Ecole Doctorale Edocif Séminaire Méthodologique L’Econométrie des Données de Panel Modèles Linéaires Simples Christophe HURLIN L’Econométrie des Données de Panel 2 Figure 0.1: Présentation Le but de ce séminaire est de proposer une initiation, tant sur le plan théorique que sur le plan appliqué, à l’économétrie des données de panel. Sur le plan théorique, le séminaire débutera par une présentation des problèmes de spéci…cations de base en économétrie de panel et par les méthodes d’estimation traditionnelles. Cette première partie insistera en particulier sur les stratégies de tests de spéci…cation du modèle. La seconde partie du séminaire sera consacrée à l’étude des panels dynamiques et proposera une introduction aux concepts de non stationnarité stochastique en panel et notamment à la spéci…cation des tests de non stationnarité et de cointégration. Ces concepts théoriques seront appliqués à di¤érentes problématiques économiques, comme par exemple la problématique de la convergence des PIB par tête, que ce soit au travers de commentaires de travaux empiriques ou par la programmation d’exemples illustratifs sous un logiciel d’économétrie (TSP ou SAS à préciser) L’Econométrie des Données de Panel 3 Table des Matières Introduction 2 Chapitre 1 : Modèles Linéaires Simples 5 Introduction 6 1. Tests de spéci…cation ou tests d’homogénéité 8 1.1. L’exemple d’une fonction de production 1.2. Procédure de tests de spéci…cation 8 10 1.2.1. Procédure générale 1.2.2. Construction des statistiques de test 1.3. Application 10 13 17 2. Modèles à e¤ets individuels 2.1. Empilement par pays 2.1.1. Exemple 2.2. Empilement par dates 2.2.1. Exemple 20 21 22 23 23 3. Modèles à e¤ets …xes 3.1. Estimateur Within ou LSDV 3.2. Application 3.3. Ecriture vectorielle 25 26 28 31 4. Modèles à e¤ets aléatoires 4.1. Modèle à variance composée 4.2. Estimateurs du modèle à e¤ets aléatoires 4.3. Estimateur des Moindres Carrés Généralisés 4.4. Application 33 34 35 37 42 5. Tests de spéci…cation des e¤ets individuels 5.1. Corrélation des e¤ets individuels et des variables explicatives 5.2. Test de spéci…cation d’Hausman 6.3. Application 44 45 49 51 6. Modèles à coe¢cients …xes et aléatoires 6.1. Modèle MFR de Hsiao (1989) 6.2. Méthode d’estimation des paramètres 6.3. Application 53 53 56 57 L’Econométrie des Données de Panel 4 Annexes A.1. Equivalence entre les estimateurs Within et pooled : à = 1 A.2. Programme TSP : Modèle MFR 62 62 63 Bibliographie 67 L’Econométrie des Données de Panel Chapitre I Modèles Linéaires Simples 5 L’Econométrie des Données de Panel 6 Introduction Dans ce premier chapitre, nous nous restreindrons à l’étude des modèles linéaires simples sur données de panel, ces derniers étant dé…nis par opposition aux modèles dynamiques faisant intervenir des variables endogènes retardées. Dans toute la suite de ce chapitre, on considère des processus strictement stationnaires au sens de la stationnarité du second ordre1 . L’objectif des cinq premières sections de ce chapitre est de faire en sorte que le lecteur puisse interpréter, de façon exhaustive et relativement approfondie, les résultats de base que donnent les principaux logiciels d’économétrie lorsque l’on envisage des modèles de panel. Nous prendrons ici comme référence le logiciel TSP 4.3, mais il est bien entendu évident que ces résultats de base sont sensiblement identiques si l’on considère d’autres logiciels comme Eviews, SAS ou Rats. Quelles sont les connaissances minimales nécessaires à l’économètre appliqué pour pouvoir interpréter un tableau de résultats d’estimation de panel ? Prenons comme exemple la commande panel de TSP. A l’issue de cette procédure, l’utilisateur dispose des réalisations des estimateurs Pooled, Between, des estimateurs du modèle à e¤ets individuels …xes (Within), du modèle à e¤ets individuels aléatoires (Error Component Model ), des résultats de trois tests de Fischer, d’un estimateur de la variance des e¤ets individuels, d’un estimateur de la variance totale, de l’estimateur d’un paramètre de pondération et de la statistique du test d’Hausman. Voilà ainsi résumés tous les élements que nous nous proposons d’étudier tout au long des cinq premières sections. Ainsi, la première section est consacrée aux tests de spéci…cation qui correspondent en fait aux trois tests de Fischer du …chier de résultat des estimations TSP. Il s’agit ici de déterminer la manière dont doit être spéci…é un modèle de panel, si tant que l’hypothèse de panel puisse être acceptée. Nous verrons alors que toute l’analyse repose alors sur la notion d’homogénéité des paramètres du modèle envisagé. Les tests présentés visent ainsi à porter un diagnostic sur l’éventuelle nécessité d’intégrer une dimension hétérogène et sur la manière dont cette hétérogénéité doit être spéci…ée. Une des manières simples pour ne pas supposer l’existence d’un modèle totalement identique consiste ainsi à introduire des e¤ets individuels sous la forme de constantes spéci…ques, propres à chaque individu du panel. Nous proposerons ainsi une procédure générale de tests de spéci…cation des modèles linéaires simples. 1 La dé…nition de la stationnarité fera l’objet du chapitre suivant. L’Econométrie des Données de Panel 7 Dans une seconde section, nous présenterons le modèle à e¤ets individuels. Ce modèle suppose l’existence de coe¢cients identiques pour tous les individus et de constantes spéci…ques. Ainsi, la relation économique mise en évidence à travers ce type de modélisation n’est censée di¤érer pour tous les individus qu’au niveau des constantes introduites dans le modèle. Nous insisterons alors sur la construction du modèle et en particulier sur sa représentation sous forme vectorielle. Il s’agit ici de présenter les deux principales méthodes de construction des échantillons de données, à savoir la méthode d’empilement par date et la méthode d’empilement par individus. La troisième section est consacré au modèle à e¤ets individuels …xes. On suppose dans cette section que les e¤ets individuels sont des paramètres déterministes. Nous serons alors amener à présenter la construction et les propriétés de l’estimateur Within des coe¢cients du modèle. Une application sur les relations entre le nombre de grèves dans le secteur industriel et les déterminants macroéconomiques sera proposée. Nous nous appuierons sur les résultats et les di¤érents tests proposés sous TSP. Une quatrième section sera consacrée au modèle à e¤ets individuels aléatoires. On suppose dans cette section que les e¤ets individuels ne sont plus des paramètres, mais des variables aléatoires possédant une distribution commune pour tous les individus. Nous commencerons par étudier la structure des résidus de ce modèle à variance composée. Nous étudierons ensuite les di¤érents estimateurs des coe¢cients du modèle à e¤ets aléatoires et plus particulièrement l’estimateur des Moindres Carrés Généralisés. En…n, la cinquième section sera consacrée aux tests de spéci…cation des e¤ets individuels. La question est alors de savoir quel modèle, parmi les modèles à e¤ets aléatoires et e¤ets …xes, doit être retenu. Ceci nous conduira à présenter le test d’Hausman (1978) qui constitue le test standard de spéci…cation des e¤ets individuels. Nous conclurons en…n en introduisant un sixième section consacrée à la présentation d’un type de modèle de plus en plus utilisé en économétrie appliqué : le modèle avec coe¢cients …xes et coe¢cients aléatoires. Ce modèle, introduit notamment par Hsiao (1989), permet de réaliser di¤érents exercices de modélisation économique particulièrement intéressants. L’Econométrie des Données de Panel 8 1. Tests de spéci…cation ou tests d’homogénéité Lorsque l’on considère un échantillon de données de panel, la toute première chose qu’il convient de véri…er est la spéci…cation homogène ou hétérogène du processus générateur de données. Sur le plan économétrique, cela revient à tester l’égalité des coe¢cients du modèle étudié dans la dimension individuelle. Sur le plan économique, les tests de spéci…cation reviennent à déterminer si l’on est en droit de supposer que le modèle théorique étudié est parfaitement identique pour tous les pays, ou au contraire s’il existe des spéci…cités propres à chaque pays. Nous commencerons par présenter un petit exemple illustratif construit à partir d’une fonction de production agrégée. Dans une seconde section, nous généraliserons la procédure de tests de spéci…cation en introduisant les notions de variances intraclasses (Within) et inter-classes (Between). En…n, nous proposerons une application de ces tests de spéci…cation à l’estimation d’une relation entre le nombre de grèves et un ensemble de variables explicatives. 1.1. L’exemple d’une fonction de production Prenons l’exemple d’une fonction de production. Supposons que l’on dispose d’un échantillon de données de P IB et de facteurs (travail et capital) sur une durée de T périodes pour un ensemble de N pays. Si l’on note yi;t le logarithme du P IB, ki;t le logarithme du stock de capital privé et ni;t le logarithme de l’emploi et que l’on suppose une fonction de production de type Cobb Douglass, le modèle général s’écrit sous la forme 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : yi;t = ®i + ¯ i ki;t + ° i ni;t + "i;t Les innovations "i;t sont supposées être i:i:d: de moyenne nulle et de variance égale à ¾ 2" ; 8 i 2 [1; N] : Dans un premier temps, la phase de test de spéci…cation, revient sur le plan économique, à déterminer s’il est en droit de supposer une fonction de production totalement identique pour tous les pays (modèle pooled). Dans ce cas, les élasticités de l’emploi et du capital sont identiques pour tous les pays (¯ i = ¯; ° i = °; 8 i 2 [1; N] ) et le niveau moyen de la productivité totale des facteurs, représenté ici par les constantes ®i ; est lui aussi identique pour tous les pays. Le modèle s’écrit alors sous la forme : yi;t = ® + ¯ki;t + °ni;t + "i;t L’Econométrie des Données de Panel 9 Toutefois, lorsque l’on travaille sur des séries agrégés, il est relativement peu probable que la fonction de production macroéconomique soit strictement identique pour tous les pays étudiés. Si l’hypothèse d’homogénéité totale est rejetée, il convient alors de tester si les élasticités des di¤érents facteurs sont identiques. Si ce n’est pas le cas, il n’existe a priori aucune structure de production commune entre les pays. Dans ce cas, l’utilisation des données de panel ne se justi…e pas et peut même conduire à des biais d’estimation. On doit donc estimer les fonctions de production pays par pays. Si en revanche, il s’avère qu’il existe bien une relation identique entre la production et les facteurs pour tous les pays, la source d’hétérogénéité du modèle peut alors provenir des constantes ®i : Dans notre exemple, ces constantes représentent la moyenne de la productivité totale des facteurs de production (résidu de Solow). Or, rien ne garantit que les pays étudiés possèdent le même niveau de productivité structurelle. Au contraire, il se peut parfaitement que des facteurs a-temporels ou structurels, comme la position géographique, le climat, l’éloignement par rapport au grands axes commerciaux etc... aient pu conduire à des di¤érences structurelles de niveau de productivité entre les pays. Il convient donc de tester l’hypothèse d’une constante commune à tous les pays. Si cette hypothèse est rejetée, on obtient alors un modèle avec e¤ets individuels qui s’écrit sous la forme : yi;t = ®i + ¯ki;t + °ni;t + "i;t Dans ce cas, le niveau moyen de la productivité totale des facteurs, déterminé par E (®i + "i;t ) = ®i ; varie selon les pays, même si la structure de production (les élasticités des deux facteurs travail et capital) est identique. Cet exemple, que nous allons à présent généraliser, montre bien que la phase de test de spéci…cation revient à déterminer si le processus générateur de données peut être considéré comme homogène, c’est à dire unique pour tous les individus, ou si au contraire il apparaît totalement hétérogène, auquel cas l’utilisation des techniques de panel ne peut se justi…er. Entre ces deux cas extrêmes, il convient de précisément identi…er la source d’hétérogénéité pour bien spéci…er le modèle. L’Econométrie des Données de Panel 10 1.2. Procédure de tests de spéci…cation On considère un échantillon de T observations de N processus individuels fyi;t ; t 2 Z; i 2 Ng et fxi;t ; t 2 Z; i 2 Ng : Par la suite, on notera fyi;t g et fxi;t g ces deux processus. On suppose que le processus fyi;t g est dé…ni de façon générale par le relation linéaire suivante, 8 i 2 N, 8 t 2 Z : yi;t = ®i + ¯ 0i xi;t + "i;t (1.1) ¡ ¢0 où ®i 2 R, ¯ i = ¯ 1;i ¯ 2;i ::::¯ K;i est un vecteur de dimension (K; 1). On considère ainsi un vecteur de K variables explicatives : xi;t = (x1;i;t ; x2;i;t ; :::; xK;i;t )0 (1.2) Les innovations "i;t sont supposées être i:i:d: de moyenne nulle et de variance égale 8 i 2 [1; N] : Ainsi on suppose que les paramètres ®i et ¯ i du modèle (1.1) peuvent à di¤érer dans la dimension individuelle2 , mais l’on suppose qu’ils sont constants dans le temps. ¾2" ; 1.2.1. Procédure générale Si l’on considère le modèle (1.1), plusieurs con…gurations sont alors possibles : 1. Les N constantes ®i et les N vecteurs de paramètres ¯ i sont identiques : ®i = ®; ¯ i = ¯ 8 i 2 [1; N]. On quali…e alors le panel de panel homogène. 2. Les N constantes ®i et les N vecteurs de paramètres ¯ i sont di¤érents selon les individus. On a donc N modèles di¤érents, on rejette la structure de panel. 3. Les N constantes ®i sont identiques, ®i = ® 8 i 2 [1; N] ; tandis que les vecteurs de paramètres ¯ i di¤èrent selon les individus. Dans ce cas, tous les coe¢cients du modèle, à l’exception des constantes, sont di¤érents selon les individus. On a donc N modèles di¤érents. 