Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene (planare) geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.
Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen
Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.
Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).
Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.
Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel
von
verschiedenen Punkten definiert ist.
- Die
Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit
Ecken heißt
-Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch
-Gon.
- Die Strecken
und
bezeichnet man als Seiten des Polygons.
- Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.
Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:
- Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.[2]
- Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch
,
,
und
,
,
gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.
In einem nicht überschlagenen, ebenen
-Eck ist die Summe der Innenwinkel
.
Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken
.
Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert
bzw.
.
Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:
- Jede der
Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
- Die Verbindung von Ecke
zur Ecke
ist mit der Verbindung von
nach
identisch.
- Genau
Verbindungen sind Seiten des Polygons.
Also hat ein nicht überschlagenes
-Eck genau
Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten
gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten
gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:
In den Formeln gilt:
.
Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.
Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind
,
,
, die Koordinaten der
Eckpunkte des Polygons.
Konvexe Hülle von Punkten in der Ebene
Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von
Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von
. Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von
Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur
der
Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei
.
Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:
Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons befindet.
Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:
Es wird ein horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.
In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.
In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.
In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:
Beispiele für Polygone in der Geographie
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US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen
Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon.
Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons.