia arriba y decreciente en el intervalo [0, a]. ¿Produce el uso de los puntos extremos derechos de los subintervalos una estimación mayor o menor del área de una región acotada por la gráfica de una función y el eje x?

69. Explique por qué la regla del punto medio casi siempre resulta en una mejor aproximación del área en comparación con el método del punto extremo.

70. ¿Proporciona la regla del punto medio el área exacta entre la gráfica de una función y el eje x? Explique su respuesta.

71. Razonamiento gráfico Considere la región delimitada por la gráfica de y y 0 x 4 x 0, f x 8x x 1), , como se muestra en la figura.

(a)Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos que representan a la suma inferior cuando n = 4. Encuentre esta suma inferior.

(b)Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos que representan la suma superior cuando n = 4. Determine esta suma superior.

(c)Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos cuyas alturas se determinan mediante los valores funcionales en el punto medio de cada subintervalo cuando n = 4. Determine esta suma utilizando la regla del punto medio.

(d)Compruebe las siguientes fórmulas al aproximar el área de la región utilizando n subintervalos de igual ancho.

Suma inferior:

Suma superior:

s n n i 1 f i 1 4 n 4 n

S n n i 1 f i 4 n 4 n

Regla del punto medio: M n n i 1 f i 1 2 4 n 4 n

(e)Utilice una herramienta de graficación para crear una tabla de los valores de S(n) y M(n) para n = 4, 8, 20, 100 y 200.

(f)Explique por qué s(n)aumenta y S(n) disminuye para valores crecientes de n, como se muestra en la tabla en el inciso (e).

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 73 y 74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué oproporcione un ejemplo que lo demuestre.

73. La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + 1)/2. 74. Si f es continua y no negativa sobre [a, b], entonces los límites cuando n → de su suma inferior s(n) y de su suma superior S(n) existen ambos y son iguales.

75. Redacción Utilice la figura para escribir un pequeño pá rrafo donde explique por qué la fórmula de la suma 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n = 1 2 n(n + 1) es válida para todos los enteros positivos n.

θ

76. Razonamiento gráfico Considere un polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio r. Una los vértices del polígono al centro del círculo, formando n triángulos congruentes (vea la figura).

(a)Determine el ángulo central u en términos de n.

(b)Demuestre que el área de cada triángulo es 1 2 r 2 sen .

(c) Sea An la suma de las áreas de los n triángulos. Encuentre lím n → An

77. Capacidad de asientos

¿CÓMO LO VE? La función que se muestra en la gráfica siguiente es creciente en el intervalo [1, 4]. El intervalo se divide en 12 subintervalos.

(a)¿Cuáles son los puntos terminales izquierdos del primer y último subintervalos?

(b) ¿Cuáles son los puntos terminales derechos de los primeros dos subintervalos?

(c)Cuando se usan los puntos terminales derechos, ¿se trazan rectángulos arriba o debajo de las gráficas de la función?

(d) ¿Qué se puede concluir acerca de las alturas de los rectángulos cuando la función es constante en el intervalo dado?

Un maestro coloca n asientos para formar la fila de atrás de un diseño de aula. Cada fila sucesiva contiene dos asientos menos que la fila anterior. Encuentre una fórmula para el número de asientos utilizados en el diseño.

(Pista: El número de asientos en el diseño depende de si n es par o impar.)

78. Demostración Demuestre cada fórmula mediante inducción matemática. (Si es necesario se puede revisar el método de demostración por inducción matemática en un texto de precálculo.) (a)(b) n

DESAFÍO DEL EXAMEN PUTNAM

79. Un dardo, lanzado al azar, incide sobre un blanco cuadrado. Suponiendo que cualesquiera de las dos partes del blanco de igual área son igualmente probables de ser golpeadas por el dardo, encuentre la probabilidad de que el punto de incidencia sea más cercano al centro que a cualquier borde. Escriba la respuesta en la forma a b c d, donde a, b, c y d son enteros positivos.

Este problema fue preparado por el Committeeon the Putnam Prize Competition.

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Unidad 1 La integral y el teorema fundamental del cálculo

1.2 Sumas de Riemann y la integral definida

Describir una suma de Riemann. Evaluar una integral definida utilizando límites y fórmulas trigonométricas. Evaluar una integral definida utilizando las propiedades de las integrales definidas.