4. Les N vecteurs de paramètres ¯ i sont identiques, ¯ i = ¯ 8 i 2 [1; N] ; tandis que les constantes ®i di¤èrent selon les individus. On obtient un modèle à e¤ets individuels. Pour discriminer ces di¤érentes con…gurations et pour s’assurer du bien fondé de la structure de panel, il convient d’adopter une procédure de tests d’homogénéité emboîtés. La procédure générale de test présentée dans Hsiao (1986) est décrite sur la …gure (1.1). 2 A l’exception de la variance des innovations que l’on supposera identique pour tous les individus. L’Econométrie des Données de Panel 11 Figure 1.1: Procédure Générale de Tests d’Homogénéité TestH01 : αi = α βi = β ∀i ∈ [1, N] H01 vraie H01 rejetée 2 TestH0 : βi = β ∀i ∈[1, N] 2 2 H0 vraie H0 rejetée yi,t = αi + βi ' xi,t + εi,t yi,t = α + β' xi,t + εi,t TestH03 : αi = α ∀i ∈[1, N] H03 vraie yi,t = α + β' xi,t + εi,t H03 rejetée yi,t = αi + β' xi,t + εi,t Dans une première étape, on teste l’hypothèse d’une structure parfaitement homogène (constantes et coe¢cients identiques) : H01 : ¯ i = ¯ ®i = ® 8 i 2 [1; N] Ha1 : 9 (i; j) 2 [1; N] = ¯ i 6= ¯ j ou ®i 6= ®j On utilise alors une statistique de Fischer pour tester ces (K + 1) (N ¡ 1) restrictions linéaires3 . Si l’on suppose que les résidus "i;t sont indépendamment distribués dans les dimensions i et t; suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance …nie ¾2" ; cette statistique suit une distribution de Fischer avec (K + 1) (N ¡ 1) et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté. Les conclusions de ce test sont les suivantes. Si l’on accepte l’hypothèse nulle H10 d’homogénéité, on obtient alors un modèle de pooled totalement homogène. yi;t = ® + ¯ 0 xi;t + "i;t (1.3) Si en revanche, on rejette l’hypothèse nulle, on passe à une seconde étape qui consiste à déterminer si l’hétérogénéité provient des coe¢cients ¯ i . 3 Dans notre modèle, chaque vecteur ¯ i comprend K paramètres. Pour les N individus du panel, on obtient KN paramètres. L’égalité des N vecteurs ¯ i revient donc à imposer KN ¡ K restrictions. De la même façon, l’égalité des N constantes revient à imposer N ¡ 1 restrictions. Au total, l’hypothèse H01 revient à imposer (K + 1) (N ¡ 1) restrictions linéaires. L’Econométrie des Données de Panel 12 La seconde étape consiste à tester l’égalité pour tous les individus des K composantes des vecteurs ¯ i . H02 : ¯ i = ¯8 i 2 [1; N] Ha2 : 9 (i; j) 2 [1; N] = ¯ i 6= ¯ j Sous l’hypothèse nulle, on n’impose ici aucune restriction sur les constantes individuelles ®i : De la même façon, on construit une statistique de Fischer pour tester ces (N ¡ 1) K restrictions linéaires. Toujours sous l’hypothèse d’indépendance et de normalité des résidus, cette statistique suit une loi de Fischer avec (N ¡ 1) K et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté. Si l’on rejette l’hypothèse nulle H20 d’homogénéité des coef…cients ¯ i , on rejette alors la structure de panel, puisque au mieux seules les constantes ®i peuvent être identiques entre les individus : yi;t = ® + ¯ 0i xi;t + "i;t (1.4) On estime alors les paramètres vectoriels ¯ i en utilisant les modèles di¤érents pays par pays. Si en revanche, on accepte l’hypothèse nulle H20 d’homogénéité des coe¢cients ¯ i ; on retient la structure de panel et l’on cherche alors à déterminer dans une troisième étape si les constantes ®i ont une dimension individuelle. La troisième étape de la procédure consiste à tester l’égalité des N constantes individuelles ®i ; sous l’hypothèse de coe¢cients ¯ i communs à tous les individus : H03 : ®i = ® 8 i 2 [1; N] Ha3 : 9 (i; j) 2 [1; N] = ®i 6= ®j Sous l’hypothèse nulle, on impose ¯ i = ¯: Sous l’hypothèse d’indépendance et de normalité des résidus, on construit une statistique de Fischer pour tester ces N ¡ 1 restrictions linéaires. Cette statistique suit une loi de Fischer avec (N ¡ 1) K et N (T ¡ 1) ¡ K degrés de liberté. Si l’on rejette l’hypothèse nulle H30 d’homogénéité des constantes ®i , on obtient alors un modèle de panel avec e¤ets individuels : yi;t = ®i + ¯ 0 xi;t + "i;t (1.5) Dans le cas où l’on accepte l’hypothèse nulle H30 , on retrouve alors une structure de panel totalement homogène (modèle pooled). Le test H30 ne sert alors qu’à con…rmer ou in…rmer les conclusions du tests H10 ; étant donné que le fait de réduire le nombre de restrictions linéaires permet d’accroître la puissance du test du Fischer. L’Econométrie des Données de Panel 13 1.2.2. Construction des statistiques de test Nous allons à présent, présenter les méthodes de construction des di¤érents tests de Fischer utilisés dans cette procédure. On considère le modèle (1.1) et l’on suppose que les résidus "i;t sont indépendamment distribués dans les dimensions i et t; suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance …nie ¾2" . On suppose que la variance ¾2" est connue. Test d’homogénéité globale On considère tout d’abord, le test de l’hypothèse d’homogénéité totale H01 : H01 : ¯ i = ¯ ®i = ® 8 i 2 [1; N] Soit F1 la statistique de Fischer associée à ce test. Ce test revient à imposer (K + 1) (N ¡ 1) restrictions linéaires sur les coe¢cients du modèle (1.1). De plus, sous l’hypothèse alternative Ha2 ; il existe au plus NK coe¢cients di¤érents pour les composantes des N vecteurs ¯ i (de dimension K) et N constantes individuelles. On dispose donc de NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté. De…nition 1.1. La statistique de Fischer F1 associée au test d’homogénéité totale H01 dans le modèle (1.1) : H01 : ¯ i = ¯ (K;1) ®i = ® 8 i 2 [1; N] s’écrit sous la forme suivante et suit un Fischer avec (N ¡ 1) (K + 1) et NT ¡N (K + 1) degrés de liberté : F1 = (SCR1;c ¡ SCR1 ) = [(N ¡ 1) (K + 1)] SCR1 = [NT ¡ N (K + 1)] (1.6) où SCR1 désigne la somme des carrés des résidus du modèle (1.1) et SCR1;c la somme des carrés des résidus du modèle contraint : yi;t = ® + ¯ 0 xi;t + "i;t Ainsi, si la réalisation de la statistique de Fischer pour l’échantillon considéré est supérieure au seuil théorique à ®%; on rejette l’hypothèse nulle d’homogénéité. Reste à présent à déterminer la formule générale des sommes de carrés des résidus des modèles contraint et non contraint. Considérons tout d’abord le modèle non contraint : yi;t = ®i + ¯ 0i xi;t + "i;t Les estimateurs b̄i et ® b i des paramètres individuels sont obtenus équation par équation pour chaque individu. Soit SCR1;i la somme des carrés des résidus obtenue pour L’Econométrie des Données de Panel 14 chaque équation. La somme des carrés des résidus du modèle (1.1) non contraint est alors tout simplement dé…nie comme la somme des N somme des carrés des résidus obtenues pour les N équations individuelles. SCR1 = N X SCR1;i = N h i X ¡1 0 Syy;i ¡ Sxy;i Sxx;i Sxy;i (1.7) i=1 i=1 où les sommes Sk;i sont dé…nies de la façon suivante 8 i 2 [1; N] : T X (yi;t ¡ yi )2 (1.8) (xi;t ¡ xi ) (xi;t ¡ xi )0 (1.9) (xi;t ¡ xi ) (yi;t ¡ y i )0 (1.10) Syy;i = t=1 Sxx;i = T X t=1 Sxy;i = T X t=1 Les moyennes xi et yi sont dé…nies, pour chaque individu, dans la dimension temporelle de façon traditionnelle par 8 i 2 [1; N] : T 1X xi = xi;t T t=1 T 1X yi = yi;t T t=1 L’expression de SCR1 fait ainsi apparaître la somme des variances individuelles des résidus obtenues à partir des N régressions individuelles. L’expression Syy;i ¡ ¡1 0 Sxy;i Sxx;i Sxy;i correspond ainsi (à une transformée linéaire près) à la variance intragroupe (Within variance) des résidus. Le modèle (1.1) contraint sous l’hypothèse H01 s’écrit : yi;t = ® + ¯ 0 xi;t + "i;t (1.11) On dispose ainsi d’un échantilon de T N observations pour identi…er les paramètres communs ® et ¯ de cette relation. On applique alors les Moindres Carrés Ordinaires sur les données empilées (modèle pooled). La somme des carrés s’écrit sous la forme : 0 ¡1 SCR1;c = Syy ¡ Sxy Sxx Sxy (1.12) où les sommes Sk sont dé…nies de la façon suivante : Syy = T N X X i=1 t=1 (yi;t ¡ y i )2 (1.13) L’Econométrie des Données de Panel Sxx;i = 15 N X T X (xi;t ¡ xi ) (xi;t ¡ xi )0 (1.14) T N X X (xi;t ¡ xi ) (yi;t ¡ y i )0 (1.15) i=1 t=1 Sxy;i = i=1 t=1 Les moyennes x et y sont alors dé…nies sur l’ensemble des T N observations : x= N T 1 XX xi;t NT t=1 i=1 N T 1 XX yi;t y= NT t=1 i=1 L’expression SCR1;c correspond à une transformée de la variance totale des résidus (total variance) obtenus à partir de l’estimation d’un modèle unique sur les NT données empilées. Test d’homogénéité des coe¢cients ¯ i Considérons à présent le test de l’hypothèse d’homogénéité des coe¢cients ¯ i , notée 2 H0 : H02 : ¯ i = ¯ 8 i 2 [1; N] Soit F2 la statistique de Fischer associée à ce test. Sous l’hypothèse nulle, on n’impose aucune restriction sur les constantes individuelles ®i : Toujours sous l’hypothèse d’indépendance et de normalité des résidus, on construit une statistique de Fischer pour tester ces (N ¡ 1) K restrictions linéaires. Sous l’hypothèse alternative Ha2 ; on retrouve le modèle (1.1) et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté. De…nition 1.2. La statistique de Fischer F2 associée au test d’homogénéité totale H02 dans le modèle (1.1) : H02 : ¯ i = ¯ 8 i 2 [1; N] (K;1) s’écrit sous la forme suivante et suit un Fischer avec (N ¡ 1) K et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté : ¢ ¡ SCR1;c0 ¡ SCR1 = [(N ¡ 1) K] (1.16) F2 = SCR1 = [NT ¡ N (K + 1)] où SCR1 désigne la somme des carrés des résidus du modèle (1.1) et SCR1;c0 la somme des carrés des résidus du modèle contraint (modèle à e¤ets individuels) : yi;t = ®i + ¯ 0 xi;t + "i;t L’Econométrie des Données de Panel 16 La somme des carrés des résidus du modèle non contraint, SCR1 ; est donnée par l’équation (1.7). Sous l’hypothèse H02 ; la somme des carrés des résidus dans le modèle à e¤ets individuels est donnée par : ! !¡1 à N !0 à N ÃN N X X X X (1.17) Sxy;i Sxx;i Sxy;i Syy;i ¡ SCR1;c0 = i=1 i=1 i=1 i=1 où les sommes Sk;i ont été dé…nies par les équations (1.8), (1.9) et (1.10). Cette écriture signi…e que dans le modèle à e¤ets individuels, les estimateurs (Within) des paramètres ¯ i et ®i sont obtenus en centrant les variables sur leurs moyennes individuelles respectives. Nous reviendrons par la suite sur cette propriété. Test d’homogénéité des constantes ®i Considérons en…n le dernier test d’homogénéité des constantes ®i , notée H03 : H03 : ®i = ® 8 i 2 [1; N] Soit F3 la statistique de Fischer associée à ce test. Sous l’hypothèse nulle, on impose l’égalité des paramètres ¯ i : Sous l’hypothèse d’indépendance et de normalité des résidus, on construit une statistique de Fischer pour tester ces N ¡ 1 restrictions linéaires. Sous l’hypothèse alternative Ha3 ; les coe¢cients ¯ i sont tous égaux, mais les constantes di¤èrent selon les individus. On a donc NT ¡ N ¡ K degrés de liberté. De…nition 1.3. La statistique de Fischer F3 associée au test d’homogénéité totale H03 dans le modèle (1.1) : H03 : ®i = ® 8 i 2 [1; N] s’écrit sous la forme suivante et suit un Fischer avec N ¡ 1 et N (T ¡ 1) ¡ K degrés de liberté : ¡ ¢ SCR1;c ¡ SCR1;c0 = (N ¡ 1) F3 = (1.18) SCR1;c0 = [N (T ¡ 1) ¡ K] où SCR1;c0 désigne la somme des carrés des résidus du modèle (1.1) sous l’hypothèse ¯ i = ¯ (modèle à e¤ets individuels) et SCR1;c la somme des carrés des résidus du modèle contraint (modèle de pooled) : yi;t = ® + ¯ 0 xi;t + "i;t Les sommes des carrés des résidus SCR1;c0 et SCR1;c ont été respectivement dé…nies par les équations (1.17) et (1.12). Il est en outre possible de tester la constance dans le temps des di¤érents paramètres du panel suivant une procédure sensiblement identique (voir Hsiao 1986). Mais cette problématique relève plus de la notion traditionnelle de stabilité des coe¢cients dans le temps que de la pure application des techniques économétriques de données de panel. L’Econométrie des Données de Panel 17 1.3. Application Considérons à présent une application simple de ces tests d’homogénéité à partir de données de panel relatives au nombre de grèves dans le secteur industriel4 . Les données annuelles couvrent 17 pays5 de l’OCDE et sont disponibles de 1951 à 1985. Soit si;t le nombre de jours chômés pour cause de grève, pour 1000 salariés du secteur industriel, du pays i observé à la date t. Nous cherchons à relier cette variable d’une part au taux de chômage de l’économie, noté ui;t ; et d’autre au niveau de l’in‡ation, notée pi;t ; selon la relation linéaire suivante : si;t = ®i + ¯ i ui;t + ° i pi;t + "i;t 8 i = 1; ::; 17 (1.19) Appliquons la stratégie de test d’homogénéité à ce modèle. Pour ce faire, nous utiliserons directement les résultats des tests programmés sous TSP (version 4.3A ou versions ultérieures). Les commandes TSP sont donc les suivantes : load(file=’’strikes.wks’’); panel (id=i,time=t,byid) srt u p; La première ligne du programme sert tout simplement à lire les données du …chier strike.wks. La seconde ligne du programme permet d’obtenir l’ensemble des estimateurs de base (pooled, between, e¤ets …xes et e¤ets aléatoires) ainsi que les résultats des principaux tests de spéci…cation (tests d’homogénéité et test d’Hausman). L’option id = i indique le nom de l’indicatrice pays et l’option time = t indique le nom de l’indicatrice temporelle. L’option byid est nécessaire pour a¢cher l’ensemble des résultats des tests de spéci…cation6 . Les variables sont respectivement nommées srt , u et p. Sur la …gure (1.2) sont reportés les résultats d’estimation de cette procédure TSP. Nous allons nous concentrer plus particulièrement sur l’analyse des résultats des tests d’homogénéité. TSP propose, avec l’option byid, les trois tests de Fischer présentés précédemment. On observe tout d’abord le panel est cylindré (balanced), c’est à dire qu’il comporte le même nombre de points dans la dimension temporelle pour tous les individus. On a ici N = 17 et T = 35; soit 595 observations. Commençons tout d’abord par le test 4 Les données ont été collectées par Bruce Western et proviennent du site http://lib.stat.cmu.edu/datasets/ 5 Le panel comporte initialement 18 pays, mais pour le pays 3, les données ne sont disponibles que jusqu’en 1980. C’est pourquoi a…n de travailler sur un panel cylindré nous avons choisi de retirer ce pays de notre échantillon. 