De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.
Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.
Uma cisão de um conjunto é a decomposição
em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que
e
. Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.
Os subconjuntos
e
são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de
. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então
é conexo. Por outro lado, se existe
não-vazio aberto e fechado em
, então
é desconexo.
e
são conexos, enquanto
e
são desconexos.
- Em
, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.
é desconexo pois possui a cisão não-trivial
.
- A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.
- Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.
- A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.
- O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.
- O fecho de um conjunto conexo é conexo.
Mesmo que um conjunto
não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.
A componente conexa
é o maior subconjunto conexo que contém
. Para quaisquer dois pontos de
, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.
Por exemplo, para
, a componente conexa de
é
e a componente conexa de
é
. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.
Toda componente conexa de
é um conjunto fechado em
.
Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro. Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.
Um espaço conexo por caminhos
Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.
Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.
Um caminho num conjunto
é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de
. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho
tal que esses pontos estejam na imagem de
. Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.
Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Por exemplo, no
o gráfico da função
para
com a origem
é conexo mas não é conexo por caminhos.
Referências