Diferencia entre revisiones de «Notación matemática»
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Algunos principios básicos son: |
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* Los símbolos de una letra se representan en [[Cursiva|letra cursiva]]: <math> \scriptstyle a, \, b, \, i, \, k, \, x, \,y </math>, etc. |
* Los símbolos de una letra se representan en [[Cursiva|letra cursiva]]: <math> \scriptstyle a, \, b, \, i, \, k, \, x, \,y </math>, etc. |
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* Los símbolos de varias letras se representan en [[Rotunda|letra redonda]]: <math> \scriptstyle \cos \alpha, \, \exp x</math>, etc.; en lugar de <math> \scriptstyle \ln x</math> no debe escribirse <math> \scriptstyle lnx</math>, porque eso representaría el producto <math> \scriptstyle l \cdot n \cdot x</math> en lugar del logaritmo neperiano. |
* Los símbolos de varias letras se representan en [[Rotunda|letra redonda]]: <math> \scriptstyle \cos \alpha, \, \exp x</math>, etc.; en lugar de <math> \scriptstyle \ln x</math> no debe escribirse <math> \scriptstyle lnx</math>, porque eso representaría el producto <math> \scriptstyle l \cdot n \cdot x</math> en lugar del [[logaritmo neperiano]]. |
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* Según la norma ISO |
* Según la norma [[ISO/IEC 80000]] los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (<math> \scriptstyle \text{e}, \, \text{i} </math>), también se escriben con letra redonda: <math> \scriptstyle a \text{e}^x</math>.<ref>Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.</ref> |
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== Teoría de conjuntos == |
== Teoría de conjuntos == |
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=== Conjuntos numéricos === |
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La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan ''blackboard bold''. Se muestra el símbolo creado con [[LaTeX]], el carácter [[Unicode]] equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los [[tipo de letra|tipos de letra]] disponibles), y su significado habitual en matemáticas: |
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan ''[[blackboard bold]]''. Se muestra el símbolo creado con [[LaTeX]], el carácter [[Unicode]] equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los [[tipo de letra|tipos de letra]] disponibles), y su significado habitual en matemáticas: |
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{| class="wikitable" |
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! TeX |
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|<math>\mathbb C \!</math>||ℂ||[[Números complejos]] |
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|<math>\mathbb H\!</math>||ℍ||[[Cuaterniones]] |
|<math>\mathbb H\!</math>||ℍ||[[Cuaternión|Cuaterniones]] |
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|<math>\mathbb N\!</math>||ℕ||[[Números naturales]] |
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:: <math>\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^-= \{0,1,2,3,\ldots\}</math> |
:: <math>\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^-= \{0,1,2,3,\ldots\}</math> |
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: <math>\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a, b \in\mathbb{Z} \quad \ |
: <math>\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a, b \in\mathbb{Z} \quad \land \quad b\neq 0\}</math> |
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: <math>\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a \in\mathbb{Z} \quad \ |
: <math>\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a \in\mathbb{Z} \quad \land \quad b \in\mathbb{N} \}</math> |
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: <math>\mathbb{R} = \mbox{El conjunto de los números reales } </math> |
: <math>\mathbb{R} = \mbox{El conjunto de los números reales } </math> |
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:: <math>\overline{\mathbb{R}} =\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} = \mbox{ La recta real ampliada} </math> |
:: <math>\overline{\mathbb{R}} =\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} = \mbox{ La recta real ampliada} </math> |
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: <math>\mathbb{C} = \{ c: \quad c = a + b \cdot i \quad / \quad a, b \in\mathbb{R}\quad \ |
: <math>\mathbb{C} = \{ c: \quad c = a + b \cdot i \quad / \quad a, b \in\mathbb{R}\quad \land \quad i^2 = -1 \} </math> |
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:: <math>\mathbb{S}^1 = \{z\in\mathbb{C} \colon \|z\|=1\}</math> |
:: <math>\mathbb{S}^1 = \{z\in\mathbb{C} \colon \|z\|=1\}</math> |
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![[Relación matemática|Relación]]!!Notación!!Se lee |
![[Relación matemática|Relación]]!!Notación!!Se lee |
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|[[igualdad matemática|igualdad]]||<math> x = y </math>||x es igual |
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|[[desigualdad matemática|menor que]]||<math> x < y </math>||x es menor que y |
|[[desigualdad matemática|menor que]]||<math> x < y </math>||x es menor que y |
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|mayor que||<math> x > y </math>||x es mayor que y |
|mayor que||<math> x > y </math>||x es mayor que y |
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|[[aproximación|aproximado]]||<math> x \approx y </math>||x es aproximadamente igual |
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|cuantificador existencial con marca de unicidad||<math>\exists! x\ ... </math>||Existe un único x |
|cuantificador existencial con marca de unicidad||<math>\exists! x\ ... </math>||Existe un único x |
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|tal que||<math>x \mid y</math>||x, tal que y |
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|por lo tanto|| <math>x \therefore y</math> ||x, por lo tanto y |
|por lo tanto|| <math>x \therefore y</math> ||x, por lo tanto y |
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Ejemplo: |
Ejemplo: |
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Teorema de Weierstrass: |
[[Teorema de Weierstrass]]: |
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"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b. |
"Sea f una [[función real]] continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b. |
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Se tiene que: |
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" <math> f : [a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R, a < b \Longrightarrow \exists r, s \in [a, b]\mid \forall x \in [a,b]: f(r) \leq f(x) \leq f (s) </math> ". |
" <math> f : [a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R, a < b \Longrightarrow \exists r, s \in [a, b]\mid \forall x \in [a,b]: f(r) \leq f(x) \leq f (s) </math> ". |
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== Lógica proposicional, |
== Lógica proposicional, álgebra de Boole == |
