Parameterdarstellung einer Hyperebene im dreidimensionalen Raum
Eine Hyperebene im
-dimensionalen euklidischen Raum
ist eine Teilmenge
der Form
,
wobei
ein Stützvektor der Hyperebene ist und
linear unabhängige Richtungsvektoren der Hyperebene sind.[1] Die Richtungsvektoren spannen dabei ein affines Koordinatensystem auf, wobei
die affinen Koordinaten eines Punkts der Hyperebene sind.
- Im eindimensionalen euklidischen Raum stellt jeder Punkt eine Hyperebene dar.
- Im zweidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Gerade eine Hyperebene dar.
- Im dreidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Ebene eine Hyperebene dar.
Neben der obigen Parameterform gibt es noch weitere Darstellungsformen für Hyperebenen. In Normalenform lautet die Darstellung einer Hyperebene
,
wobei
ein Normalenvektor der Hyperebene ist,
wieder ein Stützvektor der Hyperebene ist und
das Standardskalarprodukt zweier Vektoren bezeichnet.[2] In hessescher Normalform hat eine Hyperebene die entsprechende Darstellung
,
wobei
ein normierter und orientierter Normalenvektor der Hyperebene ist und
den Abstand der Hyperebene vom Koordinatenursprung beschreibt.[2] Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts des Raums von der Hyperebene.
In Koordinatenform lautet die Darstellung einer Hyperebene
,
wobei
sind und mindestens einer der Koeffizienten
ungleich null ist.[3] Die Koordinatenform ergibt sich aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren, wobei
und
gesetzt werden.
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit
Gleichungen und
Unbekannten ist der Schnitt von
Hyperebenen im
-dimensionalen Raum (im Bild ist
)
Wie aus der Koordinatenform ersichtlich, stellt die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit
Unbekannten der Form
eine Hyperebene im
-dimensionalen euklidischen Raum dar. Jede Zeile eines linearen Gleichungssystems beschreibt daher eine solche Hyperebene. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist dann der Schnitt aller dieser Hyperebenen.[3] Entsprechend dazu beschreibt die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung der Form
einen Halbraum im
-dimensionalen euklidischen Raum, der von einer Hyperebene begrenzt wird. Die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist dann der Schnitt solcher Halbräume und stellt damit ein konvexes Polytop dar, beispielsweise einen Hyperwürfel, ein Hyperrechteck oder einen Simplex (Hypertetraeder). Die lineare Optimierung beschäftigt sich mit Verfahren zur Maximierung einer vorgegebenen linearen Zielfunktion in einem konvexen Polytop.[4]
Eine Hyperebene heißt Stützhyperebene einer gegebenen Menge im euklidischen Raum, wenn sie den Rand der Menge schneidet und die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Ist die Menge konvex, dann existiert für jeden Randpunkt der Menge eine solche Stützhyperebene.[5]
Nach dem Satz von Stone-Tukey (englisch Ham sandwich theorem) können
beschränkte messbare Mengen im
-dimensionalen euklidischen Raum durch eine Hyperebene gleichzeitig jeweils halbiert werden.
In der linearen Algebra wird das Konzept der Hyperebene auf Vektorräume über beliebigen Körpern und beliebiger Dimension verallgemeinert.
Ist
ein Vektorraum über dem Körper
, dann ist eine Hyperebene eine Teilmenge
der Form
,
wobei
ein beliebiger Vektor und
ein Untervektorraum von
mit Kodimension
ist. Hyperebenen sind demnach maximale echte affine Unterräume, das heißt, jeder echte affine Unterraum ist in einer Hyperebene enthalten. Eine Hyperebene wird als lineare Hyperebene bezeichnet, wenn sie den Nullvektor enthält, das heißt, wenn in der Definition
gewählt werden kann.
In den folgenden Beispielen sei
ein Körper der Charakteristik
, beispielsweise die reellen oder komplexen Zahlen.
- Im Koordinatenraum
stellen die Koordinatenvektoren, die eine lineare Gleichung der Form
erfüllen, eine Hyperebene dar. Ist
, handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
- Im Matrizenraum
stellen die Matrizen, bei denen die Summe aller Einträge konstant ist, eine Hyperebene dar. Ist diese Konstante
, handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
- Im Polynomraum
stellen die Polynome der Form
, wobei
fest vorgegeben ist, eine Hyperebene dar. Im Fall
handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
- Im Funktionenraum
stellen die Funktionen
mit
für ein festes
und
eine Hyperebene dar. Im Fall
handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
Nachdem jeder Untervektorraum der Kodimension
auch als Kern eines linearen Funktionals
, das nicht das Nullfunktional ist, charakterisiert werden kann, hat eine Hyperebene die Darstellung[6]
.
Durch Setzen von
ergibt sich daraus dann die äquivalente Darstellung[6]
.
