Dreiecksregel
Abtragbarkeitsregel
Gegeben seien eine Menge
, deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst werden, ein Vektorraum
über einem Körper
und eine Abbildung von
nach
, die zwei Punkten
einen Verbindungsvektor
zuordnet, so dass die folgenden beiden Regeln gelten:
- für je drei Punkte
gilt:
(Dreiecksregel, Beziehung von Chasles),
- für jeden Punkt
und jeden Vektor
gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt
, so dass
(Abtragbarkeitsregel).[1]
Das Tripel
heißt affiner Raum. Wenn klar ist, welcher Vektorraum
und welche Pfeilabbildung
zugrunde liegt, spricht man auch allein vom affinen Raum
.
Bei dem Körper
handelt es sich oft um den Körper
der reellen Zahlen.
Im affinen Raum ist eine „Addition“ als Abbildung von
dadurch definiert, dass
gerade der über
eindeutig bestimmte Punkt
ist. Für festgelegtes
heißt die zugehörige Abbildung
Translation (Verschiebung) oder präzise Translation um den Vektor
und
heißt dann der zugehörige Translationsvektor.
Translationen sind stets Bijektionen. Sie bilden zusammen mit der Hintereinanderschaltung als Gruppenverknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe
von
, wobei
und für
stets
und
gelten[2].
Anmerkung: Wegen
schreibt man auch oft
statt
. Es gilt dann
genau dann, wenn
.
Wenn
ein festgelegter Punkt aus
ist und
ein Untervektorraum von
, dann ist
ein affiner Unterraum von
. Anstelle des Begriffs „affiner Unterraum“ wird auch oft die äquivalente Bezeichnung affiner Teilraum verwendet. Der zu einem affinen Teilraum
gehörige Untervektorraum
ist durch
eindeutig bestimmt.
Die Dimension eines affinen Raums
zu einem Vektorraum
über einem Körper
ist definiert als die Dimension des Vektorraums
über
. Oft ist es bequem, auch die leere Menge als affinen (Teil-)Raum anzusehen. Diesem leeren Teilraum wird dann die Dimension -1 zugeordnet.
Der affine Punktraum und der ihm zugeordnete Vektorraum
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Wenn im affinen Raum
ein Punkt
als Ursprung fest gewählt wird, hat man durch die Abbildung, die jedem Punkt
die Verschiebung
, den Ortsvektor von
, zuordnet, eine eineindeutige Abbildung zwischen dem affinen Raum und seinem Vektorraum der Verschiebungen. Dabei ist zu beachten, dass diese Zuordnung zwischen Punkten und Ortsvektoren von der Wahl des Ursprungs abhängt.
Umgekehrt kann man jeden Vektorraum
als affinen Punktraum ansehen:
mit
ist die Abbildung, die zwei Punkten ihren Verbindungsvektor zuordnet. Damit wird von vornherein ein Punkt des affinen Raumes ausgezeichnet, nämlich der Nullvektor des Vektorraums.
Im ersten Fall kann nach der Identifizierung eines Punktes mit seinem Ortsvektor (abhängig von der Wahl des Ursprungs!), im zweiten Fall kann von vornherein die Addition im Vektorraum
so aufgefasst werden, dass die Gruppe
als Abbildungsgruppe der Verschiebungen auf sich selbst als Menge von Punkten operiert.
Aus diesen Gründen wird manchmal auf eine rigide Unterscheidung zwischen dem affinen Punktraum einerseits und dem Vektorraum der Verschiebungsvektoren andererseits verzichtet.