Additio vectorum et multiplicatio scalaris. Supra, vector v (caeruleus) alio vectori w (rubro) additur. Infra, w per factorem 2 extenditur, quod summam v + 2w facit.
Spatium vectoriale[1] vel spatio lineare est collectio rerum vectorum appellatarum, quae inter se addi et per numeros scalares dictos multiplicari possunt. Scalares saepius sunt numeri reales, sed etiam sunt spatii vectorialia ubi multiplicatio scalaris numeris complexis, numeris rationalibus, aut quemlibet corpore fit.
Rigorose, copia E (cum operationes + et •) structura spatii vectorialis super corpus commutativum K habet si:
- (E , +) caterva abeliana est.
- • distributivus associativusque est.
de • elementum neuter est.
Spatium vectoriale in
est copia
, cui definiantur operationes summae
et multiplicatio scalaribus
quae has proprietates satisfaciant:
, omnibus elementis copiae
, quae hic littera
designantur;
- Summa est commutativa:
;
- Est summae oppositum, quod est numerus qui vectori additus zerum producit:
;
- Est summae neutrum, quod est numerus qui vectori additus eum ipsum producit:
;
- Summa est associativa:
;
- Multiplicatio scalaribus est associativa:
;
- Multiplicatio scalaribus est distributiva:
.
Elementa spatii vectorialis vectores, summaeque neutrum vector nullus
appellantur.
Spatiis vectorialibus sunt subcopiae quae similes sunt lineis apud subcopias spatii euclidei. Hae subcopiae sunt subspatia vectorialia, quae subcopiae sunt spatii vectorialis clausae multiplicationi scalaribus summaeque:
Vector nullus versatur in omnibus subspatiis vectorialibus, quia si
est vector in subspatio, etiam est
(zerum est scalar). Et quod unus negativus est scalar quoque, si subspatio vectoriali inest vector, etiam eius oppositus inest.
In secundis, omnia subspatia vectorialia sunt spatia vectorialia, spatiaque vectorialia sunt subspatia vectorialia ipsorum. Etiam copia solius vectoris nullius
est subspatium vectoriale.
In systema aequationum lineare, si dextrae signi aequationis
instant sola zera, sicque videtur:
Id systema homogeneum dicitur.
Demonstrari potest, si
est copia solutionum systematis linearis homogenei numero
variabilium ignotarum scripti ut
,
esse subspatium vectoriale spatii
. Idem si non est homogeneum systema, eius solutiones non sunt subspatium, quod non inest vector nullus.
ut subspatium vectoriale
Systema enim sic videtur:
Si vectores
solutiones sunt, id igitur verum est:
Si dua systema summantur, vel scalari multiplicantur, id patet:
Summa igitur solutionum et multiplicatio sunt solutio ipsius systematis, quod est definitio subspatii vectorialis (clausi summae multiplicationique).
- Abate, De Fabritiis, 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.
Nexus interni