Als Nullmenge (oder auch
-Nullmenge) bezeichnet man in der Mathematik eine Teilmenge
eines Maßraums
(genauer:
ist ein Element der zugehörigen σ-Algebra
), die das Maß null hat. Sie ist nicht mit der leeren Menge zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten.
Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge auch vernachlässigbare Mengen hinzu, d. h. solche, die Teilmenge einer Nullmenge, aber nicht notwendigerweise Element der
-Algebra sind und denen deswegen selbst eventuell kein Maß zugeordnet ist. Wird allen Mengen, die sich nur um eine solche vernachlässigbare Menge von einem Element der
-Algebra unterscheiden, ebenfalls ein Maß zugeordnet, spricht man von der Vervollständigung des Maßes, wie sie etwa in der Definition des Lebesgue-Maß verwendet wird.
Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer
-Nullmenge gilt, sagt man, dass sie
-fast überall gilt. Ist
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so sagt man auch
-fast sicher anstelle von
-fast überall.
Sei
ein Maßraum.
- Die leere Menge
bildet eine
-Nullmenge.
- Sei
eine Folge von
-Nullmengen, dann ist auch deren (abzählbare) Vereinigung eine
-Nullmenge, d. h. es gilt
Für das Lebesgue-Maß
auf
bzw.
auf
, dann gilt:
- Eine Teilmenge
von
ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn zu jedem
eine Folge
von achsenparallelen
-dimensionalen Würfeln oder Quadern existiert mit
und
.[1][2]
- Jede abzählbare Teilmenge des
ist eine Nullmenge. Insbesondere ist die Menge der rationalen Zahlen
in der Menge der reellen Zahlen
eine Nullmenge.
- Jeder echte Untervektorraum, insbesondere jede Hyperebene, des
ist eine Nullmenge. Dasselbe gilt für affine Unterräume und Untermannigfaltigkeiten, deren Dimension kleiner als
ist.
- Die Cantor-Menge ist eine überabzählbare Nullmenge in der Menge der reellen Zahlen.
- ↑ a b Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 143). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / u. a. 1990, ISBN 3-540-06461-3, § 6. Der Satz von Sard, Definitionen 6.1 und 6.3, S. 58–59 (Korrigierter Nachdruck. Mit „differenzierbar“ ist hier immer
gemeint.).
- ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel IX. Elemente der Maßtheorie, 5. Das Lebesguesche Maß, Theorem 5.1(v), S. 41.
- ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel XII. Integration auf Mannigfaltigkeiten, 1. Volumenmaße, Satz 1.6, S. 409.