Sumas de Riemann

En la definición de área dada en la sección 1.1, las particiones tenían subintervalos de igual ancho. Esto se hizo solo por conveniencia de cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener subintervalos de igual ancho.

EJEMPLO 1 Una partición con subintervalos de anchos desiguales

Considere la región acotada por la gráfica de f x x y el eje x para 0 # x # 1, como se muestra en la figura 1.14. Encuentre el límite

donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por ci = i 2yn2 y ∆xi es el ancho del i-ésimo intervalo.

Solución El punto terminal izquierdo del i-ésimo intervalo es (i 1)2yn2. Así, el ancho del i-ésimo intervalo es

Reste las fracciones y expanda el binomio.

De acuerdo con el ejemplo 7 de la sección 1.1, se sabe que la región mostrada en la figura 1.15 tiene un área de 1 3 Debido a que el cuadrado acotado por 0 # x # 1 y 0 # y # 1 tiene un área de 1, se puede concluir que el área de la región que se muestra en la figura 1.14 es 2 3. Esto concuerda con el límite encontrado en el ejemplo 1, aun cuando en ese ejemplo utilizó una partición con subintervalos de anchos desiguales. La razón por la que esta partición particular da el área apropiada es que cuando n crece, el ancho del subintervalo más grande tiende a cero. Esta es la característica clave del desarrollo de las integrales definidas.

El matemático alemán Riemann realizó su trabajo más notable en las áreas de la geometría no euclidiana, ecuaciones diferenciales, y la teoría de números. Fueron los resultados de Riemann en física y matemáticas los que conformaron la estructura en la que se basa la teoría de la relatividad general de Einstein. Consulte LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés) para leer más de esta biografía.

1.2 Sumas de Riemann y la integral definida

En la sección 1.1 se utilizó el límite de una suma para definir el área de una región en el plano. La determinación del área por este medio es solo una de las muchas aplicaciones que involucran el límite de una suma. Un enfoque similar puede utilizarse para determinar cantidades diversas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajo y áreas de superficies. La siguiente definición se nombró en honor a Georg Friedrich Bernhard Riemann. Aunque la integral definida se había utilizado con anterioridad, fue Riemann quien generalizó el concepto para cubrir una categoría más amplia de funciones.

En la siguiente definición de una suma de Riemann, observe que la función f no tiene otra restricción que haber sido definida en el intervalo [a, b]. (En la sección 1.1, la función f se supuso continua y no negativa, debido a que se trabajó con un área bajo una curva.)

Definición de suma de Riemann

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea ∆ una partición de [a, b] dada por

a x0 < x1 < x2 < . . . < xn 1 < xn b donde Δxi es el ancho del i-ésimo subintervalo i-ésimo subintervalo. xi 1, xi

Si ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo entonces la suma

xi 1 ci xi n i 1 f ci xi ,

se denomina suma de Riemann de f para la partición ∆. (Las sumas de la sección 1.1 son ejemplos de sumas de Riemann, pero hay sumas de Riemann más generales que las cubiertas aquí.)

El ancho del subintervalo más grande de la partición ∆ es la norma de la partición y se denota por medio de ∆ . Si todos los intervalos tienen el mismo ancho, la partición es regular y la norma se denota mediante

Partición regular o trivial. x b a n

En una partición general, la norma se relaciona con el número de subintervalos en [a, b] por medio de la desigualdad

Partición general b a n

Por tanto, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a cero. Esto es, implica que n → → 0 La afirmación recíproca de este enunciado no es verdadera. Por ejemplo, sea ∆n la partición del intervalo [0, 1] dado por 0 < 1 2n < 1 2n 1 < . . . < 1 8 < 1 4 < 1 2 < 1 Como se muestra en la figura 1.16, para cualquier valor positivo de n, la norma de la partición ∆n es 1 2. Por tanto, hacer que n tienda a infinito no obliga a que ∆ se aproxime a 0. En una partición regular, sin embargo, los enunciados y n → → 0 son equivalentes.

COMENTARIO Más adelante en esta unidad aprenderá métodos convenientes para calcular b a f x dx para funciones continuas. Por ahora, debe usar la definición de límite.

La integral definida

Para definir la integral definida, considere el siguiente límite

lím → 0

n i 1 f ci xi L

Afirmar que este límite existe significa que hay un número real L, tal que para toda e > 0 existe una d . 0 tal que para toda partición de ∆ , d, se deduce que L n i 1 f ci xi <

a pesar de cualquier elección de ci en el i-ésimo subintervalo de cada partición de ∆

Definición de una integral definida

Si una función f está definida en el intervalo cerrado [a, b] y el límite de las sumas de Riemann sobre las particiones ∆

lím → 0

n i 1 f ci xi

existe (como se describió antes), entonces se dice que f es integrable en [a, b] y el límite se denota por lím → 0

n i 1 f ci xi b a f x dx

El límite recibe el nombre de integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de integración, y el número b es el límite superior de integración.

No es una coincidencia que la notación para integrales definidas sea similar a la que se utilizó para las integrales indefinidas. En la siguiente sección verá por qué, cuando se introduzca el teorema fundamental del cálculo. Por ahora, es importante observar que las integrales definidas y las integrales indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones

A pesar de que las sumas de Riemann fueron definidas para funciones con muy pocas restricciones, una condición suficiente para que una función f sea integrable en [a, b] es que sea continua en [a, b]. Una demostración de este teorema está más allá del objetivo de este texto.

TEOREMA 1.3 Continuidad implica integrabilidad

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Es decir, b a f x dx existe.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para obtener más información acerca de la historia de la integral definida, consulte el artículo “The Evolution of Integration”, de A. Shenitzer y J. Stepr ans, en The AmericanMathematical Monthly. Para ver este artículo, visite MathArticles.com (disponible solo en inglés).

Exploración

Inverso del teorema 1.3 ¿Es verdadero el inverso del teorema 1.3? Es decir, si una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explique su razonamiento y proporcione ejemplos.

Describa las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras condiciones?

Como la integral definida es negativa, no representa el área de la región

Figura 1.17

EJEMPLO 2

Evaluar una integral definida como límite

Encuentre la integral definida 1 2 2x dx

Solución La función f(x) = 2x es integrable en el intervalo [–2, 1] porque es continua en [–2, 1]. Además, la definición de integrabilidad implica que cualquier partición cuya norma tienda a 0 puede utilizarse para determinar el límite. Por conveniencia en los cálculos, defina ∆ subdividiendo [

en

del mismo ancho.

Eligiendo ci como el punto terminal derecho de cada subintervalo, obtiene

la integral definida

Se puede usar una integral definida para determinar el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x, x = a y x = b.

Figura 1.18

Debido a que la integral definida en el ejemplo 2 es negativa, esta no representa el área de la región que se muestra en la figura 1.17. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida sea interpretada como un área (como se estableció en la sección 1.1), la función f debe ser continua y no negativa en [a, b], como se establece en el siguiente teorema. La demostración de este teorema es directa: utilizar simplemente la definición de área dada en la sección 1.1, porque es una suma de Riemann.

TEOREMA 1.4 La integral definida como área de una región

Si una función f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por

Área b a f x dx

(Vea la figura 1.18.)

Unidad 1

La integral y el teorema fundamental del cálculo

Como un ejemplo del teorema 1.4, considere la región delimitada por la gráfica de f x 4x x2

y el eje x, como se muestra en la figura 1.19. Debido a que f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [0, 4], el área de la región es Área 4 0 4x x2 dx

Una técnica directa para hallar una integral definida como esta se analizará en la sección 1.4. Por ahora, se puede calcular una integral definida de dos maneras: usando la definición en términos de límites o verificando si la integral definida representa el área de una región geométrica común, tal como un rectángulo, triángulo o semicírculo.

EJEMPLO 3 Áreas de figuras geométricas comunes

Dibuje la región correspondiente a cada integral definida. A continuación, evalúe cada integral utilizando una fórmula geométrica.

a.b.c.

Solución En la figura 1.20 se muestra un dibujo de cada región.

a. Esta región es un rectángulo de altura 4 y ancho 2.

del rectángulo) 4 2 8

b. Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5. La fórmula para el área de un trapezoide es 1 2 h b1 b2

c. Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula para el área de un semicírculo es

La variable de integración en una integral definida algunas veces se denomina como variable muda porque puede ser sustituida por cualquier otra variable sin cambiar el valor de la integral. Por ejemplo, las integrales definidas

1.2 Sumas de Riemann y la integral definida

Propiedades de las integrales definidas

La definición de la integral definida de f en el intervalo [a, b] especifica que a , b. Sin embargo, ahora es conveniente extender la defi nición para cubrir casos en los cuales a = b o a . b. Geométricamente, las siguientes dos definiciones parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y altura finita igual a 0.

