Współczynnik wypełnienia impulsu

 

Czas trwania impulsu łatwo jest określić dla sygnału o przebiegu prostokątnym, ewentualnie trójkątnym. W przypadku bardziej złożonych przebiegów można posłużyć się inną definicją współczynnika wypełnienia: jest to stosunek rzeczywistej mocy impulsu do mocy maksymalnej^{[potrzebny przypis]}.

Rzeczywista moc impulsu jest wówczas definiowana jako średnia moc impulsu po czasie (okresie). Jeżeli przebieg impulsu opisuje funkcja

${\displaystyle f(t),}$ 

wówczas jego moc zmienia się zgodnie ze wzorem

${\displaystyle P(t)=[f(t)]^{2},}$ 

a moc uśredniona po okresie ${\displaystyle T}$ 

${\displaystyle P_{s}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}\quad \quad P_{s}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{[f(t)]^{2}\operatorname {d} t}.}$ 

Moc maksymalna jest zdefiniowana jako moc sygnału stałego o największej amplitudzie, jaką osiąga dany impuls

${\displaystyle P_{0}=[f_{\max(}t)]^{2}.}$ 

Współczynnik wypełnienia można więc zapisać w postaci wzoru

${\displaystyle k_{w}={\frac {P_{s}}{P_{0}}},}$ 

${\displaystyle k_{w}={\frac {1}{TP_{0}}}\int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}.}$ 

 

Jeżeli przebieg czasowy impulsu nie da się wyrazić analitycznie przez funkcję ${\displaystyle f(t),}$  wówczas współczynnik wypełnienia może być obliczony metodami numerycznymi, na przykład Monte Carlo, lub oszacowany w inny sposób. Jeżeli znana jest postać funkcji ${\displaystyle f(t),}$  współczynnik można obliczyć analitycznie. Dla sygnału stałego w czasie współczynnik wypełnienia jest równy 1, dla sygnału impulsowego, w którym impulsy są bardzo krótkie, ${\displaystyle k_{w}\approx 0.}$ 

Jest to najłatwiejszy przypadek dla obliczania współczynnika wypełnienia, ponieważ wówczas

${\displaystyle \int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}=P_{0}\tau ,}$ 

gdzie τ jest czasem trwania pojedynczego impulsu. Wtedy wzór na współczynnik wypełnienia przyjmuje postać

${\displaystyle k_{w}={\frac {P_{0}\tau }{TP_{0}}}={\frac {\tau }{T}}.}$ 

 

Niech moc impulsu wyrażona jest wzorem

${\displaystyle P(t)=P_{0}|\sin(\omega t+\phi )|,}$ 

gdzie:

${\displaystyle \omega =\pi /T}$  – częstość kołowa (tutaj okres jest dwukrotnie mniejszy niż w przypadku funkcji ${\displaystyle /sin(t)}$ ),

${\displaystyle \phi }$  – faza początkowa.

Można obliczyć rzeczywistą moc impulsu

${\displaystyle P_{s}={\frac {P_{0}}{T}}\int \limits _{0}^{T}{|\sin(\omega t+\phi )|\operatorname {d} t},}$ 

${\displaystyle P_{s}=-{\frac {P_{0}}{T}}\cdot \left.{\frac {1}{\omega }}\cos(\omega t+\phi )\right|_{0}^{T},}$ 

${\displaystyle P_{s}=-{\frac {P_{0}}{T}}\cdot {\frac {T}{\pi }}(-2)={\frac {2P_{0}}{\pi }}.}$ 

Stąd współczynnik wypełnienia będzie miał wartość

${\displaystyle k_{w}={\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637.}$