6 Pour plus de détails sur l’instruction panel sous TSP, se reporter au manuel de programmation du logiciel. L’Econométrie des Données de Panel Figure 1.2: Résultats des Tests de Spéci…cation sous TSP 4.3A 18 L’Econométrie des Données de Panel 19 de l’hypothèse d’homogénéité totale (test H01 dans nos notations). Ce dernier est noté sous la forme F test of A; B = Ai ; Bi dans le …chier résultat de TSP. La lettre A désigne ici les constantes, tandis que la lettre B désigne le vecteur des coe¢cients des variables explicatives. Dans le cadre de notre échantillon, la réalisation de la statistique de Fischer associée au test H01 , notée F1 ; est de 3:8320. Le logiciel indique en outre le nombre de degré de liberté de cette statistique. Nous avons vu précédemment que F1 suivait un Fischer avec (N ¡ 1) (K + 1) et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté. Compte tenu des dimensions de notre panel et du nombre de variables explicatives (K = 2), on doit donc comparer la valeur de cette réalisation au seuil d’un Fischer F (48; 544) : Le logiciel nous donne directement la pvalue associée à ce test. En l’occurrence ici, cette pvalue est très largement inférieure au seuil de 5%, donc pour ce seuil, on rejette l’hypothèse nulle H0 d’égalité des constantes ®i et des coe¢cients ¯ i et ° i : Il convient alors de tester l’hypothèse H02 ; d’égalité des coe¢cients ¯ i et ° i (coe¢cients associés aux variables explicatives) entre les pays. Ce test est noté sous la forme F test of Ai ; B = Ai ; Bi dans le …chier résultat de TSP. Dans le cadre de notre échantillon, la réalisation de la statistique de Fischer associée au test H02 , notée F2 ; est de 1:1845. Cette valeur est à comparer au seuil d’un Fischer avec (N ¡ 1) K et NT ¡ N (K + 1) degrés de liberté , c’est à dire ici un F (32; 544) : La pvalue indique ici que jusqu’au seuil de 25%, l’hypothèse nulle ne peut pas être rejetée. A 5%, on con…rme donc ici la structure de panel, puisque l’on est en droit de supposer qu’il existe des coe¢cients communs pour tous les pays entre le volume des grèves et les variables explicatives que sont le chômage et l’in‡ation. Reste en…n à tester l’hypothèse H03 de constantes individuelles ®i : Ce test est noté sous la forme F test of Ai ; B = Ai ; B dans le …chier résultat de TSP. Dans le cadre de notre échantillon, la réalisation de la statistique de Fischer associée au test H03 , notée F3 ; est de 9:0342. Cette valeur est à comparer au seuil d’un Fischer avec N ¡ 1 et N (T ¡ 1) ¡ K degrés de liberté , c’est à dire ici un F (16; 576) : La pvalue est très largement inférieure au seuil de 5%. Pour ce seuil, on rejette l’hypothèse nulle H0 d’égalité des constantes ®i : Il est nécessaire d’introduire ici des e¤ets individuels. La spéci…cation …nale de notre modèle est donc : si;t = ®i + ¯ui;t + °pi;t + "i;t 8 i = 1; ::; 17 (1.20) Reste à présent à étudier les di¤érentes méthodes d’estimation des modèles incluant des constantes individuelles. L’Econométrie des Données de Panel 20 2. Modèles à e¤ets individuels Nous allons à présent nous à des modèles de panel hétérogènes, où la seule source d’hétérogénéité provient des constantes individuelles. On suppose ainsi que les coe¢cients des di¤érentes variables stochastiques explicatives sont identiques pour tous les individus du panel (¯ i = ¯). On suppose en outre que ces coe¢cients sont des constantes déterministes. Les constantes individuelles ®i ; quant à elles, di¤èrent selon les individus. Hypothèse (H1) On suppose que les N vecteurs de paramètres ¯ i sont identiques, ¯ i = ¯ 2 R; 8 i 2 [1; N] ; tandis que les constantes ®i peuvent di¤érer selon les individus. En particulier, il existe au moins un couple (j; i) 2 [1; N]2 tel que ®j 6= ®i Sous l’hypothèse (H1), le modèle (1.1), s’écrit sous la forme suivante : yi;t = ®i + ¯ 0 xi;t + "i;t (2.1) où ®i 2 R et ¯ 0 = (¯ 1 ¯ 2 ::::¯ K ) 2 RK est un vecteur de constantes. Les innovations "i;t sont supposées être i:i:d: de moyenne nulle, de variance égale à ¾ 2" ; 8 i 2 [1; N] et sont supposées non corrélées que ce soit dans la dimension individuelle ou dans la dimension temporelle. Dès lors, dans ce contexte, on doit distinguer deux cas : le cas où les paramètres ®i sont des constantes déterministes (modèle à e¤ets …xes) et le cas où les paramètres ®i sont des réalisations d’un variable aléatoire d’espérance et de variance …nie (modèle à e¤ets aléatoires). Nous allons donc successivement envisager ces deux types de modèle (sections 3 et 4). Toutefois, avant de présenter ces deux modèles, nous commencerons tout d’abord par introduire les di¤érentes méthodes d’empilement de données de panel qui autorisent une écriture vectorielle du modèle à e¤et individuel. En e¤et, il existe deux possibilité d’écriture vectorielle du modèle (2.1). Autrement dit, il existe deux façons d’empiler les données : 1. Empilement par individus : pour une variable donnée, les T réalisations historiques de chaque individu sont stockées dans un vecteur colonne, et les N vecteurs colonnes ainsi obtenus sont ensuite empilés à la suite des uns des autres dans l’ordre des individus. L’Econométrie des Données de Panel 21 2. Empilement par dates : pour une variable donnée, les N réalisations individuelles pour une date donnée sont stockées dans un vecteur colonne, et les T vecteurs colonnes ainsi obtenus pour toutes les dates sont ensuite empilés à la suite des uns des autres. Il est très important de noter que les principaux logiciels d’économétrie (notamment TSP) optent généralement pour une méthode d’empilement par pays. Si le logiciel n’empile pas lui même les données, les séries utilisées dans le cadre des applications doivent, de façon impérative, être ordonnées sous la forme préconisée par les concepteurs du logiciel. 2.1. Empilement par pays Considérons tout d’abord la méthode d’empilement par pays. On considère un échantillon de N individus sur T périodes, et un modèle avec K variables explicatives. On pose : 0 1 0 1 0 1 yi;1 x1;i;1 x2;i;1 ::: xK;i;1 "i;1 B yi;2 C B x1;i;2 x2;i;2 ::: xK;i;2 C B "i;2 C C B C B C yi = B X = " = i i @ ::: A (T;K) @ ::: A (T;1) @ ::: A ::: ::: ::: (T;1) yi;T x1;i;T x2;i;T ::: xK;i;T "i;T On dé…nit en outre un vecteur unitaire, noté e; tel que : 0 1 1 B 1 C C e =B (T;1) @ ::: A 1 De…nition 2.1. Dans le cas de l’empilement par pays, pour chaque individu 8i 2 [1; N] ; le modèle (2.1) peut s’écrire sous la forme : yi = e®i + Xi ¯ + "i 8 i = 1; ::; N (2.2) C’est principalement cette expression du modèle (2.1) que l’on utilisera par la suite pour étudier les estimateurs du modèle linéaire simple. On peut toutefois écrire le modèle de façon totalement vectorielle en empilant les vecteurs yi et les matrices Xi : Pour cela on pose : 0 0 1 0 1 1 y1 X1 "1 B y2 C B X2 C B "2 C C C C " =B Y =B X =B @ @ A A ::: ::: (T N;1) @ ::: A (T N;1) (T N;K) yN XN "N L’Econométrie des Données de Panel On dé…nit 0T le vecteur nul 0 e B 0T ee = B (T N;N) @ ::: 0T 22 de dimension (T; 1) : 1 0T ::: 0T e ::: 0T C C ::: ::: 0T A 0T ::: e 0 1 ®1 B ®2 C C ® e =B (N;1) @ ::: A ®N On obtient alors la représentation vectorielle suivante : 2.1.1. Exemple Y = ee® e + X¯ + " (2.3) Considérons un panel de 2 pays (N = 2), dont les données annuelles sont disponibles sur 3 ans (T = 3). On cherche à estimer une fonction de production log-linéaire (CobbDouglass), supposée commune à ces deux pays. Soit yi;t le logarithme du P IB, ki;t le logarithme du stock de capital privé et ni;t le logarithme de l’emploi. On suppose que cette fonction de production s’écrit sous la forme : yi;t = ®i + ¯ k ki;t + ¯ n ni;t + "i;t 8 i 2 [1; 2] ; 8 t 2 [1; T ] où ¯ k et ¯ n désignent respectivement les élasticités (supposées communes aux deux pays) de la production par rapport au capital et à l’emploi. L’e¤et individuel ®i mesure ici les spéci…cités a-temporelles de la productivité totale des facteurs qui correspond dans cette régression, aux résidus "i;t : Ce modèle s’écrit sous forme vectorielle de la façon suivante : 0 1 0 1 0 1 0 1 µ ¶ yi;1 1 ki;1 ni;1 "i;1 @ yi;2 A = @ 1 A ®i + @ ki;2 ni;2 A ¯ k + @ "i;2 A ¯n yi;3 1 ki;3 ni;3 "i;3 () yi = e®i + Xi ¯ + "i 8 i = 1; ::; N L’écriture vectorielle complète du modèle est la suivante : 1 0 0 1 0 0 1 k1;1 n1;1 y1;1 1 0 B B k1;2 B y1;2 C B 1 0 C n1;2 C C B B Cµ B B C ¶ ¶ µ C B B C B k1;3 B y n 1;3 1;3 ¯ ® C B 1 0 C B C B B 1 k C + + C=B B C B B C ¯n B B k2;1 B y2;1 C B 0 1 C ®2 n2;1 C C @ B C B B 0 1 A @ A @ k2;2 @ y2;2 A n2;2 0 1 y2;3 k2;3 n2;3 () Y = ee® e + X¯ + " "1;1 "1;2 "1;3 "2;1 "2;2 "2;3 1 C C C C C C C A L’Econométrie des Données de Panel 23 2.2. Empilement par dates De façon parallèle, il est possible de représenter en utilisant la méthode d’empilement par dates. dé…nitions suivantes : 0 1 0 y1;t x1;1;t x2;1;t B y2;t C B x1;2;t x2;2;t C yt = B Xt = B @ ::: A (N;K) @ ::: ::: (N;1) yN;t x1;N;t x2;N;t de façon symétrique le modèle (2.1) Pour ce faire, il su¢t de poser les ::: ::: ::: ::: 1 xK;1;t xK;2;t C C A ::: xK;N;t 0 1 "1;t B "2;t C C "t = B @ ::: A (T;1) "N;t De…nition 2.2. Dans le cas de l’empilement par dates, pour chaque date t 2 [1; T ] ; le modèle (2.1) peut s’écrire sous la forme : yt = ® e + Xt ¯ + "t 8 t = 1; ::; T De la même façon, il est possible d’exprimer le rielle complète. On pose : 0 0 1 y1 X1 B y2 C B X2 C Y =B X =B @ ::: A @ ::: (T N;1) (T N;K) yT XT (2.4) modèle (2.1) sous une forme vecto1 C C A 0 1 "1 B "2 C C " =B (T N;1) @ ::: A "T Soit IN la matrice identité de dimension (N; N) : On dé…nit la matrice suivante : 0 1 IN B IN C e C ee = B (T N;N) @ ::: A IN Il vient alors : 2.2.1. Exemple Y =e ee® e + X¯ + " (2.5) Reprenons l’exemple présenté précédemment. Lorsque les données sont empilées par dates, ce modèle s’écrit sous forme vectorielle de la façon suivante : ¶ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ µ µ "1;t ¯k k1;t n1;t ®1 y1;t + + = ¯n "2;t k2;t n2;t ®2 y2;t () yt = ® e + Xt ¯ + "t 8 t = 1; ::; T L’Econométrie des Données de Panel L’écriture vectorielle complète du modèle est la suivante : 0 1 0 1 0 0 1 k1;1 n1;1 y1;1 1 0 B k2;1 n2;1 C B y2;1 C B 0 1 C B B C B C B B C Cµ ¶ µ ¶ B B B C B B k1;2 ®1 ¯k n1;2 C B B y1;2 C B 1 0 C C B C + = + B C B C ®2 B k2;2 C ¯ 0 1 n B y2;2 C B B 2;2 n C B C B C B B B C A @ 1 0 @ @ y1;3 A @ k1;3 n1;3 A 0 1 y2;3 k2;3 n2;3 () Y = e ee® e + X¯ + " 24 "1;1 "2;1 "1;2 "2;2 "1;3 "2;3 1 C C C C C C C A Maintenant que nous avons présenté l’écriture vectorielle des modèles de panel à e¤ets individuels, nous allons à présent étudier les propriétés des estimateurs des paramètres de ces modèles suivant la spéci…cation des e¤ets individuels. Nous distinguerons pour cela deux cas : le cas des e¤ets …xes et le cas des e¤ets aléatoires. L’Econométrie des Données de Panel 25 3. Modèle à e¤ets …xes On fait maintenant l’hypothèse que les e¤ets individuels ®i sont représentés par des constantes (d’où l’appellation modèle à e¤ets …xes). Nous allons déterminer la forme générale des estimateurs des paramètres ®i et ¯ dans ce modèle à e¤ets …xes. On considère donc le modèle (1.1) sous l’hypothèse (H1) : yi;t = ®i + ¯ 0 xi;t + "i;t 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] (3.1) où ®i 2 R, ¯ 0 = (¯ 1 ¯ 2 ::::¯ K ) 2 RK . Tous les paramètres du modèle sont des constantes et l’on suppose pour simpli…er qu’il n’existe pas d’e¤et temporel. On dé…nit le vecteur "i tel que : ¢0 ¡ "i = "i;1 "i;2 ::: "i;T (T;1) Pour étudier les propriétés des estimateurs du modèle à e¤ets …xes, nous allons faire une hypothèse supplémentaire sur la nature du processus des résidus "i;t : Cette hypothèse constitue tout simplement la généralisation dans la dimension de panel de la dé…nition d’un bruit blanc. Hypothèse (H2) On suppose que les résidus "i;t sont i:i:d: et satisfont les conditions suivantes, 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] ² E ("i;t ) = 0 ½ t=s ¾ 2" ; ce qui implique que E ("i "0i ) = ¾2" IT où It désigne ² E ("i;t "i;s ) = 0 8t 6= s la matrice identité (T; T ) : ² E ("i;t "j;s ) = 0; 8j 6= i; 8 (t; s) La première condition impose tout simplement que l’espérance des résidus du modèle (3.1) soit nulle. La seconde condition, standard en économétrie des séries temporelles, impose que le processus "i;t soit un processus ”sans mémoire” (dans la dimension temporelle). Pour chaque individu, il n’existe ainsi aucune corrélation entre le niveau présent du processus "i;t et les réalisations passées. Seule la variance du processus "i;t est non nulle. L’introduction d’une dimension individuelle, nous oblige ici à dé…nir une seconde contrainte qui est que tous les processus individuels "i;t ont la même variance ¾2" quel que soit l’individu considéré. Autrement dit, la matrice de variance covariance du processus "i est proportionnelle, à un scalaire près, à la matrice identité. En…n, la troisième condition stipule qu’il n’existe aucune corrélation entre les processus d’innovation pour deux individus distincts et cela quelle que soit la date considérée. L’Econométrie des Données de Panel 26 3.1. Estimateur Within ou LSDV Considérons l’écriture vectorielle du modèle obtenue par un empilement des données par pays. yi = e ®i + Xi ¯ + "i 8 i = 1; ::; N (3.2) (T;1) (T;1) (T;K)(K;1) (T;1) L’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) des paramètres ®i et ¯ dans le modèle à e¤ets …xes est appelé estimateur W ithin; ou estimateur à e¤ets …xes ou estimateur LSDV (Least Square Dummy Variable). Comme nous l’avons vu, le terme W ithin s’explique par le fait cet estimateur tient compte de la variance intra groupe de la variable endogène. La troisième appellation LSDV tient au fait que cet estimateur conduit à introduire des variables dummies, qui dans la spéci…cation (3.2) correspondent aux vecteurs colonnes de e: On peut démontrer que sous l’hypothèse (H2), l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) des paramètres ®i et ¯ du modèle (3.2) est le meilleur estimateur linéaire sans biais (BLUE 7 ). Si l’on suppose que ¾ " est connu, cet estimateur est obtenu en minimisant