馮諾伊曼從小就以過人的智力與記憶力而聞名。馮諾伊曼一生中發表了大約150篇論文,其中有60篇純數學論文,20篇物理學以及60篇應用數學論文。他最後的作品是一個在醫院未完成的手稿,後來以書名《電腦與人腦》(The Computer and the Brain)發布,表現了他生命最後時光的興趣方向。他先後任職於美國普林斯頓大學、美國普林斯頓高等研究院等機構。[2][3]
遍歷論主要涉及動態系統和不變測度(英語:invariant measure)。1932年,馮諾伊曼發表了一系列有關遍歷論的論文,為遍歷論的理論基礎做出了貢獻。[6]保羅·哈爾莫斯在1932年的一篇遍歷論文章中指出「假使馮諾伊曼在其它領域沒有成就,光這些也足以讓他在數學史上留下不朽之名」("if von Neumann had never done anything else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical immortality")。[7]馮諾伊曼當時已完成了涉及算子理論的著名論文,並將其成果用作證明馮諾伊曼平均遍歷定理的工具。[7]
馮諾伊曼在「馮諾伊曼代數」中提出了「算子環」的概念。馮諾伊曼代數是一種定義於希爾伯特空間的有界算子的星代數(英語:*-algebra),近似於弱算子拓撲,且包含有恆等算子。[8]以他命名的馮諾伊曼二重交換元定理(von Neumann bicommutant theorem)表明弱算子拓撲中閉包的分析學定義會與其二重交換元(英語:bicommutant)所成集合的純代數學定義等價。[9]自1936年起,馮諾伊曼開始研究馮諾伊曼代數中的因子分類,期間還與法蘭西斯·穆瑞(Francis Joseph Murray)有過部分合作。1936年至1940年,他發表了6篇有代表性的論文,「位列20世紀分析學傑作名錄」("rank among the masterpieces of analysis in the twentieth century")。[10]1949年,馮諾伊曼又提出了直積分(英語:direct integral)的概念。[11]
馮諾伊曼認為,量子理論是普遍有效的,不僅適用於微觀粒子世界,也適用於現實的測量儀器。1932年約翰·馮諾伊曼將量子力學的最重要的基礎嚴謹地公式化。按照馮諾伊曼的一個物理系統有三個主要部分:其量子態、其可觀察量和其動力學(即其發展趨勢),此外物理對稱性(比鏡像對稱的含義更廣)也是一個非常重要的特性。馮諾伊曼的量子力學教科書《量子力學的數學基礎(Mathematical Foundations of Quantum Mechanics)》首次以數理分析清晰地提出了波函數的兩類演化過程:
John von Neumann. On the introduction of transfinite numbers [關於超限數的引入]. 1923 (英語).
John von Neumann. An axiomatization of set theory [集合論的一種公理化]. 1925 (英語).
John von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics [量子力學的數學基礎]. Beyer, R. T. (翻譯). Princeton University Press. 1996 [1932]. ISBN 978-0-691-02893-4(英語).
漢譯版:Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [天才的拓荒者:馮·諾伊曼傳]. 哲人石叢書. 范秀華 (翻譯), 朱朝暉 (翻譯), 劉麗曼 (責任編輯) 1. 中國上海冠生園路393號: 上海科技教育出版社. 2008 [1992]. ISBN 978-7-5428-4773-7(中文(中國大陸)).
Nicholas A. Vonneuman. John Von Neumann As Seen by His Brother [弟弟眼中的約翰·馮諾伊曼] 1. 賓夕法尼亞州Meadowbrook地區: 私人印刷. 1988. ISBN 9780096198102(英語).
^Bochner 1958,第440頁. sfn error: no target: CITEREFBochner1958 (help)
^von Neumann, J. Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen. 數學年刊. 2. 1933, 34 (1): 170–190. JSTOR 1968347. doi:10.2307/1968347(German). 引文格式1維護:未識別語文類型 (link)
^v. Neumann, J. Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. Mathematische Zeitschrift. 1929, 30 (1): 3–42. S2CID 122565679. doi:10.1007/BF01187749(German). 引文格式1維護:未識別語文類型 (link)
^Bochner 1958,第441頁. sfn error: no target: CITEREFBochner1958 (help)
Eugene Wigner; Andrew Szanton. The Recollections of Eugene P. Wigner as told to Andrew Szanton [亂世學人——維格納自傳]. 哲人石叢書. 關洪 (翻譯), 匡志強 (責任編輯) 1. 中國上海冠生園路393號: 上海科學技術出版社. 2001: 6–8 [1992]. ISBN 7-5428-2681-6(中文(中國大陸)).