Definiciones de dos integrales definidas especiales

1. Si una función f está definida en x = a, entonces a a f x dx 0

2. Si una función f es integrable en [a, b], entonces a b f x dx b a f x dx

EJEMPLO 4 Calcular integrales definidas

Consulte LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés) para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Evalúe

a. b. 0 3 x 2 dx sen x dx

Solución

a. Debido a que la función seno se define en x = p, los límites superior e inferior de integración son iguales, se puede escribir

sen x dx 0

b. La integral 0 3 x 2 dx es la misma que la dada en el ejemplo 3(b), excepto por el hecho de que los límites superior e inferior se intercambian. Debido a que la integral en el ejemplo 3(b), tiene un valor de 21 2 , se puede escribir

En la figura 1.21 la región más grande puede dividirse en x = c en dos subregiones cuya intersección es un segmento de recta. Como el segmento de recta tiene área cero, se concluye que el área de la región más grande es igual a la suma de las áreas de las dos regiones más pequeñas.

TEOREMA 1.5 Propiedad aditiva de intervalos

Si una función f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a, b y c, entonces

Debido a que la integral definida se entiende como el límite de una suma, hereda las propiedades de la sumatoria dadas en la parte superior de la página 3.

TEOREMA 1.6Propiedades de las integrales definidas

Si las funciones f y g son integrables en [a, b] y k es una constante, entonces las funciones kf y f ± g son integrables en [a, b], y

1.

COMENTARIO Observe que la propiedad 2 del teorema 1.6 puede ser extendida a cualquier número finito de funciones (vea el ejemplo 6).

b a kf x dx k b a f x dx

2. b a f x ± g x ] dx b a f x dx ± b a g x dx

EJEMPLO

6 Evaluar una integral definida

Para ver la figura a color, acceda al código

Evalúe

Si las funciones f y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y 0 ≤ f (x) # g(x) para a ≤ x ≤ b, las siguientes propiedades son ciertas. Primero, el área de la región acotada por la gráfica de f y el eje x (entre a y b) debe ser no negativa. Segundo, esta área debe ser menor o igual que el área de la región delimitada por la gráfica de g y el eje x (entre a y b), como se muestra en la figura 1.23. Estos dos resultados se generalizan en el teorema 1.7.

TEOREMA 1.7

Conservación de desigualdades

1. Si f es una función integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces

2. Si las funciones f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] y f (x) # g(x) para toda x en [a, b], entonces

dx b a g x dx

En el apéndice A se da una demostración de este teorema.

1.2 Ejercicios Las

Repaso de conceptos

1. Explique qué representa una suma de Riemann.

2. Explique cómo encontrar el área de una región utilizando una integral definida.

Evaluar un límite En los ejercicios 3 y 4, utilice el ejemplo 1 como modelo para evaluar el límite

región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

Para ver las figuras a color, acceda al código

Evaluar una integral definida como un límite En los ejercicios 5 a 10, evalúe la integral definida mediante la definición de límite.

Escribir un límite como una integral definida En los ejercicios 11 y 12, escriba el límite como una integral definida en el intervalo dado, donde ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo.

Escribir una integral definida En los ejercicios 13 a 22, escriba una integral definida que represente el área de la región.

Evaluar una integral definida mediante una fórmula geométrica En los ejercicios 23 a 32, dibuje la región cuya área está dada por la integral definida. A continuación, use una fórmula geométrica para evaluar la integral (a > 0, r > 0).

Unidad 1 La integral y el teorema fundamental del cálculo

44. Usar las propiedades de integrales definidas Dadas y

Usar las propiedades de las integrales definidas En los ejercicios 33 a 40, evalúe la integral utilizando los siguientes valores.

4

45. Estimar una integral definida Utilice la tabla de valores para determinar las estimaciones inferiores y superiores de

Suponga que f es una función decreciente.