la variance des résidus empiriques, notée S; par rapport aux seuls paramètres ®i et ¯: min f®i ;¯gN i=1 S= N X "0i "i i=1 = N X i=1 (yi ¡ e®i ¡ Xi ¯)0 (yi ¡ e®i ¡ Xi ¯) La première condition nécessaire de ce programme; nous donne immédiatement l’expression de l’estimateur de la constante ®i , 8 i 2 [1; N] : 0 ® b i = y i ¡ b̄ LSDV xi (3.3) où les termes y i et xi désignent les moyennes individuelles des variables endogènes et exogènes. T T 1X 1X yi;t xi;t 8 i 2 [1; N] (3.4) yi = xi = T t=1 T t=1 (K;1) (1;1) Ces moyennes sont donc calculées de façon traditionnelle dans la dimension temporelle, et cela pour chaque individu de l’échantillon. C’est pourquoi elles sont indicées en i: A partir de la seconde condition nécessaire du programme de minimisation, on montre que l’estimateur du paramètre vectoriel ¯ est donné par la relation suivante : #¡1 " N T # "N T XX XX 0 b̄LSDV = (xi;t ¡ xi ) (yi;t ¡ yi ) (xi;t ¡ xi ) (xi;t ¡ xi ) (3.5) i=1 t=1 7 Best Linear Unbiased Estimator i=1 t=1 L’Econométrie des Données de Panel 27 Proposition 3.1. L’estimateur W ithin ou LSDV de ¯; obtenu dans le modèle à e¤ets individuels …xes (3.2) est identique à l’estimateur des MCO obtenu à partir d’un modèle transformé où les variables expliquées et explicatives sont centrées sur leur moyennes individuelles respectives : 0 (yi;t ¡ y i ) = b̄ (xi;t ¡ xi ) + "i;t 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] (3.6) Les réalisations des estimateurs des constantes ®i sont alors déduits de la relation : 0 ® b i = y i ¡ b̄ xi En e¤et, on voit d’après l’équation (3.5), que l’estimateur W ithin des coe¢cients de ¯ peut être obtenu en centrant les di¤érentes (variables endogène et exogènes) sur les moyennes individuelles respectives. Ainsi, on peut obtenir le même estimateur en utilisant le modèle transformé suivant 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : yei;t = ¯ 0 x ei;t + "i;t ei;t = (xi;t ¡ xi ). En e¤et, dans ce cas on obtient : avec yei;t = (yi;t ¡ y i ) et x b̄ = = "N T XX i=1 t=1 "N T XX i=1 t=1 x ei;t x e0i;t #¡1 " N T XX i=1 t=1 x ei;t yei;t (xi;t ¡ xi ) (xi;t ¡ xi ) 0 # #¡1 " N T XX i=1 t=1 # (xi;t ¡ xi ) (yi;t ¡ y i ) On reconnaît ici l’expression générale de l’estimateur W ithin b̄LSDV : Reste alors à obtenir les réalisations des estimateurs des constantes individuelles selon la formule : 0 ® b 1 = y 1 ¡ b̄ x1 0 ® b 2 = y 2 ¡ b̄ x2 :::: ® bN 0 = y N ¡ b̄ xN Le fait qu’il soit équivalent d’estimer les paramètres du modèle (3.2) directement à partir de cette spéci…cation incluant des dummies individuelles ou à partir d’un modèle transformé où les variables sont centrées sur leurs moyennes individuelles respectives est particulièrement important. Cela illustre la notion de variance intra-classes qui est fondamentale dans la construction de l’estimateur Within. Nous allons à présent, proposer une illustration de cette propriété de l’estimateur W ithin: L’Econométrie des Données de Panel 28 3.2. Application Considérons à nouveau l’exemple du modèle de grèves dans le secteur industriel. Nous avons établi précédemment que le modèle de panel comportait des e¤ets individuels et pouvait s’écrire sous la forme: si;t = ®i + ¯ui;t + °pi;t + "i;t 8 i = 1; ::; 17 (3.7) où si;t désigne le nombre de jours chômés pour cause de grève, pour 1000 salariés du secteur industriel, ui;t désigne le taux de chômage de l’économie et pi;t le taux d’in‡ation. On suppose que l’on peut spéci…er les e¤ets individuels ®i sous la forme d’e¤ets …xes. Dans le programme ci-dessous, on cherche à comparer l’estimateur Within et l’estimateur des MCO du modèle transformé : (si;t ¡ si ) = ¯ (ui;t ¡ ui ) + ° (pi;t ¡ pi ) + "i;t (3.8) L’instruction panel de TSP avec les options notot, nobet et novar permet d’obtenir directement et uniquement les résultats de l’estimation W ithin: Pour construire les estimateurs du modèle transformé, on doit au préalable centrer les variables sur leur moyennes individuelles respectives. Pour réaliser cette opération on construit une boucle sur les N = 17 individus, avec un compteur j et à chaque étape on sélectionne un pays dont le code pays (variable i) est égal à la valeur du compteur j (instruction select i = j). Pour le sous échantillon sélectionné, l’instruction msd [Nom de la Variable] permet alors de calculer di¤érents moments de la variable considérée sans les a¢cher (si l’on ajoute l’option noprint). En particulier, la moyenne empirique est stockée dans la variable réservée @mean. Dès lors, pour chaque individu, on construit de nouvelles variables en centrant sur les moyennes individuelles correspondantes. En…n, il ne reste plus qu’à e¤ectuer la régression par les MCO sur le modèle transformé (instruction ls ou ols) load(file=’’strikes.wks’’); ?---- Estimation Within ---panel (id=i,time=t,notot,nobet,novar) srt u p; ?---- Centrer les Données --do j=1 to 17; select (i=j); msd(noprint) srt; srtc=srt-@mean; msd(noprint) u; uc=u-@mean; msd(noprint) p; L’Econométrie des Données de Panel 29 pc=p-@mean; enddo; ?---- Estimation Modèle Transformé---ls srtc uc pc; ?---- Affichage des Effets Fixes (Instruction Panel) ---print @fixed; Les résultats de ce programme sont reproduits sur la …gure (3.1). On véri…e que l’estimateur W ithin est totalement équivalent à l’estimateur des MCO appliqué sur un modèle transformé où les variables endogènes et exogènes ont été centrées sur leurs moyennes individuelles respectives. Dans les deux cas, les réalisations des estimateurs des coe¢cients des deux variables explicatives (respectivement ui;t et pi;t ) sont strictement identiques (respectivement ¡21:5968 et 16:2729). Dans le cas où l’on utilise la commande panel de TSP, on peut a¢cher les estimations des e¤ets …xes en utilisant la commande print @fixed. Dans le cas où l’on utilise le modèle transformé, il convient alors de reconstruire les estimateurs des effets …xes selon la formule (3.3) en utilisant les moyennes individuelles des variables (cf. programme ci-dessus) et les réalisations des estimateurs des coe¢cients ° et ¯. Essayons à présent de commenter les estimations ainsi obtenues. Il s’avère ainsi que le pays 9 a, de façon structurelle, le plus de journées chômées pour cause de grève. Pour ce pays, di¤érents facteurs historiques (législation sur le droit de grève) ou sociologique (représentation des syndicats par exemple) expliquent que toutes choses égales par ailleurs (chômage et in‡ation), la fréquence des grève soit particulièrement élévée. A l’inverse, les pays 15 et 2 ont des e¤ets …xes négatifs. Pour un même niveau de chômage et d’in‡ation, ces deux pays auront le nombre de jours chômés le plus faible de tout notre échantillon. Il faut bien comprendre que les estimations des e¤ets individuels ne peuvent s’analyser qu’en niveau relatif (c’est à dire en comparant les di¤érentes réalisations individuelles) et non en niveau absolu. L’Econométrie des Données de Panel 30 Figure 3.1: Comparaison des Estimateurs Whithin et OLS sur Modèle Transformé L’Econométrie des Données de Panel 31 3.3. Ecriture vectorielle Une façon équivalente d’obtenir l’estimateur W ithin et de montrer l’équivalence avec le modèle transformé où les variables sont centrées, consiste à travailler directement avec l’écriture vectorielle (3.2). Par la suite, nous adopterons souvent cette notation vectorielle qui permet d’alléger particulièrement les notations du modèle et des estimateurs correspondants. On considère donc le modèle vectoriel suivant : yi = e®i + Xi ¯ + "i 8 i = 1; ::; N (3.9) Nous allons à présent introduire un opérateur matriciel qui permet de centrer les variables sur leurs moyennes individuelles respectives. De…nition 3.2. Le modèle (3.9) à e¤et individuels …xes peut s’écrire sous la forme vectorielle suivante 8 i = 1; ::; N : Qyi = QXi ¯ + Q"i où la matrice Q de dimension (T; T ) est telle que : 1 0 ee T Q = IT ¡ (3.10) L’estimateur W ithin du vecteur ¯ est alors dé…ni de la façon suivante : b̄ LSDV = "N X Xi0 QXi #¡1 " N X i=1 i=1 Xi0 Qyi # (3.11) En e¤et, on peut montrer que les processus transformés Qyi et QXi correspondent aux variables centrées sur leurs moyennes respectives. En e¤et, on montre que : 1 0 0 1 1 yi;1 ! à µ ¶ µ ¶ T X B 1 C B yi;2 C 1 1 0 C C¡ 1 Qyi = IT ¡ ee0 yi = yi ¡ e e yi = B yi;t B @ ::: A @ A ::: T T T t=1 1 yi;T De la même façon, on peut montrer que : 1 0 ee Xi T 1 1 ´ ³ 1 C C PT x1;i;t PT x2;i;t ::: PT xK;i;t t=1 t=1 t=1 ::: A 1 QXi = Xi ¡ 0 x1;i;1 B x1;i;2 QXi = B @ ::: x1;i;T x2;i;1 x2;i;2 ::: x2;i;T ::: ::: ::: ::: 0 1 xK;i;1 B xK;i;2 C C¡ 1 B A T @ ::: xK;i;T L’Econométrie des Données de Panel 32 Dès lors, a…n d’éliminer les e¤ets individuels de l’équation (3.9), il su¢t de prémultiplier les membres de cette équation par Q. Ainsi 8 i = 1; ::; N Qyi = Qe®i + QXi ¯ + Q"i () Qyi = QXi ¯ + Q"i En appliquant les MCO à cette expression on obtient donc une écriture équivalente b̄ de LSDV : # #¡1 " N "N X X 0 0 b̄ LSDV = (3.12) X Qyi X QXi i i i=1 i=1 L’Econométrie des Données de Panel 33 4. Modèle à e¤ets aléatoires Dans la pratique standard de l’analyse économétrique, on suppose qu’il existe un grand nombre de facteurs qui peuvent a¤ecter la valeur de la variable expliquée et qui pourtant ne sont pas introduits explicitement sous la forme de variables explicatives. Ces facteurs sont alors approximés par la structure des résidus. Le problème se pose de la façon similaire en économétrie de panel. La seule di¤érence tient au fait que trois types de facteurs omis peuvent être envisagés. Il y a tout d’abord les facteurs qui affectent la variable endogène di¤éremment suivant la période et l’individu considéré. Il peut en outre exister des facteurs qui a¤ectent de façon identique l’ensemble des individus, mais dont l’in‡uence dépend de la période considérée (e¤ets temporel). En…n, d’autres facteurs peuvent au contraire re‡éter des di¤érences entre les individus de type structurelles, c’est à dire indépendantes du temps (e¤ets individuel). Dès lors le résidu, noté "i;t ; d’un modèle de panel peut être décomposé en trois principales composantes de la façon suivante (Hsiao 1986) 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : "i;t = ®i + ¸t + vi;t (4.1) Les variables ®i désignent ici les e¤ets individuels qui représentent l’ensemble des spéci…cités structurelles ou a-temporelles de la variable endogène, qui di¤érent selon les individus. On suppose ici que ces e¤ets sont aléatoires. Les variables aléatoires ¸t représentent quant à elle les e¤ets temporels strictement identiques pour tous les individus. En…n, le processus stochastique vi;t désigne la composante du résidu total "i;t orthogonale aux e¤ets individuels et aux e¤ets temporels. Généralement, on est conduit à faire un certain nombre d’hypothèses techniques sur cette structure de résidus. Hypothèses (H3) On suppose que les résidus "i;t = ®i +¸t +vi;t sont i:i:d: et satisfont les conditions suivantes, 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] ² E (®i ) = E (¸t ) = E (vi;t ) = 0 ² E (®i ¸t ) = E ½ (¸t2vi;t ) = E (®i vi;t ) = 0 i=j ¾® ² E (®i ®j ) = 0 8i 6= j ½ 2 t=s ¾¸ ² E (¸t ¸s ) = 0 8t 6= s ½ 2 t = s; i = j ¾v ² E (vi;t vj;s ) = 0 8t 6= s; 8i 6= j ³ ´ ³ ´ ³ ´ 0 0 ² E ®i xi;t = E ¸t xi;t = E vi;t x0i;t = 0 L’Econométrie des Données de Panel 34 Sous ces hypothèses, la variance de la variable endogène yi;t conditionnellement aux variables explicatives xi;t est alors égale à ¾2y = ¾2® + ¾2¸ + ¾2v . Les variances ¾2® , ¾2¸ et ¾ 2v correspondent aux di¤érentes composantes de la variance totale. C’est pourquoi, le modèle à e¤ets aléatoires est aussi appelé modèle à erreurs composés (error component model). Dans une première étape, nous allons présenter le modèle simple à e¤ets individuels aléatoires. Nous supposerons ainsi, pour simpli…er l’analyse, qu’il n’existe pas d’e¤et temporel. Nous proposerons alors une écriture vectorielle du modèle à e¤ets aléatoires. Dans une seconde étape nous étudierons les estimateurs des di¤érents coe¢cients de ce modèle. 4.1. Modèle à variance composée On se limite au cas où il n’existe pas d’e¤et temporel (¸t = 0; 8t). On considère donc le modèle suivant 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + "i;t (4.2) "i;t = ®i + vi;t (4.3) où ¯ 0 = (¯ 1 ¯ 2 ::::¯ K ) est un vecteur de constantes et le processus f"i;t g satisfait les hypothèses (H3 ). La constante ¹ désigne ici l’espérance inconditionnelle du processus y;i;t puisque on suppose que E (®i ) = 0; 8 i 2 [1; N] : Proposition 4.1. Le modèle à e¤ets individuels aléatoires s’écrit vectoriellement sous la forme : ei yi = X ° + "i 8 i = 1; ::; N (4.4) (T;1) (T;K+1)(K+1;1) (T;1) ¡ ¢ ei = (e; Xi ) et ° 0 = ¹; ¯ 0 : Sous les hypothèses (H3 ), la matrice avec "i = ®i e + vi ; X de variance covariance de "i ; notée V; est alors dé…nie par : ¡ ¢ £ ¤ V = E "i "0i = E (®i e + vi ) (®i e + vi )0 = ¾2® ee0 + ¾2v IT (4.5) L’inverse de cette matrice de variance covariance est dé…nie comme : · µ ¶ ¸ 1 ¾2® ¡1 V = 2 IT ¡ ee0 ¾v ¾2v + T ¾2® (4.6) Donnons ici une démonstration possible de ce résultat8 . On pose Ve = V ¡1 : Par dé…nition on a Ve V = V Ve = IT : On en déduit que : 8 V Ve = ¾2® ee0 Ve + ¾2v Ve = IT () ¾ 2v Ve = IT ¡ ¾2® ee0 Ve Pour une démonstration plus élégante voir Graybill (1969), Nerlove (1971), Wallace et Hussain (1969) L’Econométrie des Données de Panel 35 Reste alors à déterminer l’expression de ee0 Ve : Raisonnons par une méthode de coe¢cient indéterminé. On suppose que ee0 Ve peut s’écrire sous la forme µee0 où µ 2 R+ . Considérons l’expression de ee0 Ve V en substituant ee0 Ve par son expression, il vient : ee0 Ve V = µee0 V ¡ ¢ = µee0 ¾ 2® ee0 + ¾2v IT £ ¡ ¢ ¤ ¡ ¢ = µ¾2® e e0 e e0 + µ¾2v ee0 Par dé…nition de Ve ; on a ee0 Ve V = ee0 : Sachant que e (e0 e) e0 = T ee0 ; on obtient alors la relation suivante : ee0 Ve V = ee0 ¡ ¢ () µee0 ¾2® T + ¾2v = ee0 On en déduit immédiatement la valeur du paramètre µ : µ= 1 2 R+ ¾ 2® T + ¾2v On obtient ainsi : 0e ee V = µ 1 2 ¾® T + ¾ 2v ¶ ee0 Dès lors, en reprenant l’expression de Ve , il vient : µ ¶ ¾ 2® 2e ¾ v V = IT ¡ ee0 ¾2® T + ¾ 2v Ainsi, l’inverse de la matrice de variance covariance des "i s’écrit sous la forme : · µ ¶ ¸ ¾2® 1 ¡1 ee0 V = 2 IT ¡ ¾v ¾2v + T ¾2® L’écriture vectorielle du modèle à e¤ets aléatoires de la proposition (4.1) nous sera particulièrement dans la section suivante pour construire les estimateurs des di¤érents paramètres de ce modèle. 