A matematikában, azon belül az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.
Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.
Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.
Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.
A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.
Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.
A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is:
a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.
A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges nemüres halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):
A1). Az a,b,c eleme G elemre (a·b)·c = a·(b·c) |
(asszociativitás);
|
A2). Az e eleme G, amelyre a eleme G esetén: e·a = a·e = a |
(neutrális elem létezése);
|
A3). Az a eleme G elemhez minden, az A2). tulajdonságot teljesítő e eleme G esetén található olyan a^-1 , amelyre a·a^-1 = a^-1·a = e |
(inverzelemek létezése).
|
Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.
A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.
Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:
A2'). Tetszőleges a,b eleme G esetén léteznek olyan x,y eleme G elemek, melyekre a·x = b és y·a = b teljesül |
(az a·x = b és y·a = b egyenletek megoldhatóak G-ben x-re és y-ra)
|
- T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
- Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.
- T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
- Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.
Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.
Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).
szerkesztés
Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére
teljesül. Jelben
.
Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.
Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel
szerkesztés
Legyen
és
két csoport és legyen
: G → H olyan leképezés, hogy tetszőleges
elemekre
. Az ilyen
leképezést homomorfizmusnak nevezzük.
Speciálisan, ha
bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy
és
izomorf csoportok.
Ha
, azaz
-t önmagára képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy
a
csoport automorfizmusa. Tetszőleges
csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele
, egységeleme az identikus leképezés.
Legyen
-t
-ba képező homomorfizmus. Azoknak a
elemeknek a halmazát, amelyekre
, a
homomorfizmus magjának nevezzük és
-vel jelöljük.
elemei csoportot alkotnak, méghozzá
normálosztó
-ben.
A
faktorcsoport izomorf
-vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.
Legyen
tetszőleges csoport. Azoknak a
elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy
minden
-re,
centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan)
-vel jelöljük.
sohasem üres halmaz, mert
,
elemei csoportot alkotnak, mi több
.
akkor és csak akkor kommutatív, ha
.
Legyen
. Azoknak az
csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy
,
centralizátorának nevezzük és
-val jelöljük.
sohasem üres halmaz, mert
, sőt
csoport.
az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben
még centrumelem;
⇔
.
az összes elem centralizátorának a metszete.
Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet
szerkesztés
Legyen
csoport. Egy
csoportelemnek egy
csoportelemmel vett konjugáltját az
kifejezéssel definiáljuk.
Megjegyzések:
- A fönti definícióval
,
,
és
(
a
egységeleme,
tetszőlegesek).
- Egyes szerzők a konjugáltat az
kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az
teljesül), illetve az
jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).
Vezessük be
elemei között a
relációt a következőképpen: az
csoportelemekre
. Könnyen belátható, hogy
ekvivalenciareláció, tehát
szerint
diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.
A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.
Az
-t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik
indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje
a
csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok
-nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:
Itt jobb oldalon minden tag osztója
rendjének.
Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha
, ahol
prím, akkor
nem egyelemű. Valóban, a
-k mind oszthatók
-vel, csakúgy mint
, ezért
is osztható
-vel.
Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.
Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.
További példák Abel-csoportokra:
- additív:
- multiplikatív:
- racionális számok a 0 nélkül
- valós számok a 0 kivételével
- komplex számok a 0 nélkül
Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.
Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van
(az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat.
A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása,
azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.
A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.
Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje
, ahol
nem osztója a G csoport rendjének.
A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.
I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=
h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.
Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.
Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.
II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=
k<=
h
Következmény - G összes P-Sylowja izomorf
Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek
III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.
Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.
Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek.
.
Itt r akár 0 is lehet.
A normállánc faktorai az
/
faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.
Az
lánc az L finomítása, ha L összes elemét tartalmazza, és hosszabb.
A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.
Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?
Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.
Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról
Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.
A G csoportot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport.
Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható.
Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok, akkor G is feloldható.
Példák:
- Sn akkor és csak akkor feloldható, ha n<5.
- Speciálisan, S4 negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
- Minden Abel-csoport feloldható.
A G csoport egy normálláncát centrálláncnak nevezünk, ha a normállánc minden eleme normálosztó a teljes csoportban, és a normállánc szomszédos elemeinek faktorcsoportja részcsoportja G centrumának. G-t nilpotensnek nevezünk, ha létezik véges centrállánca. A definícióból azonnal következik, hogy a nilpotens csoportok feloldhatóak.
Ha G nilpotens, akkor minden centrálláncának ugyanaz a hossza. Ezt a közös hosszúságot G nilpotenciaosztályának nevezzük. Minden Abel-csoport nilpotens, és nilpotenciaosztálya 1. További, kevésbé triviális példák a nilpotens csoportokra a p-csoportok. Minden véges csoport Frattini-részcsoportja is nilpotens.
Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.
Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.
A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.
Az
részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.
Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.
Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:
,
ahol
a G csoport összes eleme felsorolva.
Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…
Legyen most G permutációcsoport
fölött.
egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az
-beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.
Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)
A G csoport tranzitív, ha
bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est
elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor
valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.
Példa - kocka szimmetriacsoportja
Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.
Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:
- ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
- gh*x=g*(h*x)
- 1 egységeleme G-nek, 1*x=x
Példák
- a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
- a G csoport hat önmagán konjugálással
- a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain
- Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
- Fried Ervin: Algebra I.
- Pelikán József: Algebra I.