6 2 (x 14) dx

2 6x 1 8 x3 dx 39. 6 2 (2x3 10x + 7) dx 40. 6 2 (21 5x x3) dx

41. Usar las propiedades de las integrales definidas

x 0246810

46. Estimar una integral definida Utilice la tabla de valores para calcular

42. Usar las propiedades de las integrales definidas

Utilice tres subintervalos iguales y (a) los extremos izquierdos (b)los extremos derechos y (c) los puntos medios. Si f es una función creciente, ¿cómo se compara cada estimación con el valor real? Explique su razonamiento.

x 0123456 f x 60818305080

47. Piénselo La gráfica de una función f está compuesta por segmentos de recta y un semicírculo como se muestra en la figura. Evalúe cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

43. Usar las propiedades de integrales definidas Dadas y

48. Piénselo La gráfica de f consta de segmentos de recta, como se muestra en la figura. Evalúe cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

51. Piénselo Una función f se define a continuación. Utilice fórmulas geométricas para encontrar 8 0 f x dx

f x 4, x, x < 4 x 4

52. Piénselo Una función f se define a continuación. Utilice fórmulas geométricas para encontrar 12 0 f x dx.

f x 6, 1 2 x 9, x > 6 x 6

Exploración de conceptos

En los ejercicios 53 y 54, determine cuáles valores se aproximan mejor a la integral definida. Realice la selección con base en un dibujo.

53. 4 0 x dx

(a)5(b) 3 (c)10(d)2(e)8

49. Piénselo Considere la función f que es continua en el intervalo [

5, 5] y para la cual

Evalúe cada integral.

(c) (es par) (d) (es impar) f

54. 1 2 0 4 cos x dx

4 3 (c) 16(d) 2 (e) 6

55. Use una gráfica para explicar por qué a a f (x) dx = 0

si f está definida en x 5 a

56. Use una gráfica para explicar por qué b a kf (x) dx = k b a f (x) dx si f es integrable en [a, b] y k es una constante.

y

¿CÓMO LO VE? Utilice la figura para llenar los espacios con el símbolo <, > o =. Explique su razonamiento. x 123456

(a) El intervalo [1, 5] se divide en n subintervalos de igual ancho, x y x i es el punto terminal izquierdo del i -ésimo subintervalo.

57. Describa dos formas de evaluar 3 1 (x + 2) dx

Verifique que cada método da el mismo resultado.

58. Proporcione una función que sea integrable en el intervalo [–1, 1], pero no continua en [–1, 1].

Encontrar valores En los ejercicios 59 a 62, encuentre posibles valores de a y b que hagan el enunciado verdadero. Si es posible, use una gráfica para sustentar su respuesta. (Puede haber más de una respuesta correcta.)

(b) El intervalo [1, 5] se divide en n subintervalos de igual ancho x y xi es el punto terminal derecho del i-ésimo subintervalo.

Unidad 1 La integral y el teorema fundamental del cálculo

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 63 a 68, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, dé un ejemplo que demuestre que es falso.

63.

b a f x g x dx b a f x dx b a g x dx

64. b a f x g x dx b a f x dx b a g x dx

65. Si la norma de una partición tiende a cero, entonces el número de subintervalos tiende a infinito.

66. Si f es creciente en [ a , b ], entonces el valor mínimo de f en [ a , b] es f(a).

67. b a f (x) dx ≥ 0

68. 2 2 sen x2 dx = 0

69. Encontrar la suma de Riemann Encuentre la suma de Riemann para f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde

72. Demostración Demuestre que b a x 2 dx b 3 a 3 3

73. Piénselo Determine si la función de Dirichlet f x 1, 0, x es racional x es irracional es integrable en el intervalo [0, 1]. Explique.

70. Encontrar la suma de Riemann Encuentre la suma de Riemann para f (x) = sen x en el intervalo [0, 2p], donde

71. Demostración Demuestre que b a x dx b

x 0 0 < x 1 está definida en [0, 1], como se muestra en la figura. Demuestre que 1 0 f x dx no existe. ¿Contradice esto al teorema 1.3? ¿Por qué si o por qué no? 0.50.51.01.52.0

y x

Explique su razonamiento.