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{{AP|Cálculo lógico|Conectiva lógica}} |
{{AP|Cálculo lógico|Conectiva lógica}} |
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=== Operadores básicos === |
=== Operadores básicos === |
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|Negación||<math>\neg p </math>||no 'p' |
|Negación||<math>\neg p </math>||no 'p' |
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|Conjunción||<math>p \ |
|Conjunción||<math>p \land q</math>||'p' y 'q' |
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|Disyunción||<math>p \ |
|Disyunción||<math>p \lor q</math>||'p' o (exclusivo) 'q' |
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|} |
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Los operadores básicos se usan para formar '''declaraciones atómicas'''. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad. |
Los operadores básicos se usan para formar '''declaraciones atómicas'''. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad. |
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=== Implicación === |
=== Implicación === |
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Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la '''implicación'''. Se escribe <math>p \to q</math> o <math>p \Rightarrow q</math> como abreviatura de <math>\neg p \ |
Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la '''implicación'''. Se escribe <math>p \to q</math> o <math>p \Rightarrow q</math> como abreviatura de <math>\neg p \lor q</math>. La declaración "<math>p</math> implica <math>q</math>" es cierta siempre que <math>p</math> sea verdad, pero no necesariamente si <math>q</math> lo es (ya que q puede ser verdad por otras razones). |
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Si <math>p \Rightarrow q</math> y <math>q \Rightarrow p</math>, se escribe <math>p \Leftrightarrow q</math>, que se lee "<math>p</math> implica y es implicada por <math>q</math>", o bien "<math>p</math> [[si y |
Si <math>p \Rightarrow q</math> y <math>q \Rightarrow p</math>, se escribe <math>p \Leftrightarrow q</math>, que se lee "<math>p</math> implica y es implicada por <math>q</math>", o bien "<math>p</math> [[si y solo si]] <math>q</math>". |
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Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo: |
Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo: |
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Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo. |
Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo. |
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:[[Conjunción lógica|Conjunción]]: Salgo tarde <math>\ |
:[[Conjunción lógica|Conjunción]]: Salgo tarde <math>\land</math> no tengo vehículo <math>\Rightarrow</math> llegaré tarde al trabajo. |
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Viajo en autobús '''o''' viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez. |
Viajo en autobús '''o''' viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez. |
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:[[Disyunción lógica]]: viajo en bus <math>\ |
:[[Disyunción lógica]]: viajo en bus <math>\lor</math> viajo en mi auto <math>\Rightarrow</math> o lo uno o lo otro. |
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;''Contradicciones del lenguaje'' |
;''Contradicciones del lenguaje'' |
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Si |
Si se dice: aquí '''''no''''' hay '''''nadie''''' y se aplica literalmente la doble negación expresada en el habla cotidiana, entonces, se podría entender que aquí hay alguien. |
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:[[Negación lógica]]: no <math>\neg</math> hay nadie <math>\Rightarrow</math> aquí hay alguien. |
:[[Negación lógica]]: no <math>\neg</math> hay nadie <math>\Rightarrow</math> aquí hay alguien. |
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:[[Negación lógica]]: no <math>\neg</math> produce nada <math>\Rightarrow</math> produce algo. |
:[[Negación lógica]]: no <math>\neg</math> produce nada <math>\Rightarrow</math> produce algo. |
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Otros idiomas, como el francés, evitan esta ambigüedad o contradicción delimitando la negación con una doble marca, remplazando sólo la segunda marca cuando se utiliza "nada" o "nadie", de manera que cuando se conjuga la negación se remplaza sólo la segunda marca, "ne...pas" se convierte en "ne...rien" o "ne ...personne", lo cual evita una posible interpretación de doble negación de la estructura básica. |
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=== Cuantificadores === |
=== Cuantificadores === |
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Para decir que el [[Límite de una función|límite]] de la función <math>f</math> es <math>L</math> cuando <math>x</math> tiende a <math>a</math>, se escribe: |
Para decir que el [[Límite de una función|límite]] de la función <math>f</math> es <math>L</math> cuando <math>x</math> tiende a <math>a</math>, se escribe: |
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:<math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math> o bien <math>f(x) \to L</math>. |
:<math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math> o bien <math>f(x) \overset{x \to a}{\rightarrow} L</math> o simplemente <math>f(x) \to L</math>. |
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Igualmente, para decir que la sucesión <math>\{a_n\}</math> va a <math>a</math> cuando <math>n</math> tiende a la infinidad, se escribe: |
Igualmente, para decir que la sucesión <math>\{a_n\}</math> va a <math>a</math> cuando <math>n</math> tiende a la infinidad, se escribe: |
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===== Derivadas parciales ===== |
===== Derivadas parciales ===== |
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Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo: |
Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo: |
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: <math> z= f( |
: <math> z= f(x,y) \, </math> |
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Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes: |
Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes: |
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*[[Anexo:Tabla de símbolos matemáticos]] |
*[[Anexo:Tabla de símbolos matemáticos]] |
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*[[Anexo:Constantes matemáticas]] |
*[[Anexo:Constantes matemáticas]] |
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* |
*[[Ayuda:Uso de TeX]] |
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== Notas == |
== Notas == |
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== Enlaces externos == |
== Enlaces externos == |
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[[Categoría:Notación matemática| ]] |
[[Categoría:Notación matemática| ]] |
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[[he:סימון מתמטי]] |
Revisión actual - 13:49 2 ene 2024
La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.
