Temporary Disabled. :) please Go back 十六元數 - 维基百科,自由的百科全书 www.fgks.org » Address: [go: up one dir, main page] Include Form Remove Scripts Accept Cookies Show Images Show Referer Rotate13 Base64 Strip Meta Strip Title Session Cookies 跳转到内容 主菜单 主菜单 移至侧栏 隐藏 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 搜索 搜索 外观 创建账号 登录 个人工具 创建账号 登录 未登录编辑者的页面 了解详情 贡献讨论 目录 移至侧栏 隐藏 序言 1 算術 开关算術子章节 1.1 十六元數特性 1.1.1 反結合 1.2 四元子代數 2 應用 3 參見 4 參考文獻 开关目录 十六元數 23种语言 العربيةBosanskiЧӑвашлаDeutschEnglishEspañolفارسیFrançaisMagyarInterlinguaItaliano日本語한국어NederlandsPolskiPortuguêsRomânăРусскийSlovenščinaSvenskaУкраїнська文言粵語 编辑链接 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 阅读编辑查看历史 工具 工具 移至侧栏 隐藏 操作 阅读编辑查看历史 常规 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用此页获取短URL下载二维码维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 外观 移至侧栏 隐藏 维基百科,自由的百科全书 十六元數符號 S {\displaystyle \mathbb {S} } 種類非结合代數單位 e 0 {\displaystyle e_{0}} 、 e 1 {\displaystyle e_{1}} 、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 、 e 3 {\displaystyle e_{3}} 、 e 4 {\displaystyle e_{4}} 、 e 5 {\displaystyle e_{5}} 、 e 6 {\displaystyle e_{6}} 、 e 7 {\displaystyle e_{7}} 、 e 8 {\displaystyle e_{8}} 、 e 9 {\displaystyle e_{9}} 、 e 10 {\displaystyle e_{10}} 、 e 11 {\displaystyle e_{11}} 、 e 12 {\displaystyle e_{12}} 、 e 13 {\displaystyle e_{13}} 、 e 14 {\displaystyle e_{14}} 及 e 15 {\displaystyle e_{15}} 乘法單位元 e 0 {\displaystyle e_{0}} 主要性質冪結合性分配律常見的數字系統 N {\displaystyle \mathbb {N} } 自然數 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 整數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 有理數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 實數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 複數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 四元數 少見的數字系統 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ) 三十二元數 查论编 各种各样的数 各种各样的数 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} 延伸 二元数 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數(英语:Dual quaternion) 超复数 超數 超現實數 其他 質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty } 查论编 在抽象代数中,十六元數(英語:Sedenion)是在實數上形成的16維非交換且非結合代數結構。彷如八元數,其乘法不符合交換律及結合律。十六元數可以透過將八元數套用凯莱-迪克森结构來構造。然而,与八元数不一样,十六元数甚至不符合交错性。尽管如此,十六元数仍然符合幂结合性。此外,十六元數中存在零因子(zero divisor),例如 ( e 3 + e 10 ) × ( e 6 − e 15 ) = 0 {\displaystyle {{\left({{\,e_{3}}+{\,e_{10}}}\right)}\times {\left({{\,e_{6}}-{\,e_{15}}}\right)}}=0} ,這點與八元數截然不同——因此,十六元數無法構成整環(integral domain),也無法構成除環(divisor ring)。[1] 十六元數是由八元數套用凯莱-迪克森構造而成的。十六元數亦可以繼續進行凯莱-迪克森構造。若將十六元數套用凯莱-迪克森構造將會形成三十二元數(trigintaduonion)。[2]每一次的構造都會導致維數翻倍[3]:45,並且構造結果同樣與十六元數類似,有著不符合交错性、符合幂结合性與存在零因子等特性。[3] 十六元數這個術語同時亦用於其他同為16維度的代數結構,例如兩個複四元數的張量積、實數上的4×4矩陣代數或喬納森·D·H·史密斯於1995提出的一種代數結構。[4] 算術[编辑] 立方八元數擴展到四維空間的視覺化[5]:6,其展示了35個示例十六元數之實數 ( e 0 ) {\displaystyle (e_{0})} 頂點三元組所構成的超平面。唯一的例外是三元組 ( e 1 ) {\displaystyle (e_{1})} , ( e 2 ) {\displaystyle (e_{2})} , ( e 3 ) {\displaystyle (e_{3})} 不與 ( e 0 ) {\displaystyle (e_{0})} 形成超平面。 十六元數的乘法和八元數一樣,不具備交換律及結合律。與八元數不同的是,十六元數不具備交错代数的特性。雖然如此,但十六元數仍然保有冪結合性,也就是說,對所有的十六元數集 S {\displaystyle \mathbb {S} } 中的元素x,冪 x n {\displaystyle x^{n}} 是可以明確定義的。同時,十六元數亦有柔性代數(英语:Flexible algebra)的特性。[6] 十六元數共有的16個單位。