76. Encontrar valores Encuentre las constantes a y b , con a , 4 , b, tales que ∣ b a (x 4) dx∣ = 16y b a ∣x 4∣ dx = 20

77. Piénselo ¿Cuándo b a f (x) dx = b a ∣ f (x)∣ dx?

Explique su respuesta.

78. Función escalón Evalúe, si es posible, la integral 2 0 x dx

79. Usar las sumas de Riemann Determine lím n →

1 n3 12 22 32 . . . n2 () utilizando una suma de Riemann apropiada.

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1.3 La antiderivada (o la integral indefinida)

Escribir la solución general de una ecuación diferencial y usar la notación de integral indefinida para antiderivadas. Utilizar las reglas básicas de integración para encontrar antiderivadas. Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

Antiderivadas o primitivas

Exploración

Determinación de antiderivadas Para cada derivada describa la función original F.

a.

b.

c. d. e.

F x 2x

F x x

F x x2

F x 1 x2

F x 1 x3

f. F x cos x

¿Qué estrategia usó para determinar F?

Para encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x2, podría usarse lo que se sabe de derivadas, para concluir que

F(x) = x3 ya que d dx x 3 3x 2 La función F es una antiderivada de f.

Definición de una antiderivada (o primitiva)

Se dice que una función F es una antiderivada (o primitiva)de f en un intervalo I, si F ′(x) = f(x) para toda x en I.

Note que F se llama una antiderivada de f en vez de la antiderivada de f. Para entender por qué, observe que

Grandes ideas del cálculo

En esta unidad se estudiará la integración. La integración como derivación es un tema fundamental del cálculo. Curiosamente, como se aprenderá en el teorema fundamental del cálculo, estos dos temas principales tienen una relación inversa. Como parte del estudio de la integración se examinarán las áreas de regiones planas.

F2 x x 3 5

y F3 x x 3 97

F1 x x 3 , son todas antiderivadas de f(x) = 3x2. De hecho, para cualquier constante C, la función dada por F(x) = x3 + C es una antiderivada de f .

TEOREMA 1.8 Representación de antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para toda x en I, donde C es una constante.

Demostración La demostración del teorema 1.8 en un sentido es directa. Esto es, si G(x) = F(x) + C, F ′(x) = f (x) y C es constante, entonces

G x d dx F x C F x 0 f x

Para demostrar el teorema en otro sentido, se supone que G es una antiderivada de f . Se define una función H tal que

H x G(x F x

Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua sobre [a, b] y derivable dentro de (a, b). Por el teorema del valor medio

H c H b H a b a

para alguna c en (a, b). Sin embargo, H ′(c) = 0, por consiguiente H(a) = H(b). Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función constante C Así, G(x) – F(x) = C y por esto G(x) = F(x) + C.

Unidad 1 La integral y el teorema fundamental del cálculo

Si se utiliza el teorema 1.8 la familia completa de antiderivadas de una función se puede representar agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabiendo que

Dx x2 2x

se puede representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por

G(x) = x2 + C Familia de todas las antiderivadas de f (x) = 2x

donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f , y G(x) = x2 + C es la solución general de la ecuación diferencial

G ′(x) = 2x Ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que incluye a x, y y las derivadas de y. Es decir

y ′= 3x y y ′= x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO 1 Solución de una ecuación diferencial

Determine la solución general de la ecuación diferencial dy/dx 5 2. Solución Para empezar, determine una función cuya derivada es 2. Una función con esta característica es

y = 2x 2x es una antiderivada de 2.

Ahora bien, utilice el teorema 1.8 para concluir que la solución general de la ecuación diferencial es

Funciones de la forma y = 2x + C. Figura 1.24

y = 2x + C Solución general.

En la figura 1.24 se muestran las gráficas de varias funciones de la forma y = 2x + C. Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma dy dx f x Ecuación diferencial. es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente dy = f(x) dx Ecuación en forma diferencial.

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫. La solución se denota mediante y f x dx F x C

COMENTARIO En este texto, la notación f x dx = F ( x ) + C significa que F es una antiderivada de f en un intervalo.

Constante de integración Integrando

Variable de integración Una antiderivada de f (x)

La expresión f x dx se lee como la antiderivada de f respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinidaes sinónimo de antiderivada.

Reglas básicas de integración indefinida

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse sustituyendo F ′(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener

La integración indefinida es la “inversa” de la derivación F x dx F x C

Además, si f x dx F x C, entonces

La derivación es la “inversa” de la integración indefinida d dx f x dx f x

Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen.

