Drzewo dwumianowe (ekonomia)

• Na rynku dostępne są:
  • rachunek bankowy przynoszący bez ryzyka stałą stopę dochodu;
  • instrument ryzykowny (akcja) o nieznanej wartości w przyszłości;
• handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}=T}$  przedziału czasowego ${\displaystyle [0,T];}$ 
• liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
• wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
• rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy ${\displaystyle n=1,}$  rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: ${\displaystyle t_{0}=0}$  oraz ${\displaystyle t_{1}=T.}$  Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}}),}$  gdzie

• ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\},}$ 
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$  – ${\displaystyle \sigma }$ -ciało wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \Omega ,}$ 
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$  – miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora) spełniająca warunek

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,}$  ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.}$ 

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową ${\displaystyle X}$  określoną na przestrzeni ${\displaystyle \Omega .}$ 

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili ${\displaystyle 0}$  przynoszą bez ryzyka stopę dochodu ${\displaystyle r}$  w chwili ${\displaystyle T.}$  Jeśli przez ${\displaystyle B_{t}}$  oznaczymy wartość w chwili ${\displaystyle t}$  jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

${\displaystyle B_{0}=1,}$ 

${\displaystyle B_{T}(\omega _{u})=B_{T}(\omega _{d})=1+r.}$ 

Niech ${\displaystyle S_{t}}$  oznacza cenę akcji w chwili ${\displaystyle t.}$  Zakładamy, że

${\displaystyle S_{0}=s>0,}$ 

${\displaystyle S_{T}(\omega _{u})=S_{0}u,}$ 

${\displaystyle S_{T}(\omega _{d})=S_{0}d,}$ 

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby ${\displaystyle d<1+r<u.}$ 

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili ${\displaystyle T}$  była równa wysokości wypłaty ${\displaystyle X.}$  Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili ${\displaystyle 0.}$  Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty ${\displaystyle X{:}}$ 

${\displaystyle \Pi (X)={\frac {1}{1+r}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {P}}^{*}}(X),}$ 

gdzie ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$  zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{u}\})={\frac {(1+r)-d}{u-d}},}$ 

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{d}\})={\frac {u-(1+r)}{u-d}},}$ 

jest równoważną ${\displaystyle P}$  miarą martyngałową (tzn. taką, że ${\displaystyle \left\{{\frac {S_{k}}{B_{k}}}\right\}_{k=0,1}}$  (zdyskontowany proces cen) jest ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$ -martyngałem).

Model jednookresowy da się uogólnić na ${\displaystyle n>1,}$  otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach ${\displaystyle 1,2,\dots ,n.}$  W modelu tym pracujemy na przestrzeni ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {Q}}),}$  gdzie

• ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\}^{n},}$ 
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega },}$ 
• ${\displaystyle {\mathsf {Q}}={\mathsf {P}}^{\otimes n}}$  (miara produktowa),

gdzie ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,}$  ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.}$ 

Wprowadzamy ponadto filtrację ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0,1,\dots ,n}}$  reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili ${\displaystyle t}$  włącznie.

${\displaystyle B_{t}=(1+r)^{t}}$ 

${\displaystyle S_{0}=s>0,}$ 

${\displaystyle S_{t+1}=S_{t}Z_{t+1},}$ 

gdzie ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}}$  są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość ${\displaystyle u}$  z prawdopodobieństwem ${\displaystyle p}$  oraz wartość ${\displaystyle d}$  z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 1-p,}$  ponadto zmienna ${\displaystyle Z_{i}}$  jest ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ -mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik ${\displaystyle u}$  bądź zredukować czynnikiem ${\displaystyle d}$  przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{S_{s}\colon s\leqslant t\}).}$ 

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle d<1+r<u.}$ 

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ -mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową ${\displaystyle {\mathsf {Q}}^{*}.}$  Jest ona produktem miar ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{*}}$  takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty ${\displaystyle X}$  w tym modelu można przedstawić następująco:

${\displaystyle \Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {Q}}^{*}}(X|{\mathcal {F}}_{t}).}$ 