這16個單位十六元數是:[7] e 0 {\displaystyle e_{0}} 、 e 1 {\displaystyle e_{1}} 、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 、 e 3 {\displaystyle e_{3}} 、 e 4 {\displaystyle e_{4}} 、 e 5 {\displaystyle e_{5}} 、 e 6 {\displaystyle e_{6}} 、 e 7 {\displaystyle e_{7}} 、 e 8 {\displaystyle e_{8}} 、 e 9 {\displaystyle e_{9}} 、 e 10 {\displaystyle e_{10}} 、 e 11 {\displaystyle e_{11}} 、 e 12 {\displaystyle e_{12}} 、 e 13 {\displaystyle e_{13}} 、 e 14 {\displaystyle e_{14}} 及 e 15 {\displaystyle e_{15}} 每個十六元數都是單位十六元數 e 0 {\displaystyle e_{0}} , e 1 {\displaystyle e_{1}} , e 2 {\displaystyle e_{2}} , e 3 {\displaystyle e_{3}} , ..., e 15 {\displaystyle e_{15}} 的線性組合,並構成了十六元數向量空間的基。 每個十六元數都可以用以下形式表示:[7] x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x 14 e 14 + x 15 e 15 . {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.} 十六元數的加法和減法是通過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的。而十六元數的乘法是對加法的分配,所以兩個十六元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算。[1] 十六元數和其他也由凯莱-迪克森结构來構造的代數結構一樣,其皆包含了依凯莱-迪克森结构構造來源的代數結構。例如十六元數可透過八元數代凯莱-迪克森结构來構造、八元數可透過四元數代凯莱-迪克森结构來構造、四元數可透過複數代凯莱-迪克森结构來構造、複數可透過實數代凯莱-迪克森结构來構造。因此,十六元數系包含了一個八元數系(由下方乘法表對應的 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 7 {\displaystyle e_{7}} 構造),亦包含了四元數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 3 {\displaystyle e_{3}} 構造),也包含了複數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 1 {\displaystyle e_{1}} 構造)和實數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 構造)。[8] 十六元數具有乘法單位元素 e 0 {\displaystyle e_{0}} 和乘法逆元,但因為存在零因子因此無法構成可除代數(英语:Division algebra)。換句話說,即十六元數的代數系統中,存在2個非零十六元數相乘為零,例如 ( e 3 + e 10 ) ( e 6 − e 15 ) = 0 {\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})=0} 。其他基於凯莱-迪克森结构構造的超複數系統中,維度大於16的超複數也都存在零因子。[7][1] 十六元數單元乘數表如下:[8] e i e j {\displaystyle e_{i}e_{j}} e j {\displaystyle e_{j}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 8 {\displaystyle e_{8}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 10 {\displaystyle e_{10}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 14 {\displaystyle e_{14}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e i {\displaystyle e_{i}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 8 {\displaystyle e_{8}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 10 {\displaystyle e_{10}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 14 {\displaystyle e_{14}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 9 {\displaystyle e_{9}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 15 {\displaystyle e_{15}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} e 10 {\displaystyle e_{10}} e 11 {\displaystyle e_{11}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 11 {\displaystyle e_{11}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} e 9 {\displaystyle e_{9}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 14 {\displaystyle e_{14}} e 15 {\displaystyle e_{15}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 13 {\displaystyle e_{13}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 15 {\displaystyle e_{15}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} e 9 {\displaystyle e_{9}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} e 11 {\displaystyle e_{11}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 8 {\displaystyle -e_{8}} e 8 {\displaystyle e_{8}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 15 {\displaystyle e_{15}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 