Reglas básicas de integración indefinida Fórmula de derivación

d dx C 0

d dx kx k

d dx kf x kf x

d

dx f x ± g x f x ± g x

d dx x n nx n 1

d dx sen x cos x

dx cos x sen x

Fórmula de integración indefinida

0 dx C

k dx kx C

kf x dx k f x dx

f x ± g x dx f x dx ± g x dx

xn

n dx

n 1

Regla de la potencia

n

cos x dx sen x C x

sen x dx cos x C

sec x tan x dx sec x C

csc2 x dx cot x C

csc x cot x dx csc x C

Observe que la regla de la potencia para la integración tiene la restricción n ≠ –1. La fórmula de integración para

Antiderivada de la función recíproca.

se debe esperar hasta la introducción de la definición de la función logaritmo natural.

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COMENTARIO En el ejemplo 2, advierta que el patrón general de integración es similar al de la derivación.

Integral original

EJEMPLO 2 Describir antiderivadas

3x dx 3 x dx

3 x1 dx

3 x2 2 C

3 2 x2 C

Regla del múltiplo constante

Reescriba x como x1

Regla de la potencia (n = 1)

Simplifique.

Las antiderivadas de 3x son la forma 3 2 x2 C, donde C es cualquier constante. Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo 2, la solución se podría haber escrito

3x dx 3 x dx 3 x 2 2 C 3 2 x 2 3C

Sin embargo, como C representa cualquier constante, es problemático e innecesario escribir 3C como la constante de integración. Por tanto, 3 2 x2 3C se escribe en la forma más simple, 3 2 x2 C.

EJEMPLO 3 Reescribir antes de integrar

Consulte LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés) para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

COMENTARIO Las reglas de integración básicas permiten integrar cualquier función polinomial.

EJEMPLO 4 Integrar funciones polinomiales a. Se entiende que el integrando es 1

y

la constante.

La segunda línea en la solución suele omitirse.

1.3 La antiderivada (o la integral indefinida)

Uno de los pasos más importantes en la integración es reescribir el integrando en una forma que se ajuste a una de las reglas básicas de integración. Para ilustrar mejor este punto, observe cómo los integrandos se reescriben en los siguientes tres ejemplos.

EJEMPLO 5 Reescribir antes de integrar

Reescriba como dos fracciones

Reescriba con exponentes fraccionarios

Cuando integre cocientes no debe integrar numerador y denominador por separado. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. En el caso del ejemplo 5, asegúrese de entender que

EJEMPLO 6 Reescribir antes de integrar

Reescriba como un producto Reescriba utilizando identidades

EJEMPLO

Al hacer los ejercicios, tenga en cuenta que se puede comprobar la respuesta a un problema de antiderivación mediante la derivación. Como una muestra en el ejemplo 7(a) se puede comprobar que 4 x1 2 C es la antiderivada correcta derivando la respuesta para obtener

Unidad 1

La integral y el teorema fundamental del cálculo

Condiciones iniciales y soluciones particulares

Ha visto que la ecuación y f x dx tiene muchas soluciones (cada una difiere de las otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 1.25 muestra las gráficas de varias de las antiderivadas de la forma

Solución general y 3x2 1 dx x3 x C

para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solución de la ecuación diferencial

dy dx = 3x 2 1

Ecuación diferencial.

En muchas aplicaciones de la integración se da suficiente información para determinar una solución particular.Para hacer esto, solo necesita conocer el valor de y = F(x) para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial.Por ejemplo, en la figura 1.25, solo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva, utilice la solución general

F x x3 x C

y la condición inicial

F 2 4

Solución general

Condición inicial

Utilizando la condición inicial en la solución general, se puede determinar que

F 2 8 2 C 4

lo que implica que C =–2. Por tanto, la solución particular que pasa por (2, 4) es

F x x3 x 2

Solución particular

EJEMPLO 8 Determinar una solución particular

Encuentre la solución general de x > 0

y determine la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0.

Solución Para encontrar la solución general, integre para obtener Reescriba como una potencia

Utilizando la condición inicial F(1) = 0, resuelva para C de la siguiente manera.

Por tanto, la solución particular, como se muestra en la figura 1.26, es