W szczególności, dla wypłaty postaci ${\displaystyle X=f(S_{T})}$  zachodzi wzór

${\displaystyle \Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}\sum _{i=0}^{t}{{T-t} \choose i}p_{*}^{i}(1-p_{*})^{(T-t-i)}f(S_{t}u^{i}d^{(T-t-i)}),}$ 

gdzie:

${\displaystyle p_{*}={\frac {(1+r)-d}{u-d}}.}$ 

Krok 1

W każdym kroku (wierzchołku drzewa) cena akcji idzie albo w górę ${\displaystyle u}$  razy albo w dół ${\displaystyle d}$  razy, przy ${\displaystyle u\geqslant 1}$  i ${\displaystyle 0<d\leqslant 1.}$  Jeżeli zatem ${\displaystyle S}$  oznacza aktualną cenę akcji, to w następnym wierzchołku cena ta będzie wynosić albo ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$  albo ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d.}$ 

Współczynniki ${\displaystyle u}$  i ${\displaystyle d}$  wyznaczane są w oparciu o współczynnik zmienności ${\displaystyle \sigma ,}$  oraz interwał czasowy ${\displaystyle t}$  pomiędzy kolejnymi wierzchołkami. Z założenia mówiącego, że wariancja logarytmu ceny akcji w chwili ${\displaystyle t}$  wynosi ${\displaystyle \sigma ^{2}t,}$  wnioskujemy, że

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {t}}},}$ 

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {t}}}={\frac {1}{u}}.}$ 

W szczególności, cena instrumentu jest taka sama gdy na pewnym kroku idzie ona w górę a później w dół bądź odwrotnie; rzeczona cecha modelu znacząco poprawia wydajność obliczeniową z uwagi na zredukowaną liczbę rozważanych ścieżek. Ostatecznie

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\cdot u^{N_{u}-N_{d}},}$ 

gdzie ${\displaystyle N_{u}}$  i ${\displaystyle N_{d}}$  oznaczają, odpowiednio, liczbę wierzchołków w których cena instrumentu poszła do góry bądź w dół.

Krok 2

W ostatnim wierzchołku drzewa, tj. wierzchołku w którym dokonywana jest wycena instrumentu, jego wartość wynosi odpowiednio

${\displaystyle \max\{S_{n}-K,0\},}$  dla opcji kupna,

${\displaystyle \max\{K-S_{n},0\},}$  dla opcji sprzedaży,

gdzie ${\displaystyle K}$  oznacza cenę wykonania.

Krok 3

Proces wyceny odbywa się niejako wstecz, rozpoczynając od ostatniego wierzchołka, a skończywszy na pierwszym; jest to szukana wycena instrumentu finansowego.

Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, sprawiedliwa cena instrumentu równa jest wartości oczekiwanej przyszłych wypłat zdyskontowanych przez stopę oprocentowania wolną od ryzyka. Dokładniej,

${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1}),}$ 

gdzie:

${\displaystyle C_{t,i}}$  ceną instrumentu na ${\displaystyle i}$ -tym wierzchołku w chwili ${\displaystyle t,}$ 

${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$ 

jest tak dobranym prawdopodobieństwem by odpowiadający mu rozkład dwumianowy aproksymował geometryczny ruch Browna (z parametrami ${\displaystyle r}$  and ${\displaystyle \sigma }$ ) opisujący fluktuację cen,

${\displaystyle q}$  jest stopą dywidendy z instrumentu finansowego. Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, ceny w przyszłości powinny mieć zerową spodziewaną stopę wzrostu, a więc często przyjmuje się ${\displaystyle q=r}$  dla kontraktów futures.

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

• opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych ${\displaystyle Z_{i},}$ 
• wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
• dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. ${\displaystyle n}$ -te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami ${\displaystyle r,\sigma ,T}$  jest ${\displaystyle n}$ -okresowym modelem CRR z parametrami

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}},}$  ${\displaystyle d={\frac {1}{u}}=e^{-\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}}.}$ 

Można pokazać, że proces ${\displaystyle \{{S}_{t}^{n}\}_{0\leqslant t\leqslant T},}$  będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku ${\displaystyle [0,T]}$  do procesu ${\displaystyle \{S_{t}\}_{0\leqslant t\leqslant T}}$  spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} W_{t}.}$ 

• John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229–263. 
• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2. Brak numerów stron w książce