Algunos principios básicos son:
- Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: , etc.
- Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: , etc.; en lugar de no debe escribirse , porque eso representaría el producto en lugar del logaritmo neperiano.
- Según la norma ISO/IEC 80000 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (), también se escriben con letra redonda: .[1]
Teoría de conjuntos[editar]
Sean un elemento y conjuntos
Relación | Notación | Se lee |
---|---|---|
pertenencia | x pertenece a A | |
inclusión | A está contenido en B | |
A está contenido en B o es igual que B | ||
inclusión | A contiene a B | |
A contiene a B o es igual que B |
Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo es "x no pertenece a A";
Conjuntos numéricos[editar]
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:
TeX | Unicode | Uso en matemáticas |
---|---|---|
ℂ | Números complejos | |
ℍ | Cuaterniones | |
ℕ | Números naturales | |
ℙ | Números primos | |
ℚ | Números racionales | |
ℝ | Números reales | |
𝕊 | Esfera | |
ℤ | Números enteros |
Conjuntos numéricos especiales[editar]
Expresiones[editar]
Relación | Notación | Se lee |
---|---|---|
igualdad | x es igual que y | |
menor que | x es menor que y | |
mayor que | x es mayor que y | |
aproximado | x es aproximadamente igual que y |
Cuantificador |
Notación | Se lee |
---|---|---|
cuantificador universal | para todo x | |
cuantificador existencial | Existe por lo menos un x | |
cuantificador existencial con marca de unicidad | Existe un único x | |
tal que | x, tal que y | |
por lo tanto | x, por lo tanto y |
Ejemplo:
"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.
Se tiene que:
- La función f está acotada.
- La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."
Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:
" ".
Lógica proposicional, álgebra de Boole[editar]
Operadores básicos[editar]
Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.
Sean y dos proposiciones
Operación | Notación | Se lee |
---|---|---|
Negación | no 'p' | |
Conjunción | 'p' y 'q' | |
Disyunción | 'p' o (exclusivo) 'q' |
Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.
Implicación[editar]
Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe o como abreviatura de . La declaración " implica " es cierta siempre que sea verdad, pero no necesariamente si lo es (ya que q puede ser verdad por otras razones).
Si y , se escribe , que se lee " implica y es implicada por ", o bien " si y solo si ".
Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:
Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.
- Conjunción: Salgo tarde no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.
Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.
- Disyunción lógica: viajo en bus viajo en mi auto o lo uno o lo otro.
- Contradicciones del lenguaje
Si se dice: aquí no hay nadie y se aplica literalmente la doble negación expresada en el habla cotidiana, entonces, se podría entender que aquí hay alguien.
- Negación lógica: no hay nadie aquí hay alguien.
Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.
- Negación lógica: no produce nada produce algo.
Otros idiomas, como el francés, evitan esta ambigüedad o contradicción delimitando la negación con una doble marca, remplazando sólo la segunda marca cuando se utiliza "nada" o "nadie", de manera que cuando se conjuga la negación se remplaza sólo la segunda marca, "ne...pas" se convierte en "ne...rien" o "ne ...personne", lo cual evita una posible interpretación de doble negación de la estructura básica.
Cuantificadores[editar]
Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.
Nombre | Notación | Se lee |
---|---|---|
cuantificador universal | Para todo x... | |
cuantificador existencial | Existe por lo menos un x... | |
cuantificador existencial con marca de unicidad | Existe un único x... |
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen "para todo , es verdad que " y "existe por lo menos un tal que es verdad".
Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que dice lo mismo que dice . En palabras, decir "no es para todo que es verdad" es igual que decir "existe tal que es falsa".
Teoría de números[editar]
Análisis matemático[editar]
Análisis real[editar]
Límites[editar]
Para decir que el límite de la función es cuando tiende a , se escribe:
- o bien o simplemente .
Igualmente, para decir que la sucesión va a cuando tiende a la infinidad, se escribe:
- o bien .
Derivadas[editar]
Derivadas ordinarias[editar]
Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:
Las derivadas serían:
Derivadas parciales[editar]
Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo:
Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:
Véase también[editar]
Notas[editar]
- ↑ Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.