Alexandre Lekina

ABSTRACT L'objectif de ce travail est de proposer de nouveaux estimateurs de quantiles extrêmes dans le cadre conditionnel c'est-à-dire dans la situation où la variable d'intérêt Y, supposée aléatoire et réelle, est mesurée simultanément avec une covariable X. Pour ce faire, nous nous intéressons à l'étude des valeurs extrêmes d'un échantillon d'observations indépendantes dont la loi conditionnelle de Y en un point x de la covariable X est à « queue lourde ». Selon la nature de la covariable, nous considérons deux situations. Primo, lorsque la covariable est déterministe et de dimension finie ou infi- nie (i.e covariable fonctionnelle), nous proposons d'estimer les quantiles extrêmes par la méthode dite de la « fenêtre mobile ». La loi limite des estimateurs ainsi construits est ensuite donnée en fonction de la vitesse de convergence de l'ordre du quantile vers un. Secundo, lorsque la covariable est aléatoire et de dimension finie, nous montrons que sous certaines conditions, il est possible d'estimer les quantiles extrêmes conditionnels au moyen d'un estimateur à « noyau » de la fonction de survie conditionnelle. Ce résultat nous permet d'introduire deux versions lisses de l'estimateur de l'indice de queue conditionnel indispensable lorsque l'on veut extrapoler. Nous établissons la loi asymptotique de ces estimateurs. Par ailleurs, nous considérons le cas sans covariable (non conditionnel) lorsque la fonction de répartition est à « queue lourde ». Nous proposons et étudions un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Afin d'apprécier le comportement de nos nouveaux outils statistiques, des résultats sur simulation ainsi que sur des données réelles sont présentés.

Le problème d'estimation des courbes de niveaux extrêmes est équivalent à l'étude des quantiles conditionnels quand l'ordre du quantile tend vers un. Nous montrons que sous certaines conditions, il est possible d'estimer de telles courbes au moyen d'un estimateur à noyau de la fonction de survie conditionnelle. En conséquence, ce résultat nous permet d'introduire deux versions lisses de l'estimateur de l'indice de queue conditionnel indispensable lorsque l'on veut extrapoler. Nous établissons la loi limite des estimateurs ainsi construits. Pour conclure, une illustration sur données simulées est présentée

L'objectif de ce travail est de proposer de nouveaux estimateurs de quantiles extrêmes dans le cadre conditionnel c'est-à-dire dans la situation où la variable d'intérêt Y, supposée aléatoire et réelle, est mesurée simultanément avec une covariable X. Pour ce faire, nous nous intéressons à l'étude des valeurs extrêmes d'un échantillon d'observations indépendantes dont la loi conditionnelle de Y en un point x de la covariable X est à « queue lourde ». Selon la nature de la covariable, nous considérons deux situations. Primo, lorsque la covariable est déterministe et de dimension finie ou infi- nie (i.e covariable fonctionnelle), nous proposons d'estimer les quantiles extrêmes par la méthode dite de la « fenêtre mobile ». La loi limite des estimateurs ainsi construits est ensuite donnée en fonction de la vitesse de convergence de l'ordre du quantile vers un. Secundo, lorsque la covariable est aléatoire et de dimension finie, nous montrons que sous certa...

We address the estimation of extreme level curves of heavy-tailed distributions. This problem is equivalent to estimating quantiles when covariate information is available and when their order converges to one as the sample size increases. We show that, under some conditions, these so-called “extreme conditional quantiles” can still be estimated through a kernel estimator of the conditional survival function. Sufficient conditions on the rate of convergence of their order to one are provided to obtain asymptotically Gaussian distributed estimators. Making use of this result, some kernel estimators of the conditional tail-index are introduced and a Weissman type estimator is derived, permitting to estimate extreme conditional quantiles of arbitrary large order. These results are illustrated through simulated and real datasets.

ABSTRACT We address the estimation of quantiles from heavy-tailed distributions when functional covariate information is available and in the case where the order of the quantile converges to one as the sample size increases. Such “extreme” quantiles can be located in the range of the data or near and even beyond the boundary of the sample, depending on the convergence rate of their order to one. Nonparametric estimators of these functional extreme quantiles are introduced, their asymptotic distributions are established and their finite sample behavior is investigated.