Proyecto de Cálculo I Fabián Espinoza 00138758 - Hernán Vela 00136936 18 de abril de 2017 1. Continuidad Dada la función f (x)= ( c−x c · sin(x) x≤π x>π (a) Encuentre el valor de c tal que la función f (x) definida en (1) sea contı́nua. lim f (x) = lim+ f (x) x→π − x→π lim c − x = lim c · sin(x) x→π − x→π − c − π = c · sin(π) c−π =c·0 c=π f (x)= ( π−x π · sin(x) x≤π x>π f (1) = π · sin(1) = π · 0,017 = 0,055 (b) Para el valor encontrado en (a), verifique que las tres condiciones de continuidad se cumplen. lim f (x) = lim− π − x = π − π = 0 x→π − x→π lim f (x) = lim π · sin(x) = π · sin(π) = π · 0 = 0 x→π + x→π + f (π) = π − x = π − π = 0 1 Si se cumplen las 3 condiciones de continuidad. (c) Graficar f (x) para xǫ (−π, 3π). 2. Derivadas (d)Asuma que f (x) es una función a valores reales definida para todo xǫ(a − r, a + r) con r > 0. ¿Qué significa que f (x) tiene derivada f ′ (a) en x = a y que es el valor f ′ (a)? (Dar la definición de f ′ (a)). Si f (x) tiene una derivada f ′ (x) en x = a, significa que la función f (x) tiene una recta tangente en a con pendiente f ′ (a). (e) Untilice la definición de f ′ (a) que usted dio en (d) para mostrar 1 , entonces f ′ (3) = −0,08 que si f (x) = 2x−1 f (x) = f ′ (x) = 1 2x−1 (0)(2x−1)−(1)(2) (2x−1)2 2 = − (2x−1) 2 2 2 2 f ′ (3) = − (2(3)−1) 2 = − (5)2 = − 25 = −0,08 2 (f ) Encuentre h 1 7 sin7 ( π 6 + 2 )−( 2 ) h h→0 lim 0 1 7 sin7 ( π 6 + 2 )−( 2 ) 0 h→0 = h 1 7 sin7 ( π 6 + 2 )−( 2 ) h h→0 = lim lim lim 7 h→0 2 h→0 1 1 128 − 128 = 0 7 π d h 1 7 dh sin ( 6 + 2 )−( 2 ) d dh h = 0 0 h π h 1 7·sin6 ( π 6 + 2 )·cos( 6 + 2 )· 2 −0 1 h→0 = lim = · sin6 ( π6 + h2 ) · cos( π6 + h2 ) = 72 lim sin6 ( π6 + h2 ) · cos( π6 + h2 ) = h→0 7 lim sin6 ( π6 2 h→0 + h2 ) · lim cos( π6 + h2 ) = 27 (lim sin( π6 + h2 ))6 · lim cos( π6 + h2 ) = h→0 7 (π 2 (sin(lim h→0 6 h→0 h→0 + h2 ))) · cos(lim ( π6 + h2 )) = h→0 π 7 6 2 (sin (lim h→0 6 + lim h2 )) · cos(lim π6 + lim h2 ) = 7 π 6 2 (sin (lim h→0 6 + 12 lim h)) · cos(lim π6 + 21 lim h) = 7 6 π 2 (sin ( 6 )) h→0 + h2 )))6 · cos(lim ( π6 + h2 )) = 7 6 (π 2 (sin (lim h→0 6 3. 1 sin7 ( π 6 )−( 128 ) 0 lim h→0 h→0 h→0 · cos( π6 ) = h→0 h→0 7 128 · √ 3 2 = h→0 √ 7 3 256 Método de Newton (g) Describir el método de Newton. El método de Newton es un método iterativo el cual busca la solución de una ecuación del tipo f (x) = 0. Este método no grantiza una convergencia global, ya que se utilizan datos lo bastante cercanos a la raı́z deseada para encontrar una aproximación de la solución. Es por eso que se parte de una estimación inicial de la solución x0 y se contruye una sucesión de aproximaciones a través de la fórmula: xi+1 = xi − f (xi ) f ′ (xi ) (h) Aproximar √ 3 utilizando el método de Newton. Utilizando la función f (x) = x2 − 3 aproximamos la raı́z 3 √ 3 f ′ (x) = 2x Usando la fórmula del método de Newton: xi+1 = xi − f (xi ) f ′ (xi ) x0 = 1 x1 = x0 − f (x0 ) f ′ (x0 ) =1− −2 2 x2 = x1 − f (x1 ) f ′ (x1 ) =2− 1 4 x3 = x2 − f (x2 ) f ′ (x2 ) = 1,75 − 0,0625 3,5 = 1,73 x4 = x3 − f (x3 ) f ′ (x3 ) = 1,73 − −0,02 3,46 = 1,732 x5 = x4 − f (x4 ) f ′ (x4 ) = 1,732 − =1 = 1,75 −0,00017 3,464 = 1,7325 Con estas aproximaciones podemos definir que esta raı́z pertenece a la función f (x) = x2 − 3. 4 √ 3 = 1,7325, ya que