10 {\displaystyle e_{10}} e 10 {\displaystyle e_{10}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 11 {\displaystyle e_{11}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} e 12 {\displaystyle e_{12}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 12 {\displaystyle e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 14 {\displaystyle e_{14}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 13 {\displaystyle e_{13}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 15 {\displaystyle e_{15}} − e 14 {\displaystyle -e_{14}} e 9 {\displaystyle e_{9}} e 8 {\displaystyle e_{8}} e 11 {\displaystyle e_{11}} − e 10 {\displaystyle -e_{10}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 14 {\displaystyle e_{14}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 15 {\displaystyle -e_{15}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 13 {\displaystyle e_{13}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 11 {\displaystyle -e_{11}} e 8 {\displaystyle e_{8}} e 9 {\displaystyle e_{9}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e 15 {\displaystyle e_{15}} e 14 {\displaystyle e_{14}} − e 13 {\displaystyle -e_{13}} − e 12 {\displaystyle -e_{12}} e 11 {\displaystyle e_{11}} e 10 {\displaystyle e_{10}} − e 9 {\displaystyle -e_{9}} e 8 {\displaystyle e_{8}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} 十六元數特性[编辑] 從上表可得到: 對所有的 i {\displaystyle i} ,有 e 0 e i = e i e 0 = e i {\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}} , e i e i = − e 0 for i ≠ 0 {\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0} ,且 e i e j = − e j e i for i ≠ j with i , j ≠ 0 {\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0} 。 反結合[编辑] 十六元數並非完全反結合。選擇任意四個生成元 i , j , k {\displaystyle i,j,k} 和 l {\displaystyle l} ,對於乘積 i j k l {\displaystyle ijkl} ,有五種添加括號的方法。假如反結合律總是成立,則五者之間應有以下關係: ( i j ) ( k l ) = − ( ( i j ) k ) l = ( i ( j k ) ) l = − i ( ( j k ) l ) = i ( j ( k l ) ) = − ( i j ) ( k l ) , {\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl),} 從而 ( i j ) ( k l ) = 0 {\displaystyle (ij)(kl)=0} ,矛盾。所以,某兩者之間不滿足反結合律。 特別地,代入 e 1 , e 2 , e 4 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}} 和 e 8 {\displaystyle e_{8}} 時,利用上列乘法表,可得最後兩式滿足結合律: e 1 ( e 2 e 12 ) = ( e 1 e 2 ) e 12 = − e 15 {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{12})=(e_{1}e_{2})e_{12}=-e_{15}} 。 四元子代數[编辑] 在下表列出了構成這個特定十六元數乘法表的35個三元組。用於使用凯莱-迪克森结构構造之十六元數的7個八元數三元組,以粗體表示: 每個三元組中,三個數的二進制表示,按位異或的結果為0。 { {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15}, {2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7}, {3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13}, {4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14}, {6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} } 84組由十六元數單位組成的零因子數組 { e a , e b , e c , e d } {\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}} 列舉如下,其中 ( e a + e b ) ∘ ( e c + e d ) = 0 {\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0} : 1 ≤ a ≤ 6 , c > a , 9 ≤ b ≤ 15 9 ≤ d ≤ 15 − 9 ≥ d ≥ − 15 { e 1 , e 10 , e 5 , e 14 } { e 1 , e 10 , e 4 , − e 15 } { e 1 , e 10 , e 7 , e 12 } { e 1 , e 10 , e 6 , − e 13 } { e 1 , e 11 , e 4 , e 14 } { e 1 , e 11 , e 6 , − e 12 } { e 1 , e 11 , e 5 , e 15 } { e 1 , e 11 , e 7 , − e 13 } { e 1 , e 12 , e 2 , e 15 } { e 1 , e 