4.2. Estimateurs du modèle à e¤ets aléatoires Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés des estimateurs du modèle aléatoire. Pour bien comprendre ces propriétés, il est nécessaire de bien appréhender les conséquences de la structure des résidus. L’Econométrie des Données de Panel 36 Remark 1. Dans le modèle de la proposition (4.1), le fait que les e¤ets individuels ®i constituent l’une des composantes des résidus "i du modèle (4.4), induit une corrélation entre le niveau de ces résidus lorsque l’on considère un individu donné. En revanche, sous (H3 ), il n’existe pas de corrélation de ces résidus dans la dimension inter individuelle. Quelles sont alors les conséquences de cette structure des résidus ? Si l’on raisonne en termes de biais d’estimation, il n’y en a aucune dès lors que l’on centre les variables du modèle sur leur moyenne respective. En e¤et, dans ce cas la composante individuelle des résidus disparaît et les corrélations inter-individuels des résidus du modèle transformé disparaissent par la même occasion. Pour le vecteur ¯; on retrouve alors la forme générale de l’estimateur du modèle à e¤ets …xes. Pour preuve, appliquons l’opérateur Q au modèle à e¤et aléatoire : Qyi = Qe¹ + QXi ¯ + Qe®i + Qvi ¡ ¢ Or, on sait par dé…nition de l’application que Qe = IT ¡ T ¡1 ee0 e = 0: Dès lors, on obtient le modèle 8 i 2 [1; N] : Qyi = Qe¹ + QXi ¯ + Qvi (4.7) Dans ce modèle, sous (H3 ), l’estimateur b̄LSDV du vecteur ¯ est non biaisé et convergent 9 . L’estimateur de la constante ¹ est alors construit sous la forme : 0 ¹ b = y ¡ b̄ LSDV x avec : yi = (1;1) N T 1 XX yi;t NT t=1 i=1 x = (K;1) (4.8) N T 1 XX xi;t NT t=1 (4.9) i=1 Ainsi, il n’existe pas de problème de biais lorsque l’on envisage les techniques d’estimation utilisées dans les modèles à e¤ets …xes, c’est à dire lorsque l’on centre les variables sur leurs moyennes individuelles respectives. Toutefois, l’estimateur b̄LSDV ainsi obtenu n’est pas un estimateur à variance minimale : c’est pas l’estimateur BLUE: Proposition 4.2. Dans un modèle à e¤ets aléatoires, l’estimateur Within b̄LSDV ; obtenu sous l’hypothèse d’e¤ets …xes, est un estimateur sans biais et convergent du vecteur de paramètres ¯: Toutefois, ce n’est pas l’estimateur BLUE. Un estimateur BLUE est alors donné par l’estimateur de Moindres Carrés Généralisés (MCG). 9 On a en e¤et : b̄ p LSDV ¡! ¯ NT !1 où l’indice p désigne la convergence en probabilité (voir section précédente pour une démonstration). L’Econométrie des Données de Panel 37 Nous ne donnerons pas ici de démonstration de cette propriété. Si l’on résume, quelle que soit la nature des e¤ets individuels (…xes ou aléatoires), l’estimateur Within est un estimateur sans biais et convergent. Toutefois, cette estimateur n’est pas un estimateur à variance minimale lorsque les e¤ets individuels sont aléatoires. Un estimateur BLUE possible du vecteur ¯ est alors donné par l’estimateur de Moindres Carrés Généralisés (MCG). Cette propriété sera particulièrement intéressante lorsqu’il sera nécessaire de discriminer les deux modèles et de construire les tests de spéci…cation appropriés (test d’Hausman 1978, en particulier). 4.3. Estimateur des Moindres Carrés Généralisés Nous avons vu que dans un modèle à e¤ets aléatoires, un estimateur BLUE peut être construit à partir de l’estimateur des Moindres Carrés Généralisés (MCG). Considérons le modèle vectoriel de la proposition (4.1) : e i ° + "i yi = X 8 i = 1; ::; N (4.10) ¡ ¢ ei = (e; Xi ) et ° 0 = ¹; ¯ 0 : Soit V la matrice de variance covariance avec "i = ®i e+vi ; X du vecteur des résidus "i : V = E ("i "0i ) : On suppose, dans un premier temps, que V est connue. Le problème est que, du fait de la structure du modèle, la matrice V n’est pas diagonale en raison de la présence de corrélations intra-individuelles des résidus. Tout comme en séries temporelles, c’est pourquoi on applique alors les MCG. De…nition 4.3. Si la matrice V est connue, l’estimateur des MCG du vecteur °; noté ° bMCG ; est alors dé…ni par la relation : ° bMCG = "N X i=1 e 0 V ¡1 X ei X i #¡1 " N X i=1 e 0 V ¡1 yi X i # (4.11) Cette dé…nition de l’estimateur b ° MCG correspond à la dé…nition générale (identique à celle utilisée en série temporelle, cf. Bourbonnais 2000) des Moindres Carrés Généralisés. Bien entendu, lorsque la matrice V n’est pas connue, l’estimateur ° bMCG est obtenu en deux étapes. La première étape consiste à appliquer l’estimateur W ithin pour obtenir une première estimation sans biais et convergente des paramètres ¯ et ¹: A partir de ces estimations, on construit les séries de résidus individuels "i et l’on construit un estimateur Vb de la matrice de variance covariance V: La seconde étape consiste alors à appliquer l’estimateur des MCG selon la formule (4.11) en utilisant l’estimateur Vb de V: Il existe une autre façon d’obtenir l’estimateur des MCG. En e¤et, dans la pratique, la procédure en deux étapes, utilisée dans les principaux logiciels d’économétrie, n’est L’Econométrie des Données de Panel 38 pas exactement similaire à celle que nous venons de décrire10 . L’estimateur des MCG est construit à partir d’une relation existant entre cet estimateur et les estimateurs Between et Within (Maddala 1971). Sous les hypothèses (H3 ), nous avons vu (proposition 4.1) que l’inverse de la matrice de variance covariance V pouvait s’écrire sous la forme : · µ ¶ ¸ 1 ¾2® ¡1 ee0 V = 2 IT ¡ ¾v ¾2v + T ¾2® De…nition 4.4. On pose que la matrice V ¡1 peut être exprimée sous la forme alternative suivante : · ¸ 1 1 V ¡1 = 2 Q + à ee0 (4.12) ¾v T avec Q = (IT ¡ ee0 =T ) et où le paramètre à est dé…ni par la relation : µ ¶ ¾2v Ã= (4.13) ¾2v + T ¾2® Reprenons alors l’expression de l’estimateur des MCG (4.11) et substituons cette nouvelle expression de V ¡1 : On obtient alors : "N ¶ #¡1 "X ¶ # µ N X µ 1 1 ei e 0 Q + à ee0 X ei0 Q + à ee0 yi ° bMCG = X X i T T i=1 i=1 #¡1 " N X # N N X X 1 1 ei0 QX ei + à ei0 ee0 X ei ei0 Qyi + à ei0 ee0 yi X X X () ° bMCG = X T T i=1 i=1 i=1 i=1 ¡ ¢ 0 0 ei = (e Xi ) et ° = ¹ ¯ ; on peut montrer que ces di¤érents termes Sachant que X peuvent se réécrire sous la forme suivante : 3¡1 2 N 0 2 3 P · ¸ ÃNT y ÃT xi 7 6 ÃNT ¹ bMCG i=1 N N 7 4 P 5 P =6 0 Qy + ÃT N N N 5 4 b̄ P P P x y X 0 i i i MCG i xi xi xi Xi0 QXi + ÃT ÃT i=1 i=1 "N X i=1 i=1 i=1 A partir de la formule de l’inverse d’une matrice partitionnée, on montre que : " N #¡1 " N # N N X X X X 1 1 b̄ MCG = (xi ¡ x) (xi ¡ x)0 (xi ¡ x) (y i ¡ y)0 Xi0 QXi + à Xi0 Qyi + à T T i=1 i=1 i=1 i=1 (4.14) Introduisons à présent l’estimateur Between, qui est construit à partir des N moyennes individuelles des variables endogènes et exogènes, centrées sur la moyenne totale (du fait de la présence d’une constante). 10 Mais sur le fond, les deux procédures sont strictement identiques. Seules leurs mises en oeuvre pratique et l’expression utilisée pour l’estimateur des MCG di¤èrent. L’Econométrie des Données de Panel 39 De…nition 4.5. L’estimateur inter-classe Between, est l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires obtenu dans la spéci…cation 8 i 2 [1; N] : y i = c + ¯ 0 xi + "i (4.15) Soit b̄ BE l’estimateur Between du vecteur ¯ : "N #¡1 " N # X X b̄ (xi ¡ x) (xi ¡ x)0 (xi ¡ x) (y i ¡ y)0 BE = i=1 (4.16) i=1 A partir de l’équation (4.14), on montre immédiatement que l’estimateur des MCG du modèle à e¤ets aléatoires est une moyenne pondérée de l’estimateur Between b̄BE (équation 4.16) et de l’estimateur Within b̄ LSDV (équation 3.11). Proposition 4.6. Sous les hypothèses (H3 ), l’estimateur des MCG des coe¢cients ¯ du modèle à e¤ets aléatoires, noté b̄MCG ; est une moyenne pondérée des estimateurs Between b̄ BE et Within b̄LSDV : b̄ MCG = ¢b̄BE + (IK ¡ ¢) b̄ LSDV (4.17) où les poids déterminés par la matrice ¢ sont dé…nis par la relation : #¡1 " N # "N N X X X 0 0 0 (xi ¡ x) (xi ¡ x) (xi ¡ x) (xi ¡ x) Xi QXi + ÃT ¢ = ÃT i=1 (4.18) i=1 i=1 Essayons à présent d’interpréter ces pondérations et en particulier l’in‡uence du paramètre Ã: Revenons à l’équation (4.14) de l’estimateur des MCG : #¡1 " N # " N N N X X X X 1 1 b̄ MCG = (xi ¡ x) (xi ¡ x)0 (xi ¡ x) (y i ¡ y)0 Xi0 QXi + à Xi0 Qyi + à T T i=1 i=1 i=1 i=1 On peut montrer que si le paramètre à est égal à 1, l’estimateur des MCG correspond exactement à l’estimateur des MCO du modèle pooled ( voir annexe A.1). Dans le cas, où à = 0, l’estimateur des MCG correspond à l’estimateur du modèle à e¤ets …xes : # #¡1 " N "N X X b̄ MCG = b̄LSDV = Xi0 Qyi Xi0 QXi i=1 i=1 Remark 2. Ainsi, le paramètre à qui intervient dans la construction de la matrice de poids ¢ mesure le poids qui doit être attribué à la variance inter classe (Between). Dans le cas, où à = 0 on retrouve l’estimateur W ithin fondé uniquement sur la variance intra individuelle. b̄MCG ¡! b̄LSDV (4.19) Ã!0 L’Econométrie des Données de Panel 40 Dans le cas complémentaire, à = 1; on retrouve l’estimateur du modèle pooled qui tient compte de la variance totale c’est à dire à la fois de la variance intra individuelle et inter individuelle. b̄ MCG ¡! b̄ pooled (4.20) Ã!1 Si l’on reprend la dé…nition du paramètre Ã; on montre que : ¶ µ ¾ 2v Ã= lim à = 0 T !1 ¾2v + T ¾2® (4.21) Dès lors, à N …xé, lorsque la dimension temporelle du panel tend vers l’in…ni les estimateurs MCG et Within sont confondus : b̄MCG ¡! b̄LSDV T !1 Cette propriété sera particulièrement utile pour comprendre la construction du test de spéci…cation d’Hausman. On constate ainsi, que lorsque à 2 ]0; 1[, la structure avec e¤ets individuels aléatoires constitue une solution intermédiaire entre le modèle sans e¤et individuel (totalement homogène) et le modèle avec e¤ets …xes (totalement hétérogène). Remark 3. L’introduction d’e¤ets individuels aléatoires permet d’obtenir une spéci…cation intermédiaire entre le modèle sans e¤et individuel et le modèle avec e¤ets …xes. L’hypothèse d’une distribution commune des e¤ets individuels permet une d’adopter une structure ni totalement homogène ni totalement hétérogène, dans les e¤ets individuels ont en commun une distribution identique. On peut en…n démontrer que la di¤érence entre la matrice de variance de l’estimateur MCG et matrice de variance de l’estimateur W ithin est égale à une matrice dé…nie positive (Rao 1972, Thiel 1971). En e¤et : ³ ´ var b̄ MCG = ¾2v "N X i=1 Xi0 QXi + ÃT N X i=1 (xi ¡ x) (xi ¡ x)0 #¡1 (4.22) P PN 0 0 On suppose que les quantités (1=NT ) N i=1 Xi QXi et (1=NT ) i=1 Xi Xi convergent vers des matrices dé…nies positives. Puisque le paramètre à > 0; on véri…e que l’estimateur des MCG (estimateur BLUE) a toujours une variance inférieure à celle de l’estimateur W ithin. ³ ´ ³ ´ var b̄ MCG · var b̄LSDV L’Econométrie des Données de Panel 41 Ce résultat con…rme le fait que sous les hypothèses ( H3 ); dans un modèle à e¤ets aléatoires, l’estimateur MCG est toujours préférable à l’estimateur W ithin. Sachant que le paramètre à tend vers 0 lorsque T ! 1; on en déduit immédiatement que la di¤érence disparaît pour des panels de dimension temporelle in…nie : b̄MCG ¡! b̄LSDV T !1 Dans le cas où la matrice de variance covariance V n’est pas connue, il est nécessaire comme nous l’avons dit précédemment de procéder en deux étapes. Dans une première étape on estime les variances des di¤érentes composantes des résidus. Pour cela on estime le modèle à e¤ets …xes b̄LSDV , et l’on construit les estimateurs des variances intra et inter individuelles : De…nition 4.7. Les estimateurs des variances des composantes intra classe et inter classe des résidus du modèle à e¤ets aléatoires sont respectivement donnés par : i2 T h N P P 0 (yi;t ¡ y i ) ¡ b̄ LSDV (xi;t ¡ xi ) (4.23) ¾ b2v = i=1 t=1 N (T ¡ 1) ¡ K ´2 N ³ P 0 y i ¡ b̄LSDV xi ¡ ¹ 1 2 ¾ b2® = i=1 ¡ ¾ b (4.24) N ¡K ¡1 T v b du paramètre à selon : On en déduit alors l’estimateur à ¶ µ ¾ b2v b (4.25) Ã= b2® ¾ b2v + T ¾ A l’aide des réalisations de l’estimateur Between on construit la matrice de poids ¢: Dans une seconde étape, on applique directement la formule (4.11) des MCG ou l’on utilise la somme pondérée (4.17). Proposition 4.8. L’estimateur des MCG construit en deux étapes converge asymptotiquement (NT ! 1) vers l’estimateur des MCG obtenu dans le cas où la matrice de variance covariance V est connue. Même dans le cas de petits échantillons (T ¸ 3 et N ¡ (K + 1) ¸ 9), la procédure en deux étapes reste plus e¢cace que l’estimateur W ithin; dans le sens où la di¤érence entre la matrices de variances covariances des MCG et celle de l’estimateur reste une matrice dé…nie positive. Nous ne proposerons pas ici de démonstration de cette proposition (cf. Fuller and Battese 1974, Taylor 1980). Mais cela con…rme l’idée que quelle que soit la taille du panel, l’estimateur des MCG est plus e¢cace que l’estimateur Within. Proposons à présent une application de ces di¤érents résultats. L’Econométrie des Données de Panel 42 4.4. Une application Reprenons l’application proposée à la section précédente. On considère le modèle suivant : si;t = c + ¯ui;t + °pi;t + vi;t 8 i = 1; ::; 17 (4.26) "i;t = ®i + vi;t (4.27) où si;t désigne le nombre de jours chômés pour cause de grève, pour 1000 salariés du secteur industriel, ui;t désigne le taux de chômage de l’économie et pi;t le taux d’in‡ation. On suppose ici que l’on peut spéci…er les e¤ets individuels ®i sous la forme d’e¤ets aléatoires et que les résidus "i;t = vi;t + ®i satisfont les hypothèses (H3 ). Si l’on ne désire que les réalisations de l’estimateur des MCG du modèle aléatoire, à l’exclusion de tout autre estimateur, le programme TSP est alors le suivant : load(file=’’strikes.wks’’); ?