Hierbei sind
und
für eine gegebene Hyperebene nur bis auf einen gemeinsamen Faktor eindeutig bestimmt. Umgekehrt stellt das Urbild
für jedes lineare Funktional
, das ungleich dem Nullfunktional ist, und für jeden Skalar
eine Hyperebene dar.[6]
Diese Aussagen bleiben auch dann noch gültig, wenn
ein Schiefkörper und
ein Linksvektorraum über
ist.
In der Funktionalanalysis betrachtet man unendlichdimensionale Vektorräume über
oder
, auf denen eine Topologie erklärt ist, die sie zu topologischen Vektorräumen macht. Hier interessiert man sich besonders für Hyperebenen, die durch stetige lineare Funktionale definiert sind. Da ein lineares Funktional genau dann stetig ist, wenn sein Kern abgeschlossen ist,[7] definieren die stetigen linearen Funktionale ungleich dem Nullfunktional genau die abgeschlossenen Hyperebenen. Für normierte Räume, allgemeiner lokalkonvexe Räume, gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach sehr viele solcher stetigen linearen Funktionale und damit auch abgeschlossene Hyperebenen der Form
mit
. Diese Reichhaltigkeit schlägt sich im Trennungssatz nieder, nach dem zwei disjunkte konvexe, kompakte Mengen durch eine solche abgeschlossene Hyperebene getrennt werden können.
Die Trennungseigenschaft lässt sich auch für affine Räume über angeordneten Körpern mit dem Konzept der (starken) Seiteneinteilung verallgemeinern. Auch für nichtdesarguessche affine Ebenen existiert in gewissen Fällen eine (schwache) Seiteneinteilung durch Geraden.
Ist
der projektive Raum zu dem Vektorraum
, dann ist eine (projektive) Hyperebene eine Teilmenge
der Form
,
wobei
ein Untervektorraum von
der Kodimension eins ist und die Äquivalenzrelation
skalare Vielfache von Vektoren ungleich dem Nullvektor miteinander identifiziert. Die Hyperebenen in
sind demnach gerade die projektiven Unterräume der Kodimension eins. Eine projektive Hyperebene stellt selbst wieder einen projektiven Raum dar, nämlich gerade den Raum
. Ist
-dimensional, dann ist
-dimensional und
-dimensional.
Ist der zugrunde liegende Vektorraum
der euklidische Raum
, dann gibt es folgende Entsprechungen:
- Eine Hyperebene (ein Punkt) auf der projektiven Geraden
entspricht einer Ursprungsgerade in der euklidischen Ebene
.
- Eine Hyperebene (eine Gerade) in der projektiven Ebene
entspricht einer Ursprungsebene im euklidischen Raum
.
- Eine Hyperebene (eine Ebene) im projektiven Raum
entspricht einer Ursprungshyperebene im euklidischen Raum
.
Homogene Koordinaten zweier projektiver Hyperebenen
und
in der projektiven Ebene
Sind
die homogenen Koordinaten eines Punkts im
-dimensionalen projektiven Standardraum
, dann hat eine projektive Hyperebene
die Koordinatendarstellung
,
wobei
sind und mindestens einer der Koeffizienten
ungleich null ist.
Eine nichtdesarguessche projektive Ebene lässt sich jedoch nicht auf diese Weise koordinatisieren. Dort sind die Hyperebenen per Definition die Geraden.
Ist
eine Hyperebene in einem projektiven Raum
, dann stellt die Menge
einen affinen Raum dar, wobei
eine entsprechende Einbettung von
in
ist. Der Translationsraum von
ist dabei gerade der zu
zugehörige Untervektorraum
. Die Punkte von
heißen dann eigentlich, die Punkte von
uneigentlich oder Fernpunkte. Umgekehrt lässt sich jeder affine Raum durch disjunkte Vereinigung mit einer Fernhyperebene gleicher Dimension zu einem projektiven Raum
erweitern. Ist beispielsweise
und
, dann ist die zugehörige Einbettung
mit der Inversen
.
Eine Anwendung projektiver Hyperebenen in der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie bietet der Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte, der einen Zusammenhang zwischen der Gestalt einer komplexen projektiven Varietät und der Gestalt ihrer Untervarietäten herstellt.
In der endlichen Geometrie haben unter den endlichen affinen oder projektiven Geometrien diejenigen besondere Eigenschaften, bei denen – neben den gewöhnlichen Punkten als Punktmenge – speziell die Hyperebenen des Raumes als Blockmenge gewählt werden.
Reelle Geometrie und Funktionalanalysis
Lineare Algebra und analytische Geometrie
- Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I und II. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-13057-1.
- Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.
- Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.
Anwendungen in der Geometrie (Seiteneinteilung)
- Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
- Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann. Band 121. Teubner, 1949, S. 107–130.
- ↑ Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure Band II: Lineare Algebra. Springer, 2012, ISBN 978-3-8348-2267-3, S. 81.
- ↑ a b Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28646-9, S. 462.
- ↑ a b Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3, S. 41–42.
- ↑ Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 24.
- ↑ Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 247.
- ↑ a b c Max Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-96772-6, S. 167.
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Volume I, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 1.2.5