12 , e 3 , − e 14 } { e 1 , e 12 , e 6 , e 11 } { e 1 , e 12 , e 7 , − e 10 } { e 1 , e 13 , e 6 , e 10 } { e 1 , e 13 , e 7 , − e 14 } { e 1 , e 13 , e 7 , e 11 } { e 1 , e 13 , e 3 , − e 15 } { e 1 , e 14 , e 2 , e 13 } { e 1 , e 14 , e 4 , − e 11 } { e 1 , e 14 , e 3 , e 12 } { e 1 , e 14 , e 5 , − e 10 } { e 1 , e 15 , e 3 , e 13 } { e 1 , e 15 , e 2 , − e 12 } { e 1 , e 15 , e 4 , e 10 } { e 1 , e 15 , e 5 , − e 11 } { e 2 , e 9 , e 4 , e 15 } { e 2 , e 9 , e 5 , − e 14 } { e 2 , e 9 , e 6 , e 13 } { e 2 , e 9 , e 7 , − e 12 } { e 2 , e 11 , e 5 , e 12 } { e 2 , e 11 , e 4 , − e 13 } { e 2 , e 11 , e 6 , e 15 } { e 2 , e 11 , e 7 , − e 14 } { e 2 , e 12 , e 3 , e 13 } { e 2 , e 12 , e 5 , − e 11 } { e 2 , e 12 , e 7 , e 9 } { e 2 , e 13 , e 3 , − e 12 } { e 2 , e 13 , e 4 , e 11 } { e 2 , e 13 , e 6 , − e 9 } { e 2 , e 14 , e 5 , e 9 } { e 2 , e 14 , e 3 , − e 15 } { e 2 , e 14 , e 3 , e 14 } { e 2 , e 15 , e 4 , − e 9 } { e 2 , e 15 , e 3 , e 14 } { e 2 , e 15 , e 6 , − e 11 } { e 3 , e 9 , e 6 , e 12 } { e 3 , e 9 , e 4 , − e 14 } { e 3 , e 9 , e 7 , e 13 } { e 3 , e 9 , e 5 , − e 15 } { e 3 , e 10 , e 4 , e 13 } { e 3 , e 10 , e 5 , − e 12 } { e 3 , e 10 , e 7 , e 14 } { e 3 , e 10 , e 6 , − e 15 } { e 3 , e 12 , e 5 , e 10 } { e 3 , e 12 , e 6 , − e 9 } { e 3 , e 14 , e 4 , e 9 } { e 3 , e 13 , e 4 , − e 10 } { e 3 , e 15 , e 5 , e 9 } { e 3 , e 13 , e 7 , − e 9 } { e 3 , e 15 , e 6 , e 10 } { e 3 , e 14 , e 7 , − e 10 } { e 4 , e 9 , e 7 , e 10 } { e 4 , e 9 , e 6 , − e 11 } { e 4 , e 10 , e 5 , e 11 } { e 4 , e 10 , e 7 , − e 9 } { e 4 , e 11 , e 6 , e 9 } { e 4 , e 11 , e 5 , − e 10 } { e 4 , e 13 , e 6 , e 15 } { e 4 , e 13 , e 7 , − e 14 } { e 4 , e 14 , e 7 , e 13 } { e 4 , e 14 , e 5 , − e 15 } { e 4 , e 15 , e 5 , e 14 } { e 4 , e 15 , e 6 , − e 13 } { e 5 , e 10 , e 6 , e 9 } { e 5 , e 9 , e 6 , − e 10 } { e 5 , e 11 , e 7 , e 9 } { e 5 , e 9 , e 7 , − e 11 } { e 5 , e 12 , e 7 , e 14 } { e 5 , e 12 , e 6 , − e 15 } { e 5 , e 15 , e 6 , e 12 } { e 5 , e 14 , e 7 , − e 12 } { e 6 , e 11 , e 7 , e 10 } { e 6 , e 10 , e 7 , − e 11 } { e 6 , e 13 , e 7 , e 12 } { e 6 , e 10 , e 7 , − e 13 } {\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\9\leq d\leq 15&&-9\geq d\geq -15\end{array}}\\{\begin{array}{ll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}\\\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}} 應用[编辑] 莫雷諾·吉列爾莫於1998年表明,一對範數一的十六元數空間(每個元素皆為範數為1的十六元數二元組的空間)中的元素相乘為零這樣的代數空間與緊湊形式的例外李群G2(英语:G2 (mathematics))同胚。[7](留意在莫雷諾論文中,零因子指的是一對相乘為零的元素。) 十六元數神經網絡在機器學習應用中提供了一種高效且緊湊的表達方式,並被用於解決多個時間序列預測問題。[9] 參見[编辑] 超复数 雷奥那德·尤金·迪克逊 參考文獻[编辑] ^ 1.0 1.1 1.2 Imaeda, K.; Imaeda, M., Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 2000, 115 (2): 77–88, MR 1786945, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X ^ Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)", [2022-04-20], (原始内容存档于2022-04-24) ^ 3.0 3.1 Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras, Dover Publications(英语:Dover Publications), 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601 含有內容需登入查看的頁面 (link) ^ Smith, Jonathan D. H., A left loop on the 15-sphere, Journal of Algebra(英语:Journal of Algebra), 1995, 176 (1): 128–138, MR 1345298, doi:10.1006/jabr.1995.1237 ^ Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. MR 1886087. arXiv:math/0105155 . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. (原始内容存档于2008-10-09). ^ Richard D. Schafer (1954) "On the algebras formed by the Cayley–Dickson process", American Journal of Mathematics(英语:American Journal of Mathematics) 76: 435–46 doi:10.2307/2372583 ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 Moreno, Guillermo, The zero divisors of the Cayley–Dickson algebras over the real numbers, Bol. Soc. Mat. Mexicana, Series 3, 1998, 4 (1): 13–28, Bibcode:1997q.alg....10013G, MR 1625585, arXiv:q-alg/9710013 ^ 8.0 8.1 Kinyon, M.K.; Phillips, J.D.; Vojtěchovský, P. C-loops: Extensions and constructions. Journal of Algebra and Its Applications. 2007, 6 (1): 1–20. CiteSeerX 10.1.1.240.6208 . arXiv:math/0412390 . doi:10.1142/S0219498807001990. ^ Saoud, Lyes Saad; Al-Marzouqi, Hasan. Metacognitive Sedenion-Valued Neural Network and its Learning Algorithm. IEEE Access. 2020, 8: 144823–144838 [2022-04-20]. ISSN 2169-3536. doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690 . (原始内容存档于2022-04-24). Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. Large annihilators in Cayley-Dickson algebras II. 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Al-Marzouqi, "Metacognitive Sedenion-Valued Neural Network and its Learning Algorithm," in IEEE Access, vol. 8, pp. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109/ACCESS.2020.3014690. 查论编数的系統可數集 自然数 ( N {\displaystyle \mathbb {N} } ) 整数 ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) 有理数 ( Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ) 規矩數 代數數 ( A {\displaystyle \mathbb {A} } ) 周期(英语:Period (algebraic geometry)) 可計算數 可定义数 高斯整數 ( Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} ) 艾森斯坦整数 合成代數(英语:Composition algebra) 可除代數(英语:Division algebra):实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } ) 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ) 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 凯莱-迪克森结构 实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } ) 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ) 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ) 三十二元數 六十四元數 一百二十八元數 二百五十六元數…… 分裂形式 於 R {\displaystyle \mathbb {R} } :雙曲複數 分裂四元数 分裂複四元數(英语:Split-biquaternion) 分裂八元數(英语:Split-octonion) 於 C {\displaystyle \mathbb {C} } :雙複數 複四元數 複八元數(英语:Bioctonion) 其他超複數 二元数 二元四元數(英语:Dual quaternion) 二元複數(英语:Applications of dual quaternions to 2D geometry) 雙曲四元數(英语:Hyperbolic quaternion) 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ) 三十二元數 分裂複四元數(英语:Split-biquaternion) 多重複數 幾何代數(英语:Geometric algebra) 物理空間代數(英语:Algebra of physical space) 時空代數(英语:Spacetime algebra) 三元數 無法良好構建 六元數 其他系統 基數 擴展自然數(英语:Extended natural numbers) 無理數 模糊數(英语:Fuzzy number) 超實數 列維-奇維塔域(英语:Levi-Civita field) 超現實數 超越數 序数 p進數 超自然數(英语:Supernatural number) 上超實數(英语:Superreal number) 分類 列表(英语:List of types of numbers) 分类:超複數非結合代數隐藏分类:含有內容需登入查看的頁面含有英語的條目有蓝链却未移除内部链接助手模板的页面
八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ) 三十二元數
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
二元数 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數
雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數(英语:Dual quaternion) 超复数 超數 超現實數
質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值
規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数
圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty }
在抽象代数中,十六元數(英語:Sedenion)是在實數上形成的16維非交換且非結合代數結構。彷如八元數,其乘法不符合交換律及結合律。十六元數可以透過將八元數套用凯莱-迪克森结构來構造。然而,与八元数不一样,十六元数甚至不符合交错性。尽管如此,十六元数仍然符合幂结合性。此外,十六元數中存在零因子(zero divisor),例如 ( e 3 + e 10 ) × ( e 6 − e 15 ) = 0 {\displaystyle {{\left({{\,e_{3}}+{\,e_{10}}}\right)}\times {\left({{\,e_{6}}-{\,e_{15}}}\right)}}=0} ,這點與八元數截然不同——因此,十六元數無法構成整環(integral domain),也無法構成除環(divisor ring)。[1]
十六元數是由八元數套用凯莱-迪克森構造而成的。十六元數亦可以繼續進行凯莱-迪克森構造。若將十六元數套用凯莱-迪克森構造將會形成三十二元數(trigintaduonion)。[2]每一次的構造都會導致維數翻倍[3]:45,並且構造結果同樣與十六元數類似,有著不符合交错性、符合幂结合性與存在零因子等特性。[3]
十六元數這個術語同時亦用於其他同為16維度的代數結構,例如兩個複四元數的張量積、實數上的4×4矩陣代數或喬納森·D·H·史密斯於1995提出的一種代數結構。[4]
十六元數的乘法和八元數一樣,不具備交換律及結合律。與八元數不同的是,十六元數不具備交错代数的特性。雖然如此,但十六元數仍然保有冪結合性,也就是說,對所有的十六元數集 S {\displaystyle \mathbb {S} } 中的元素x,冪 x n {\displaystyle x^{n}} 是可以明確定義的。同時,十六元數亦有柔性代數(英语:Flexible algebra)的特性。[6]
十六元數共有的16個單位。這16個單位十六元數是:[7]
每個十六元數都是單位十六元數 e 0 {\displaystyle e_{0}} , e 1 {\displaystyle e_{1}} , e 2 {\displaystyle e_{2}} , e 3 {\displaystyle e_{3}} , ..., e 15 {\displaystyle e_{15}} 的線性組合,並構成了十六元數向量空間的基。 每個十六元數都可以用以下形式表示:[7]
十六元數的加法和減法是通過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的。而十六元數的乘法是對加法的分配,所以兩個十六元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算。[1]
十六元數和其他也由凯莱-迪克森结构來構造的代數結構一樣,其皆包含了依凯莱-迪克森结构構造來源的代數結構。例如十六元數可透過八元數代凯莱-迪克森结构來構造、八元數可透過四元數代凯莱-迪克森结构來構造、四元數可透過複數代凯莱-迪克森结构來構造、複數可透過實數代凯莱-迪克森结构來構造。因此,十六元數系包含了一個八元數系(由下方乘法表對應的 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 7 {\displaystyle e_{7}} 構造),亦包含了四元數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 3 {\displaystyle e_{3}} 構造),也包含了複數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 至 e 1 {\displaystyle e_{1}} 構造)和實數系(由 e 0 {\displaystyle e_{0}} 構造)。[8]
十六元數具有乘法單位元素 e 0 {\displaystyle e_{0}} 和乘法逆元,但因為存在零因子因此無法構成可除代數(英语:Division algebra)。換句話說,即十六元數的代數系統中,存在2個非零十六元數相乘為零,例如 ( e 3 + e 10 ) ( e 6 − e 15 ) = 0 {\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})=0} 。其他基於凯莱-迪克森结构構造的超複數系統中,維度大於16的超複數也都存在零因子。[7][1]
十六元數單元乘數表如下:[8]
從上表可得到:
十六元數並非完全反結合。選擇任意四個生成元 i , j , k {\displaystyle i,j,k} 和 l {\displaystyle l} ,對於乘積 i j k l {\displaystyle ijkl} ,有五種添加括號的方法。假如反結合律總是成立,則五者之間應有以下關係:
從而 ( i j ) ( k l ) = 0 {\displaystyle (ij)(kl)=0} ,矛盾。所以,某兩者之間不滿足反結合律。
特別地,代入 e 1 , e 2 , e 4 {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}} 和 e 8 {\displaystyle e_{8}} 時,利用上列乘法表,可得最後兩式滿足結合律: e 1 ( e 2 e 12 ) = ( e 1 e 2 ) e 12 = − e 15 {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{12})=(e_{1}e_{2})e_{12}=-e_{15}} 。
在下表列出了構成這個特定十六元數乘法表的35個三元組。用於使用凯莱-迪克森结构構造之十六元數的7個八元數三元組,以粗體表示:
每個三元組中,三個數的二進制表示,按位異或的結果為0。
{ {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15}, {2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7}, {3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13}, {4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14}, {6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }
84組由十六元數單位組成的零因子數組 { e a , e b , e c , e d } {\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}} 列舉如下,其中 ( e a + e b ) ∘ ( e c + e d ) = 0 {\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0} :
莫雷諾·吉列爾莫於1998年表明,一對範數一的十六元數空間(每個元素皆為範數為1的十六元數二元組的空間)中的元素相乘為零這樣的代數空間與緊湊形式的例外李群G2(英语:G2 (mathematics))同胚。[7](留意在莫雷諾論文中,零因子指的是一對相乘為零的元素。)
十六元數神經網絡在機器學習應用中提供了一種高效且緊湊的表達方式,並被用於解決多個時間序列預測問題。[9]