---- Estimation Modèle à Effets Aléatoires ---panel (id=i,time=t,nowhit,nobet,nowithin) srt u p; Les résultats de ce programme, reproduits sur la …gure (4.1) sont bien entendu totalement identiques à ceux de la …gure (1.2). Figure 4.1: Estimation Modèle à E¤ets Aléatoires L’Econométrie des Données de Panel 43 Contrairement au cas de l’estimateur W ithin où il n’y avait que deux coe¢cients (en dehors des e¤ets …xes), les résultats de l’estimation du modèle à e¤ets aléatoires font apparaître 3 réalisations d’estimateurs des coe¢cients du chômage (u), de l’in‡ation (p) et d’une constante (c): Le coe¢cient associé à cette constante correspond à l’estimateur de la moyenne des e¤ets individuels. E (®i ) = c (4.28) On peut véri…er d’ailleurs que cette réalisation est approximativement égale à la moyenne des réalisations des estimateurs de e¤ets individuels dans le cas du modèle à e¤ets …xes (…gure 3.1). On dispose en outre de trois informations supplémentaires : 1. une réalisation de l’estimateur de la variance intra classe ¾ b2v . 2. une réalisation de l’estimateur de la variance inter classe ¾ b2® ou variance des e¤ets individuels. b du paramètre Ã. 3. une réalisation de l’estimateur à On peut véri…er numériquement que ces estimations satisfont les conditions de la dé…nition (4.7) puisque : ¾ b2v = i T h N P P 0 (yi;t ¡ y i ) ¡ b̄LSDV (xi;t ¡ xi ) i=1 t=1 N (T ¡ 1) ¡ K N P = 0:2551E + 06 0 y i ¡ b̄LSDV xi ¡ ¹ 1 2 ¾ b = 55 401 N ¡K¡1 T v On en déduit alors une estimation du paramètre à : µ ¶ µ ¶ ¾ b2v 0:2551E + 06 b Ã= = ' 0:11628 0:2551E + 06 + 37 £ 55 401 ¾ b2v + T ¾ b2® ¾ b2® = i=1 ¡ Rappelons que si le paramètre à tend vers 0, l’estimateur des MCG converge vers l’estimateur W ithin et que si au contraire à tend vers 1, l’estimateur des MCG converge vers l’estimateur du modèle pooled. Dans le cas de notre échantillon, on observe que l’estimateur des MCG est plus ”près” de l’estimateur W ithin que de celui du modèle totalement homogène. Ceci signi…e que dans notre panel, la variance temporelle pour chaque pays (intra classe) domine la variance internationale (inter classe). L’Econométrie des Données de Panel 44 5. Tests de spéci…cation des e¤ets individuels En présence d’un modèle à e¤ets individuels, la question qui se pose immédiatement est de savoir comment ces e¤ets individuels doivent être spéci…és : doit on adopter l’hypothèse d’e¤ets …xes ou au contraire l’hypothèse d’e¤ets aléatoires ? Nous avons vu dans la section précédente que l’estimateur des MCG, utilisé dans le cas du modèle à e¤ets aléatoires, est asympotiquement (sous l’hypothèse T ! 1) identique à l’estimateur Within. Toutefois, pour des panels de dimension temporelle réduite (typiquement le cas des panels macroéconomiques), il peut exister de fortes di¤érences entre les réalisations des deux estimateurs (Hausman 1978). Dès lors, au delà de l’interprétation économique, le choix de la spéci…cation, et par là même de la méthode d’estimation, est particulièrement important pour ce type de panels. Une des principaux problèmes qui peut se poser dans le cadre du modèle à e¤ets aléatoires provient de l’éventuelle corrélation entre les variables explicatives xi;t et les e¤ets individuels ®i: Sur le plan économique, cette corrélation traduit l’in‡uence des spéci…cités individuelles structurelles (ou a-temporelles) sur la détermination du niveau des variables explicatives. Reprenons l’exemple de la fonction de production. Supposons que l’on dispose d’un échantillon de données de P IB et de facteurs (travail et capital) sur une durée de T périodes pour un ensemble de N pays. Si l’on note yi;t le logarithme du P IB, ki;t le logarithme du stock de capital privé et ni;t le logarithme de l’emploi et que l’on suppose une fonction de production de type Cobb Douglass, le modèle général s’écrit sous la forme 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : yi;t = ¯ i ki;t + ° i ni;t + ®i + vi;t Les innovations vi;t sont supposées être i:i:d: de moyenne nulle et de variance égale à ¾ 2v ; 8 i 2 [1; N] : On suppose que les e¤ets individuels sont aléatoires et qu’il existe une corrélation entre ces e¤ets et le niveau des variables explicatives : E (®i ki;t ) > 0 E (®i ni;t ) > 0 Rappelons en…n que dans ce modèle, le résidu total "i;t = ®i + vi;t s’apparente à la productivité totale des facteurs ou au résidu de Solow. Dès lors, ces deux corrélations traduisent tout simplement le fait que plus un pays est structurellement productif (plus son e¤et individuel est élevé), plus le niveau de facteur utilisé sera lui même important. Il y a tout lieu de penser qu’une telle corrélation puisse être observée sur données historiques. L’Econométrie des Données de Panel 45 Sur le plan plus technique, la présence d’un corrélation entre les e¤ets individuels et les variables explicatives viole la sixième condition des hypothèses (H3 ) puisque : yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + "i;t (5.1) "i;t = ®i + vi;t ¡ ¢ E ®i x0i;t 6= 0 (5.2) (5.3) En présence d’une telle corrélation, nous allons montrer que l’estimateur des MCG est un estimateur biaisé des paramètres du vecteur ¯; alors l’estimateur Within ne l’est pas. Ce biais s’assimile tout simplement à un biais d’endogénéité, puisque les résidus totaux "i;t = ®i + vi;t sont corrélés avec les variables explicatives. Toute la stratégie de test de spéci…cation des e¤ets individuels repose alors sur la comparaison des deux estimateurs, dont la divergence traduit la présence d’une corrélation et donc la nécessaire adoption du modèle à e¤ets …xes et de l’estimateur Within. Dans le cas contraire où les deux estimateurs donnent des résultats sensiblement identiques, les hypothèses (H3 ) sont satisfaites et l’on peut spéci…er le modèle avec des e¤ets individuels aléatoires. L’estimateur des MCG est alors l’estimateur BLUE. 5.1. Corrélation des e¤ets individuels et des variables explicatives Considérons le modèle à e¤ets aléatoires suivant 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] : yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + "i;t "i;t = ®i + vi;t où ¯ 0 = (¯ 1 ¯ 2 ::::¯ K ) est un vecteur de constantes: On suppose ici que les e¤ets individuels aléatoires ®i sont corrélés aux variables explicatives : E ( ®i j Xi ) 6= 0 Cette corrélation peut être exprimée sous di¤érentes formes. Nous retiendrons la formulation de Mundlak (1978a) qui postule une approximation linéaire de cette espérance. De…nition 5.1. Dans la formulation de Mundlak (1978a), on suppose ainsi que les e¤ets individuels peuvent s’écrire sous la forme de la somme d’une combinaison linéaire des moyennes individuelles des variables explicatives et d’une composante orthogonale i:i:d: ®¤i . ®i = x0i a + ®¤i (5.4) L’Econométrie des Données de Panel 46 avec a 2 RK : Sous cette hypothèse, le modèle devient : yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + x0i a + "i;t (5.5) "i;t = ®¤i + vi;t (5.6) On obtient ainsi une structure de résidus "i;t + x0i a faisant apparaître trois termes : la composante orthogonale des e¤ets individuels ®¤i ; la projection linéaire11 des e¤ets individuels sur l’espace des variables explicatives x0i a; et un terme d’erreur i:i:d: dans les dimensions temporelle et individuelle, vi;t : On suppose que les résidus globaux "i;t satisfont les hypothèse (H4 ) : Hypothèses (H4 ) On suppose que les résidus "i;t = ®¤i + vi;t satisfont les conditions suivantes, 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] ² E (®¤i ) = E (vi;t ) = 0 ² E (®¤i vi;t ) = 0½ ³ ´ i=j ¾2®¤ ² E ®¤i ®¤j = 0 8i 6= j ½ 2 t = s; i = j ¾v ² E (vi;t vj;s ) = 8t´6= s; 8i 6= j ³ ´ ³0 ² E vi;t x0i;t = E ®¤i x0i;t = 0 De la même façon que pour le modèle à e¤ets aléatoires standard, on construit la matrice de variance covariance des résidus globaux "i;t , son inverse et l’on construit le modèle vectoriel. Le modèle à e¤ets individuels aléatoires, sous les hypothèses (H4 ), s’écrit vectoriellement sous la forme : e yi = Xi ° (T;1) (T;K+1)(K+1;1) + ex0i a + "i (T;K)(K;1) (T;1) 8 i = 1; ::; N (5.7) ¡ ¢ ei = (e; Xi ) et ° 0 = ¹; ¯ 0 : Sous les hypothèses (H4 ), la matrice avec "i = ®¤i e + vi ; X de variance covariance de "i ; notée V; est alors dé…nie par : ½ 2 0 h ¡ 0¢ ¡ ¤ ¢0 i ¾ ®¤ ee + ¾2v IT = V ¤ i = j ¤ (5.8) E "i "j = E (®i e + vi ) ®j e + vj = 0 i 6= j L’inverse de cette matrice de variance covariance est dé…nie comme : · µ ¶ ¸ ¾2®¤ ¤ ¡1 1 V = 2 IT ¡ ee0 ¾v ¾2v + T ¾2®¤ 11 La projection linéaire étant adaptée au schéma de corrélation proposé. (5.9) L’Econométrie des Données de Panel 47 Si l’on applique les Moindres Carrés Généralisés au modèle (5.7), en tenant compte de la matrice de variance covariance V ¤ qui possède les bonnes propriétés, on obtiendra alors des estimateurs convergents des di¤érents paramètres : ¹ b¤MCG = y ¡ x0 b̄ BE b a¤MCG = b̄ BE ¡ b̄LSDV b̄¤ MCG = ¢b̄BE + (IK ¡ ¢) b̄ LSDV (5.10) (5.11) (5.12) Nous ne présenterons pas ici la forme générale de la matrice de poids ¢. Toutefois, en reprenant la formule générale de l’estimateur des MCG, on peut montrer que ¤ l’estimateur b̄MCG est un estimateur non biaisé du paramètre ¯ : b̄MCG ¡! b̄LSDV T !1 b̄ MCG ¡! ¯ NT !1 Mais un problème se pose lorsque l’on applique, à tort, l’estimateur des MCG, au modèle initial, c’est à dire au modèle dans lequel on n’a pas pris le soin de décomposer les e¤ets individuels en deux composantes, dont une est strictement orthogonale aux variables explicatives. Ainsi, supposons à présent que le modèle (5.7) soit le bon, et que l’on applique à tort les Moindres Carrés Généralisés à la spéci…cation suivante : yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + "i;t (5.13) "i;t = ®i + vi;t (5.14) Soit b̄MCG l’estimateur des MCG appliqué à ce modèle, sous l’hypothèse que les données sont générées par le modèle de (5.7). On part de la relation suivante : b̄MCG = ¢b̄BE + (IK ¡ ¢) b̄ LSDV Dans ce contexte, on peut montrer que l’estimateur Between b̄BE converge vers ¯ + a; puisque le vecteur a relie les moyennes individuelles xi aux e¤ets individuels ®i: Dès lors, il peut apparaître un biais dans l’estimateur b̄MCG à taille T …nie. Proposition 5.2. Lorsque les e¤ets individuels et les variables explicatives sont corrélées, lorsque les résidus satisfont les hypothèses (H4 ) et le modèle (5.7), l’application à tort des MCG au modèle (5.13) yi;t = ¹ + ¯ 0 xi;t + "i;t "i;t = ®i + vi;t L’Econométrie des Données de Panel 48 conduit à un biais semi asymptotique dans l’estimateur du vecteur ¯ à taille T …nie : p b̄ MCG ¡! ¯ + ¢a (5.15) N!1 Ce biais disparaît asymptotiquement : p b̄MCG ¡! ¯ (5.16) T !1 La démonstration de ce résultat est très simple. Admettons que les deux résultats suivants : p b̄BE ¡! ¯+a NT !1 b̄LSDV p ¡! ¯ NT !1 Dès lors, à taille T d’échantillon …nie, on montre que facilement l’existence d’un biais ¢a dans l’estimateur des MCG de ¯ : plim b̄ MCG = ¢ plim b̄BE + (IK ¡ ¢) plim b̄LSDV N!1 N!1 N!1 = ¢ (¯ + a) + (IK ¡ ¢) ¯ = ¯ + ¢a On sait cependant que lorsque la taille d’échantillon T tend vers l’in…nie, la matrice de poids ¢ tend vers 0, et l’estimateur des MCG converge vers l’estimateur W ithin: Le biais disparaît : plim b̄MCG = plim b̄LSDV = ¯ T !1 T !1 Remark 4. Ce résultat signi…e qu’en présence d’une corrélation entre les e¤ets individuels et les variables explicatives, l’estimateur des MCG est biaisé à taille d’échantillon T …nie, et ce même si le nombre d’individus N tend vers l’in…ni. Par opposition l’estimateur W ithin, dont la construction permet la suppression des e¤ets individuels, est asymptotiquement non biaisé. Tout le problème repose sur le fait, que si les e¤ets individuels et les variables explicatives ne sont pas corrélées, l’estimateur des MCG est dans ce cas l’estimateur BLUE, c’est à dire l’estimateur convergent, non biaisé à variance minimale. Ainsi, le problème de la spéci…cation des e¤ets individuels est un problème particulièrement important de l’économétrie de panel appliquée. Pour s’en convaincre, il su¢t de considérer les résultats de l’estimation de notre modèle sur les grèves (…gure 1.2), dans lesquels les estimateurs des MCG et les estimateurs W ithin donnent des résultats très di¤érents sur le plan quantitatifs, notamment en ce qui concerne la variable du chômage. L’Econométrie des Données de Panel 49 5.2. Test de spéci…cation d’Hausman Le test de spéci…cation d’Hausman (1978) est un test général qui peut être appliqué à des nombreux problèmes de spéci…cation en économétrie. Mais son application la plus répandue est celle des tests de spéci…cation des e¤ets individuels en panel. Il sert ainsi à discriminer les e¤ets …xes et aléatoires. L’idée générale du test d’Hausman est la fois simple et géniale. Supposons que l’on cherche à tester la présence éventuelle d’une corrélation ou d’un défaut de spéci…cation. Admettons que l’on dispose de deux types d’estimateurs pour les paramètres du modèle étudié. Le premier estimateur est supposé être l’estimateur non biaisé à variance minimale sous l’hypothèse nulle de spéci…cation correcte du modèle (absence de corrélation). En revanche, sous l’hypothèse alternative de mauvaise spéci…cation, cet estimateur est supposé être biaisé. On suppose que le second estimateur est non biaisé dans les deux cas. Dès lors, il su¢t de comparer une distance, pondérée par une matrice de variance covariance, entre les deux estimateurs pour pouvoir déterminer si la spéci…cation est correcte ou non. Si la distance est statistiquement nulle, la spéci…cation est correcte, on choisit le premier estimateur. Si la distance est importante, le modèle est mal spéci…é. L’application technique de ce principe suppose tout de même que l’on construise la matrice de variance covariance de l’écart entre les deux estimateurs. De façon générale, il devrait alors apparaître des termes de covariance entre les deux estimateurs. A…n de les éliminer, on considère le lemme suivant : Lemma 5.3. On considère deux estimateurs b̄1 et b̄ 2 ; d’un vecteur de paramètres ¯ 2 RK , que l’on suppose convergent et asymptotiquement normalement distribués. On suppose que b̄1 atteint la borne asymptotique de Cramer ´ ´ Rao. Pour un échantillon p ³ p ³ b̄ b̄ de taille N; les quantités N 1 ¡ ¯ et N 2 ¡ ¯ sont asymptotiquement distribuées selon des lois normales de matrice de variance covariance respectives V0 et V1 : ´ p ³ Sous ces hypothèses, les distributions asymptotiques de N b̄1 ¡ ¯ et la di¤érence ´ p ³ N b̄ 1 ¡ b̄2 ne sont pas corrélées, ce qui implique : ³ ´ ´ ³ ´ ³ var b̄ 1 ¡ b̄2 = var b̄ 1 ¡ var b̄2 (5.17) Dès lors, en appliquant ce lemme, Hausman préconise de fonder le test de spéci…cation sur la statistique suivante : ´0 h ³ ³ ´ ´i¡1 ³ b̄1 ¡ b̄ 2 (5.18) var b̄ 1 ¡ b̄2 H = b̄1 ¡ b̄ 2 Sous l’hypothèse nulle de spéci…cation correcte, cette statistique est asymptotiquement distribuée selon un chi deux à K degrés de liberté. L’Econométrie des Données de Panel 50 Appliquons à présent le test d’Hausman au problème de la spéci…cation des e¤ets individuels dans un panel. De…nition 5.4. L’hypothèse testée concerne la corrélation des e¤ets individuels et des variables explicatives : H0 : E ( ®i j Xi ) = 0 (5.19) H1 : E ( ®i j Xi ) 6= 0 (5.20) Ce test peut être interpréter comme un test de spéci…cation. Sous H0 ; le modèle peut être spéci…é avec des e¤ets individuels aléatoires et l’on doit alors retenir l’estimateur des MCG (estimateur BLUE): Sous l’hypothèse alternative H1 , le modèle doit être spéci…é avec des e¤ets individuels …xes et l’on doit alors retenir l’estimateur Within (estimateur non biaisé). On peut ici appliquer le lemme (5.3) en considérant l’estimateur des MCG (estimateur b̄1 ) et l’estimateur Within (estimateur b̄ 2 ). En e¤et, nous avons vu que sous H0 ; dans un modèle à e¤ets aléatoires, l’estimateur des MCG b̄ MCG est l’estimateur BLUE: Sous l’hypothèse de normalité des résidus, les deux estimateurs b̄ MCG et b̄ LSDV sont convergents et asymptotiquement distribués selon une loi normale. On en déduit que : ´ ³ ´ ³ ´ ³ var b̄MCG ¡ b̄LSDV = var b̄ MCG ¡ var b̄ LSDV (5.21) Dès lors, sous l’hypothèse nulle H0 ; la distance entre les deux estimateur est nulle puisque tous deux convergent vers la vraie valeur ¯: En revanche, sous l’hypothèse alternative, la présence de la corrélation entre les e¤ets individuels et les variables explicatives conduit à un biais de l’estimateur des MCG et cette distance devient alors importante. De…nition 5.5. La statistique du test d’Hausman appliqué au test de la spéci…cation des e¤ets individuels est la suivante : ´ ´i¡1 ³ ´0 h ³ ³ b̄ MCG ¡ b̄LSDV (5.22) var b̄ MCG ¡ b̄LSDV H = b̄ MCG ¡ b̄LSDV Sous l’hypothèse nulle H0 ; la statistique H suit asympotiquement (N tend vers l’in…ni) un chi deux à K degrés de liberté. Ainsi, si la réalisation de la statistique H est supérieure au seuil à ®%; on rejette l’hypothèse nulle et l’on privilégie l’adoption d’e¤ets individuels …xes et l’utilisation de l’estimateur Within non biaisé. L’Econométrie des Données de Panel 51 Il faut noter que la statistique du test de Hausman est dégénérée lorsque l’on considère que la dimension T tend vers l’in…ni. En e¤et, dans ce cas, l’estimateur des MCG converge vers l’estimateur Within 12 , ce qui implique que le numérateur et le dénominateur de la statistique d’Hausman tendent vers 0. Toutefois, on sait que lorsque T tend vers l’in…ni, les modèles à e¤ets aléatoires et à e¤ets …xes ne peuvent être distingués et sont parfaitement similaires. Dès lors, la question de la spéci…cation de ces e¤ets importe peu. 5.3. Application Reprenons l’application sur les journées de grèves proposée à la section précédente. Si l’on désire obtenir les réalisations des estimateurs MCG et W ithin, ainsi que la statistique du test d’Hausman, à l’exclusion des estimateurs Between et P ooled, le programme TSP est alors le suivant : load(file=’’strikes.wks’’); ?---- Test Hausman, Within et VarComp---panel (id=i,time=t,nowhit,nobet) srt u p; Les résultats de ce programme, reproduits sur la …gure (5.1), sont bien entendu totalement identiques à ceux de la …gure (1.2). Pour l’échantillon considéré, la réalisation de la statistique du test d’Hausman est de 13; 924. Etant donné que le modèle comporte deux variables explicatives (K = 2); cette statistique suit un chi deux à deux degrés de liberté. A 95%, le seuil est de 5:99; donc ici on rejette l’hypothèse nulle d’absence de corrélation entre les e¤ets individuels et les variables explicatives. Le chômage et l’in‡ation sont corrélés au spéci…cités structurelles et a-temporelles du volume des jours chômés pour cause de grève. Plus un pays, toutes choses égales par ailleurs, connaît de jours de grèves, plus son niveau de chômage et d’in‡ation sont élevés (ou faibles suivant le signe de la corrélation). Ainsi, on doit ici privilégier l’adoption d’un modèle à e¤ets …xes et retenir l’estimateur Within. On peut véri…er la validité de cette conclusion, en comparant de façon heuristique les réalisations des estimateurs des modèles à e¤ets …xes et à e¤ets aléatoires. On 12 Contrairement au cas où N tend vers l’in…ni où l’on a : plim b̄ MCG = plim b̄ LSDV = ¯ N !1 N !1 dans le cas où la dimension T tend vers l’in…ni, on a : plim b̄ M CG = b̄ LSDV N !1 Dès lors, les deux estimateurs tendent à être identiques. L’Econométrie des Données de Panel 52 Figure 5.1: Résultats Test d’Hausman (1978) observe que pour l’échantillon étudié , les coe¢cients estimés notamment pour le chômage sont sensiblement di¤érents dans les deux cas (¡21pour l’estimateur W ithin et ¡12 pour l’estimateur des MCG). Rappelons, que sous l’hypothèse nulle d’absence de corrélation ces deux estimateurs devraient converger vers la même valeur. Cette observation con…rme donc notre diagnostic quant à la présence d’une corrélation entre les e¤ets individuels et les deux variables explicatives du modèle. On doit ainsi privilégier les résultats de l’estimateur W ithin. L’Econométrie des Données de Panel 53 6. Modèle à coe¢cients …xes et aléatoires On peut envisager plusieurs variantes du modèle linéaire standard. La plupart de ces variantes sont construites en levant progressivement les di¤érentes hypothèses (H3 ) sur la structure des résidus. On peut d’abord introduire une autocorrélation des résidus (dans la dimension temporelle). On utilise alors des méthodes d’estimation proches de celles de Cochrane Orcut (1949), utilisée en séries temporelles. Une seconde variante possible, et par ailleurs souvent utilisée, consiste à supposée à supposer une structure de variance covariance arbitraire pour les résidus (méthode de Chamberlain 1982 et 1984). Il est dans ce cas possible de traiter des problèmes d’autocorrélation et d’hétéroscédasticité. Mais nous allons ici nous concentrer sur un autre type de modèle linéaire : les modèles avec un mélange de coe¢cients …xes et aléatoires. En particulier, nous allons étudier le modèle MFR (Mixed Fixed and Random Coe¢cient) proposé par Hsiao (1989). 6.1. Modèle MFR de Hsiao (1989) Commençons par présenter la structure générale des modèle à e¤ets individuels …xes et à coe¢cients aléatoires. De…nition 6.1. On considère le modèle MF R suivant : yi;t = ®i + ¯ 0i xi;t + vi;t 8 i 2 [1; N] ; 8 t 2 [1; T ] (6.1) ¡ ¢ où ®i 2 R, ¯ 0i = ¯ i;1 ¯ i;2 ::::¯ i;K 2 RK : On suppose ici que les e¤ets individuels ®i sont …xes et que les coe¢cients ¯ i des exogènes sont distribués selon une distribution commune de moyenne E (¯ i ) = ¯ et de matrice de variance covariance : 1 0 2 ¾¯ 1 ;¯ 2 ::: ¾¯ 1 ;¯ K ¾¯1 B ¾ £ ¤ ::: ¾¯ 2 ;¯ K C C B ¯ 2 ;¯ 1 ¾2¯ 2 (6.2) E (¯ i ¡ ¯) (¯ i ¡ ¯)0 = ¢ = B C ::: ::: ::: A (K;K) @ ::: ¾¯ K ;¯ 1 ¾¯ K ;¯ 2 ::: ¾2¯ K Le modèle (6.1) peut s’écrire sous la forme vectorielle suivante : yi = e®i + Xi ¯ i + vi 8 i 2 [1; N] (6.3) où e désigne un vecteur unitaire de dimension (T; 1) et où l’on suppose que les résidus vi;t satisfont les hypothèses (H1 ); avec en particulier E (vi vi0 ) = ¾ 2vi IT . L’hypothèse selon laquelle le paramètre ¯ i est un coe¢cient aléatoire implique une nouvelle structure des résidus qui peut s’exprimer sous la forme suivante : yi = e®i + Xi ¯ + "i (6.4) L’Econométrie des Données de Panel avec 8 i 2 [1; N] 54 "i = Xi ēi + vi (6.5) ³ ´ ³ ´ où les coe¢cients aléatoires ē i = ¯ i ¡ ¯; sont tels que E ēi = 0; E Xi ē i = 0 ´ ³ 0 et E ēi ēi = ¢: A partir de l’équation (6.4), on obtient ainsi un modèle où les coe¢cients ®i et ¯ sont …xes, mais où la structure des résidus ne satisfait pas les hypothèses standards. Pour le montrer, établissons la forme de la matrice de variance covariance des résidus individuels, noté ©i ; est alors dé…nie par13 : ·³ ´0 ¸ ´ ´³ ³ ¡ ¢ ¡ ¢ 0 = Xi E ēi ēi Xi0 + E vi vi0 ©i = E "i "0i = E Xi ēi + vi Xi ēi + vi On montre ainsi que : ©i = Xi ¢Xi0 + ¾2vi IT (6.6) La matrice de variance covariance est ainsi conditionnelle aux individus et de plus n’est pas diagonale. On doit donc appliquer une méthode de Moindres Carrés Généralisés sur un modèle transformé excluant les e¤ets individuels. Supposons que l’on connaisse la matrice de variance covariance ©i et que celle-ci soit une matrice dé…nie positive, on cherche alors à construire un modèle transformé où les résidus satisfont les hypothèses (H1 ) : Pour cela, on introduit une transformée Pi telle que : 0 ©¡1 (6.7) i = Pi Pi 8 i 2 [1; N] On dé…nit alors les variables transformées suivantes : Xi¤ = Pi Xi yi¤ = Pi yi e¤i = Pi e "¤i = Pi "i (6.8) Dès lors, le modèle (6.4), s’écrit sous la forme : Pi yi = Pi e®i + Pi Xi ¯ + Pi "i ou encore yi¤ = ®i e¤i + Xi¤ ¯ + "¤i (6.9) Dans ce modèle transformé, les résidus "¤i satisfont les hypothèses H1 puisque : ¢¡1 0 £ ¡ ¤ ¡ ¢ Pi = IT E "¤i ("¤i )0 = Pi E "i "0i Pi0 = Pi Pi0 Pi (6.10) Reste en…n à appliquer un opérateur permettant d’éliminer les e¤ets individuels transformés. Pour cela on construit une application Q¤i telle 8 i 2 [1; N] : Q¤i e¤i = Q¤i Pi e = 0 13 Si Xi est non stochastique. L’Econométrie des Données de Panel 55 On montre alors que Q¤i est telle : ¢¡1 0 ¡ ePi Q¤i = IT ¡ Pi e e0 ©¡1 i e La preuve est la suivante : (6.11) h ¡ ¢¡1 0 i IT ¡ Pi e e0 ©¡1 e ePi Pi e i ¡ ¢¡1 0 = Pi e ¡ Pi e e0 ©¡1 ePi Pi e i e ¡ 0 0 ¢¡1 0 = Pi e ¡ Pi e e Pi Pi e ePi Pi e Q¤ Pi e = = Pi e ¡ Pi e = 0 Appliquons à présent cette seconde transformation au modèle transformé (6.9), il vient : Q¤i yi¤ = Q¤i e¤i ®i + Q¤i Xi¤ ¯ + Q¤i "¤i () Q¤ yi¤ = Q¤i Xi¤ ¯ + Q¤i "¤i (6.12) A partir de cette expression, on peut …nalement proposer un estimateur de la moyenne des coe¢cients ¯ i ; c’est un estimateur du paramètre ¯. Soit b̄MF R cet estimateur : # #¡1 " N "N X X 0 0 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ b̄ MF R = (6.13) (Xi ) Qi yi (Xi ) Qi Xi i=1 i=1 En développant cette expression on obtient : )¡1 (N h X ¡ 0 ¡1 ¢¡1 0 i 0 0 b̄MF R = ePi Pi Xi Xi Pi IT ¡ Pi e e © e i i=1 (N X i=1 h ¡ ¢¡1 0 i e ePi Pi yi Xi0 Pi0 IT ¡ Pi e e0 ©¡1 i ) Proposition 6.2. L’estimateur BLUE de la moyenne des coe¢cients aléatoires ¯ i ; i = 1; ::N du modèle (6.1) à coe¢cients …xes et aléatoires (MFR) : #¡1 "N N X X ¡ 0 ¡1 ¢¡1 ¡1 ¡1 ¡1 0 0 b̄MF R = Xi © e e © e e© Xi Xi © Xi ¡ i i i=1 "N X i=1 i i i=1 Xi0 ©¡1 i yi ¡ N X i=1 x0i ©¡1 i e ¡ 0 ¡1 ¢¡1 ¡1 e ©i e e©i yi # (6.14) Un estimateur convergent de la matrice de variance covariance de ces paramètres est alors dé…ni par (Swamy 1970) : 2à !à !0 3 N N N X X X b̄i ¡ 1 b̄ i b̄i 5 b = 1 4 b̄ i ¡ 1 ¢ (6.15) N ¡1 N N (K;K) i=1 i=1 i=1 L’Econométrie des Données de Panel 56 où les estimateurs b̄i ; 8 i 2 [1; N] ; sont les estimateurs des MCO obtenus équation par équation pour chaque individu. On retrouve ici la formule générale de l’estimateur de la moyenne des coe¢cients aléatoires ¯ i dans un modèle MF R. Cette formule di¤ère légèrement de celle proposée dans l’article de Hsiao (1989)14 , dans le sens où nous nous sommes limités ici à un modèle avec uniquement des e¤ets individuels …xes. Dans l’article de Hsiao, l’auteur introduit non pas des e¤ets individuels, mais des variables dichotomiques individuelles di¤érentes selon les mois de l’année et selon les individus. 6.2. Procédure d’estimation des paramètres du modèle MFR La procédure générale permettant d’obtenir les estimateurs de l’espérance et de la variance des coe¢cients aléatoires du modèle de Hsiao est la suivante : 1. Etape 1 : on estime le modèle (6.1) pour chaque individu, en séries temporelles. Soient b̄i et ¾2vi les estimateurs des MCO des paramètres ¯ i et de la variance des résidus 8 i 2 [1; N] : 0 yi;t = ® b i + b̄i xi;t + vbi;t (6.16) ¾ b2vi = T 1 X vbi;t T ¡ K t=1 (6.17) 2. Etape 2 : on construit l’estimateur de Swamy (1970) de la matrice de variance b , selon la formule : covariance des paramètres ¯ i ; noté ¢ 2à !à !0 3 N N N X X X b̄ b̄ 5 b̄ ¡ 1 b = 1 4 b̄i ¡ 1 (6.18) ¢ i i i N ¡1 N N (K;K) i=1 i=1 i=1 3. Etape 3 : on construit l’estimateur de la moyenne ¯ des paramètres aléatoires ¯ i de la façon suivante : b̄MF R = "N X i=1 b ¡1 Xi Xi0 © i ¡ "N X i=1 14 N X i=1 b ¡1 e Xi0 © i b ¡1 yi ¡ Xi0 © i ³ b ¡1 e e0 © i N X i=1 ´¡1 b ¡1 Xi e© i #¡1 # ³ ´¡1 b ¡1 e e0 © b ¡1 e b ¡1 yi (6.19) x0i © e© i i i b i ; 8 i 2 [1; N] où e désigne le vecteur unitaire de dimension (T; 1) et la matrice © est dé…nie par : b i = Xi ¢X b i0 + ¾ (6.20) © b2vi IT Formule (3.3) page 578. L’Econométrie des Données de Panel 57 A la …n de ces trois étapes on dispose d’un estimateur b̄MF R du vecteur des b de la matrice de variance covarimoyennes des paramètres ¯ i et d’un estimateur ¢ ance associée. On peut alors construire les statistiques de Student. 6.3. Une application Considérons une application de la technique d’estimation d’un modèle MF R à la problématique de la convergence proposée dans Gaulier, Hurlin et Jean-Pierre (2000). On cherche à estimer une équation de convergence conditionnelle du type : avec 8 t 2 [1; T ] ¡ ¢ ¢ (yi;t ¡ y t ) = ®i + ½i yi;t¡1 ¡ y t¡1 + "i;t N 1 X yi;t yt = N i=1 (6.21) (6.22) Ce modèle de convergence est construit à partir de l’écart du PIB par tête yi;t à la moyenne internationale yt des PIB par tête. On cherche à déterminer si le taux de croissance de cet écart est lié négativement au niveau de l’écart observé à la période précédente. Si pour tous les pays, les constantes ®i sont nulles et les coe¢cients ½i sont négatifs cela signi…e que l’on observe un phénomène de convergence des PIB par tête. Dans ce cas, un écart positif du PIB par tête à la moyenne international induit un diminution de la croissance de cet écart à la date suivante. Autrement dit les écarts des PIB par tête de tous les pays à la moyenne internationale tendent à se resserrer et à par là même à disparaître. On dit alors qu’il y a convergence absolue des niveaux de PIB par tête. ¡ ¢ ¢ (yi;t ¡ y t ) = ½i yi;t¡1 ¡ y t¡1 + "i;t ce qui implique que : ¡ ¢ lim yi;t+p ¡ y t+p = 0 8 i 2 [1; N] p!1 (6.23) Mais de tels phénomènes sont rarement observés sur des échantillons internationaux, c’est pourquoi généralement on introduit des e¤ets individuels ®i dans la spéci…cations des modèles. Ces e¤ets individuels permettent d’envisager la notion de convergence conditionnelle. Supposons en e¤et que les constantes ®i soient non nulles, dans ce cas on montre que : ¡ ¢ (6.24) lim yi;t+p ¡ y t+p = ®i 8 i 2 [1; N] p!1 Les PIB par tête des di¤érents pays convergent ainsi vers des sentiers réguliers parallèles mais non confondues : les taux de croissance sont identiques mais les niveaux demeurent di¤érents. L’Econométrie des Données de Panel 58 Dans cette étude, nous montrons à l’aide de tests de non stationnarité en panel (Evans et Karras 1996), qu’il existe un processus de convergence conditionnel sur un échantillon de 27 pays de l’OCDE (1960-1990). Pour cet échantillon, nous proposons alors une estimation par la méthode MF R de la moyenne de la vitesse de convergence des PIB par tête. On considère donc le modèle suivant : ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ (yi;t ¡ y t ) = ®i + ½i yi;t¡1 ¡ yt¡1 + ° i ¢ yi;t¡1 ¡ y t¡1 + "i;t (6.25) ¡ ¢ Tout comme en séries temporelles, on introduit ici un terme de type ADF ¢ yi;t¡1 ¡ yt¡1 de façon à blanchir la structure des résidus. On suppose que les e¤ets individuels ®i sont …xes et que les paramètres ½i et ° i sont des coe¢cients aléatoires. On a donc une structure de type MF R identique à celle présentée précédemment avec N = 27; T = 31et K = 2: On s’intéresse ici plus particulièrement aux vitesses de convergence ½i dont la distribution, supposée commune, à une espérance ½ et une variance ¾ 2½ . On pose ainsi : µ ¶ ½i ¯i = 8 i 2 [1; N] (6.26) °i (2;1) µ ¶ µ 2 ¶ £ ¾½ ¾½° ½ 0¤ E (¯ i ) = ¯ = E (¯ i ¡ ¯) (¯ i ¡ ¯) = ¢ = (6.27) ¾½° ¾2° ° Faisons abstraction ici des problèmes liés à la structure dynamique du modèle (cf. Hsiao 1989 pour une application avec endogène retardée). Le problème consiste à estimer les paramètres ½; °, ¾2½ ; ¾2° et ¾½° : Le programme TSP qui reprend les 3 étapes de la procédure d’estimation des paramètres du modèle MF R est fourni en annexe (A.2). Tout d’abord, commençons par présenter les résultats des estimations des 27 équations individuelles (étape 1 ). Les résultats …gurent dans le tableau (6.1). Ces résultats ont été stockés dans un …chier Excel grâce aux commandes suivantes : smpl 1 N; unmake ls_alpha alpha_i; unmake ls_rho rho_i gam_i; unmake sigls sig_i; write(file=’’dea.xls’’) alpha_i rho_i gam_i sig_i; Le …chier Excel a ensuite été importé dans un Work…le sous Eviews, ce qui nous permet d’utiliser l’interface graphique, relativement pratique, de ce logiciel pour présenter les résultats. On peut en particulier étudier la distribution des vitesses de convergence L’Econométrie des Données de Panel 59 Figure 6.1: Résultat des Estimations Individuelles Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Alpha_I 0,13376594 -0,0893829 0,02164255 0,02181379 0,05501872 0,03200307 0,03007381 -0,0968696 0,01394913 0,0468125 0,00018522 0,03381594 -0,06906 0,04178007 -0,0555896 0,0280554 0,08583123 -0,0022626 0,02389198 -0,0432805 -0,020066 0,00564093 0,01507706 -0,5000802 0,01952289 -0,0074825 -0,0061079 Rho_I -0,3052974 -0,1493948 -0,0482918 -0,0713512 0,01829461 -0,2798161 -0,1644535 -0,1697266 -0,0702855 -0,2748415 -0,0081573 -0,1308573 -0,1506083 -0,2517085 -0,176831 -0,3224786 -0,2657224 -0,0062728 -0,0916293 -0,0772415 -0,1200527 -0,0314211 -0,0447503 -0,4479339 -0,1447489 -0,0072746 -0,0305862 Gam_I 0,02715862 0,47335094 0,15210068 0,08023112 0,13963646 -0,1547206 -0,2663595 0,22403599 0,01103817 0,30987847 0,08217304 0,17844738 -0,1468081 0,35072318 0,27316603 0,18986426 0,20064856 0,19309539 0,51222789 0,14977539 0,52000779 0,32853037 0,23266649 0,33779788 0,15997526 -0,250526 0,18348967 Sig_I 0,00032369 0,00137522 0,00047172 0,00058703 0,00152846 0,00014765 0,00021004 0,00123583 0,00068135 0,00069222 0,00013755 0,00024927 0,00074661 0,00173777 0,0007863 0,0003754 0,00104416 0,00019094 0,00038848 0,00113732 0,00032102 0,00029894 0,00039859 0,00123425 0,0006339 0,00059937 0,00073227 individuelles ½i : A partir de l’histogramme (6.2), on constate que la moyenne simple des réalisations des estimateurs des MCO b ½i est de ¡0:1416; et que la dispersion est relativement importante puisque l’écart type des b ½i est de 0:117. De plus, les statistiques de la Kurtosis, de la Skewness et de Jarque-Bera semble indiquer que la distribution n’est pas normale. En particulier, il semble que la distribution des b ½i soit non symétrique (Kurtosis) et décalée vers la droite par rapport à la moyenne. Cette première analyse est con…rmée par l’examen de l’estimateur à noyau de la densité des b ½i et ce quel que soit le bandwitch parameter choisi, comme le montre la …gure (6.3). On observe que l’estimateur de la distribution des b ½i n’est pas symétrique autour de la moyenne et tend à être décalé vers la droite. Economiquement, cela signi…e que la probabilité que les réalisations individuelles des vitesses de convergence soient supérieures à la moyenne ¡0:1416 est elle même supérieure à la probabilité que ces vitesses de convergence soient inférieures à la moyenne. On observe en outre qu’il existe une probabilité non nulles, mais faible, que les paramètres ½i soient positifs ou L’Econométrie des Données de Panel 60 Figure 6.2: Histogramme des b ½i 8 Series: RHO_I Sample 1 27 Observations 27 6 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 4 2 Jarque-Bera Probability -0.141609 -0.130857 0.018295 -0.447934 0.117664 -0.733074 2.881545 2.434072 0.296106 0 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 nuls, ce qui traduirait une hypothèse de non convergence. Il serait possible de calculer cette probabilité. Pour autant jusqu’à présent nous nous sommes contentés d’étudier la distribution des b ½i sans tenir compte de la précision des estimations individuelles, c’est à dire des variances des résidus ¾2v : C’est pourquoi, nous avons construit l’estimateur MFR construit à partir d’une correction faisant intervenir la matrice de variance des di¤érentes composantes des résidus. Ainsi, dans le programme, nous avons construit l’estimateur de Swamy (1970) de cette matrice de variance covariance (étape 2 de la procédure générale). Les résultats obtenus sont les suivants : ¶ µ ¶ µ 2 b½° ¾ b½ ¾ 0:013845 ¡0:0024814 b = (6.28) ¢= ¡0:0024814 0:042026 ¾ b½° ¾ b2° Bien entendu, on retrouve l’écart type des paramètres ½i que nous avions calculé p précédemment puisque ¾ bp = 0:013845 = : 11766: Mais nous tenons compte ici des éventuelles covariances pouvant exister entre les coe¢cients ° i et ½i : En…n, dans une dernière étape, nous avons construit l’estimateur MFR associé aux moyennes des paramètres ° i et ½i (étape 3 de la procédure générale). Les résultats obtenus sont les suivants : µ ¶ µ ¶ ½ ¡0:11395 b̄ = b = (6.29) ° b 0:15865 On constate ainsi que la réalisation de l’estimateur MFR de la moyenne b ½ est inférieure à la simple moyenne des b̄i individuels. Cela signi…e que l’estimateur MFR peut être envisagé comme une moyenne pondérée des estimations individuelles b̄ i ; dont L’Econométrie des Données de Panel 61 Figure 6.3: Estimateur Kernel de la Densité des b ½i Kernel Density (Epanechnikov) 4 3 h = 0.0595 h = 0.1190 h = 0.1785 2 1 0 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 RHO_I les pondérations sont fonctions de la précisions des estimations individuelles (de la variance des résidus). L’Econométrie des Données de Panel 62 A. Annexes A.1. Equivalence entre les estimateurs Within et pooled dans le cas à = 1 Revenons à l’équation (4.14) de l’estimateur des MCG : #¡1 " N # " N N N X X X X 1 1 0 0 0 0 b̄ MCG = (xi ¡ x) (xi ¡ x) (xi ¡ x) (y i ¡ y) Xi QXi + à Xi Qyi + à T T i=1 i=1 i=1 i=1 (A.1) On suppose pour simpli…er qu’il n’existe qu’une variable explicative (K = 1) et l’on suppose que à = 1. L’estimateur des MCG s’écrit alors sous la forme : " N #¡1 " N # N N X X X X 1 1 b̄ MCG = (xi ¡ x)2 (xi ¡ x) (y i ¡ y) Xi0 QXi + Xi0 Qyi + T T i=1 i=1 i=1 i=1 (A.2) Considérons tout d’abord le dénominateur de cette expression : D= N N N T N X X 1X 0 1 XX (xi;t ¡ xi )2 + (xi ¡ x)2 = Xi QXi + (xi ¡ x)2 T T t=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Développons cette expression, il vient : " # # " N T T T N X X X X 1 1 1X (xi;t ¡ xi )2 + (xi ¡ x)2 = x2 ¡ 2xi xi;t + 2x2i ¡ 2xi x + x2 D= T t=1 T t=1 i;t T t=1 i=1 i=1 Rappelons que : T X xi;t = T xi t=1 On obtient ainsi : # " N X T N T X X 1X 2 2 (xi;t ¡ x)2 D= xi;t ¡ 2xi x + x = T t=1 i=1 t=1 i=1 De la même façon, on montre que le numérateur peut s’écrire sous la forme : N= T N X X i=1 t=1 (xi;t ¡ x) (yi;t ¡ y) Ainsi, on retrouve l’expression du l’estimateur du modèle pooled : #¡1 " N T # "N T XX XX 2 b̄MCG = b̄pooled = (xi;t ¡ x) (yi;t ¡ y) (xi;t ¡ x) i=1 t=1 i=1 t=1 Le même résultat peut être démontré dans le cas général (K ¸ 1). L’Econométrie des Données de Panel 63 A.2. Programme TSP : Modèle MFR Le programme TSP ci-dessous reprend les 3 étapes de la procédure d’estimation des paramètres du modèle MF R appliqué à la problématique de convergence de Hurlin, Gaulier et Jean Pierre (2000). Toutes les lignes de commandes en italique doivent être modi…ées dans le cas d’une autre application. ?****************************** ?**** ESTIMATEUR MFR ******* ?**** HSIAO (1989) ******* ?****************************** ?--- Options ---------------OPTIONS(LIMWARN=0,LIMERR=10); SUPRES SMPL; ?---------------------------?****************************** ?**** Paramètres du Modèle **** ?****************************** set N=27 ; ? Nombre d’Individus N set l=31 ; ? Nombre de Périodes T set K=2 ; ? Nombre de Variables Explicatives K set nobs=N*l ; ? Nombre Total d’Observations NT set t0=60; ? Date de Début d’Echantillon set t1=90 ; ? Date de Fin d’Echantillon set retard=2; ? Nombre de Retards (Modèle Dynamique) smpl 1 nobs; ?***************************** ?***** Variables ************* ?***************************** ?—- Base de données ——– load(…le=”ocde.wks”); ?— Données Centrées sur la Moyenne Internationale — y=log(y); do j=t0 to t1; select (t=j); msd(noprint) Y; YB=Y-@MEAN; L’Econométrie des Données de Panel enddo; ?— Construction des Séries —– smpl 1 nobs; y=yb; select i=i(-1); dy=y-y(-1); ?***************************** ?-----------------------------------------------?---- ETAPE 1 : Estimations pays par pays ---?-----------------------------------------------mform(nrow=N,ncol=1) ls_alpha=0; mform(nrow=N,ncol=K) ls_rho=0; mform(nrow=N,ncol=1) sigls=0; do j=1 to N; ?--- Régressions Individuelles --smpl 1 nobs; select (i=j)&(i=i(-2)); ls(silent) dy c y(-1) dy(-1); ?--- Construction des Vecteurs des Coefficients --set ls_alpha(j,1)=@coef(1); do p=1 to K; set pf=p+1; set ls_rho(j,p)=@coef(pf); enddo; set sigls(j,1)=@s2; enddo; print ls_alpha ls_rho sigls; ?----------------------------------------------------?---- ETAPE 2 : Swamy (1970) ---?---- Estimateur de la variance du parametre rho ---?----------------------------------------------------?--- Calcul de la Moyenne des Coefficients Alatoires --mform(nrow=N,ncol=1) en=1; mat sum_rho=((en’)*ls_rho)/N; ?--- Construction du Vecteur des Moyennes --if K=1; then; do; 64 L’Econométrie des Données de Panel mat vsum_rho=sum_rho*en; enddo; if K>1; then; do; mat vsum_rho=sum_rho(1,1)*en; do j=2 to K; mat sum_rhoi=sum_rho(1,j)*en; mmake vsum_rho vsum_rho sum_rhoi; enddo; enddo; ?--- Construction du l’estimateur de Delta --mat Delta=(1/(N-1))*((ls_rho-vsum_rho)’)*(ls_rho-vsum_rho); ?------------------------------------?-- ETAPE 3 : Construction de Beta --?-- Construction des Phi_i --?------------------------------------smpl 1 nobs; set l1=l-retard; mform(nrow=l1,ncol=l1,type=diag) unite=1; mform(nrow=l1,ncol=1) z=1; mform(nrow=K,ncol=K) T1=0; mat T2=T1; mform(nrow=K,ncol=1) T3=0; mat T4=T3; do j=1 to N; smpl 1 nobs; ?********************************* ?**** Construction des séries **** ?********************************* select (i=j)&(i=i(-2)); y1=y(-1); dy1=dy(-1); mmake x y1 dy1; mmake yy dy; ?-- Construction de la matrice (Phi)-1 mform(nrow=l1,ncol=l1) Phi=0; mat Phi=x*Delta*x’+sigls(j,1)*unite; 65 L’Econométrie des Données de Panel mat ?-mat mat ?-mat mat ?-mat mat Phi=(Phi)’’; Premier Terme : T1 --t1_i=(x’)*Phi*x; T1=T1+t1_i; Deuxime Terme : T2 --t2_i=(x’)*Phi*z*(((z’)*Phi*z)’’)*(z’)*Phi*x; T2=T2+t2_i; Troisime Terme : T3 --t3_i=(x’)*Phi*yy; T3=T3+t3_i; ?-- Quatrime Terme : T4 --mat t4_i=(x’)*Phi*z*(((z’)*Phi*z)’’)*(z’)*Phi*yy ; mat T4=T4+t4_i; smpl 1 nobs; enddo; ?---------------------------------------?-- Estimateur de rho_bar -----?---------------------------------------mat rhols_m=(sum_rho)’; mat rho_mfr=((T1-T2)’’)*(T3-T4); print rhols_m rho_mfr; print delta; ?-------------------------?--- Calcul des T-stats --?-------------------------if K=1; then; do; set T_stat=rho_mfr/sqrt(Delta); enddo; if K>1; then; do; mform(nrow=K,ncol=1) T_stat=0; do j=1 to K; set T_stat(j,1)=rho_mfr(j,1)/sqrt(Delta(j,j)); enddo; enddo; print t_stat; 66 L’Econométrie des Données de Panel 67 Bibliographie Ahn, S.C., et Schmidt, P., (1995), ”E¢cient Estimation of Models for Dynamic Panel Data”, Journal of Econometrics, 68, 5-27. 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